Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(A) स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = 0$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = 0$ है। अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_2 = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ या $2:1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति इस प्रकार दी जाती है:
$x_n = \frac{D}{d} (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{2 x_n d}{D(2n - 1)} \quad \dots (i)$
दिया गया है कि पाँचवीं अदीप्त फ्रिंज $(n=5)$ एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए इस फ्रिंज की केंद्रीय अक्ष से दूरी स्लिटों के बीच की दूरी की आधी होगी:
$x_5 = \frac{d}{2} \implies 2x_5 = d$
समीकरण $(i)$ में $n=5$ और $2x_5 = d$ रखने पर:
$\lambda = \frac{(2x_5) d}{D(2 \times 5 - 1)}$
$\lambda = \frac{d \cdot d}{D(10 - 1)}$
$\lambda = \frac{d^2}{9D}$

(C) स्लिट्स की स्थिति $y = \pm d/2$ पर है। दूसरी न्यूनतम $y = d/2$ पर होती है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में न्यूनतम के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (n - 1/2)\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ दूसरी न्यूनतम के लिए $n = 2$ है।
अतः,$\Delta x = (2 - 1/2)\lambda = (3/2)\lambda$.
साथ ही,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$ द्वारा दिया जाता है।
$y = d/2$ रखने पर,हमें $\Delta x = d(d/2D) = d^2 / 2D$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $(3/2)\lambda = d^2 / 2D$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = (d^2 / 2D) \times (2/3) = d^2 / 3D$ प्राप्त होता है।

(A) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n D \lambda}{d}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{y_n d}{n D}$
दिए गए मान:
$n = 3$
$y_n = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$
$D = 1 \ m$
$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-3} \ m) \times (1 \times 10^{-3} \ m)}{3 \times 1 \ m}$
$\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-6}}{3} \ m$
$\lambda = 0.4 \times 10^{-6} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$
एंगस्ट्रॉम $(\mathring{A})$ में बदलने पर, जहाँ $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$:
$\lambda = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4000 \ \mathring{A}$

(B) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथान्तर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथान्तर $\Delta x = (n + \frac{1}{2})\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
$4^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $n = 4$ $(\Delta x = 4\lambda)$ के संगत है और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $n = 5$ $(\Delta x = 5\lambda)$ के संगत है।
$4^{\text{th}}$ और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज के बीच बनी अदीप्त फ्रिंज के लिए $n = 4$ लेने पर: $\Delta x = (4 + \frac{1}{2})\lambda = 4.5\lambda$.
दिया गया है $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$.
पथान्तर $\Delta x = 4.5 \times (6 \times 10^{-5} \text{ cm}) = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(A) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
दिया गया है कि स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $w_1 / w_2 = 1 / 9$ है,इसलिए दोनों स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $I_1 / I_2 = 1 / 9$ होगा।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ (जहाँ $a$ आयाम है),आयामों का अनुपात $a_1 / a_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{1 / 9} = 1 / 3$ होगा।
मान लीजिए $a_1 = a$ और $a_2 = 3a$ है।
न्यूनतम तीव्रता और अधिकतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a_1 - a_2}{a_1 + a_2} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a - 3a}{a + 3a} \right)^2 = \left( \frac{-2a}{4a} \right)^2 = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।

(A) हवा में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 2 \,mm$ है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\beta = 2 \,mm$ और $\mu = 1.33$ दिया गया है,इसलिए $\beta' = \frac{2}{1.33} \approx 1.5 \,mm$।
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta - \beta' = 2 \,mm - 1.5 \,mm = 0.5 \,mm$ है।

(A) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 0.4 \,mm$ दी गई है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n_1$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_1} = n_1 \beta$ द्वारा दी जाती है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n_1 = 5)$:
$x_5 = 5 \beta = 5 \times 0.4 \,mm = 2.0 \,mm$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n_2$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_2} = (n_2 - 0.5) \beta$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n_2 = 3)$:
$x_3 = (3 - 0.5) \beta = 2.5 \beta = 2.5 \times 0.4 \,mm = 1.0 \,mm$.
एक ही तरफ पांचवीं दीप्त और तीसरी अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी:
$\Delta x = x_5 - x_3 = 2.0 \,mm - 1.0 \,mm = 1.0 \,mm$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि स्थिति $y$ दोनों स्थितियों में समान है, इसलिए $n_{1} \lambda_{1} = n_{2} \lambda_{2}$ होगा।
दिया गया है: $n_{1} = 3$, $\lambda_{1} = 700 \, nm$, और $n_{2} = 5$.
मान रखने पर: $3 \times 700 = 5 \times \lambda_{2}$.
$\lambda_{2} = \frac{3 \times 700}{5} = 3 \times 140 = 420 \, nm$.

