સાબિત કરો કે ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો તે ત્રીજી બાજુ પરના મધ્યગાના બમણા કરતા વધારે હોય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ છે. ધારો કે $AD$ એ બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે,જેથી $BD = DC = \frac{1}{2} BC$ થાય.
$AD$ ને બિંદુ $E$ સુધી એવી રીતે લંબાવો કે જેથી $AD = DE$ થાય. $CE$ ને જોડો.
$\triangle ABD$ અને $\triangle ECD$ માં:
$1$. $AD = DE$ (રચના મુજબ)
$2$. $\angle ADB = \angle EDC$ (અભિકોણ)
$3$. $BD = DC$ ($AD$ મધ્યગા હોવાથી)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ થાય.
તેથી,$AB = EC$ ($CPCT$ મુજબ).
$\triangle ACE$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે:
$AC + CE > AE$
અહીં $AE = AD + DE = 2AD$ અને $CE = AB$ હોવાથી,આપણે અસમતામાં કિંમતો મૂકતા:
$AC + AB > 2AD$
આમ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ પરની મધ્યગાના બમણા કરતા વધારે છે.