Average Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $X_{1}, X_{2}$ और $X_{3}$ का औसत $14$ है।
अतः,योग $X_{1} + X_{2} + X_{3} = 14 \times 3 = 42$ ......$(1)$
यह दिया गया है कि $X_{2}$ और $X_{3}$ के योग का दोगुना $30$ है,जिसका अर्थ है $2(X_{2} + X_{3}) = 30$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $X_{2} + X_{3} = 15$ प्राप्त होता है ......$(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें $X_{1} = 42 - 15 = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$X_{1}$ का मान $27$ है।

(C) जब कोई व्यक्ति $d$ दूरी $v_1$ गति से तय करता है और उतनी ही दूरी $d$ वापस $v_2$ गति से तय करता है,तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र हार्मोनिक माध्य (harmonic mean) द्वारा दिया जाता है: $\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$.
यहाँ $v_1 = 40 \, km/h$ और $v_2 = 50 \, km/h$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 40 \times 50}{40 + 50} \, km/h$.
$\text{औसत गति} = \frac{4000}{90} \, km/h$.
$\text{औसत गति} = \frac{400}{9} \, km/h$.

(A) एक क्रिकेट टीम में $11$ खिलाड़ी होते हैं।
मान लीजिए टीम की प्रारंभिक औसत आयु $x$ है।
टीम की कुल आयु $11x$ है।
जब $32$ और $30$ वर्ष के दो खिलाड़ियों को $y$ आयु के दो नए खिलाड़ियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,तो नई कुल आयु $11x - 32 - 30 + 2y$ हो जाती है।
नई औसत आयु $(x - 2)$ हो जाती है।
अतः,नई कुल आयु $11(x - 2)$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$11x - 62 + 2y = 11x - 22$
दोनों पक्षों से $11x$ घटाने पर:
$-62 + 2y = -22$
$2y = 62 - 22$
$2y = 40$
$y = 20$
इसलिए,प्रत्येक युवा खिलाड़ी की आयु $20$ वर्ष है।

(C) प्रारंभिक $20$ छात्रों की कुल ऊँचाई $= 20 \times 105 = 2100 \, cm$ है।
$10$ नए छात्रों की कुल ऊँचाई $= 10 \times 120 = 1200 \, cm$ है।
अब कक्षा में छात्रों की कुल संख्या $= 20 + 10 = 30$ है।
सभी $30$ छात्रों की कुल ऊँचाई $= 2100 + 1200 = 3300 \, cm$ है।
कक्षा की नई औसत ऊँचाई $= \frac{3300}{30} = 110 \, cm$ होगी।

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
औसत ज्ञात करने के लिए,हम योग को $n$ से विभाजित करते हैं: $\text{औसत} = \frac{S_n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
यहाँ $n = 46$ दिया गया है,इसलिए औसत $\frac{46+1}{2} = \frac{47}{2} = 23.5$ होगा।

(D) $13$ परिणामों का योग $= 13 \times 50 = 650$.
पहले $7$ परिणामों का योग $= 7 \times 52 = 364$.
अंतिम $7$ परिणामों का योग $= 7 \times 49 = 343$.
जब हम पहले $7$ परिणामों और अंतिम $7$ परिणामों के योग को जोड़ते हैं,तो $7$वाँ परिणाम दो बार गिना जाता है।
अतः,$7$वाँ परिणाम $= (364 + 343) - 650$.
$= 707 - 650 = 57$.

