Pipes and Cistern Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પાઈપ $B$ ને $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવે છે.
પાઈપ $A$ સમગ્ર $18$ મિનિટ માટે ખુલ્લી રહે છે.
પાઈપ $A$ દ્વારા $18$ મિનિટમાં થયેલું કાર્ય = $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
પાઈપ $B$ દ્વારા બાકી રહેલું કાર્ય = $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
પાઈપ $B$ આખી ટાંકી $32$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી $\frac{1}{4}$ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે $B$ ને લાગતો સમય $x = 32 \times \frac{1}{4} = 8$ મિનિટ છે.
તેથી,પાઈપ $B$ ને $8$ મિનિટ પછી બંધ કરવી જોઈએ.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $60$ એકમ છે ($10, 15, 12$ નો લ.સા.અ.).
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 10 = 6$ એકમ/કલાક.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 15 = 4$ એકમ/કલાક.
ત્રણેય નળની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= 60 / 12 = 5$ એકમ/કલાક.
ધારો કે ત્રીજા નળની કાર્યક્ષમતા $x$ એકમ/કલાક છે.
ત્રીજો નળ ટાંકી ખાલી કરતો હોવાથી,તેની કાર્યક્ષમતા ઋણ લેવી પડે.
$6 + 4 - x = 5$
$10 - x = 5$
$x = 5$ એકમ/કલાક.
ત્રીજા નળ દ્વારા ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= 60 / 5 = 12$ કલાક.

(D) ધારો કે પાઈપ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થતું કામ $a$ છે અને પાઈપ $B$ દ્વારા $b$ છે.
આપેલ છે કે $(a + b) = \frac{1}{36}$.
$30$ મિનિટમાં,બંને પાઈપ દ્વારા ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $30(a + b) = 30 \times \frac{1}{36} = \frac{5}{6}$ છે.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ છે.
આ બાકીનો ભાગ પાઈપ $A$ દ્વારા એકલા $(40 - 30) = 10$ મિનિટમાં ભરવામાં આવે છે.
તેથી,$10a = \frac{1}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{60}$.
હવે,પ્રથમ સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{60} + b = \frac{1}{36}$.
$b = \frac{1}{36} - \frac{1}{60} = \frac{5 - 3}{180} = \frac{2}{180} = \frac{1}{90}$.
તેથી,પાઈપ $B$ એકલો ટાંકીને $90$ મિનિટમાં ભરી શકે છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $180$ એકમ છે ($45$ અને $60$ નો લ.સા.અ.).
પ્રથમ પાઈપની કાર્યક્ષમતા (ભરવા માટે) $= 180 / 45 = +4$ એકમ/મિનિટ.
બીજી પાઈપની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) $= 180 / 60 = -3$ એકમ/મિનિટ.
$2$ મિનિટના ચક્રમાં (પ્રથમ પાઈપ $1$ મિનિટ માટે,બીજી પાઈપ $1$ મિનિટ માટે),ચોખ્ખું કાર્ય $= 4 - 3 = 1$ એકમ.
છેલ્લા ભરવાના સ્ટેપ પહેલાની ક્ષમતા ધ્યાનમાં લેતા: $180 - 4 = 176$ એકમ.
$176$ એકમ ભરવા માટે $176$ ચક્ર લાગે,જે $176 \times 2 = 352$ મિનિટ થાય.
આગામી મિનિટમાં ($353$ મી મિનિટ),પ્રથમ પાઈપ બાકીના $4$ એકમ ભરે છે.
કુલ સમય $= 352 + 1 = 353$ મિનિટ $= 5$ કલાક અને $53$ મિનિટ.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $60$ એકમ છે ($20$ અને $60$ નો લ.સા.અ.).
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 20 = 3$ એકમ/$min$.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 60 = 1$ એકમ/$min$.
$5$ $min$ માં,બંને નળ સાથે મળીને $= (3 + 1) \times 5 = 20$ એકમ ભરે છે.
બાકી રહેલી ક્ષમતા $= 60 - 20 = 40$ એકમ.
પ્રથમ નળ બંધ હોવાથી,બીજો નળ બાકીના $40$ એકમ ભરશે.
બીજા નળ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 40 / 1 = 40$ $min$.

(B) પાઇપ $A$ $1 \, h$ માં ટાંકીનો $1/3$ ભાગ ભરે છે. પાઇપ $B$ $1 \, h$ માં ટાંકીનો $1/4$ ભાગ ભરે છે. પાઇપ $C$ $1 \, h$ માં સંપૂર્ણ ટાંકી ખાલી કરે છે.
$4:00 \, pm$ વાગ્યે, પાઇપ $A$ એ $1 \, h$ કામ કર્યું છે, જે ટાંકીનો $1/3$ ભાગ ભરે છે.
$5:00 \, pm$ વાગ્યે, પાઇપ $A$ એ $2 \, h$ અને પાઇપ $B$ એ $1 \, h$ કામ કર્યું છે. કુલ ભરાયેલ ભાગ $= (2 \times 1/3) + (1 \times 1/4) = 2/3 + 1/4 = 11/12$.
$5:00 \, pm$ પછી, ત્રણેય પાઇપ $A, B$ અને $C$ ખુલ્લા છે. પ્રતિ કલાક થતું ચોખ્ખું કાર્ય $= 1/3 + 1/4 - 1 = (4+3-12)/12 = -5/12$. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટાંકી $5/12$ ના દરે ખાલી થઈ રહી છે.
$11/12$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= (11/12) / (5/12) = 11/5 \, h = 2.2 \, h$.
$2.2 \, h = 2 \, h$ અને $0.2 \times 60 \, min = 2 \, h \, 12 \, min$.
$5:00 \, pm$ થી શરૂ કરીને, $2 \, h \, 12 \, min$ ઉમેરતા $7:12 \, pm$ મળે છે.