(B) व्यतिकरण प्रयोग में,दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों (उच्चिष्ठ) या दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों (निम्निष्ठ) के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यंग के द्वि-झिरी प्रयोग के सिद्धांत के अनुसार,फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र है:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
जहाँ $D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,और $d$ दोनों झिरियों के बीच की दूरी है।

(C) दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$
स्क्रीन की दूरी $D = 1.4 \ m$
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $x_n = 1.2 \ cm = 1.2 \times 10^{-2} \ m$
फ्रिंज का क्रम $n = 4$
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र:
$x_n = \frac{n \lambda D}{d}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{x_n d}{n D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-2} \ m) \times (0.28 \times 10^{-3} \ m)}{4 \times 1.4 \ m}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6} \ m$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \ nm = 10^{-9} \ m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \ m = 600 \ \text{nm}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) फ्रिंज चौड़ाई (फ्रिंज पृथक्करण) $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिया गया है:
तरंग दैर्ध्य $\lambda = 7000 \ \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \ m = 7 \times 10^{-7} \ m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 10 \ mm = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
स्क्रीन की दूरी $D = 1.5 \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{7 \times 10^{-7} \times 1.5}{10^{-2}}$
$\beta = 7 \times 1.5 \times 10^{-5} \ m$
$\beta = 10.5 \times 10^{-5} \ m$
$\beta = 105 \times 10^{-6} \ m$
$\beta = 105 \ \mu m$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$
$D = 100 \, cm = 1 \, m$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
पांचवीं $(n=5)$ और तीसरी $(n=3)$ दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta y = y_5 - y_3$ है।
$\Delta y = \frac{5 \lambda D}{d} - \frac{3 \lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{d}$.
मान रखने पर:
$\Delta y = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (1 \, m)}{10^{-3} \, m}$.
$\Delta y = 10 \times 10^{-4} \, m = 10^{-3} \, m$.
$\Delta y = 1 \, mm$.

(C) फ्रिंज चौड़ाई (दो क्रमागत फ्रिंजों के बीच की दूरी) का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिए गए मान हैं:
$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$
$D = 2 \ m$
$d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{10 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{10}{3} \times 10^{-4} \ m$
$\beta = 3.33 \times 10^{-4} \ m$
$\beta = 0.333 \times 10^{-3} \ m = 0.33 \ mm$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज अध्यारोपित होती हैं,इसलिए उनकी स्थितियां समान होनी चाहिए: $y_4 = y_5$।
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$।
दिया गया है $n_1 = 4$,$\lambda_1 = 5000 \ \mathring{A}$,और $n_2 = 5$।
मान रखने पर: $4 \times 5000 = 5 \times \lambda_2$।
$\lambda_2 = \frac{4 \times 5000}{5} = 4000 \ \mathring{A}$।

(B) आदर्श यंग के द्वि-झिरी प्रयोग $(YDSE)$ में,सभी दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता समान मानी जाती है। हालाँकि,वास्तविक व्यतिकरण पैटर्न में,झिरियों की सीमित चौड़ाई के कारण होने वाले विवर्तन प्रभाव के कारण केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूर जाने पर दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता कम हो जाती है। इसलिए,यह कथन कि 'सभी दीप्त फ्रिंज समान रूप से चमकीले होते हैं',व्यतिकरण के अन्य मूलभूत गुणों की तुलना में व्यावहारिक भौतिक संदर्भ में गलत है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में दीप्त फ्रिंजों के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है,$\theta$ कोण है,$n$ फ्रिंज का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है कि $d = \lambda$,इसलिए समीकरण $\lambda \sin \theta = n \lambda$ हो जाता है,जो सरल होकर $\sin \theta = n$ बन जाता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $n \leq 1$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
अतः,कुल $3$ दीप्त फ्रिंज प्राप्त होती हैं।