(B) $18$ व्यक्तियों की औसत आयु $32.5$ वर्ष है।
$18$ व्यक्तियों की कुल आयु $= 18 \times 32.5 = 585$ वर्ष।
समूह छोड़ने वाले तीन व्यक्तियों की कुल आयु $= (65 \times 2) + 50 = 130 + 50 = 180$ वर्ष।
शेष $15$ व्यक्तियों की कुल आयु $= 585 - 180 = 405$ वर्ष।
शेष $15$ व्यक्तियों की औसत आयु $= \frac{405}{15} = 27$ वर्ष।

(D) $3$ विषयों (भौतिकी,रसायन विज्ञान,जीव विज्ञान) के औसत अंक $70$ हैं।
$3$ विषयों के कुल अंक $= 3 \times 70 = 210.$
गणित में प्राप्त अंक $= 90.$
$4$ विषयों के कुल अंक $= 210 + 90 = 300.$
$4$ विषयों का नया औसत $= \frac{300}{4} = 75.$

(D) $3$ व्यक्तियों का औसत वजन $= 65 \, kg$.
$3$ व्यक्तियों का कुल वजन $= 65 \times 3 = 195 \, kg$.
चौथे व्यक्ति का वजन $= 45 \, kg$.
$4$ व्यक्तियों का कुल वजन $= 195 + 45 = 240 \, kg$.
नए समूह का औसत वजन $= \frac{\text{कुल वजन}}{\text{व्यक्तियों की संख्या}} = \frac{240}{4} = 60 \, kg$.

(C) माना यात्रा की कुल दूरी $3d$ है।
यात्रा का प्रत्येक भाग $d$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{80}$।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{60}$।
तीसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_3 = \frac{d}{30}$।
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = d(\frac{1}{80} + \frac{1}{60} + \frac{1}{30})$।
$T = d(\frac{3 + 4 + 8}{240}) = d(\frac{15}{240}) = \frac{d}{16}$।
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3d}{d/16} = 3 \times 16 = 48\, km/h$।

(D) माना $6$ व्यक्तियों का प्रारंभिक औसत वजन $A \, kg$ है।
$6$ व्यक्तियों का कुल वजन = $6A \, kg$ है।
जब $40 \, kg$ वजन वाले व्यक्ति को $W$ वजन वाले नए व्यक्ति से बदला जाता है,तो नया कुल वजन $(6A - 40 + W) \, kg$ हो जाता है।
नया औसत वजन $(A + 5) \, kg$ हो जाता है।
अतः,नया कुल वजन $6(A + 5) \, kg$ है।
कुल वजन के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$6A - 40 + W = 6(A + 5)$
$6A - 40 + W = 6A + 30$
$W = 30 + 40 = 70 \, kg$ है।
वैकल्पिक रूप से,शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करते हुए:
नए व्यक्ति का वजन = प्रतिस्थापित व्यक्ति का वजन + (औसत में वृद्धि $\times$ व्यक्तियों की संख्या)
$= 40 + (5 \times 6) = 40 + 30 = 70 \, kg$ है।

(D) प्रारंभिक छात्रों की संख्या $= 9$ है।
प्रारंभिक औसत आयु $= 20$ वर्ष है।
$9$ छात्रों की कुल आयु $= 9 \times 20 = 180$ वर्ष है।
छात्रों की नई संख्या $= 9 + 6 = 15$ है।
नई औसत आयु $= 20 - 2 = 18$ वर्ष है।
$15$ छात्रों की कुल आयु $= 15 \times 18 = 270$ वर्ष है।
$6$ नए छात्रों की कुल आयु $= 270 - 180 = 90$ वर्ष है।
$6$ नए छात्रों की औसत आयु $= \frac{90}{6} = 15$ वर्ष है।

(B) कुल औसत स्कोर सभी छात्रों के कुल अंकों को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।
पहले बैच के कुल अंक $= 60 \times 50 = 3000$.
दूसरे बैच के कुल अंक $= 40 \times 45 = 1800$.
दोनों बैचों के कुल अंक $= 3000 + 1800 = 4800$.
छात्रों की कुल संख्या $= 60 + 40 = 100$.
कुल औसत स्कोर $= \frac{4800}{100} = 48$.

(C) जब तय की गई दूरी दोनों यात्राओं के लिए समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ होता है,जहाँ $x$ और $y$ दो यात्राओं की गति हैं।
यहाँ,$x = 60 \, km/h$ और $y = 20 \, km/h$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 60 \times 20}{60 + 20}$
$\text{Average Speed} = \frac{2400}{80}$
$\text{Average Speed} = 30 \, km/h$.