(C) પાઈપ $A, B$ અને $C$ માટે ભરવાનો દર અનુક્રમે પ્રતિ મિનિટ ટાંકીનો $\frac{1}{30}, \frac{1}{20}$ અને $\frac{1}{10}$ ભાગ છે.
ત્રણેય પાઈપ દ્વારા $1 \ min$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો કુલ ભાગ $\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 3 + 6}{60} = \frac{11}{60}$ છે.
$3 \ min$ માં,ભરાયેલ ટાંકીનો કુલ ભાગ $3 \times \frac{11}{60} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20}$ છે.
$3 \ min$ માં પાઈપ $C$ દ્વારા ઉમેરવામાં આવેલ દ્રાવણ $R$ નો જથ્થો $3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ છે.
$3 \ min$ પછી ટાંકીમાં રહેલા કુલ પ્રવાહીમાં દ્રાવણ $R$ નો અંશ $\frac{R \text{ નો જથ્થો}}{\text{કુલ પ્રવાહી}} = \frac{3/10}{11/20} = \frac{3}{10} \times \frac{20}{11} = \frac{6}{11}$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પાઈપ $A, B,$ અને $C$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $(A+B+C) = \frac{1}{6}$ એકમ/કલાક છે.
$2$ કલાકમાં,$A, B,$ અને $C$ દ્વારા થયેલું કામ $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ એકમ છે.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ એકમ છે.
આ બાકીનું કામ $A$ અને $B$ દ્વારા $8$ કલાકમાં પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,$(A+B)$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{2/3}{8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ એકમ/કલાક છે.
હવે,પાઈપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= (A+B+C) - (A+B) = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}$ એકમ/કલાક છે.
તેથી,પાઈપ $C$ ને ટાંકી ભરતા લાગતો સમય $\frac{1}{1/12} = 12$ કલાક છે.

(D) ધારો કે પાઇપ $A, B$ અને $C$ દ્વારા $1$ કલાકમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
આપેલ છે:
$a + b = \frac{1}{6}$
$b + c = \frac{1}{10}$
$c + a = \frac{1}{7.5} = \frac{1}{15/2} = \frac{2}{15}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(a + b + c) = \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{2}{15}$
$2(a + b + c) = \frac{5 + 3 + 4}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$
$a + b + c = \frac{1}{5}$
આમ,ત્રણેય પાઇપ સાથે મળીને ટાંકીને $5$ કલાકમાં ભરશે.

(A) ધારો કે ટાંકી ભરાતા લાગતો કુલ સમય $x$ કલાક છે.
પાઈપ $A$ નો દર = $1/15$ ટાંકી/કલાક.
પાઈપ $B$ નો દર = $1/20$ ટાંકી/કલાક.
પાઈપ $C$ નો દર = $-1/25$ ટાંકી/કલાક (ખાલી કરવા માટે).
પાઈપ $C$ ને $10$ કલાક પછી બંધ કરવામાં આવે છે,તેથી તે $10$ કલાક કામ કરે છે,જ્યારે પાઈપ $A$ અને $B$ સમગ્ર સમય $x$ માટે કામ કરે છે.
સમીકરણ: $x(1/15 + 1/20) - 10(1/25) = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x((4+3)/60) - 10/25 = 1$.
$x(7/60) - 0.4 = 1$.
$x(7/60) = 1.4$.
$x = 1.4 \times 60 / 7 = 84 / 7 = 12$ કલાક.
આમ,ટાંકી $12$ કલાકમાં ભરાઈ જશે.

(D) દ્વારા $1$ કલાકમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{10}$.
$A$ અને $B$ દ્વારા બીજા કલાકમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{6+5}{60} = \frac{11}{60}$.
પ્રથમ $2$ કલાકમાં થયેલું કુલ કામ $= \frac{1}{10} + \frac{11}{60} = \frac{6+11}{60} = \frac{17}{60}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{17}{60} = \frac{43}{60}$.
$A, B$ અને $C$ દ્વારા $1$ કલાકમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{6+5+4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.
બાકીનું કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{43/60}{1/4} = \frac{43}{60} \times 4 = \frac{43}{15} = 2 \text{ કલાક } 52 \text{ મિનિટ}$.
કુલ સમય $= 2 \text{ કલાક} + 2 \text{ કલાક } 52 \text{ મિનિટ} = 4 \text{ કલાક } 52 \text{ મિનિટ}$.

(A) $3$ મિનિટના ચક્રમાં પાઈપ $A, B, C$ દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = \frac{3 + 2 - 4}{60} = \frac{1}{60}$ ભાગ.
ટાંકી સંપૂર્ણ ભરાય તે પહેલાંનો ભાગ ધ્યાનમાં લેતા,$165$ મિનિટમાં ($55$ ચક્ર) ભરાયેલ ભાગ $= 55 \times \frac{1}{60} = \frac{55}{60} = \frac{11}{12}$ ભાગ.
બાકી રહેલ ભાગ $= 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$ ભાગ.
$166$મી મિનિટે,પાઈપ $A$ દ્વારા ભરાતો ભાગ $= \frac{1}{20}$. બાકી રહેલ ભાગ $= \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{1}{30}$.
$167$મી મિનિટે,પાઈપ $B$ દ્વારા બાકીનો $\frac{1}{30}$ ભાગ ભરાઈ જશે.
કુલ સમય $= 165 + 1 + 1 = 167$ મિનિટ.

