સાબિત કરો કે ચોરસની ક્રમિક બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ પણ ચોરસ જ હોય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચોરસ $ABCD$ જેમાં $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $PQ, QR, RS$ અને $SP$ ને જોડવામાં આવ્યા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(1)$
$\triangle ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$RS \parallel AC$ અને $RS = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel RS$ અને $PQ = RS$.
આમ,ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,$AB = BC = CD = DA$.
વળી,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ અને $\triangle QCR$ માં,$PB = QC$,$BQ = CR$,અને $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
તેથી,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચોરસ $ABCD$ ના વિકર્ણોને ધ્યાનમાં લો. $AC \perp BD$ અને $AC = BD$.
$PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,અને $AC \perp BD$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $PQ \perp QR$.
આમ,$PQRS$ એ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.