Thin film Interference, fresnel biprism, lloyd's mirror Questions in Hindi

(A) सामान्य न्यूटन के वलय प्रयोग में,लेंस $(n_l)$ और कांच की प्लेट $(n_g)$ के बीच हवा होती है,जहाँ $n_l > n_{air}$ और $n_g > n_{air}$ होता है। हवा की परत की निचली सतह पर परावर्तन कांच-हवा इंटरफेस (सघन से विरल) पर होता है,जबकि ऊपरी सतह पर परावर्तन हवा-कांच इंटरफेस (विरल से सघन) पर होता है। यह एक किरण के लिए $\pi$ का कलांतर (phase change) लाता है,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय बिंदु काला (dark) होता है।
जब इस स्थान को $n_{liq} > n_g$ वाले द्रव से भर दिया जाता है,तो निचली सतह पर परावर्तन कांच-द्रव इंटरफेस (विरल से सघन) पर होता है और ऊपरी सतह पर परावर्तन द्रव-कांच इंटरफेस (सघन से विरल) पर होता है।
चूंकि अब दोनों परावर्तन समान परिस्थितियों में होते हैं (या तो दोनों में कला परिवर्तन होता है या दोनों में नहीं),केंद्र पर पथ अंतर प्रभावी रूप से शून्य हो जाता है,जिससे संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) होता है। इस प्रकार,केंद्रीय बिंदु चमकीला हो जाता है। कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह बताता है कि कला परिवर्तन की स्थितियाँ केंद्र को चमकीला क्यों बनाती हैं।

(C) कथन सही है क्योंकि सफेद प्रकाश द्वारा प्रकाशित होने पर पतली फिल्में व्यतिकरण पैटर्न प्रदर्शित करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंग दिखाई देते हैं।
हालाँकि,कारण अधूरा है और इसलिए गलत है। पतली फिल्मों में व्यतिकरण की घटना केवल ऊपरी सतह से ही नहीं,बल्कि पतली फिल्म की ऊपरी सतह और निचली सतह दोनों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण के कारण होती है। इन दो परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर विभिन्न तरंग दैर्ध्य के लिए संपोषी या विनाशी व्यतिकरण की ओर ले जाता है,जो देखे गए रंगों का निर्माण करता है।

(C) कथन सही है। मॉर्फो तितली के पंख का रंग वर्णकों (pigments) के कारण नहीं,बल्कि पंख की सतह पर मौजूद सूक्ष्म शल्कों (scales) से परावर्तित प्रकाश के व्यतिकरण (interference) के कारण उत्पन्न संरचनात्मक रंग के कारण होता है।
जब हवा पंख को हिलाती है,तो आपतन कोण और शल्कों की विभिन्न परतों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के बीच का पथ अंतर बदल जाता है। इससे व्यतिकरण पैटर्न में बदलाव आता है,जिसके परिणामस्वरूप देखे गए रंग में परिवर्तन होता है।
कारण गलत है क्योंकि रंग वर्णकों के कारण नहीं,बल्कि पंख की सतह की भौतिक संरचना (पतली फिल्म का व्यतिकरण) के कारण होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(N/A) अधिकतम संचरण के लिए,परावर्तित किरणों को विनाशी व्यतिकरण करना चाहिए। यह तब होता है जब दो परावर्तित किरणों के बीच पथ का अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होता है।
अभिलंब आपतन $(i = 0)$ के लिए,पथ का अंतर $\Delta x = 2nd$ है।
चूंकि दोनों परावर्तन विरल से सघन माध्यम की सतह पर होते हैं,इसलिए परावर्तन के कारण कोई अतिरिक्त कलांतर (phase shift) नहीं होता है।
अतः,विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम परावर्तन,अधिकतम संचरण) के लिए शर्त $2nd = (m + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $m = 0, 1, 2, \dots$ है।
न्यूनतम मोटाई के लिए,हम $m = 0$ लेते हैं,इसलिए $2nd = \frac{\lambda}{2}$।
$d = \frac{\lambda}{4n} = \frac{5500 \times 10^{-10} \, \text{m}}{4 \times 1.38} \approx 996.4 \times 10^{-10} \, \text{m} \approx 996.4 \, \mathring{A}$।

