Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(N/A) $1$. $AD$ ને $E$ બિંદુ સુધી એવી રીતે લંબાવો કે જેથી $AD = DE$ થાય. $EC$ ને જોડો.
$2$. $\Delta ADB$ અને $\Delta EDC$ માં:
- $AD = DE$ (રચના મુજબ)
- $\angle ADB = \angle EDC$ (અભિકોણ)
- $BD = DC$ ($AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે)
$3$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADB \cong \Delta EDC$.
$4$. તેથી,$AB = EC$ ($CPCT$ મુજબ).
$5$. $\Delta AEC$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા મોટો હોય છે:
- $AC + EC > AE$
$6$. કારણ કે $AE = AD + DE = AD + AD = 2AD$ અને $EC = AB$,તેથી આપણે આ કિંમતો અસમતામાં મૂકીએ:
- $AC + AB > 2AD$.
$7$. આમ,$AB + AC > 2AD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. $BP$ ને લંબાવો જેથી તે $AC$ ને બિંદુ $D$ માં છેદે.
$2$. $\Delta ABD$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે: $AB + AD > BD$.
$3$. કારણ કે $BD = BP + PD$,આપણે લખી શકીએ: $AB + AD > BP + PD$ --- (સમીકરણ $1$).
$4$. $\Delta PDC$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ: $PD + DC > PC$ --- (સમીકરણ $2$).
$5$. સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD) + (PD + DC) > (BP + PD) + PC$.
$6$. અસમતાનું સાદું રૂપ આપતા: $AB + (AD + DC) + PD > BP + PD + PC$.
$7$. કારણ કે $AD + DC = AC$,આપણને મળે છે: $AB + AC + PD > BP + PC + PD$.
$8$. બંને બાજુથી $PD$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $AB + AC > PB + PC$,જે $PB + PC < AB + AC$ ને સમાન છે.

(N/A) ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AB + BC > AC$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\triangle ADC$ માં,$AD + CD > AC$ (સમીકરણ $2$).
$3$. $\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$ (સમીકરણ $3$).
$4$. $\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ મળે છે.
સમીકરણ $3$ અને $4$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ મળે છે.
આ બંને પરિણામી અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.

(N/A) ધારો કે $O$ એ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ છે.
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$CD + DA > AC$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
હવે,છેદબિંદુ $O$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$\triangle OAB$ માં,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ માં,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ માં,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ માં,$DA < OD + OA$.
આ ચાર અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
કારણ કે $OA + OC = AC$ અને $OB + OD = BD$,તેથી $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ધારો કે $AD$,$BE$ અને $CF$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$AC$ અને $AB$ પરની મધ્યગાઓ છે.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
$\Delta ABD$ માં,$AB + BD > AD$ $(1)$.
$\Delta ACD$ માં,$AC + CD > AD$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $AB + AC + (BD + CD) > 2AD$.
અહીં $BD + CD = BC$ હોવાથી,$AB + AC + BC > 2AD$ $(3)$.
તે જ રીતે,મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ માટે:
$AB + BC + AC > 2BE$ $(4)$.
$AB + BC + AC > 2CF$ $(5)$.
$(3)$,$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$3(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)$.
આ દર્શાવે છે કે $AB + BC + AC > \frac{2}{3}(AD + BE + CF)$.
જોકે,મધ્યગાઓ માટેનું પ્રમાણિત અસમતા $AB + BC + AC > AD + BE + CF$ છે. આ એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યગાઓનો સરવાળો તેની પરિમિતિ કરતા ઓછો હોય છે $(AD + BE + CF < AB + BC + AC)$.

(N/A) $\Delta PQS$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે:
$PQ + QS > PS$ ---$(1)$
$\Delta PRS$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ:
$PR + RS > PS$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(PQ + QS) + (PR + RS) > PS + PS$
$PQ + PR + (QS + RS) > 2PS$
અહીં $S$ એ $QR$ પરનું બિંદુ હોવાથી,$QS + RS = QR$ થાય.
તેથી,$PQ + PR + QR > 2PS$.