(C) मान लीजिए कि छात्रों की कुल संख्या $100$ है।
तब,सभी छात्रों का कुल स्कोर $= 52 \times 100 = 5200$ होगा।
सबसे होनहार $20\%$ छात्रों का कुल स्कोर $= 20 \times 80 = 1600$ होगा।
सबसे कमजोर $25\%$ छात्रों का कुल स्कोर $= 25 \times 31 = 775$ होगा।
शेष $55\%$ छात्रों का कुल स्कोर $= 5200 - 1600 - 775 = 2825$ होगा।
अतः,शेष $55\%$ छात्रों का औसत स्कोर $= \frac{2825}{55} \approx 51.36$,जो लगभग $51.4$ है।

(C) $10$ वर्ष पहले $4$ सदस्यों की औसत आयु $24$ वर्ष थी।
अतः,$10$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग $24 \times 4 = 96$ वर्ष था।
वर्तमान में,$4$ सदस्यों में से प्रत्येक की आयु $10$ वर्ष बढ़ गई है,इसलिए उनकी वर्तमान आयु का योग $96 + (4 \times 10) = 96 + 40 = 136$ वर्ष है।
मान लीजिए कि दो बच्चों की आयु $x$ और $x+2$ वर्ष है,जहाँ $x$ सबसे छोटे बच्चे की आयु है।
अब परिवार के कुल सदस्यों की संख्या $4 + 2 = 6$ है।
परिवार की वर्तमान औसत आयु $24$ वर्ष दी गई है।
अतः,$6$ सदस्यों की आयु का योग $24 \times 6 = 144$ वर्ष है।
हम समीकरण लिख सकते हैं: $136 + x + (x + 2) = 144$.
$138 + 2x = 144$.
$2x = 144 - 138$.
$2x = 6$.
$x = 3$.
इसलिए,सबसे छोटे बच्चे की वर्तमान आयु $3$ वर्ष है।

(C) $A, B$ और $C$ का औसत वजन $= 84 \, kg$.
$A, B, C$ के वजन का योग $= 84 \times 3 = 252 \, kg$ $(1)$.
जब $D$ शामिल होता है,तो $4$ पुरुषों का औसत वजन $80 \, kg$ हो जाता है।
$A, B, C, D$ के वजन का योग $= 80 \times 4 = 320 \, kg$ $(2)$.
$D$ का वजन $= (2) - (1) = 320 - 252 = 68 \, kg$.
$E$ का वजन $= D + 3 = 68 + 3 = 71 \, kg$.
जब $E, A$ की जगह लेता है,तो नया समूह $B, C, D, E$ बनता है जिसका औसत $79 \, kg$ है।
$B, C, D, E$ के वजन का योग $= 79 \times 4 = 316 \, kg$.
$B + C + D + E = 316 \implies B + C + 68 + 71 = 316$.
$B + C + 139 = 316 \implies B + C = 316 - 139 = 177 \, kg$.
$(1)$ से,$A + B + C = 252$.
$A + 177 = 252$.
$A = 252 - 177 = 75 \, kg$.

(A) मान लीजिए कि क्रिकेटर का $10$ पारियों का औसत $x$ है।
$10$ पारियों में बनाए गए कुल रन $= 10x$।
$11$वीं पारी में उसने $108$ रन बनाए।
$11$ पारियों के बाद कुल रन $= 10x + 108$।
$11$ पारियों के बाद नया औसत $= x + 6$।
प्रश्न के अनुसार,$11$ पारियों के बाद औसत $\frac{10x + 108}{11} = x + 6$ है।
$x$ के लिए हल करने पर:
$10x + 108 = 11(x + 6)$
$10x + 108 = 11x + 66$
$11x - 10x = 108 - 66$
$x = 42$।
नया औसत $x + 6 = 42 + 6 = 48$ रन है।