(A) पतली फिल्मों में रंगों की घटना प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण के कारण होती है, जो फिल्म की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित होती हैं।
दृश्य स्पेक्ट्रम में संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) होने के लिए, पथ अंतर को प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ से संबंधित होना चाहिए।
$t$ मोटाई की एक पतली फिल्म में व्यतिकरण के लिए शर्त लगभग $2\mu t \approx n\lambda$ होती है।
चूंकि दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लगभग $400\,nm$ से $700\,nm$ (अर्थात $4 \times 10^{-7}\,m$ से $7 \times 10^{-7}\,m$) के बीच होती है, इसलिए तेल की फिल्म की मोटाई $t$ को दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए।
अतः, मोटाई की कोटि $10^{-7}\,m$ से $10^{-6}\,m$ है।
दिए गए विकल्पों में से, $10^{-6}\,m$ सबसे उपयुक्त कोटि है।

(D) पतली फिल्म से परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दिया गया है: $\mu = 1.4$,$t = 10^{-4} \,cm = 10^6 \, \mathring{A}$.
लंबवत आपतन के लिए,$r = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos r = 1$.
शर्त के अनुसार: $2 \times 1.4 \times 10^{-4} \,cm = n \lambda$.
$2.8 \times 10^{-4} \,cm = n \lambda$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $2.8 \times 10^{-4} \times 10^8 \, \mathring{A} = n \lambda$.
$28000 \, \mathring{A} = n \lambda$.
अतः,$\lambda = \frac{28000}{n} \, \mathring{A}$.
$n = 4$ के लिए,$\lambda = 7000 \, \mathring{A}$.
$n = 5$ के लिए,$\lambda = 5600 \, \mathring{A}$.
$n = 7$ के लिए,$\lambda = 4000 \, \mathring{A}$.
चूंकि दिए गए सभी विकल्प विनाशी व्यतिकरण की शर्त को पूरा करते हैं,इसलिए वे परावर्तित प्रकाश में दिखाई नहीं देंगे।

(A) सही उत्तर $A$ है।
फ्रेनेल का बाइप्रिज्म एक ऑप्टिकल उपकरण है जिसका उपयोग व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।
इसका उपयोग विशेष रूप से ऑप्टिकल परीक्षण में लेंस की सतह की अनियमितताओं और खामियों का पता लगाने के लिए किया जाता है,जिसे इस उपकरण द्वारा उत्पन्न व्यतिकरण फ्रिंज में होने वाले विरूपण (distortion) का अवलोकन करके किया जाता है।

(A) पतली साबुन की फिल्म पर रंगों के दिखाई देने की घटना प्रकाश के व्यतिकरण (Interference) के कारण होती है।
जब सफेद प्रकाश एक पतली साबुन की फिल्म पर आपतित होता है,तो प्रकाश तरंगें फिल्म की बाहरी और आंतरिक दोनों सतहों से परावर्तित होती हैं।
ये परावर्तित तरंगें अध्यारोपित होती हैं,जिससे पथ अंतर और प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के आधार पर संपोषी या विनाशी व्यतिकरण होता है।
चूंकि फिल्म की मोटाई अलग-अलग होती है और पथ अंतर आपतन कोण पर निर्भर करता है,इसलिए अलग-अलग तरंगदैर्घ्य (रंग) अलग-अलग बिंदुओं पर संपोषी व्यतिकरण करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंगीन पैटर्न दिखाई देते हैं।

(D) विकल्प $A$ सही है क्योंकि एक गतिमान हवाई जहाज से विद्युत चुम्बकीय तरंगों का परावर्तन व्यतिकरण (interference) पैदा करता है,जिससे घोस्ट इमेज बनती हैं।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि सौर सेल में परावर्तन को कम करने के लिए पतली फिल्म व्यतिकरण का उपयोग किया जाता है,जिससे प्रकाश का अवशोषण बढ़ जाता है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि गैर-परावर्तक कोटिंग्स (जैसे $MgF_2$) ऑप्टिकल लेंस में अवांछित परावर्तन को खत्म करने के लिए विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) का उपयोग करती हैं।
चूंकि सभी कथन वैज्ञानिक रूप से सटीक हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
तितलियों और पतंगों के पंख एक रंगहीन पारभासी झिल्ली से बने होते हैं जो शल्कों (scales) की एक परत से ढके होते हैं। प्रत्येक शल्क एक एकल कोशिका की चपटी वृद्धि है और लगभग $100 \,\mu m$ लंबा और $50 \,\mu m$ चौड़ा होता है।
ये शल्क छत की टाइलों की तरह एक-दूसरे पर ओवरलैप करते हैं और झिल्ली को पूरी तरह से ढक लेते हैं,जो नग्न आंखों से धूल के रूप में दिखाई देते हैं।
पंखों में इंद्रधनुषी चमक पतली फिल्म व्यतिकरण (thin-film interference) के कारण होती है। शल्कों की संरचना में सूक्ष्म परतें होती हैं जो प्रकाश को परावर्तित करती हैं। जब सूर्य का प्रकाश इन परतों पर पड़ता है,तो इन पतली संरचनाओं की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं।
इन परतों की मोटाई और देखने के कोण के आधार पर,प्रकाश की कुछ तरंग दैर्ध्य संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) का अनुभव करती हैं जबकि अन्य विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) का अनुभव करती हैं। विशिष्ट रंगों के इस चयनात्मक सुदृढ़ीकरण के परिणामस्वरूप पंखों पर सुंदर इंद्रधनुषी रंग दिखाई देते हैं।