(N/A) $1$. $QS$ ને લંબાવો જેથી તે $PR$ ને બિંદુ $T$ પર મળે.
$2$. $\Delta PQT$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે: $PQ + PT > QT$. આને $PQ + PT > QS + ST$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
$3$. $\Delta SRT$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,$ST + TR > SR$ (સમીકરણ $2$).
$4$. સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $PQ + PT + ST + TR > QS + ST + SR$.
$5$. બંને બાજુથી $ST$ ને બાદ કરતા: $PQ + (PT + TR) > QS + SR$.
$6$. કારણ કે $PT + TR = PR$,તેથી આપણને $PQ + PR > QS + SR$ મળે છે,જે $SQ + SR < PQ + PR$ ને સમાન છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ અને $AB = AC$. $AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
$AB = AC$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$\angle B = \angle C$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 2 \angle B = 90^{\circ} \implies \angle B = 45^{\circ}$. આમ,$\angle C = 45^{\circ}$.
$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BAD = \angle CAD = 45^{\circ}$.
$\Delta ABD$ માં,$\angle B = 45^{\circ}$ અને $\angle BAD = 45^{\circ}$. બે ખૂણા સમાન હોવાથી,$AD = BD$.
$\Delta ACD$ માં,$\angle C = 45^{\circ}$ અને $\angle CAD = 45^{\circ}$. બે ખૂણા સમાન હોવાથી,$AD = CD$.
$D$ એ $BC$ પર હોવાથી,$BC = BD + CD$.
$BD = AD$ અને $CD = AD$ મૂકતા,આપણને $BC = AD + AD = 2 AD$ મળે છે.
આમ,$BC = 2 AD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ છે. ધારો કે $AD$ એ બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે,જેથી $BD = DC = \frac{1}{2} BC$ થાય.
$AD$ ને બિંદુ $E$ સુધી એવી રીતે લંબાવો કે જેથી $AD = DE$ થાય. $CE$ ને જોડો.
$\triangle ABD$ અને $\triangle ECD$ માં:
$1$. $AD = DE$ (રચના મુજબ)
$2$. $\angle ADB = \angle EDC$ (અભિકોણ)
$3$. $BD = DC$ ($AD$ મધ્યગા હોવાથી)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ થાય.
તેથી,$AB = EC$ ($CPCT$ મુજબ).
$\triangle ACE$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે:
$AC + CE > AE$
અહીં $AE = AD + DE = 2AD$ અને $CE = AB$ હોવાથી,આપણે અસમતામાં કિંમતો મૂકતા:
$AC + AB > 2AD$
આમ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ પરની મધ્યગાના બમણા કરતા વધારે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$,અને $c$ છે,અને તેમની સામેના ખૂણા અનુક્રમે $A$,$B$,અને $C$ છે.
ધારો કે $a$ સૌથી મોટી બાજુ છે,તેથી $a > b$ અને $a > c$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો સૌથી મોટો ખૂણો હોય છે,તેથી $A > B$ અને $A > C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ થાય છે.
ચૂંક $A > B$ અને $A > C$ હોવાથી,$A + A + A > A + B + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3A > 180^{\circ}$.
તેથી,$A > 60^{\circ}$.
કાટખૂણો $90^{\circ}$ છે,અને કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ એટલે $\frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,$A > 60^{\circ}$ સાબિત કરે છે કે સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ કરતાં મોટો છે.

(B) $(1)$ ખોટું: બે ત્રિકોણો $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ એકરૂપ થવા માટે,ખૂણો બે બાજુઓની વચ્ચેનો હોવો જોઈએ. અહીં,$\Delta ABC$ માં,$AB$ અને $BC$ ની વચ્ચેનો ખૂણો $\angle B$ છે. $\Delta PQR$ માં,$PQ$ અને $PR$ ની વચ્ચેનો ખૂણો $\angle P$ છે. જોકે,આપેલી શરત $BC = PR$ છે,પરંતુ $\angle P$ બનાવતી બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ છે. અહીં $BC$ એ $QR$ બાજુ નથી,તેથી $SAS$ શરતનું પાલન થતું નથી.
$(2)$ સાચું: અંતઃકોણ અને તેના અનુરૂપ બહિષ્કોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. જો બહિષ્કોણ લઘુકોણ $(< 90^{\circ})$ હોય,તો તેનો અનુરૂપ અંતઃકોણ ગુરુકોણ $(> 90^{\circ})$ હોવો જોઈએ. ત્રિકોણમાં વધુમાં વધુ એક જ ગુરુકોણ હોઈ શકે. તેથી,બે બહિષ્કોણ લઘુકોણ હોવા અશક્ય છે,કારણ કે તેનો અર્થ એ થાય કે ત્રિકોણમાં બે ગુરુકોણ છે,જે ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(A) $(1)$ ખોટું. પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે. અહીં $XY > XZ$ હોવાથી,$XY$ ની સામેનો ખૂણો $(\angle Z)$ એ $XZ$ ની સામેના ખૂણા $(\angle Y)$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ. તેથી,$\angle Z > \angle Y$ સાચું છે.
$(2)$ સાચું. આપેલ છે કે $\frac{AB}{PR} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{RQ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $AB = PR$,$BC = QP$,અને $CA = RQ$. $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ થાય છે.