(D) माना $8$ पुरुषों की प्रारंभिक औसत आयु $x$ है।
$8$ पुरुषों की कुल आयु $= 8x$ है।
माना दो नए पुरुषों की आयु $a$ और $b$ है। उनकी आयु का योग $(a + b)$ है।
जब $21$ और $23$ वर्ष की आयु वाले दो पुरुषों को दो नए पुरुषों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो नई कुल आयु $(8x - 21 - 23 + a + b)$ हो जाती है।
नया औसत $(x + 2)$ दिया गया है।
अतः, $\frac{8x - 44 + (a + b)}{8} = x + 2$ है।
$8x - 44 + (a + b) = 8(x + 2)$ है।
$8x - 44 + (a + b) = 8x + 16$ है।
$(a + b) = 16 + 44 = 60$ है।
दो नए पुरुषों की औसत आयु $\frac{a + b}{2} = \frac{60}{2} = 30\, \text{वर्ष}$ है।

(C) $45$ छात्रों का प्रारंभिक औसत वजन $= 52 \, kg$ है।
$45$ छात्रों का कुल वजन $= 45 \times 52 = 2340 \, kg$ है।
कक्षा छोड़ने वाले $5$ छात्रों का वजन $= 5 \times 48 = 240 \, kg$ है।
कक्षा में शामिल होने वाले $5$ छात्रों का वजन $= 5 \times 54 = 270 \, kg$ है।
नया कुल वजन $= 2340 - 240 + 270 = 2370 \, kg$ है।
चूंकि छात्रों की संख्या $45$ ही रहती है,इसलिए नया औसत वजन $= \frac{2370}{45} = \frac{474}{9} = \frac{158}{3} = 52 \frac{2}{3} \, kg$ होगा।

(C) $36$ छात्रों की कुल आयु $= 36 \times 14 = 504$ वर्ष।
जब शिक्षक की आयु शामिल की जाती है, तो कुल व्यक्तियों की संख्या $36 + 1 = 37$ हो जाती है।
नया औसत आयु $14 + 1 = 15$ वर्ष हो जाती है।
$37$ व्यक्तियों की कुल आयु $= 37 \times 15 = 555$ वर्ष।
शिक्षक की आयु $= (\text{37 व्यक्तियों की कुल आयु}) - (\text{36 छात्रों की कुल आयु})$।
शिक्षक की आयु $= 555 - 504 = 51$ वर्ष।

(D) $A, B$ और $C$ के वजन का योग $3 \times 54 \frac{1}{3} = 3 \times \frac{163}{3} = 163 \, kg$ है।
$B, D$ और $E$ के वजन का योग $3 \times 53 = 159 \, kg$ है।
इन दोनों योगों को जोड़ने पर $(A + B + C) + (B + D + E) = 163 + 159 = 322 \, kg$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $A + 2B + C + D + E = 322 \, kg$ के रूप में सरल होता है।
$A, B, C, D$ और $E$ का औसत ज्ञात करने के लिए,हमें $(A + B + C + D + E)$ का योग चाहिए।
चूंकि $B$ का मान अज्ञात है,इसलिए हम कुल योग $(A + B + C + D + E) = 322 - B$ निर्धारित नहीं कर सकते हैं।
अतः,दी गई जानकारी से औसत वजन की गणना नहीं की जा सकती है।

(C) दिया गया है कि $50$ प्रेक्षणों का माध्य $36$ है।
$50$ प्रेक्षणों का योग $= 50 \times 36 = 1800$ है।
यह पाया गया कि एक प्रेक्षण $48$ को गलती से $23$ ले लिया गया था।
संशोधित योग $= 1800 - 23 + 48 = 1825$ है।
संशोधित नया माध्य $= \frac{1825}{50} = 36.5$ है।

(C) माना कि तीसरी संख्या $x$ है।
तब,दूसरी संख्या $= 2x$ होगी।
पहली संख्या $= 2 \times (2x) = 4x$ होगी।
इन संख्याओं के व्युत्क्रम $\frac{1}{4x}, \frac{1}{2x}, \text{ और } \frac{1}{x}$ हैं।
इन व्युत्क्रमों का औसत $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{4x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{7}{72}$ दिया गया है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{1+2+4}{4x} = \frac{7}{4x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{3} \times \frac{7}{4x} = \frac{7}{12x} = \frac{7}{72}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$12x = 72$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।
इसलिए,संख्याएँ $4x = 24$,$2x = 12$,और $x = 6$ हैं।