(C) करेंसी नोटों को झुकाने पर उनके रंग में बदलाव के लिए जिम्मेदार घटना प्रकाश का $\text{व्यतिकरण}$ (Interference) है。
करेंसी नोटों में अक्सर पतली फिल्म (thin-film) वाली विशेष स्याही का उपयोग किया जाता है। जब प्रकाश इन परतों पर पड़ता है, तो यह पतली फिल्म की ऊपरी और निचली दोनों सतहों से परावर्तित होता है。
ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के बीच का पथांतर आपतन कोण (जो नोट को झुकाने पर बदलता है) और फिल्म की मोटाई पर निर्भर करता है。
इस पथांतर के कारण, प्रकाश की विशिष्ट तरंगदैर्घ्य के लिए संपोषी या विनाशी व्यतिकरण होता है, जिससे देखने का कोण बदलने पर दिखाई देने वाला रंग बदल जाता है。

(C) पतली फिल्म में संपोषी व्यतिकरण (परावर्तित प्रकाश) के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
यहाँ $\mu = 4/3$,$t = 3100 \,\mathring{A}$ और सामान्य आपतन ($r = 0$,इसलिए $\cos r = 1$) दिया गया है।
सूत्र $\lambda = \frac{4 \mu t}{2n - 1}$ बन जाता है।
$n = 1$ के लिए: $\lambda = 4 \times (4/3) \times 3100 = 16533 \,\mathring{A}$ (इन्फ्रारेड)।
$n = 2$ के लिए: $\lambda = \frac{4 \times (4/3) \times 3100}{3} = \frac{16533}{3} = 5511 \,\mathring{A}$।
यह तरंगदैर्ध्य $(5511 \,\mathring{A})$ दृश्य स्पेक्ट्रम के पीले रंग के क्षेत्र के अनुरूप है।
इसलिए,फिल्म पीली दिखाई देगी।

(C) इस व्यवस्था में,बिंदु स्रोत $P$ और समतल दर्पण द्वारा निर्मित उसका आभासी प्रतिबिंब $P'$ दो कला-संबद्ध बिंदु स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं। दो कला-संबद्ध बिंदु स्रोतों द्वारा उन्हें जोड़ने वाली रेखा के लंबवत स्क्रीन पर उत्पन्न व्यतिकरण पैटर्न संकेंद्रित वृत्तों से बना होता है। इसलिए,स्क्रीन पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें वृत्ताकार होती हैं।

(B) पतली फिल्मों में व्यतिकरण की घटना तब होती है जब परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के तुलनीय होता है。
दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लगभग $400\,nm$ से $700\,nm$ होती है, जो $4 \times 10^{-7}\,m$ से $7 \times 10^{-7}\,m$ के बराबर है。
इसे मिलीमीटर में बदलने पर, हमें $4 \times 10^{-4}\,mm$ से $7 \times 10^{-4}\,mm$ प्राप्त होता है。
दिए गए विकल्पों में से, $10^{-3}\,mm$ (जो $10^{-6}\,m$ या $1\,\mu m$ है) एकमात्र ऐसा मान है जो दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य की कोटि का है。
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) माइका शीट के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
चूंकि केंद्रीय फ्रिंज $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर विस्थापित होती है, इसलिए विस्थापन $n \beta$ के बराबर है, जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दोनों को बराबर करने पर: $(\mu - 1) t \frac{D}{d} = n \frac{\lambda D}{d}$.
यह सरल होकर बनता है: $\lambda = \frac{(\mu - 1) t}{n}$.
दिए गए मान: $\mu = 1.6$, $t = 7 \ \mu m = 7 \times 10^{-6} \ m$, और $n = 7$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(1.6 - 1) \times 7 \times 10^{-6}}{7}$.
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 6000 \ \mathring{A}$.

