Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$n_1 = 5$,$\lambda_1 = 600 nm$,और $y_1 = 6 mm$ है।
अतः,$6 = 5 \times \frac{600 D}{d} \Rightarrow \frac{D}{d} = \frac{6}{5 \times 600} = \frac{1}{500} mm/nm$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$n_2 = 3$,$\lambda_2 = 400 nm$ है।
तीसरी दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$ है।
मान रखने पर: $y_2 = 3 \times 400 \times \frac{1}{500} = \frac{1200}{500} = 2.4 mm$।

(C) दिया गया है: $\lambda_1 = 3750 \text{ Å}$,$\lambda_2 = 7500 \text{ Å}$,$D = 4 \,m$,$d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$.
दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,स्थिति $x$ दोनों तरंगदैर्ध्य के लिए समान होनी चाहिए:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,या $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{7500}{3750} = \frac{2}{1}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 2$ और $n_2 = 1$ लेते हैं।
$x$ के व्यंजक में $n_1 = 2$ रखने पर:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{2 \times 3750 \times 10^{-10} \,m \times 4 \,m}{3 \times 10^{-3} \,m}$
$x = \frac{30000 \times 10^{-10} \times 4}{3 \times 10^{-3}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-3}} = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में अदीप्त फ्रिंज (न्यूनतम) के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र है: $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
द्वितीय क्रम की अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 2$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = (2 - \frac{1}{2}) \times 5000 \text{ Å} = \frac{3}{2} \times 5000 \text{ Å} = 7500 \text{ Å}$।
माइक्रोमीटर में बदलने पर: $7500 \text{ Å} = 7500 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.75 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.75 \mu m$।

(B) दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी, $d = 0.28 \,mm = 0.28 \times 10^{-3} \,m$
स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी, $D = 1.4 \,m$
केंद्रीय फ्रिंज से $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी, $y_n = 1.2 \,cm = 1.2 \times 10^{-2} \,m$
फ्रिंज का क्रम, $n = 4$
संपोषी व्यतिकरण के लिए, $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति इस प्रकार है:
$y_n = n \lambda \frac{D}{d}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{y_n d}{n D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-2} \,m) \times (0.28 \times 10^{-3} \,m)}{4 \times 1.4 \,m}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6} \,m$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$
अतः, उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $600 \,nm$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि नई दूरी $D_2 = 2D_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ को $\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\beta_2 = \frac{(2D_1) \lambda}{(d_1 / 2)} = 4 \times \frac{D_1 \lambda}{d_1} = 4 \beta_1$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुनी हो जाती है।

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
मान लीजिए प्रारंभिक फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्लिट्स के बीच की नई दूरी $d_2 = 10 d_1$ है और स्क्रीन से नई दूरी $D_2 = \frac{D_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda (D_1 / 2)}{10 d_1} = \frac{1}{20} \left( \frac{\lambda D_1}{d_1} \right)$ होगी।
अतः,$\beta_2 = \frac{1}{20} \beta_1$ हो जाती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$,$\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए।
प्रथम अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथांतर $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi$.
अतः,कलांतर $\pi$ है।

(C) पर्दे पर व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए,पथान्तर की शर्त इस प्रकार है:
$d \sin \theta = n \lambda$
जहाँ $d$ झिरियों के बीच की दूरी है,$\theta$ कोण है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है कि $d = 2 \lambda$,इसलिए समीकरण बनता है:
$2 \lambda \sin \theta = n \lambda$
$2 \sin \theta = n$
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $n$ का अधिकतम मान होगा:
$n_{max} = 2 \times 1 = 2$
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-2 \le n \le 2$ हैं।
ये मान $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
अतः,व्यतिकरण उच्चिष्ठों की कुल संख्या $5$ है।

(B) $1.33$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र: $\beta = \frac{\lambda' D}{d}$,जहाँ $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ है।
अतः,$\beta = \frac{\lambda D}{\mu d}$।
दिए गए मान:
$\lambda = 6300 \ \mathring{A} = 6300 \times 10^{-10} \ m$
$D = 1.33 \ m$
$d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$
$\mu = 1.33$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10} \times 1.33}{1.33 \times 10^{-3}}$
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \ m$
$\beta = 6.3 \times 10^{-4} \ m = 0.63 \ mm$।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि जब $\lambda$ और $D$ स्थिर होते हैं, तो $\beta \propto \frac{1}{d}$ होता है।
दिया गया है: प्रारंभिक झिरी पृथक्करण $d_1 = 2 \text{ mm}$, प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$।
नया झिरी पृथक्करण $d_2 = 1.5 \times d_1 = 1.5 \times 2 \text{ mm} = 3 \text{ mm}$।
समानुपातिकता $\beta_1 d_1 = \beta_2 d_2$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{d_1}{d_2} = 1.2 \text{ mm} \times \frac{2 \text{ mm}}{3 \text{ mm}} = 1.2 \times \frac{2}{3} \text{ mm} = 0.4 \times 2 \text{ mm} = 0.8 \text{ mm}$।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $0.8 \text{ mm}$ होगी।