(A) पहले $10$ ओवरों में बनाया गया स्कोर $= 3.2 \times 10 = 32$ रन।
$282$ रनों के लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए,शेष आवश्यक रन $= 282 - 32 = 250$ रन।
उपलब्ध शेष ओवर $= 40$ ओवर।
अतः,शेष $40$ ओवरों के लिए आवश्यक रन रेट $= \frac{250}{40} = 6.25$ रन प्रति ओवर।

(B) $6$ संख्याओं का योग $= 3.95 \times 6 = 23.70$.
पहली दो संख्याओं का योग $= 3.4 \times 2 = 6.8$.
अगली दो संख्याओं का योग $= 3.85 \times 2 = 7.7$.
शेष दो संख्याओं का योग $= 23.70 - (6.8 + 7.7) = 23.70 - 14.50 = 9.20$.
शेष दो संख्याओं का औसत $= \frac{9.20}{2} = 4.60$.

(C) माना समूह $B$ के औसत अंक $x$ हैं।
सभी $16$ बच्चों के कुल अंक $= 16 \times 76 = 1216$ हैं।
समूह $A$ के कुल अंक $= 10 \times 75 = 750$ हैं।
समूह $B$ के कुल अंक $= 6 \times x = 6x$ हैं।
चूंकि समूह $A$ और समूह $B$ के कुल अंक सभी $16$ बच्चों के कुल अंकों के बराबर हैं:
$750 + 6x = 1216$।
$6x = 1216 - 750 = 466$।
$x = \frac{466}{6} = \frac{233}{3} = 77 \frac{2}{3} \%$।

(D) $5$ संख्याओं का योग $27 \times 5 = 135$ के रूप में परिकलित किया जाता है।
जब एक संख्या को निकाल दिया जाता है,तो संख्याओं की संख्या $4$ हो जाती है और नया औसत $25$ हो जाता है।
शेष $4$ संख्याओं का योग $25 \times 4 = 100$ है।
निकाली गई संख्या मूल योग और नए योग के बीच का अंतर है:
निकाली गई संख्या $= 135 - 100 = 35$।

(C) माना कि सभी $9$ व्यक्तियों द्वारा खर्च की गई कुल राशि $x$ है।
सभी $9$ व्यक्तियों का औसत खर्च $\frac{x}{9}$ है।
पहले $8$ व्यक्तियों का खर्च $8 \times 30 = 240$ है।
नौवें व्यक्ति का खर्च $\frac{x}{9} + 20$ है।
प्रश्न के अनुसार,सभी $9$ व्यक्तियों के खर्च का योग कुल खर्च $x$ के बराबर है:
$240 + (\frac{x}{9} + 20) = x$
$260 + \frac{x}{9} = x$
$260 = x - \frac{x}{9}$
$260 = \frac{8x}{9}$
$x = \frac{260 \times 9}{8}$
$x = 32.5 \times 9 = 292.5$
अतः,उन सभी द्वारा खर्च की गई कुल राशि $Rs. 292.50$ है।

(B) परिवार में $2$ दादा-दादी,$2$ माता-पिता और $3$ पोते-पोतियां हैं,इस प्रकार कुल सदस्यों की संख्या $2 + 2 + 3 = 7$ है।
दादा-दादी की कुल आयु $= 2 \times 67 = 134 \text{ वर्ष}$।
माता-पिता की कुल आयु $= 2 \times 35 = 70 \text{ वर्ष}$।
पोते-पोतियों की कुल आयु $= 3 \times 6 = 18 \text{ वर्ष}$।
परिवार की कुल आयु $= 134 + 70 + 18 = 222 \text{ वर्ष}$।
परिवार की औसत आयु $= \frac{\text{कुल आयु}}{\text{कुल सदस्यों की संख्या}} = \frac{222}{7} = 31 \frac{5}{7} \text{ वर्ष}$।