(C) ધારો કે પાઈપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $1$ એકમ પ્રતિ કલાક છે.
પાઈપ $B$ એ $A$ કરતા બમણી ઝડપી હોવાથી,$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 2$ એકમ પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $C$ એ $B$ કરતા બમણી ઝડપી હોવાથી,$C$ ની કાર્યક્ષમતા $= 2 \times 2 = 4$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ત્રણેય પાઈપની કુલ કાર્યક્ષમતા $(A + B + C) = 1 + 2 + 4 = 7$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી $5$ કલાકમાં ભરાય છે,તેથી ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $= 7 \times 5 = 35$ એકમ.
પાઈપ $A$ ને એકલાને ટાંકી ભરતા લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{A ની કાર્યક્ષમતા}} = \frac{35}{1} = 35$ કલાક.

(D) પાઈપ $A$ ટાંકીને $15$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેનો દર $\frac{1}{15}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
પાઈપ $B$ ટાંકીને $20$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેનો દર $\frac{1}{20}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
બંને પાઈપ $4$ મિનિટ માટે એકસાથે ખોલવામાં આવે છે. $4$ મિનિટમાં બંને દ્વારા થયેલું કામ $4 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{20}) = 4 \times (\frac{4+3}{60}) = 4 \times \frac{7}{60} = \frac{7}{15}$ છે.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ છે.
પાઈપ $B$ આ બાકી રહેલો ભાગ $\frac{1}{20}$ પ્રતિ મિનિટના દરે ભરે છે.
બાકીનો ભાગ ભરવા માટે પાઈપ $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{8/15}{1/20} = \frac{8}{15} \times 20 = \frac{32}{3} = 10 \text{ મિનિટ અને } 40 \text{ સેકન્ડ}$.
કુલ સમય $= 4 \text{ મિનિટ} + 10 \text{ મિનિટ } 40 \text{ સેકન્ડ} = 14 \text{ મિનિટ } 40 \text{ સેકન્ડ}$.

(D) ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12}$ ટાંકી/કલાક,$B = \frac{1}{15}$ ટાંકી/કલાક,$C = \frac{1}{20}$ ટાંકી/કલાક.
પ્રથમ કલાકમાં,$A$ અને $B$ ખુલ્લા છે: થયેલું કાર્ય $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60}$ ટાંકી.
બીજા કલાકમાં,$A$ અને $C$ ખુલ્લા છે: થયેલું કાર્ય $= \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5+3}{60} = \frac{8}{60}$ ટાંકી.
$2$ કલાકના ચક્રમાં,કુલ થયેલું કાર્ય $= \frac{9}{60} + \frac{8}{60} = \frac{17}{60}$ ટાંકી.
$6$ કલાકમાં ($3$ ચક્ર),થયેલું કાર્ય $= 3 \times \frac{17}{60} = \frac{51}{60}$ ટાંકી.
બાકી રહેલું કાર્ય $= 1 - \frac{51}{60} = \frac{9}{60}$ ટાંકી.
$7$મા કલાકમાં,$A$ અને $B$ ખુલ્લા છે. તેઓ $\frac{9}{60}$ ટાંકી બરાબર $1$ કલાકમાં ભરી દેશે.
કુલ સમય $= 6 + 1 = 7$ કલાક.

(A) ધારો કે પંપની ભરવાની ક્ષમતા $x m^3/min$ છે.
પંપની ખાલી કરવાની ક્ષમતા $(x + 10) m^3/min$ છે.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $T_f = \frac{2400}{x}$ મિનિટ છે.
ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $T_e = \frac{2400}{x+10}$ મિનિટ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_f - T_e = 8$.
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{x+10} = 8$
$8$ વડે ભાગતા: $\frac{300}{x} - \frac{300}{x+10} = 1$
$300(x + 10) - 300x = x(x + 10)$
$300x + 3000 - 300x = x^2 + 10x$
$x^2 + 10x - 3000 = 0$
$(x + 60)(x - 50) = 0$
ક્ષમતા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 50$.
આમ,પંપની ભરવાની ક્ષમતા $50 m^3/min$ છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $V$ લિટર છે.
કાણાનો દર $= \frac{V}{8}$ લિટર પ્રતિ કલાક.
ઇનલેટ પાઇપનો દર $= 6 \times 60 = 360$ લિટર પ્રતિ કલાક.
જ્યારે ટાંકી ભરેલી હોય અને બંને ચાલુ હોય,ત્યારે ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{V}{12}$ લિટર પ્રતિ કલાક છે.
તેથી,ચોખ્ખો દર આ મુજબ છે: $\text{કાણાનો દર} - \text{ઇનલેટ પાઇપનો દર} = \text{ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર}$.
$\frac{V}{8} - 360 = \frac{V}{12}$.
$\frac{V}{8} - \frac{V}{12} = 360$.
$\frac{3V - 2V}{24} = 360$.
$\frac{V}{24} = 360$.
$V = 360 \times 24 = 8640$ લિટર.
આમ,ટાંકીમાં $8640$ લિટર પાણી સમાય છે.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ ગેલન છે.
પ્રથમ પાઈપનો દર $= \frac{C}{20}$ ગેલન/મિનિટ.
બીજી પાઈપનો દર $= \frac{C}{24}$ ગેલન/મિનિટ.
નકામી પાઈપનો દર $= -3$ ગેલન/મિનિટ.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ સાથે કામ કરે છે,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{C}{15}$ ગેલન/મિનિટ છે.
તેથી,$\frac{C}{20} + \frac{C}{24} - 3 = \frac{C}{15}$.
$\frac{C}{20} + \frac{C}{24} - \frac{C}{15} = 3$.
$20, 24, 15$ નો લસાઅ $120$ લેતા:
$\frac{6C + 5C - 8C}{120} = 3$.
$\frac{3C}{120} = 3$.
$\frac{C}{40} = 3$.
$C = 120$ ગેલન.