(C) दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्यों $\lambda_1$ और $\lambda_2$ की दीप्त फ्रिंजों के केंद्रीय उच्चिष्ठ से $x$ दूरी पर संपाती होने की शर्त $x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$ है।
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
दिया गया है $\lambda_1 = 4200 \text{ Å}$ और $\lambda_2 = 5040 \text{ Å}$,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5040}{4200} = \frac{6}{5}$।
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 6$ और $n_2 = 5$ लेते हैं।
दूरी $x$ का सूत्र $x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d}$ है।
दिया गया है $D = 200 \text{ cm} = 2 \text{ m}$,$d = 2.4 \text{ mm} = 2.4 \times 10^{-3} \text{ m}$,और $\lambda_1 = 4200 \times 10^{-10} \text{ m}$।
मान रखने पर: $x = \frac{6 \times 4200 \times 10^{-10} \times 2}{2.4 \times 10^{-3}} = 2.1 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.1 \text{ mm}$।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है $I = \frac{I_0}{4}$,तो $\frac{I_0}{4} = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$,जिसका अर्थ है $\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$।
वर्गमूल लेने पर,$\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,जिससे $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ कलांतर से $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi = \frac{\lambda}{2\pi} \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\lambda}{3}$ द्वारा संबंधित है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ है। दिया गया है $d = 2\lambda$,तो $\frac{\lambda}{3} = 2\lambda \sin \theta$।
$\sin \theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{\lambda/3}{2\lambda} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, पर्दे की दूरी $D = 120 \,cm = 1.2 \,m$, और पर्दे पर स्थिति $y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$।
पथांतर $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (0.5 \times 10^{-3} \,m)}{1.2 \,m} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{1.2} \,m = 1.25 \times 10^{-6} \,m$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{500 \times 10^{-9} \,m} \times (1.25 \times 10^{-6} \,m) = \frac{2.5 \pi \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{2.5 \pi}{0.5} = 5 \pi$ रेडियन।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश के लिए,$n$वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_P = n \frac{\lambda_R D}{d}$ है।
हरे प्रकाश के लिए,$(n+1)$वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_P = (n+1) \frac{\lambda_G D}{d}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में बिंदु $P$ समान है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$n \lambda_R \frac{D}{d} = (n+1) \lambda_G \frac{D}{d}$.
उभयनिष्ठ पदों $\frac{D}{d}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n \lambda_R = (n+1) \lambda_G$.
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda_R = 6000 \ Å$ और $\lambda_G = 5000 \ Å$ का मान रखने पर:
$n(6000) = (n+1)(5000)$.
दोनों पक्षों को $1000$ से विभाजित करने पर:
$6n = 5(n+1)$.
$6n = 5n + 5$.
$n = 5$.

(B) यंग के डबल-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
$\beta_1 = 1.2 \ \text{mm}$
$d_2 = 1.5 \times d_1$
चूंकि $\beta \propto \frac{1}{d}$ (मानते हुए कि $\lambda$ और $D$ स्थिर हैं),
$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1} = 1.5$
मान रखने पर:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \ \text{mm}$
अतः, नई फ्रिंज की चौड़ाई $0.8 \ \text{mm}$ है।

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $(P_1)$ पर,पथ अंतर $0$ है,इसलिए कलांतर $\phi_1 = 0$ है। अतः,$I_1 = I_{max}$।
केंद्र से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P_2$,$P_1$ से $y = \frac{\beta}{4}$ की दूरी पर है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
इसलिए,$\Delta x = \frac{(\beta/4)d}{D} = \frac{(\lambda D/4d)d}{D} = \frac{\lambda}{4}$।
कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$P_2$ पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_{max} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2$ है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच कोणीय पृथक्करण $\theta$ को सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 400 nm = 400 \times 10^{-9} m = 4 \times 10^{-7} m$.
झिरियों के बीच की दूरी $(d) = 0.001 m = 1.0 \times 10^{-3} m$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \frac{4 \times 10^{-7} m}{1.0 \times 10^{-3} m} = 4 \times 10^{-4} rad$.