(B) माना कि तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $(x-2)$,$x$,और $(x+2)$ हैं।
इन संख्याओं का योग $(x-2) + x + (x+2) = 3x$ है।
इन संख्याओं का औसत $\frac{3x}{3} = x$ है।
प्रश्न के अनुसार,योग औसत से $38$ अधिक है:
$3x = x + 38$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$2x = 38$
$2$ से भाग देने पर:
$x = 19$.
पहली संख्या $(x-2) = 19 - 2 = 17$ है।

(C) मान लीजिए कि $7$ क्रमागत संख्याएँ $x, (x+1), (x+2), (x+3), (x+4), (x+5),$ और $(x+6)$ हैं।
इन संख्याओं का औसत उनके योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$\text{औसत} = \frac{x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6)}{7} = \frac{7x + 21}{7} = x + 3$.
दिया गया है कि औसत $20$ है,इसलिए:
$x + 3 = 20$
$x = 20 - 3 = 17$.
सबसे बड़ी संख्या $(x + 6)$ है।
$x = 17$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{सबसे बड़ी संख्या} = 17 + 6 = 23$.

(C) दो अंकों की एक संख्या $xy$ (जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है) अपने अंकों के स्थान बदलने पर समान रहती है यदि $x = y$ हो।
ऐसी संख्याएँ $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$ हैं।
कुल $9$ ऐसी संख्याएँ हैं।
इन संख्याओं का योग $11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 = 11(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $11 \times \frac{9(10)}{2} = 11 \times 45 = 495$ प्राप्त होता है।
औसत $= \frac{\text{योग}}{\text{संख्या}} = \frac{495}{9} = 55$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ का माध्य $M$ है,इसलिए $\frac{a+b+c}{3} = M$,जिसका अर्थ है $a+b+c = 3M$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a+b+c)^2 = (3M)^2 = 9M^2$ प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 9M^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $ab + bc + ca = 0$,इसलिए समीकरण $a^2 + b^2 + c^2 = 9M^2$ में बदल जाता है।
$a^2, b^2, c^2$ का माध्य $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{9M^2}{3} = 3M^2$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम नौ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ और $23$ हैं।
इन संख्याओं का योग $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100$ है।
औसत की गणना संख्याओं के योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।
औसत $= \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$।

(B) $6$ और $34$ के बीच $5$ से विभाज्य संख्याएँ $10, 15, 20, 25$ और $30$ हैं।
औसत ज्ञात करने के लिए,हम इन संख्याओं का योग करेंगे और उन्हें कुल संख्या से विभाजित करेंगे:
योग $= 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 100$.
कुल संख्या $= 5$.
औसत $= \frac{\text{योग}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{100}{5} = 20$.

(B) समांतर माध्य का सूत्र $\text{माध्य} = \frac{\text{प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}}$ होता है।
यहाँ कुल $12$ संख्याएँ हैं और उनका माध्य $12$ दिया गया है।
अतः,इन $12$ संख्याओं का योग $12 \times 12 = 144$ होगा।
दी गई $11$ संख्याओं का योग $3 + 11 + 7 + 9 + 15 + 13 + 8 + 19 + 17 + 21 + 14 = 137$ है।
माना अज्ञात संख्या $x$ है।
तब,$137 + x = 144$ होगा।
$x$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $x = 144 - 137 = 7$ प्राप्त होता है।

(B) $5$ प्रेक्षणों का माध्य,प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} = 11$
$\frac{5x + 20}{5} = 11$
$x + 4 = 11$
$x = 11 - 4 = 7$
अंतिम तीन प्रेक्षण $(x+4), (x+6)$ और $(x+8)$ हैं।
अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य $= \frac{(x+4) + (x+6) + (x+8)}{3} = \frac{3x + 18}{3} = x + 6.$
$x = 7$ रखने पर,हमें $7 + 6 = 13$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि शून्येतर संख्या $x$ है।
संख्या $x$ और उसके वर्ग $x^2$ का औसत $\frac{x + x^2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यह औसत उस संख्या का $5$ गुना है:
$\frac{x + x^2}{2} = 5x$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$x + x^2 = 10x$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 9x = 0$
$x$ को कॉमन लेने पर:
$x(x - 9) = 0$
चूंकि संख्या शून्येतर है $(x \neq 0)$,इसलिए:
$x - 9 = 0$
$x = 9$
अतः,वह संख्या $9$ है।