(B) ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$\Delta ABC$ માટે,બહિષ્કોણ $\angle ABD = \angle BAC + \angle ACB = 110^{\circ}$.
બહિષ્કોણ $\angle ACE = \angle BAC + \angle ABC = 130^{\circ}$.
અહીં $\angle ACE > \angle ABD$ હોવાથી,$(\angle BAC + \angle ABC) > (\angle BAC + \angle ACB)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle ABC > \angle ACB$.
ત્રિકોણમાં મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ મોટી હોય છે. તેથી,$\angle ABC$ ની સામેની બાજુ $(AC)$ એ $\angle ACB$ ની સામેની બાજુ $(AB)$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
આમ,$AC > AB$,જેનો અર્થ છે કે $AB < AC$.
તેથી,આપેલ વિધાન $AB > AC$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$1$. $AB = PR$
$2$. $BC = RQ$
$3$. $\angle B = \angle R$
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,આ બંને ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
આપેલ સમાનતાઓના આધારે શિરોબિંદુઓને સરખાવતા:
- શિરોબિંદુ $A$ એ શિરોબિંદુ $P$ ને અનુરૂપ છે.
- શિરોબિંદુ $B$ એ શિરોબિંદુ $R$ ને અનુરૂપ છે.
- શિરોબિંદુ $C$ એ શિરોબિંદુ $Q$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta PRQ$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ અને $\Delta XYZ$ માં:
$1$. $\angle P = \angle Z$
$2$. $\angle Q = \angle Y$
$3$. $PQ = YZ$
$ASA$ (ખૂબાખૂ - ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એકરૂપતાની શરત મુજબ,શિરોબિંદુઓનો ક્રમ સમાન હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle P$ એ $\angle Z$ ને અનુરૂપ છે,$\angle Q$ એ $\angle Y$ ને અનુરૂપ છે,અને બાજુ $PQ$ એ $ZY$ (અથવા $YZ$) ને અનુરૂપ છે,તેથી બાકી રહેલું શિરોબિંદુ $R$ એ $X$ ને અનુરૂપ હશે.
તેથી,સંગતતા $P \leftrightarrow Z$,$Q \leftrightarrow Y$ અને $R \leftrightarrow X$ છે.
આમ,$\Delta PQR \cong \Delta ZYX$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં:
$1$. $\angle A = \angle X$
$2$. $\angle C = \angle Z$
$3$. $AB = XY$
ખૂ-ખૂ-બા $(AAS)$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,અહીં $\angle A$ એ $\angle X$ ને અનુરૂપ છે,$\angle C$ એ $\angle Z$ ને અનુરૂપ છે અને બાજુ $AB$ એ $XY$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રીજો ખૂણો $\angle B$ એ $\angle Y$ ને સમાન થશે.
આમ,સંગતતા $A \leftrightarrow X$,$B \leftrightarrow Y$ અને $C \leftrightarrow Z$ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta XYZ$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{RQ} = \frac{AC}{PR} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = PQ$,$BC = RQ$,અને $AC = PR$.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ ત્રણેય બાજુઓને સમાન હોય,તો તે ત્રિકોણો એકરૂપ થાય છે.
બાજુઓની સમાનતાના આધારે શિરોબિંદુઓને સરખાવતા:
$AB = PQ$ (શિરોબિંદુ $A$ એ $P$ ને અનુરૂપ છે,$B$ એ $Q$ ને)
$BC = RQ$ (શિરોબિંદુ $B$ એ $R$ ને અનુરૂપ છે,$C$ એ $Q$ ને)
$AC = PR$ (શિરોબિંદુ $A$ એ $P$ ને અનુરૂપ છે,$C$ એ $R$ ને)
આમ,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$.

(B) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle B = \angle P = 90^{\circ}$.
$AC = RQ$ ($\Delta ABC$ નો કર્ણ = $\Delta PQR$ નો કર્ણ).
$AB = RP$ ($\Delta ABC$ ની એક બાજુ = $\Delta PQR$ ની એક બાજુ).
$RHS$ (કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
શિરોબિંદુઓને સરખાવતા: $A$ ને સંગત $R$,$B$ ને સંગત $P$,અને $C$ ને સંગત $Q$ છે.
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.