(C) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
$A, B$ અને $C$ નો સંયુક્ત કાર્ય દર $(A + B + C) = \frac{1}{6}$ એકમ/કલાક છે.
$A, B$ અને $C$ દ્વારા $2$ કલાકમાં થયેલું કામ $= 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ એકમ.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ એકમ.
આ બાકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ $A$ અને $B$ દ્વારા $7$ કલાકમાં ભરવામાં આવે છે.
તેથી,$(A + B)$ નો કાર્ય દર $= \frac{2/3}{7} = \frac{2}{21}$ એકમ/કલાક.
હવે,$C$ નો કાર્ય દર $= (A + B + C) - (A + B) = \frac{1}{6} - \frac{2}{21}$.
$6$ અને $21$ નો લસાઅ $42$ લેતા:
$C$ નો કાર્ય દર $= \frac{7 - 4}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$ એકમ/કલાક.
આમ,$C$ એકલો ટાંકીને $14$ કલાકમાં ભરી શકે છે.

(A) ધારો કે પાઈપ $B$ ને $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવે છે.
પાઈપ $A$ આખી $20$ મિનિટ માટે ખુલ્લી રહે છે.
પાઈપ $A$ દ્વારા $20$ મિનિટમાં થયેલું કાર્ય = $\frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
પાઈપ $B$ દ્વારા કરવાનું બાકી રહેલું કાર્ય = $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
પાઈપ $B$ ટાંકીને $48$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી $B$ દ્વારા $\frac{1}{6}$ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $x = 48 \times \frac{1}{6} = 8$ મિનિટ છે.
તેથી,પાઈપ $B$ ને $8$ મિનિટ પછી બંધ કરવી જોઈએ.

(B) ધારો કે પહેલો નળ $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવ્યો હતો.
પ્રથમ નળનો દર $1/20$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે અને બીજા નળનો દર $1/30$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
પ્રથમ નળ $x$ મિનિટ માટે ચાલુ રહ્યો અને બીજો નળ કુલ $18$ મિનિટ માટે ચાલુ રહ્યો.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ કાર્ય એક સંપૂર્ણ ટાંકી ભરવા જેટલું છે:
$\frac{x}{20} + \frac{18}{30} = 1$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x}{20} + \frac{3}{5} = 1$
બંને બાજુથી $3/5$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{20} = 1 - \frac{3}{5}$
$\frac{x}{20} = \frac{2}{5}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{2}{5} \times 20$
$x = 8$ મિનિટ.
આમ,પહેલો નળ $8$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવ્યો હતો.

(D) નળ $P$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
નળ $Q$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{15}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
$P$ અને $Q$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
બંને દ્વારા $3$ મિનિટમાં થયેલું કામ $= 3 \times \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$ ટાંકી.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ ટાંકી.
બાકીનો $\frac{11}{20}$ ભાગ ભરવા માટે $Q$ ને લાગતો સમય $= \frac{11/20}{1/15} = \frac{11}{20} \times 15 = \frac{11 \times 3}{4} = \frac{33}{4} = 8 \frac{1}{4}$ $min$.

(D) ધારો કે ઝડપી પાઇપ ટાંકી ભરવા માટે $x$ $\text{મિનિટ}$ લે છે. તો,ધીમી પાઇપ તેને ભરવા માટે $3x$ $\text{મિનિટ}$ લેશે.
ઝડપી પાઇપનો દર $\frac{1}{x}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે,અને ધીમી પાઇપનો દર $\frac{1}{3x}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
સંયુક્ત દર: $\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{36}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{3+1}{3x} = \frac{1}{36} \Rightarrow \frac{4}{3x} = \frac{1}{36}$.
$3x = 4 \times 36 = 144$.
આમ,ધીમી પાઇપને એકલા ટાંકી ભરવા માટે $144$ $\text{મિનિટ}$ લાગશે.
$144$ $\text{મિનિટ }= 2$ $\text{કલાક}$ $24$ $\text{મિનિટ}$.

(C) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $C$ એકમ છે.
પ્રથમ નળનો દર (ભરવાનો) $= \frac{C}{12}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
બીજા નળનો દર (ખાલી કરવાનો) $= \frac{C/2}{10} = \frac{C}{20}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને નળ ખોલવામાં આવે,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર $= \frac{C}{12} - \frac{C}{20} = \frac{5C - 3C}{60} = \frac{2C}{60} = \frac{C}{30}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકીને અડધી ભરવા માટે (એટલે કે $C/2$ એકમ),જરૂરી સમય $= \frac{C/2}{C/30} = \frac{C}{2} \times \frac{30}{C} = 15$ $hours$.

