$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $CD$ નું મધ્યબિંદુ $P$ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $PA$ ને સમાંતર રેખા $AB$ ને $Q$ માં અને $DA$ ને લંબાવતા $R$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $DA = AR$ અને $CQ = QR$.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $PA$ ને સમાંતર રેખા $AB$ ને $Q$ માં અને $DA$ ને લંબાવતા $R$ માં છેદે છે.
$\Delta DCR$ માં,$P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AP \parallel CR$ છે (કારણ કે $AP \parallel CQ$ અને $Q$ એ $CR$ પર આવેલું છે).
તેથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$A$ એ $DR$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $DA = AR$.
હવે,$\Delta ARQ$ અને $\Delta BCQ$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $AR = BC$ (કારણ કે ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ $AD = AR$ છે,અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ હોવાથી $AD = BC$ છે).
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (અભિકોણો).
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $RC$ એ છેદિકા છે).
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ થાય છે.
આમ,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) મુજબ $CQ = QR$ થાય છે.
આમ,$DA = AR$ અને $CQ = QR$ સાબિત થાય છે.