(C) $\Delta ABC$ માં,આપેલ છે કે $AB = AC$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,બાજુ $AB$ ની સામેનો ખૂણો $\angle C$ છે અને બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
જેহেতু $AB = AC$,તેથી $\angle C = \angle B$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle B = 75^{\circ}$,તેથી $\angle C = 75^{\circ}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$PQ = PR$ છે.
સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Q = \angle R$.
અહીં $\angle R = 40^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\angle Q = 40^{\circ}$ થશે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\angle P + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$XY = XZ$ છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta XYZ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle Y = \angle Z$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $80^{\circ} + \angle Y + \angle Y = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 2\angle Y = 180^{\circ}$.
$2\angle Y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle Y = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ નાના ખૂણાની સામેની બાજુ કરતાં મોટી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં $\angle A > \angle B$ છે.
$\angle A$ ની સામેની બાજુ $BC$ છે.
$\angle B$ ની સામેની બાજુ $AC$ છે.
જેহেতু $\angle A > \angle B$ છે,તેથી $\angle A$ ની સામેની બાજુ એ $\angle B$ ની સામેની બાજુ કરતાં મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC > AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC < BC$.

(C) ત્રિકોણના બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના માપના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle ACD$ એ શિરોબિંદુ $C$ પાસેનો બહિષ્કોણ છે.
તેના અંતઃસન્મુખ કોણ $\angle A$ અને $\angle B$ છે.
તેથી,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
આપેલ છે કે $\angle A = 50^{\circ}$ અને $\angle B = 65^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle ACD = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,આપણને આપેલ છે કે $AB = AC$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle C = \angle B = 70^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$,જે આપણને $\angle A = 40^{\circ}$ આપે છે.
બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
$\angle ACD = 40^{\circ} + 70^{\circ} = 110^{\circ}$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ એ એવો ત્રિકોણ છે જેમાં ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય છે અને ત્રણેય અંતઃકોણ સમાન હોય છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક અંતઃકોણ $60^{\circ}$ હોય છે.
અંતઃકોણ અને તેના અનુરૂપ બહિષ્કોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે (રૈખિક જોડ).
તેથી,બહિષ્કોણ = $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ બહુકોણના તમામ બહિષ્કોણનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે. સમબાજુ ત્રિકોણમાં $3$ સમાન બહિષ્કોણ હોવાથી,દરેક બહિષ્કોણ = $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં, $\angle B = \angle C$ છે.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ, સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી, $\angle B$ ની સામેની બાજુ $AC$ અને $\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે.
આમ, $AC = AB$ થાય.
આપણને $AB = 5 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી $AC = 5 \text{ cm}$ થશે.
વળી, $BC = 8 \text{ cm}$ આપેલ છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC$.
પરિમિતિ $= 5 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$.

(C) $\Delta XYZ$ માં,આપણને આપેલ છે કે $\angle Y = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$ થાય.
$\angle Y$ ની કિંમત મૂકતા,$\angle X + 90^{\circ} + \angle Z = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $XY = YZ$. ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Z = \angle X$ થાય.
$\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ સમીકરણમાં $\angle Z = \angle X$ મૂકતા,આપણને $\angle X + \angle X = 90^{\circ}$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $2\angle X = 90^{\circ}$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $\angle X = 45^{\circ}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,અંતઃકોણો $\angle ABC$,$\angle ACB$ અને $\angle BAC$ (અથવા $\angle A$) છે.
બિંદુ $B$ પર $\angle ABD$ બહિષ્કોણ હોવાથી,$\angle ABC + \angle ABD = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$\angle ABC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
બિંદુ $C$ પર $\angle ACE$ બહિષ્કોણ હોવાથી,$\angle ACB + \angle ACE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$\angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\Delta ABC$ ના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે અને બીજા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ છે.
એક-એક સંગતતા એ બે ત્રિકોણોના શિરોબિંદુઓના ગણ વચ્ચેનું મેપિંગ છે.
પ્રથમ ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓને બીજા ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવાની રીતોની સંખ્યા $3$ ઘટકોના ક્રમચય (permutations) દ્વારા મળે છે,જે $3!$ છે.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,બે ત્રિકોણો વચ્ચે $6$ શક્ય એક-એક સંગતતાઓ હોય છે.