(D) पूरी कक्षा की औसत आयु की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{औसत} = \frac{\text{आयु का कुल योग}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}}$.
मान लीजिए लड़कों की संख्या $n_b$ है और लड़कियों की संख्या $n_g$ है।
लड़कों की कुल आयु $16 \times n_b$ है और लड़कियों की कुल आयु $15 \times n_g$ है।
पूरी कक्षा की औसत आयु $\frac{16n_b + 15n_g}{n_b + n_g}$ होगी।
चूंकि लड़कों और लड़कियों की संख्या या उनका अनुपात नहीं दिया गया है,इसलिए भारित औसत (weighted average) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,उत्तर यह है कि दी गई जानकारी से इसकी गणना नहीं की जा सकती है।

(D) रविवार से शुरू होने वाले $30$ दिनों के महीने में,रविवार $1, 8, 15, 22$ और $29$ तारीख को आएंगे। इस प्रकार,$5$ रविवार और $30 - 5 = 25$ अन्य दिन हैं।
महीने में आगंतुकों की कुल संख्या $= (5 \times 510) + (25 \times 240)$ है।
कुल आगंतुक $= 2550 + 6000 = 8550$.
प्रति दिन आगंतुकों की औसत संख्या $= \frac{8550}{30} = 285$ है।

(D) कुल छात्रों की संख्या $55 + 60 + 45 = 160$ है।
सभी छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंकों की गणना इस प्रकार की जाती है:
कुल अंक $= (55 \times 50) + (60 \times 55) + (45 \times 60)$
$= 2750 + 3300 + 2700 = 8750$.
सभी छात्रों के औसत अंक इस प्रकार हैं:
औसत $= \frac{\text{कुल अंक}}{\text{कुल छात्र}} = \frac{8750}{160} = \frac{875}{16} = 54.6875$.

(A) प्रथम वर्ष में खपत पेट्रोल $= \frac{4000}{7.5}$ लीटर।
द्वितीय वर्ष में खपत पेट्रोल $= \frac{4000}{8}$ लीटर।
तृतीय वर्ष में खपत पेट्रोल $= \frac{4000}{8.5}$ लीटर।
कुल खर्च $= 4000 + 4000 + 4000 = 12000$ Rs.
कुल खपत पेट्रोल $= 4000 \times (\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5})$ लीटर।
औसत लागत प्रति लीटर $= \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{कुल पेट्रोल}} = \frac{12000}{4000 \times (\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5})} = \frac{3}{\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5}}$.
हर की गणना करने पर: $\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5} \approx 0.1333 + 0.125 + 0.1176 = 0.3759$.
औसत लागत $= \frac{3}{0.3759} \approx 7.98$ Rs./लीटर।

(D) $50$ संख्याओं का योग $50 \times 30 = 1500$ है।
जब दो संख्याओं,$35$ और $40$ को हटा दिया जाता है,तो नया योग $1500 - (35 + 40) = 1500 - 75 = 1425$ हो जाता है।
शेष संख्याओं की कुल संख्या $50 - 2 = 48$ है।
शेष $48$ संख्याओं का औसत $\frac{1425}{48} = 29.6875$ है।
इसे दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें लगभग $29.69$ प्राप्त होता है,जो $29.68$ के सबसे निकट है।

(D) $35$ छात्रों की कुल आयु $= 35 \times 16 = 560$ वर्ष।
$21$ छात्रों की कुल आयु $= 21 \times 14 = 294$ वर्ष।
शेष $14$ छात्रों की कुल आयु $= 560 - 294 = 266$ वर्ष।
शेष $14$ छात्रों की औसत आयु $= \frac{266}{14} = 19$ वर्ष।