(A) किन्हीं दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी $D = 1.5 \ m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.2 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{900 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 4500 \times 10^{-6} \ m$
$\beta = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.
अतः,किन्हीं दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $4.5 \ mm$ है।

(D) फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.002 \text{ cm}$ दी गई है।
यंग के डबल-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न के लिए,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र $x_n = (n - 0.5) \beta$ है,जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है $(n = 1, 2, 3, \dots)$।
$5^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 5$ है।
मान रखने पर: $x_5 = (5 - 0.5) \times 0.002 \text{ cm}$.
$x_5 = 4.5 \times 0.002 \text{ cm} = 0.009 \text{ cm}$.
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $0.009 \text{ cm} = 0.9 \times 10^{-2} \text{ cm}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प गणना किए गए मान से मेल नहीं खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,दूरी $D = 0.5 \ m$,स्लिट पृथक्करण $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$n^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है। $n=3$ के लिए,$x_3 = \frac{3 \lambda D}{d}$.
दूसरी ओर $m^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $x'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ है। $m=2$ के लिए,$x'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
उनके बीच की कुल दूरी $x = x_3 + x'_2 = \frac{3 \lambda D}{d} + \frac{3 \lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{9 \times 500 \times 10^{-9} \times 0.5}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{4500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} = 2250 \times 10^{-6} \ m = 2.25 \ mm$.

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{yellow})$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ से अधिक होती है।
चूंकि पीले प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी कम हो जाएगी।
अतः,व्यतिकरण फ्रिंजें संकुचित (narrower) हो जाती हैं।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रायोगिक सेटअप ($D$ और $d$) समान रहता है, इसलिए $\beta \propto \lambda$ है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
समान गति $v$ के लिए, तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है, इसलिए $m_p > m_e$ है।
अतः, प्रोटॉन पुंज की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_2)$ इलेक्ट्रॉन पुंज की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_1)$ से कम होगी, अर्थात $\lambda_2 < \lambda_1$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$ है, इसलिए $\beta_2 < \beta_1$ या $\beta_1 > \beta_2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$I_0 = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$ और $x = \frac{\beta}{3}$।
$YDSE$ में,बिंदु $x$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{\beta}$।
इसे पथ अंतर के सूत्र में रखने पर: $\Delta x = x \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\beta}{3} \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\lambda}{3}$।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ है।
मान रखने पर: $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = 4I_0 \times (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$।
अतः,$I = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$।

(A) हम जानते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है, जहाँ $D$ पर्दे और स्रोत के बीच की दूरी है, $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \lambda$ है।
हम जानते हैं कि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{red}} \approx 700 \, nm)$ बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{violet}} \approx 400 \, nm)$ की लगभग दोगुनी होती है (भौतिकी की समस्याओं में इस अनुपात को लगभग $2$ माना जाता है)।
इसलिए, फ्रिंज की चौड़ाई का अनुपात $\frac{\beta_{\text{red}}}{\beta_{\text{violet}}} = \frac{\lambda_{\text{red}}}{\lambda_{\text{violet}}} \approx \frac{700}{400} \approx 1.75$ है, जो लगभग $2$ के बराबर है।
अतः, $\beta_{\text{red}} \approx 2 \beta_{\text{violet}}$।

(B) दोनों स्लिटों से बिंदु $P$ तक पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ है।
तदनुरूप कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{xd}{D}\right)$ होगा।
समान तीव्रता $I_0$ वाले दो कला-संबद्ध स्रोतों के लिए बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता का सूत्र $I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ है।
$\phi$ का मान रखने पर:
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi xd}{\lambda D}\right)$
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi dx}{\lambda D}\right)$.

(D) दिया गया है: स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी $D = 1.2 \, m$, स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 2.4 \, mm = 2.4 \times 10^{-3} \, m$, माइका शीट की मोटाई $t = 1 \, \mu m = 1 \times 10^{-6} \, m$, और अपवर्तनांक $\mu = 1.5$।
जब व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में एक पारदर्शी शीट रखी जाती है, तो केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की स्थिति में विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$y = (\mu - 1) t \frac{D}{d}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$y = (1.5 - 1) \times (1 \times 10^{-6} \, m) \times \frac{1.2 \, m}{2.4 \times 10^{-3} \, m}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times \frac{1.2}{2.4 \times 10^{-3}}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times 0.5 \times 10^{3}$
$y = 0.25 \times 10^{-3} \, m = 0.25 \, mm$
अतः, केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की स्थिति में विस्थापन $0.25 \, mm$ है।