(A) ભરવા માટેની પાઈપની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{40}$ ડ્રમ/મિનિટ.
આઉટલેટ પાઈપની કાર્યક્ષમતા $= -\frac{1}{60}$ ડ્રમ/મિનિટ.
ડ્રમની શરૂઆતની સ્થિતિ $= \frac{2}{3}$ ભરેલું.
આઉટલેટ પાઈપ $15$ મિનિટ માટે ખોલવામાં આવે છે,તેથી ખાલી થયેલ ભાગ $= 15 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{4}$ ભાગ.
ડ્રમમાં બાકી રહેલ તેલ $= \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12}$ ભાગ.
ડ્રમને સંપૂર્ણ ભરવા માટે બાકી રહેલ ભાગ $= 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ ભાગ.
ભરવા માટેની પાઈપ દ્વારા બાકી રહેલ $\frac{7}{12}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{7/12}{1/40} = \frac{7}{12} \times 40 = \frac{7 \times 10}{3} = \frac{70}{3} = 23 \frac{1}{3} \text{ min}$.

(NONE) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $V$ ગેલન છે.
નળ $A$ નો દર $\frac{V}{20}$ ગેલન/મિનિટ છે.
નળ $B$ નો દર $\frac{V}{24}$ ગેલન/મિનિટ છે.
નળ $C$ નો દર $3$ ગેલન/મિનિટ (ખાલી કરવાનો) છે.
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{V}{15}$ ગેલન/મિનિટ થાય છે.
તેથી,$\frac{V}{20} + \frac{V}{24} - 3 = \frac{V}{15}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{V}{20} + \frac{V}{24} - \frac{V}{15} = 3$.
$20, 24$ અને $15$ નો લસાઅ $120$ છે:
$\frac{6V + 5V - 8V}{120} = 3$.
$\frac{3V}{120} = 3$.
$\frac{V}{40} = 3$.
$V = 120$ ગેલન.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $4, 8, 12$ અને $10$ નો લસાઅ $(LCM)$ છે,જે $120$ એકમ છે.
$P$ ની કાર્યક્ષમતા $= 120/4 = 30$ એકમ/કલાક.
$Q$ ની કાર્યક્ષમતા $= 120/8 = 15$ એકમ/કલાક.
$R$ ની કાર્યક્ષમતા $= 120/12 = 10$ એકમ/કલાક.
$S$ ની કાર્યક્ષમતા $= -120/10 = -12$ એકમ/કલાક (ખાલી કરતું હોવાથી ઋણ).
$(i)$ $Q$ એકલો ખોલતા: સમય $= 120/15 = 8$ કલાક.
(ii) $P$ અને $S$ ખોલતા: ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 30 - 12 = 18$ એકમ/કલાક. સમય $= 120/18 = 6.67$ કલાક.
(iii) $P, R$ અને $S$ ખોલતા: ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 30 + 10 - 12 = 28$ એકમ/કલાક. સમય $= 120/28 = 4.28$ કલાક.
(iv) $P, Q$ અને $S$ ખોલતા: ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 30 + 15 - 12 = 33$ એકમ/કલાક. સમય $= 120/33 = 3.64$ કલાક.
સમયની સરખામણી કરતા: $3.64 < 4.28 < 6.67 < 8$. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સૌથી ઓછો સમય લે છે.

(D) પ્રથમ પાઇપ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો દર $\frac{1}{x}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
બીજા પાઇપ દ્વારા ટાંકી ખાલી કરવાનો દર $\frac{1}{y}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
જ્યારે બંને પાઇપ ખુલ્લા હોય,ત્યારે ટાંકી ભરવાનો ચોખ્ખો દર $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$ ટાંકી પ્રતિ કલાક થાય.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે.
તેથી,જરૂરી સમય $\frac{xy}{y - x} \text{ કલાક}$ છે.

(B) ધારો કે ભરતી પાઇપનો દર $R_f = \frac{1}{3}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
ધારો કે લીકેજનો દર $R_l$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
જ્યારે બંને કામ કરતા હોય ત્યારે અસરકારક દર $R_{eff} = \frac{1}{3.5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
કારણ કે $R_{eff} = R_f - R_l$,તેથી $R_l = R_f - R_{eff}$.
$R_l = \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{7 - 6}{21} = \frac{1}{21}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
તેથી,સંપૂર્ણ ભરેલી ટાંકીને ખાલી કરવામાં લીકેજ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય $\frac{1}{1/21} = 21 \, h$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
$1$લા પાઇપનો દર (ભરવાનો) $= 1/12$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
$2$જા પાઇપનો દર (ખાલી કરવાનો) $= 1/20$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
જ્યારે બંને પાઇપ ખુલ્લા હોય,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર $= (1/12 - 1/20)$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
$= (5 - 3) / 60 = 2 / 60 = 1/30$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
ટાંકીનો $1/2$ ભાગ ભરવા માટે જરૂરી સમય $= (1/2) / (1/30) = 30 / 2 = 15$ $min$.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $3, 4$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $60$ એકમ છે.
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 3 = 20$ એકમ/કલાક.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 4 = 15$ એકમ/કલાક.
ત્રીજા નળની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) $= - (60 / 5) = -12$ એકમ/કલાક.
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 20 + 15 - 12 = 23$ એકમ/કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા} = 60 / 23 \, h = 2 \frac{14}{23} \, h$.