(C) $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = (n - 0.5) \beta$ द्वारा दी जाती है।
$5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $(y_5 = 5 \beta)$ और $7^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज $(y'_7 = (7 - 0.5) \beta = 6.5 \beta)$ के बीच की दूरी $3 \text{ mm}$ दी गई है:
$|6.5 \beta - 5 \beta| = 3 \text{ mm} \implies 1.5 \beta = 3 \text{ mm} \implies \beta = 2 \text{ mm}$.
अब, हमें $5^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज $(y'_5 = (5 - 0.5) \beta = 4.5 \beta)$ और $7^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज $(y_7 = 7 \beta)$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है:
दूरी $= |7 \beta - 4.5 \beta| = 2.5 \beta$.
$\beta = 2 \text{ mm}$ रखने पर:
दूरी $= 2.5 \times 2 \text{ mm} = 5 \text{ mm}$.

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में तीव्रता $I_{res} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ होती है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I' = I_{max} \cos^2(\frac{\phi_2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3})$ होती है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I' = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{max} = I$,इसलिए तीव्रता $\frac{I}{4}$ होगी।

(C) $YDSE$ में,$n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d} + y_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $y_0$ केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति है।
हवा में दिया गया है: $y_0 = 2 \text{ cm}$ और $y_{10} = 5 \text{ cm}$।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = y_{10} - y_0 = 5 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$।
हम जानते हैं कि $\beta = \frac{\lambda D}{d}$। अतः,$\frac{\lambda D}{d} = 3 \text{ cm}$।
जब उपकरण को $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu} = \frac{3 \text{ cm}}{1.5} = 2 \text{ cm}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति $y_0'$ अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह तरंगदैर्ध्य पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए $y_0' = 2 \text{ cm}$।
$10^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की नई स्थिति $y_{10}' = y_0' + 10 \beta' = 2 \text{ cm} + 10 \times \frac{3 \text{ cm}}{10 \times 1.5} = 2 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$।

(B) दो स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी $D = 1 \,m$ है।
उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$ है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = \frac{1 \times 500 \times 10^{-9}}{10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \,m = 0.5 \times 10^{-3} \,m = 0.5 \,mm$.

(B) दिया गया है: स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6.5 \times 10^{-7} \,m$, पर्दे की दूरी $D = 1 \,m$ है।
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए, स्थिति $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज $(n=3)$ के लिए: $y_3 = (3 - 0.5) \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 2.5 \times 6.5 \times 10^{-4} = 16.25 \times 10^{-4} \,m$ है।
$n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए, स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज $(n=5)$ के लिए: $y_5 = \frac{5 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 32.5 \times 10^{-4} \,m$ है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज और पांचवीं दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta y = y_5 - y_3 = 32.5 \times 10^{-4} - 16.25 \times 10^{-4} = 16.25 \times 10^{-4} \,m = 1.625 \,mm$ है।

(C) जब प्रकाश तरंग $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करती है,तो उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
$\text{YDSE}$ में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda^{\prime} D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 550 \times 10^{-9} \ m$,$D = 0.6 \ m$,$d = 0.2 \times 10^{-3} \ m$,और $\mu = \frac{11}{9}$.
मान रखने पर:
$\beta = \frac{(\lambda / \mu) D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6}{(11/9) \times 0.2 \times 10^{-3}}$.
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6 \times 9}{11 \times 0.2 \times 10^{-3}} = \frac{330 \times 10^{-9} \times 9}{2.2 \times 10^{-3}} = \frac{2970 \times 10^{-9}}{2.2 \times 10^{-3}} = 1350 \times 10^{-6} \ m = 1.35 \ mm$.

(A) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\theta}$ का सूत्र $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूँकि $\beta_{\theta} \propto \lambda$,जब प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta}' = \frac{\beta_{\theta}}{\mu}$ होगी।
दिया गया है कि $\beta_{\theta} = 0.2^{\circ}$ और $\mu = \frac{4}{3}$,अतः नई कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ है।
कोणीय चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta_{\theta} = \beta_{\theta} - \beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} - 0.15^{\circ} = 0.05^{\circ}$ होगा।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $m$ वें क्रम के उच्चिष्ठ (maximum) की स्थिति $y = \frac{m \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश के $m$ वें क्रम और नीले प्रकाश के $(m+1)$ वें क्रम के संपाती होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए:
$y_{\text{red}} = y_{\text{blue}}$
$\frac{m \lambda_1 D}{d} = \frac{(m+1) \lambda_2 D}{d}$
$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m(780 \ nm) = (m+1)(520 \ nm)$
$780m = 520m + 520$
$780m - 520m = 520$
$260m = 520$
$m = \frac{520}{260} = 2$
अतः,लाल प्रकाश का $2$ रा क्रम नीले प्रकाश के $3$ रे क्रम के साथ संपाती होता है।