(D) किसी भी बिंदु पर तीव्रता $ I $ को $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) $ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $ \phi $ कलांतर है।
दिया गया है कि पथ अंतर $ \Delta x = \lambda $ पर तीव्रता $ K $ है। चूँकि $ \Delta x = \lambda $ का अर्थ है कलांतर $ \phi = 2\pi $, इसलिए $ K = I_{max} \cos^2 \left( \frac{2\pi}{2} \right) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} $.
अब, पथ अंतर $ \Delta x = \frac{\lambda}{3} $ के लिए, कलांतर $ \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} $ होगा।
इस बिंदु पर तीव्रता $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{2\pi/3}{2} \right) $ होगी।
$ I = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) = K \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{K}{4} $.

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{1}$ की $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज और $\lambda_{2}$ की $(n+1)^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज संपाती हैं,इसलिए:
$\frac{n \lambda_{1} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{2} D}{d}$
सामान्य पदों $\frac{D}{d}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n \lambda_{1} = (n+1) \lambda_{2}$
दिए गए मान $\lambda_{1} = 780 \ nm$ और $\lambda_{2} = 520 \ nm$ रखने पर:
$n(780) = (n+1)(520)$
$780n = 520n + 520$
$780n - 520n = 520$
$260n = 520$
$n = \frac{520}{260} = 2$
अतः,$n$ का मान $2$ है।

(A) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y = \frac{n \lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चौथी दीप्त फ्रिंज $(n=4)$ के लिए,दोनों तरंगदैर्ध्य की स्थितियाँ हैं:
$y_1 = \frac{4 \lambda_1 D}{d}$ और $y_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
इन दो फ्रिंजों के बीच की दूरी है:
$\Delta y = y_1 - y_2 = \frac{4 D}{d} (\lambda_1 - \lambda_2)$
दिए गए मान:
$n = 4$
$D = 1.2 \,m$
$d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
$\lambda_1 = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \,m$
$\lambda_2 = 5200 \text{ Å} = 5200 \times 10^{-10} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta y = \frac{4 \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \times (6500 - 5200) \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = \frac{4.8}{2 \times 10^{-3}} \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 2.4 \times 10^3 \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 3120 \times 10^{-7} \,m = 0.312 \times 10^{-3} \,m$
$\Delta y = 0.312 \,mm$
अतः,चौथी दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $0.312 \,mm$ है।