(C) ધારો કે સવારે $10$ વાગ્યા પછી ટાંકી સંપૂર્ણ ભરાતા $x$ કલાક લાગે છે.
પાઇપ $A$ એ $x$ કલાક કામ કર્યું અને પાઇપ $B$ એ $(x-1)$ કલાક કામ કર્યું (કારણ કે તે સવારે $11$ વાગ્યે શરૂ થાય છે).
પાઇપ $A$ નો દર $1/2$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે અને પાઇપ $B$ નો દર $1/6$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{x}{2} + \frac{x-1}{6} = 1$.
આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા: $3x + (x - 1) = 6$.
$4x - 1 = 6 \Rightarrow 4x = 7$.
$x = 7/4$ કલાક,જે $1$ કલાક અને $45$ મિનિટ થાય છે.
પાઇપ $A$ સવારે $10$ વાગ્યે શરૂ થયો હોવાથી,ટાંકી સવારે $10$ વાગ્યા + $1$ કલાક $45$ મિનિટ = $11:45$ $am$ વાગ્યે ભરાઈ જશે.

(C) પાઇપ $A$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{4}$ ભાગ ભરે છે.
પાઇપ $B$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરે છે.
$2$ કલાકના એક ચક્રમાં (પહેલા $A$ અને પછી $B$ ખોલતા),ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$ થાય.
$4$ કલાકમાં (બે ચક્રમાં),ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 2 \times \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ થાય.
બાકી રહેલ ટાંકીનો ભાગ $= 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ થાય.
હવે,બાકી રહેલ $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરવા માટે પાઇપ $A$ નો વારો છે.
પાઇપ $A$ દ્વારા $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1/6}{1/4} = \frac{1}{6} \times 4 = \frac{2}{3} \text{ કલાક}$.
કુલ લાગતો સમય $= 4 \text{ કલાક} + \frac{2}{3} \text{ કલાક} = 4 \frac{2}{3} \text{ કલાક}$.

(B) ધારો કે ભરતી પાઇપ $A$ છે અને ખાલી કરતી પાઇપ $B$ છે.
પાઇપ $A$ દ્વારા ભરવાનો દર = દર કલાકે $\frac{1}{8}$ ભાગ.
પાઇપ $B$ દ્વારા ખાલી કરવાનો દર = દર કલાકે $\frac{1}{5}$ ભાગ.
જ્યારે બંને પાઇપ ખોલવામાં આવે,ત્યારે ખાલી કરવાનો ચોખ્ખો દર = $\frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8-5}{40} = \frac{3}{40}$ ભાગ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી પહેલેથી જ $\frac{3}{4}$ ભરેલી હોવાથી,આપણે કુલ ક્ષમતાનો $\frac{3}{4}$ ભાગ ખાલી કરવાની જરૂર છે.
$\frac{3}{4}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{ખાલી કરવાનો ભાગ}}{\text{ખાલી કરવાનો ચોખ્ખો દર}} = \frac{3/4}{3/40} = \frac{3}{4} \times \frac{40}{3} = 10 \, h$.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $10, 12$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે, જે $60$ એકમ છે.
પાઈપ $P$ ની કાર્યક્ષમતા $= 60/10 = 6$ એકમ/કલાક.
પાઈપ $Q$ ની કાર્યક્ષમતા $= 60/12 = 5$ એકમ/કલાક.
પાઈપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= -60/6 = -10$ એકમ/કલાક (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ ખુલ્લા હોય ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 6 + 5 - 10 = 1$ એકમ/કલાક.
આપણે ટાંકીનો ચોથો ભાગ ભરવો છે, જે $(1/4) \times 60 = 15$ એકમ છે.
જરૂરી સમય $= 15 \text{ એકમ} / 1 \text{ એકમ/કલાક} = 15$ કલાક.
શરૂઆતનો સમય સવારે $7$ વાગ્યાનો છે.
સવારે $7$ વાગ્યાના $15$ કલાક પછી એટલે કે સવારે $7$ વાગ્યા + $12$ કલાક $= 7$ $pm$ (સાંજે), અને $7$ $pm + 3$ કલાક $= 10$ $pm$ (રાત્રે).
તેથી, ટાંકી રાત્રે $10$ વાગ્યે ચોથા ભાગની ભરાઈ જશે.

(D) એક નળનો દર $\frac{1}{6}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
એક નળ દ્વારા અડધી ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$ $h$.
બાકીની અડધી ટાંકી $4$ નળ (મૂળ એક અને $3$ નવા) દ્વારા ભરવાની છે.
$4$ નળનો સંયુક્ત દર $= 4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
બાકીની અડધી ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ $h$.
$\frac{3}{4}$ $h$ ને મિનિટમાં ફેરવતા: $\frac{3}{4} \times 60 = 45$ $min$.
લાગતો કુલ સમય $= 3$ $h + 45$ $min = 3$ $h$ $45$ $min$.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $V$ ગેલન છે.
પાઇપ $A$ નો દર = $\frac{V}{10}$ ગેલન/મિનિટ.
પાઇપ $B$ નો દર = $\frac{V}{12}$ ગેલન/મિનિટ.
પાઇપ $C$ નો દર = $-6$ ગેલન/મિનિટ (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
જ્યારે $A, B$ અને $C$ ને સાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{V}{20}$ ગેલન/મિનિટ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{V}{10} + \frac{V}{12} - 6 = \frac{V}{20}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{V}{10} + \frac{V}{12} - \frac{V}{20} = 6$.
$10, 12$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે:
$\frac{6V + 5V - 3V}{60} = 6$.
$\frac{8V}{60} = 6$.
$\frac{2V}{15} = 6$.
$V = \frac{6 \times 15}{2} = 45$ ગેલન.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા $45$ ગેલન છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $40$ અને $60$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે, જે $120$ એકમ છે.
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા (ભરવા માટે) = $120 / 40 = 3$ એકમ પ્રતિ $min$.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) = $120 / 60 = 2$ એકમ પ્રતિ $min$.
જ્યારે બંને નળ ખુલ્લા હોય, ત્યારે ચોખ્ખો ભરાવાનો દર = $3 - 2 = 1$ એકમ પ્રતિ $min$.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય = $\text{કુલ ક્ષમતા} / \text{ચોખ્ખો દર} = 120 / 1 = 120$ $min$.