(A) डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूंकि $d$ स्थिर रहता है,कोणीय चौड़ाई तरंग दैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\theta \propto \lambda$.
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\theta}{\mu}$ होगा।
दिया गया है $\theta = 0.15^{\circ}$ और $\mu = \frac{5}{3}$,अतः:
$\theta' = \frac{0.15^{\circ}}{5/3} = 0.15^{\circ} \times \frac{3}{5} = 0.03^{\circ} \times 3 = 0.09^{\circ}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{वें}}$ क्रम के उच्चिष्ठ की स्थिति का सूत्र है: $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
चूंकि दोनों प्रकाश स्रोतों के लिए स्थिति $Y_n$ समान रहती है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना कर सकते हैं:
$Y_n = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
यहाँ $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,और $\lambda_2 = 4800 \ Å$ दिया गया है,मान रखने पर:
$12 \times 6000 = n_2 \times 4800$.
$n_2 = \frac{12 \times 6000}{4800} = \frac{72000}{4800} = 15$.
अतः,उसी बिंदु पर $15^{\text{वां}}$ क्रम का उच्चिष्ठ दिखाई देगा।

(B) मान लीजिए $I_{max}$ अधिकतम तीव्रता है। किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहां $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda/3$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ है।
दी गई तीव्रता $I_1 = I_0 = I_{max} \cos^2(2\pi/6) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$ है।
अतः,$I_{max} = 4 I_0$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है।
$I_{max} = 4 I_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_2 = 4 I_0$ प्राप्त होता है।

(B) $YDSE$ में,मान लीजिए कि दो समान कला-संबद्ध स्रोतों $S_1$ और $S_2$ की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
बिंदु $A$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_1 = \lambda$ है। कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \lambda = 2\pi$ है।
तीव्रता $I_A = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
बिंदु $B$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ है। कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_B = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 (\frac{1}{2}) = 2I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,जब स्लिट्स को प्रकाशित करने के लिए श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो व्यतिकरण पैटर्न का केंद्रीय बिंदु दोनों कला-संबद्ध स्रोतों से समान दूरी पर होता है।
इस केंद्रीय बिंदु पर,श्वेत प्रकाश में मौजूद सभी तरंग दैर्ध्य (रंगों) के लिए पथ अंतर शून्य होता है।
चूंकि कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है,और $\Delta x = 0$ है,इसलिए सभी रंगों के लिए कलांतर शून्य होता है।
परिणामस्वरूप,सभी रंग केंद्रीय बिंदु पर संपोषी व्यतिकरण करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक सफेद फ्रिंज का निर्माण होता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई तरंग दैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
दिए गए रंगों की तरंग दैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$.
इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई भी इसी क्रम का पालन करेगी: $\beta_R > \beta_G > \beta_B$.

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 6600 \ \text{Å}$,$\lambda_2 = 4400 \ \text{Å}$,$n_1 = 60$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,दृश्य क्षेत्र की कोणीय चौड़ाई स्थिर रहती है।
फ्रिंजों की संख्या $n$,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
अतः,$n \propto \frac{1}{\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$60 \times 6600 = n_2 \times 4400$
$n_2 = \frac{60 \times 6600}{4400}$
$n_2 = 60 \times \frac{66}{44} = 60 \times 1.5 = 90$.
अतः,$90$ फ्रिंजें दिखाई देंगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट पृथक्करण है।
दिया गया है कि नया स्लिट पृथक्करण $d_2 = 2d_1$ है और नई दूरी $D_2 = \frac{D_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ होगी:
$\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2} = \frac{(D_1 / 2) \lambda}{2 d_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{D_1 \lambda}{d_1} \right)$
$\beta_2 = \frac{1}{4} \beta_1$
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई अपने मूल मान का $\frac{1}{4}$ गुना हो जाती है।

(B) मान लीजिए कि $\lambda_1 = 400 \text{ nm}$ तरंगदैर्ध्य की $m$-वीं दीप्त फ्रिंज और $\lambda_2 = 600 \text{ nm}$ तरंगदैर्ध्य की $n$-वीं दीप्त फ्रिंज पर्दे पर बिंदु $P$ पर संपाती होती हैं।
दीप्त फ्रिंज के लिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $y = \frac{k \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ फ्रिंज का क्रम है।
चूँकि वे बिंदु $P$ पर संपाती हैं,इसलिए $y_m = y_n$ होगा।
$\frac{m \lambda_1 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{d}$
$\frac{m}{n} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{m}{n} = \frac{600 \text{ nm}}{400 \text{ nm}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
अतः,$m$ और $n$ के न्यूनतम पूर्णांक मान $m = 3$ और $n = 2$ हैं।