(D) स्थायी व्यतिकरण के लिए शर्तें इस प्रकार हैं: स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति (तरंगदैर्ध्य) समान होनी चाहिए और उनके बीच कलांतर स्थिर होना चाहिए।
इस प्रयोग में,एक स्लिट को लाल फिल्टर (जो केवल लाल प्रकाश को गुजरने देता है) और दूसरी को नीले फिल्टर (जो केवल नीले प्रकाश को गुजरने देता है) से ढका गया है।
चूंकि लाल प्रकाश और नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य काफी अलग हैं,इसलिए ये दो स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं।
चूंकि स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं,इसलिए वे पर्दे पर कोई स्थिर व्यतिकरण पैटर्न नहीं बना सकते हैं।
अतः,कोई व्यतिकरण पैटर्न नहीं देखा जाएगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
जब पर्दे की दूरी $D$ में $\Delta D$ का परिवर्तन होता है, तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$
$\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \,m$
$d = 1 \times 10^{-3} \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \,m) \times (1 \times 10^{-3} \,m)}{5 \times 10^{-2} \,m}$
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \,m$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(B) स्थायी व्यतिकरण के लिए,स्रोत सुसंगत होने चाहिए,जो एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न के लिए एक आवश्यक शर्त है।
इसके अतिरिक्त,उच्च कंट्रास्ट फ्रिंज (जहाँ न्यूनतम तीव्रता शून्य होती है) के लिए,दोनों स्रोतों की तीव्रता समान होनी चाहिए।
इसलिए,आदर्श और स्थायी व्यतिकरण फ्रिंज के लिए दोनों शर्तें आवश्यक हैं।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,प्रकाश की तीव्रता $I$,झिरी की चौड़ाई $w$ के समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
यदि झिरियों की चौड़ाई असमान है,तो दोनों झिरियों से आने वाली प्रकाश तरंगों की तीव्रताएँ $I_{1}$ और $I_{2}$ असमान होंगी $(I_{1} \neq I_{2})$।
व्यतिकरण प्रतिरूप की तीव्रता $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^2$ द्वारा प्राप्त होती है।
चूंकि $I_{1} \neq I_{2}$,इसलिए $I_{\min}$ का मान शून्य से अधिक होता है $(I_{\min} > 0)$।
अतः,अदीप्त फ्रिंजें पूर्णतः अदीप्त नहीं होती हैं।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,व्यतिकरण के लिए प्राथमिक आवश्यकता सुसंगत स्रोतों की उपस्थिति है।
कथन $(1)$ सही है: प्रकाश का एक सामान्य विस्तारित स्रोत असंगत होता है,इसलिए स्थानिक सुसंगतता सुनिश्चित करने के लिए बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करने हेतु एक झिरी $S$ आवश्यक है।
कथन $(2)$ गलत है: भले ही किरण अच्छी तरह से कोलिमेटेड हो,यह दो झिरियों के लिए द्वितीयक सुसंगत स्रोतों के रूप में कार्य करने के लिए आवश्यक स्थानिक सुसंगतता की गारंटी नहीं देता है।
कथन $(3)$ सही है: यदि स्रोत पहले से ही स्थानिक रूप से सुसंगत है,तो दो झिरियों पर पहुँचने वाली प्रकाश तरंगें एक स्थिर कला अंतर बनाए रखती हैं,जिससे प्रारंभिक झिरी $S$ अनावश्यक हो जाती है।
अतः,कथन $(1)$ और $(3)$ सही हैं।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली कांच की प्लेट को एक स्लिट के प्रकाश के मार्ग में रखा जाता है,तो प्रकाशीय पथ की लंबाई $(\mu - 1)t$ बढ़ जाती है।
इसके कारण संपूर्ण व्यतिकरण पैटर्न $y_0 = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से विस्थापित हो जाता है।
हालाँकि,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,दूरी $D$ और स्लिट के बीच की दूरी $d$ पर निर्भर करती है। चूँकि ये पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $0.3 \,mm$ ही बनी रहती है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण पैटर्न दो कला-संबद्ध स्रोतों से आने वाली प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण से बनता है। यदि दो स्लिटों के बीच एक तीसरी स्लिट बनाई जाती है,तो यह प्रकाश के एक अतिरिक्त स्रोत के रूप में कार्य करती है। यह अतिरिक्त प्रकाश स्क्रीन पर पृष्ठभूमि रोशनी में योगदान देता है,जो व्यतिकरण पैटर्न में भाग नहीं लेता है। परिणामस्वरूप,काली फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ जाती है,जबकि चमकीली फ्रिंजों की तीव्रता लगभग अपरिवर्तित रहती है। इससे चमकीली और काली फ्रिंजों के बीच की दृश्यता या कंट्रास्ट कम हो जाता है।

(A) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जब पर्दे को $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ खिसकाया जाता है, तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \, m$ होता है।
सूत्र से, फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \, m) \times (10^{-3} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \, m = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, m)$:
$\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6000 \, \text{Å}$.