(C) $20$ कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन $Rs. 1500$ है।
$20$ कर्मचारियों का कुल वेतन $= 20 \times 1500 = Rs. 30,000$ है।
माना प्रबंधक का वेतन $x$ है।
प्रबंधक को जोड़ने के बाद, कर्मचारियों की कुल संख्या $20 + 1 = 21$ हो जाती है।
नया औसत वेतन $Rs. 100$ बढ़ जाता है, इसलिए नया औसत $= 1500 + 100 = Rs. 1600$ है।
$21$ कर्मचारियों का कुल वेतन $= 21 \times 1600 = Rs. 33,600$ है।
प्रबंधक का वेतन $x = (21 \text{ कर्मचारियों का कुल वेतन}) - (20 \text{ कर्मचारियों का कुल वेतन})$ है।
$x = 33,600 - 30,000 = Rs. 3,600$।

(B) मान लीजिए कि $P$,$Q$,और $R$ तीन व्यक्तियों की मासिक आय हैं।
दिया गया है:
$P + Q = 2 \times 5050 = 10100$ ....$(1)$
$Q + R = 2 \times 6250 = 12500$ ....$(2)$
$P + R = 2 \times 5200 = 10400$ ....$(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$,और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(P + Q + R) = 10100 + 12500 + 10400 = 33000$
$P + Q + R = 16500$ ....$(4)$
$P$ की मासिक आय ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाएं:
$P = (P + Q + R) - (Q + R)$
$P = 16500 - 12500 = 4000$
अतः,$P$ की मासिक आय $Rs. 4000$ है।

(A) $15$ छात्रों की कुल आयु $= 15 \times 15 = 225 \text{ वर्ष}$।
$5$ छात्रों की आयु का योग $= 5 \times 14 = 70 \text{ वर्ष}$।
$9$ छात्रों की आयु का योग $= 9 \times 16 = 144 \text{ वर्ष}$।
$15$ वें छात्र की आयु $= \text{कुल आयु} - (5 \text{ छात्रों की आयु का योग} + 9 \text{ छात्रों की आयु का योग})$।
$15$ वें छात्र की आयु $= 225 - (70 + 144) = 225 - 214 = 11 \text{ वर्ष}$।

(D) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ का औसत वजन $45\, kg$ है।
$A + B + C$ का कुल वजन $= 45 \times 3 = 135\, kg$ .....$(1)$
$A$ और $B$ का औसत वजन $40\, kg$ है।
$A + B$ का कुल वजन $= 40 \times 2 = 80\, kg$ .....$(2)$
$B$ और $C$ का औसत वजन $43\, kg$ है।
$B + C$ का कुल वजन $= 43 \times 2 = 86\, kg$ .....$(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(A + B) + (B + C) = 80 + 86 = 166\, kg$
$A + 2B + C = 166\, kg$ .....$(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(A + 2B + C) - (A + B + C) = 166 - 135$
$B = 31\, kg$
अतः,$B$ का वजन $31\, kg$ है।

(C) $8$ संख्याओं का योग $= 8 \times 20 = 160$ ....$(1)$
पहली $2$ संख्याओं का योग $= 2 \times 15 \frac{1}{2} = 31$ ....$(2)$
अगली $3$ संख्याओं का योग $= 3 \times 21 \frac{1}{3} = 64$ ....$(3)$
माना छठी संख्या $x$ है।
तब,सातवीं संख्या $= x + 4$ और आठवीं संख्या $= x + 7$ होगी।
अंतिम $3$ संख्याओं का योग (छठी,सातवीं और आठवीं) $= 160 - (31 + 64) = 160 - 95 = 65$.
अतः,$x + (x + 4) + (x + 7) = 65$.
$3x + 11 = 65$.
$3x = 54$.
$x = 18$.
आठवीं संख्या $= x + 7 = 18 + 7 = 25$.