(B) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow PRQ$ માં,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે:
$A$ ને $P$ સંગત છે
$B$ ને $R$ સંગત છે
$C$ ને $Q$ સંગત છે
તેથી,બાજુ $AB$ એ $A$ અને $B$ ના સંગત શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતી બાજુ $PR$ ને સંગત છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta YZX$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓની સરખામણી કરતા: $A$ ને અનુરૂપ $Y$,$B$ ને અનુરૂપ $Z$,અને $C$ ને અનુરૂપ $X$ છે.
તેથી,બાજુ $AB$ એ બાજુ $YZ$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,બાજુ $AB = YZ$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PRQ \cong \Delta ZXY$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
બંને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓની સરખામણી કરતા:
$P$ ને અનુરૂપ $Z$ છે.
$R$ ને અનુરૂપ $X$ છે.
$Q$ ને અનુરૂપ $Y$ છે.
તેથી,$\angle P = \angle Z$,$\angle R = \angle X$,અને $\angle Q = \angle Y$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે $\Delta XYZ$ માં કયો ખૂણો $\angle R$ ને સમાન છે,તો અનુરૂપતા જોતા: $\angle R$ એ $\angle X$ ને સમાન છે.
આમ,$\angle R = \angle X$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $\Delta RPQ$ ની અનુરૂપ બાજુઓને સમાન છે.
ખાસ કરીને,$AB = RP$,$BC = PQ$,અને $AC = RQ$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની ત્રણેય બાજુઓનો સરવાળો છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 18 \, cm$.
$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ હોવાથી,$\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ એ $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ જેટલી જ થાય.
$\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ = $RP + PQ + RQ = AB + BC + AC = 18 \, cm$.
નોંધો કે $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ એ $\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ જેટલી જ છે કારણ કે બાજુઓની લંબાઈનો સમૂહ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $18 \, cm$ છે.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,સાચો શબ્દ 'વધારે' છે.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો તફાવત હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા ઓછો હોય છે. જો ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ હોય,તો $|a - b| < c$,$|a - c| < b$ અને $|b - c| < a$ થાય.

(D) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 50^{\circ} + 85^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 135^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ મોટી હોય છે.
અહીં,$\angle C = 85^{\circ}$ અને $\angle B = 50^{\circ}$ છે.
જેથી $\angle C > \angle B$ હોવાથી,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $(AB)$ એ $\angle B$ ની સામેની બાજુ $(AC)$ કરતા મોટી હોય.
આમ,$AB > AC$.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓના માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં હંમેશા વધારે હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના માપનો સરવાળો $AC$ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$AB + BC > AC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $6 \text{ cm} + 9 \text{ cm} > AC$.
$15 \text{ cm} > AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC < 15 \text{ cm}$.
આમ,બાજુ $AC$ નું માપ $15 \text{ cm}$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
વળી,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા ઓછો હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $a = 8 \, cm$,$b = 5 \, cm$ અને $c = AC$ છે.
ગુણધર્મ મુજબ: $|a - b| < c < a + b$.
કિંમતો મૂકતા: $|8 - 5| < AC < 8 + 5$.
$3 < AC < 13$.
તેથી,$AC$ એ $3 \, cm$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(C) $\Delta PQR$ માં,આપણને આપેલ છે કે $\angle Q = \angle R$.
પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Q$ ની સામેની બાજુ $(PR)$ એ $\angle R$ ની સામેની બાજુ $(PQ)$ ને સમાન હોવી જોઈએ.
આમ,$PR = PQ$.
આપેલ છે કે $PQ = 6.5 \, cm$,તેથી $PR = 6.5 \, cm$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$AB = AC$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,બાજુ $AB$ ની સામેનો ખૂણો $\angle C$ છે અને બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
જેহেতু $AB = AC$,તેથી $\angle B = \angle C$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle C = 75^{\circ}$ છે.
આમ,$\angle B = 75^{\circ}$ થાય.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $AC = x \text{ cm}$ છે.
તેથી,$AB + BC > AC \implies 8 + 10 > x \implies x < 18$.
વળી,$AB + AC > BC \implies 8 + x > 10 \implies x > 2$.
અને $BC + AC > AB \implies 10 + x > 8$,જે તમામ $x > 0$ માટે સાચું છે.
આમ,$2 < x < 18$.
પરિમિતિ $P = AB + BC + AC = 8 + 10 + x = 18 + x$.
કારણ કે $x < 18$,તેથી પરિમિતિ $P < 18 + 18 = 36 \text{ cm}$.
તેથી,પરિમિતિ $36 \text{ cm}$ કરતા ઓછી છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા વધારે હોવો જોઈએ (ત્રિકોણની અસમતાનો પ્રમેય).
ધારો કે $\Delta XYZ$ ની બાજુઓ $XY = 7 \, cm$,$YZ = 10 \, cm$ અને $XZ = z \, cm$ છે.
ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ:
$XY + YZ > XZ \implies 7 + 10 > z \implies z < 17$
$XY + XZ > YZ \implies 7 + z > 10 \implies z > 3$
$YZ + XZ > XY \implies 10 + z > 7 \implies z > -3$ (જે લંબાઈ માટે હંમેશા સાચું છે).
આમ,ત્રીજી બાજુ $z$ એ $3 < z < 17$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = XY + YZ + XZ = 7 + 10 + z = 17 + z$ છે.
જેহেতু $z > 3$,તેથી $P = 17 + z > 17 + 3 = 20$.
તેથી,$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $20 \, cm$ કરતા વધારે છે.

