$ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક લંબચોરસ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી: $DC \parallel AB$ [કારણ કે લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે].
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [યુગ્મકોણ].
અને $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [આપેલ છે,કારણ કે $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે].
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $\angle 3 = \angle 4$.
$\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2$ [આપેલ છે]
$BD = BD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle 3 = \angle 4$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$.
તેથી,$AB = BC$ [એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો].
જેમ કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન છે,તેથી $ABCD$ એક ચોરસ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.