(C) दिया गया है,$\lambda_1 = 8 \times 10^{-5} \ cm$ और $\lambda_2 = 6 \times 10^{-5} \ cm$.
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n_1$ वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_1} = (2n_1 - 1) \frac{D \lambda_1}{2d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_2} = \frac{n_2 D \lambda_2}{d}$ है।
चूंकि दोनों फ्रिंज संपाती हैं,$x_{n_1} = x_{n_2}$:
$(2n_1 - 1) \frac{D \lambda_1}{2d} = \frac{n_2 D \lambda_2}{d}$
$\frac{2n_1 - 1}{n_2} = \frac{2 \lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2 \times 6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$
अतः,$2(2n_1 - 1) = 3n_2$ अर्थात $4n_1 - 2 = 3n_2$.
यह समीकरण $n_1=2, n_2=2$ के लिए संतुष्ट होता है।

(C) चमकीली फ्रिंज के संपाती होने की शर्त $y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$ है।
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिए गए तरंगदैर्ध्य को रखने पर: $n_1(500 \ nm) = n_2(600 \ nm)$.
यह $5 n_1 = 6 n_2$ में सरल हो जाता है,जिससे सबसे छोटा पूर्णांक अनुपात $n_1 = 6$ और $n_2 = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$n_1$-वीं चमकीली फ्रिंज की स्थिति के सूत्र का उपयोग करते हुए: $y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d}$.
यहाँ $y = 2.5 \ mm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$,$d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$,और $\lambda_1 = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $2.5 \times 10^{-3} = \frac{6 \times 500 \times 10^{-9} \times D}{3 \times 10^{-3}}$.
$D$ के लिए हल करने पर: $D = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-3}}{6 \times 500 \times 10^{-9}} = \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3000 \times 10^{-9}} = \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-6}} = 2.5 \ m$.

(D) केंद्रीय दीप्त फ्रिंज और निकटवर्ती दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के बराबर होती है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
स्लिट पृथक्करण $d = 0.3 \,mm = 0.3 \times 10^{-3} \,m$
पर्दे की दूरी $D = 1 \,m$
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 1.9 \,mm = 1.9 \times 10^{-3} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.9 \times 10^{-3} = \frac{\lambda \times 1}{0.3 \times 10^{-3}}$
$\lambda = 1.9 \times 10^{-3} \times 0.3 \times 10^{-3}$
$\lambda = 0.57 \times 10^{-6} \,m$
$\lambda = 570 \times 10^{-9} \,m = 570 \,nm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
प्रारंभिक स्लिट पृथक्करण $d_1 = 2 \text{ mm}$.
स्लिट पृथक्करण को पिछले मान से डेढ़ गुना बढ़ा दिया जाता है,इसलिए $d_2 = 1.5 d_1$.
चूंकि $\beta \propto \frac{1}{d}$,इसलिए $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$.
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \text{ mm}$.

(B) दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 Å = 6 \times 10^{-7} \ m$ है।
यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में अदीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं।
मान रखने पर: $\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{6 \times 10^{-7}}{2} \ m$.
$\Delta x = 5 \times 3 \times 10^{-7} \ m = 15 \times 10^{-7} \ m$.
माइक्रोन में बदलने पर $(1 \mu m = 10^{-6} \ m)$:
$\Delta x = 1.5 \times 10^{-6} \ m = 1.5 \mu m$.

(C) दिया गया है: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\Delta x / \lambda = (1.5 \times 10^{-6}) / (6 \times 10^{-7}) = 15 / 6 = 2.5$.
चूँकि $n$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह दीप्त फ्रिंज नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times (6 \times 10^{-7} / 2)$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = (1.5 \times 10^{-6}) / (3 \times 10^{-7}) = 15 / 3 = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ के लिए पहली अदीप्त फ्रिंज,$n = 1$ के लिए दूसरी और $n = 2$ के लिए तीसरी अदीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है। अतः,बिंदु $P$ पर तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \frac{\lambda}{d}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 4\lambda_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d_2} = \frac{(4\lambda_1) D}{(d_1/2)} = 8 \times \frac{\lambda_1 D}{d_1} = 8\beta_1$ होगी।
अतः,दो उच्चिष्ठों के बीच की दूरी मूल मान का $8$ गुना हो जाएगी।