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई $\theta$ को संबंध $\sin \theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$ है।
दी गई झिरियों के बीच की दूरी $d = 0.589 \ mm = 0.589 \times 10^{-3} \ m$ है।
मान रखने पर:
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.589 \times 10^{-3}}$
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-6}} = 10^{-3} = 0.001$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(0.001)$।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश $(\lambda_r = 7.5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ की $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_r = \frac{n \lambda_r D}{d}$ है।
नीले प्रकाश $(\lambda_b = 5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ की $(n+1)^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_b = \frac{(n+1) \lambda_b D}{d}$ है।
चूंकि फ्रिंज संपाती होती हैं,$y_r = y_b$,जिसका अर्थ है $n \lambda_r = (n+1) \lambda_b$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(7.5 \times 10^{-5}) = (n+1)(5 \times 10^{-5})$.
दोनों पक्षों को $10^{-5}$ से विभाजित करने पर,हमें $7.5n = 5(n+1)$ प्राप्त होता है।
$7.5n = 5n + 5$.
$2.5n = 5$.
$n = \frac{5}{2.5} = 2$.
अतः,$n$ का मान $2$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $\lambda' = \lambda + 0.20\lambda = 1.20\lambda$ और $d' = d - 0.25d = 0.75d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{1.20\lambda D}{0.75d}$ है।
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\beta' = \frac{1.20}{0.75} \beta = 1.6 \beta$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.3 \ mm$ दी गई है,इसलिए अंतिम फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = 1.6 \times 0.3 \ mm = 0.48 \ mm$ होगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी $D = 1 \ m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
इसे मिलीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.
अतः,दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $0.25 \ mm$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि फ्रिंज चौड़ाई स्लिट पृथक्करण के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\beta \propto \frac{1}{d}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक स्लिट पृथक्करण $d_1 = d$ है और प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \beta$ है।
दिया गया है कि अंतिम स्लिट पृथक्करण $d_2 = 3d$ है।
इसलिए,अंतिम फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{\beta}{3}$ होगी।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई और अंतिम फ्रिंज चौड़ाई का अनुपात $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\beta}{\beta/3} = 3:1$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,$d_1 = 2 \ mm$,$D_1 = 100 \ cm = 1000 \ mm$,और $\beta_1 = 0.36 \ mm$ है।
अतः,$0.36 = \frac{\lambda \times 1000}{2} \implies \lambda = \frac{0.36 \times 2}{1000} = 0.00072 \ mm$ है।
अब,स्लिट्स के बीच की नई दूरी $d_2 = 2 \ mm - 0.5 \ mm = 1.5 \ mm$ है।
पर्दे की नई दूरी $D_2 = 100 \ cm + 50 \ cm = 150 \ cm = 1500 \ mm$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ को $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $\beta_2 = \frac{0.00072 \times 1500}{1.5} = \frac{0.00072 \times 1000}{1} = 0.72 \ mm$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda D}{d} = 3 \text{ mm}$ दी गई है।
प्रश्न के अनुसार, नई दूरी $D' = D + 0.5D = 1.5D$ और झिरियों के बीच की नई दूरी $d' = d - 0.1d = 0.9d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (1.5D)}{0.9d}$ है।
इसे सरल करने पर, $\beta_2 = \frac{1.5}{0.9} \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{15}{9} \times \beta_1 = \frac{5}{3} \times 3 \text{ mm}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\beta_2 = 5 \text{ mm}$।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग $(YDSE)$ में,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ दिया गया है।
मान लीजिए कि दोनों झिरियों की तीव्रता समान है,$I_1 = I_2 = I_s$।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 I_s + 2 I_s (\frac{1}{2}) = 2 I_s + I_s = 3 I_s$।
अधिकतम तीव्रता $I_0$ तब होती है जब $\cos(\Delta \phi) = 1$ हो,इसलिए $I_0 = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_s} + \sqrt{I_s})^2 = (2 \sqrt{I_s})^2 = 4 I_s$।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{3 I_s}{4 I_s} = \frac{3}{4}$ होगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दी गई मान हैं:
स्लिट के बीच की दूरी,$d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
पर्दे की दूरी,$D = 2 \ m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{(400 \times 10^{-9} \ m) \times (2 \ m)}{2 \times 10^{-3} \ m}$.
$\beta = \frac{800 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \ m$.
$\beta = 400 \times 10^{-6} \ m = 0.4 \times 10^{-3} \ m$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $50 \%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.50 \lambda = 1.50 \lambda$ है।
स्लिट्स के बीच की दूरी को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $d' = 2d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ है: $\beta' = \frac{D \lambda'}{d'} = \frac{D (1.50 \lambda)}{2d} = 0.75 \beta$।
फ्रिंज चौड़ाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\beta' - \beta}{\beta} \times 100 \%$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{0.75 \beta - \beta}{\beta} \times 100 \% = -0.25 \times 100 \% = -25 \%$।
अतः,प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $25 \%$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 560 \,nm$ और $\beta_1 = 7.2 \,mm$.
दूसरे प्रकाश के लिए,$\beta_2 = 8.1 \,mm$.
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $\beta \propto \lambda$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर,$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{\beta_2}{\beta_1}$.
मान रखने पर: $\lambda_2 = 560 \,nm \times \frac{8.1 \,mm}{7.2 \,mm} = 560 \times \frac{81}{72} = 560 \times \frac{9}{8} = 70 \times 9 = 630 \,nm$.
अतः,दूसरे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $630 \,nm$ है।