(B) પાઈપ $A$ નો દર પ્રતિ કલાક ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ છે અને પાઈપ $B$ નો દર પ્રતિ કલાક ટાંકીનો $\frac{1}{8}$ ભાગ છે.
બંને પાઈપ સાથે મળીને પ્રતિ કલાક $\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{8}\right) = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24}$ ભાગ ભરે છે.
$2 \, h$ માં,બંને પાઈપ દ્વારા ભરાયેલ ભાગ $2 \times \frac{7}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$ છે.
બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ છે.
પાઈપ $B$ બાકીનો ભાગ પ્રતિ કલાક $\frac{1}{8}$ ના દરે ભરે છે.
બાકીનો ભાગ ભરવા માટે પાઈપ $B$ ને લાગતો સમય $= \frac{5/12}{1/8} = \frac{5}{12} \times 8 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \, h$.

(B) પાઈપ $P$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{5}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $Q$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{6}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= -\frac{1}{3}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક (કારણ કે તે ખાલી કરે છે).
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ ખોલવામાં આવે ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 5 - 10}{30} = \frac{1}{30}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
ટાંકીનો $\frac{2}{5}$ ભાગ ભરવા માટે જરૂરી સમય $= \frac{2/5}{1/30} = \frac{2}{5} \times 30 = 12 \, h$.
શરૂઆતનો સમય $7 \, am$ છે। $7 \, am$ માં $12 \, h$ ઉમેરતા $7 \, pm$ થાય છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે, જે $6$ એકમ છે.
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા (ભરવા માટે) $= 6 / 2 = 3$ એકમ પ્રતિ કલાક.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) $= 6 / 3 = 2$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને નળ ખોલવામાં આવે, ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 3 - 2 = 1$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા} = 6 / 1 = 6$ કલાક.

(B) ધારો કે ઝડપી પાઈપને ટાંકી ભરતા $x$ કલાક લાગે છે.
તેથી,ધીમી પાઈપને ટાંકી ભરતા $(x + 5)$ કલાક લાગે છે.
ઝડપી પાઈપનો દર $\frac{1}{x}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
ધીમી પાઈપનો દર $\frac{1}{x+5}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
બંને સાથે મળીને કામ કરે ત્યારે તેમનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$ થાય.
$6x(x+5)$ વડે ગુણતા,આપણને $6(x+5) + 6x = x(x+5)$ મળે.
$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$.
$x^2 - 7x - 30 = 0$.
$(x - 10)(x + 3) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 10$.
આમ,ઝડપી પાઈપને જળાશય ભરતા $10$ કલાક લાગે છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $V$ લિટર છે.
લીકેજનો દર $\frac{V}{8}$ લિટર પ્રતિ કલાક છે.
નળનો દર $6 \times 60 = 360$ લિટર પ્રતિ કલાક છે.
જ્યારે બંને ચાલુ હોય,ત્યારે ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{V}{12}$ લિટર પ્રતિ કલાક છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{V}{8} - 360 = \frac{V}{12}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{V}{8} - \frac{V}{12} = 360$.
લસાઅ $(24)$ લેતા: $\frac{3V - 2V}{24} = 360$.
$\frac{V}{24} = 360$.
$V = 360 \times 24 = 8640$ લિટર.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા $8640$ લિટર છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પ્રથમ નળનો દર $= \frac{1}{12}$ એકમ/મિનિટ.
બીજા નળનો દર $= \frac{1}{15}$ એકમ/મિનિટ.
ધારો કે નકામી પાઇપનો દર $x$ એકમ/મિનિટ છે.
જ્યારે બધા નળ ખુલ્લા હોય,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{1}{20}$ એકમ/મિનિટ છે.
તેથી,$\frac{1}{12} + \frac{1}{15} - x = \frac{1}{20}$.
$\frac{5+4}{60} - x = \frac{1}{20}$.
$\frac{9}{60} - x = \frac{3}{60}$.
$x = \frac{9-3}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ એકમ/મિનિટ.
નકામી પાઇપ આખી ટાંકીને $10$ મિનિટમાં ખાલી કરશે.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પ્રથમ નળનો દર $= \frac{1}{20}$ એકમ પ્રતિ મિનિટ.
બીજા નળનો દર $= \frac{1}{25}$ એકમ પ્રતિ મિનિટ.
બંને નળનો સંયુક્ત દર $= \frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{5+4}{100} = \frac{9}{100}$ એકમ પ્રતિ મિનિટ.
$5$ મિનિટમાં,બંને નળ દ્વારા ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 5 \times \frac{9}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ એકમ.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ જે ભરવાનો છે $= 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ એકમ.
બીજો નળ બંધ હોવાથી,પ્રથમ નળ બાકીનો ભાગ ભરશે.
પ્રથમ નળ દ્વારા $\frac{11}{20}$ એકમ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{11/20}{1/20} = 11$ મિનિટ.