(C) બે ત્રિકોણો એકરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેઓ આકાર અને કદમાં સમાન હોય.
જો $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેમની તમામ અનુરૂપ બાજુઓ અને ખૂણાઓ સમાન છે.
એકરૂપતાના પરિણામ સ્વરૂપે,બે એકરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 58 \ cm^2$ છે.
તેથી,$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= 58 \ cm^2$ થશે.

(D) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી લાંબી બાજુની સામેનો ખૂણો સૌથી મોટો ખૂણો હોય છે.
આપેલ છે કે બાજુઓની લંબાઈ અસમતા $AC > AB > BC$ નું પાલન કરે છે.
બાજુ $AC$ એ $\Delta ABC$ ની સૌથી લાંબી બાજુ છે.
બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
તેથી,$\angle B$ એ ત્રિકોણનો સૌથી મોટો ખૂણો છે.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં હંમેશા વધારે હોય છે અને કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં હંમેશા ઓછો હોય છે.
આપેલ બાજુઓ $PQ = 7.5 \, cm$ અને $QR = 6.2 \, cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $PR$ છે.
$1$. બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં ઓછો હોવો જોઈએ: $PR > |PQ - QR| = |7.5 - 6.2| = 1.3 \, cm$.
$2$. બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ: $PR < PQ + QR = 7.5 + 6.2 = 13.7 \, cm$.
તેથી,$1.3 < PR < 13.7$.
આને $a < PR < b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1.3$ અને $b = 13.7$ મળે છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ સૌથી લાંબી હોય છે અને સૌથી નાના ખૂણાની સામેની બાજુ સૌથી ટૂંકી હોય છે.
આપેલ છે કે ખૂણાઓ $\angle Y > \angle X > \angle Z$ છે.
$\angle Y$ ની સામેની બાજુ $XZ$ છે.
$\angle X$ ની સામેની બાજુ $YZ$ છે.
$\angle Z$ ની સામેની બાજુ $XY$ છે.
અહીં $\angle Z$ સૌથી નાનો ખૂણો હોવાથી,તેની સામેની બાજુ $XY$ એ ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુ થશે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે: $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$.
તેથી,$\Delta ABC$ ની બાજુ $AB$ એ $\Delta RPQ$ ની બાજુ $RP$ ને સંગત છે.
$\Delta RPQ$ એ $\Delta PQR$ જેવો જ ત્રિકોણ હોવાથી (કારણ કે શિરોબિંદુઓનો સમૂહ સમાન છે),બાજુ $RP$ એ $\Delta PQR$ માં બાજુ $PR$ સમાન છે.
આમ,બાજુ $AB$ એ બાજુ $RP$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ $AC = b$ છે.
ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય છે અને કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં નાનો હોય છે.
$1$. $AB + BC > AC \implies 9 + 12 > b \implies b < 21$.
$2$. $BC - AB < AC \implies 12 - 9 < b \implies b > 3$.
તેથી,$3 < b < 21$.
પરિમિતિ $P = AB + BC + AC = 9 + 12 + b = 21 + b$.
કારણ કે $3 < b < 21$,આપણે અસમતાના તમામ ભાગોમાં $21$ ઉમેરીએ:
$3 + 21 < 21 + b < 21 + 21$
$24 < P < 42$.
આને $x < P < y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 24$ અને $y = 42$ મળે છે.