(D) પાઈપ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટેન્કરનો ભાગ $= \frac{1}{60}$.
પાઈપ $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટેન્કરનો ભાગ $= \frac{1}{40}$.
ધારો કે ટેન્કર ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય $2x$ મિનિટ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાઈપ $B$ અડધા સમય ($x$ મિનિટ) માટે એકલું કામ કરે છે અને પાઈપ $A$ અને $B$ બાકીના અડધા સમય ($x$ મિનિટ) માટે સાથે કામ કરે છે.
તેથી,કુલ કાર્ય: $\frac{1}{40} \times x + (\frac{1}{60} + \frac{1}{40}) \times x = 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{x}{40} + (\frac{2+3}{120})x = 1$.
$\frac{x}{40} + \frac{5x}{120} = 1$.
$\frac{x}{40} + \frac{x}{24} = 1$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(120)$ લેતા: $\frac{3x + 5x}{120} = 1$.
$\frac{8x}{120} = 1$.
$x = \frac{120}{8} = 15$ મિનિટ.
કુલ લાગતો સમય $= 2x = 2 \times 15 = 30$ મિનિટ.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ $gallons$ છે.
પ્રથમ પાઇપનો દર $\frac{C}{20}$ $gallons$ પ્રતિ મિનિટ છે.
બીજા પાઇપનો દર $\frac{C}{24}$ $gallons$ પ્રતિ મિનિટ છે.
વેસ્ટ પાઇપનો દર $3$ $gallons$ પ્રતિ મિનિટ છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે કામ કરે છે,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{C}{15}$ $gallons$ પ્રતિ મિનિટ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{C}{20} + \frac{C}{24} - 3 = \frac{C}{15}$
$C$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{C}{20} + \frac{C}{24} - \frac{C}{15} = 3$
લસાઅ $(120)$ લેતા:
$\frac{6C + 5C - 8C}{120} = 3$
$\frac{3C}{120} = 3$
$\frac{C}{40} = 3$
$C = 120$ $gallons$.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા $120$ $gallons$ છે.

(D) પાઈપ $A$ અને $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4+3}{60} = \frac{7}{60}$ છે.
પ્રથમ $4$ મિનિટમાં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 4 \times \frac{7}{60} = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$ છે.
બાકી રહેલ ટાંકીનો ભાગ $= 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ છે.
પાઈપ $A$ બંધ હોવાથી,બાકીનો ભાગ પાઈપ $B$ દ્વારા ભરવામાં આવશે.
ધારો કે પાઈપ $B$ ને બાકીનો ભાગ ભરવા માટે $x$ મિનિટ લાગે છે.
$\frac{1}{20} \times x = \frac{8}{15} \implies x = \frac{8 \times 20}{15} = \frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3}$ મિનિટ.
$10 \frac{2}{3}$ મિનિટ $= 10$ મિનિટ અને $\frac{2}{3} \times 60$ સેકન્ડ $= 10$ મિનિટ $40$ સેકન્ડ.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય $= 4$ મિનિટ $+ 10$ મિનિટ $40$ સેકન્ડ $= 14$ મિનિટ $40$ સેકન્ડ.

(C) ધારો કે પાઈપ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા $1$ કલાકમાં થયેલું કામ અનુક્રમે $\frac{1}{A}, \frac{1}{B},$ અને $\frac{1}{C}$ છે.
આપેલ છે કે $(A+B+C)$ ટાંકીને $6$ કલાકમાં ભરી શકે છે,તેથી $(A+B+C)$ નું $1$ કલાકનું કામ $= \frac{1}{6}$ છે.
$A, B,$ અને $C$ દ્વારા $2$ કલાકમાં થયેલું કામ $= 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આ બાકી રહેલો ભાગ $A$ અને $B$ દ્વારા $7$ કલાકમાં ભરવામાં આવે છે,તેથી $(A+B)$ નું $1$ કલાકનું કામ $= \frac{2/3}{7} = \frac{2}{21}$ છે.
હવે,$C$ નું $1$ કલાકનું કામ $= (A+B+C)$ નું $1$ કલાકનું કામ $- (A+B)$ નું $1$ કલાકનું કામ.
$C$ નું $1$ કલાકનું કામ $= \frac{1}{6} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 4}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$ છે.
તેથી,$C$ એકલો ટાંકીને $14$ કલાકમાં ભરી શકે છે.

(C) ધારો કે બીજા પાઈપને ટાંકી ભરતા $x$ $hours$ લાગે છે.
તેથી,પ્રથમ પાઈપને ટાંકી ભરતા $x+5$ $hours$ લાગે છે અને ત્રીજા પાઈપને ટાંકી ભરતા $x-4$ $hours$ લાગે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ બે પાઈપ સાથે મળીને ટાંકીને તેટલા જ સમયમાં ભરે છે જેટલા સમયમાં ત્રીજો પાઈપ એકલો ભરે છે.
તેથી,પ્રથમ પાઈપનો દર + બીજા પાઈપનો દર = ત્રીજા પાઈપનો દર:
$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x-4}$
$\frac{x + (x+5)}{x(x+5)} = \frac{1}{x-4}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{x-4}$
$(2x+5)(x-4) = x^2+5x$
$2x^2 - 8x + 5x - 20 = x^2 + 5x$
$2x^2 - 3x - 20 = x^2 + 5x$
$x^2 - 8x - 20 = 0$
$(x-10)(x+2) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 10$ $hours$.
પ્રથમ પાઈપ દ્વારા લેવાયેલ સમય $x+5 = 10+5 = 15$ $hours$ છે.