(C) प्रकाश के अधिकतम संचरण के लिए, परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) होना चाहिए।
चूंकि फिल्म का अपवर्तनांक $(\mu_f = 2.0)$ हवा $(\mu_a = 1.0)$ और कांच के स्लैब $(\mu_g = 1.45)$ दोनों से अधिक है, इसलिए फिल्म की ऊपरी और निचली दोनों सतहों पर $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है।
परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त $2 \mu_f t = n \lambda$ है, जहां $n = 1, 2, 3, \dots$
न्यूनतम मोटाई के लिए, हम $n = 1$ लेते हैं:
$2 \mu_f t = \lambda$
$t = \frac{\lambda}{2 \mu_f}$
दिए गए मानों $\lambda = 550 \ \text{nm}$ और $\mu_f = 2.0$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$t = \frac{550 \ \text{nm}}{2 \times 2.0} = \frac{550}{4} \ \text{nm} = 137.5 \ \text{nm}$.

(A) एक पतली फिल्म के लिए, संचरित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) के लिए शर्त $2 \mu t = n \lambda$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
यहाँ, $\mu = 1.4$ और $\lambda = 560 \times 10^{-9} \ m$ है।
लगातार न्यूनतम के लिए मोटाई में परिवर्तन $\Delta t = \frac{\lambda}{2 \mu}$ है।
मान रखने पर: $\Delta t = \frac{560 \times 10^{-9}}{2 \times 1.4} = \frac{560 \times 10^{-9}}{2.8} = 200 \times 10^{-9} \ m = 2 \times 10^{-7} \ m$ है।
फिल्म का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (1.8 \times 10^{-2} \ m)^2 = \pi \times 3.24 \times 10^{-4} \ m^2$ है।
वाष्पीकरण की दर $R = \frac{A \times \Delta t}{\Delta T}$ है, जहाँ $\Delta T = 12 \ s$ है।
$R = \frac{\pi \times 3.24 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{-7}}{12} = \frac{\pi \times 6.48 \times 10^{-11}}{12} = 0.54 \times 10^{-11} \ m^3/s = 54 \times 10^{-13} \ m^3/s$ है।
अतः, वाष्पीकरण की दर $54 \pi \times 10^{-13} \ m^3/s$ है।

(A) जब पानी की सतह पर तेल की एक पतली परत फैल जाती है और उसे दिन के उजाले में देखा जाता है,तो चमकदार रंग दिखाई देते हैं।
ये रंग तेल की पतली परत की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित सूर्य के प्रकाश के व्यतिकरण के कारण उत्पन्न होते हैं।
अवरोधों के किनारों पर प्रकाश किरणों का मुड़ना विवर्तन कहलाता है।
विक्षेपण श्वेत प्रकाश का उसके घटक रंगों में विभाजन है।
ध्रुवण एक अनुप्रस्थ तरंग में कंपन को एक ही तल तक सीमित करना है।

(D) माना प्लेट की मोटाई $t$ है।
जब प्रकाश $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली प्लेट से गुजरता है,तो प्रकाशीय पथ की लंबाई $\mu t$ होती है।
समान दूरी $t$ के लिए हवा में प्रकाशीय पथ की लंबाई $t$ होती है।
प्रकाशीय पथ में परिवर्तन (प्रकाशीय पथ अंतर) $\Delta = \mu t - t = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,प्रकाशीय पथ में यह परिवर्तन तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर है,अर्थात $\Delta = \frac{\lambda}{2}$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ प्राप्त होता है।

(B) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर है,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{W}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{W_1}{D_1} = \frac{W_2}{D_2} = \frac{W_3}{D_3} = \frac{W_4}{D_4}$।

(C) $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = \frac{(2m - 1) \lambda_2 D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $5^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज $6^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज के साथ संपाती है,इसलिए $n = 5$ और $m = 6$ रखने पर:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d}$
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$
दोनों पक्षों से $D$ और $d$ को हटाने पर:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{11}{5 \times 2} = \frac{11}{10}$

(C) $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
$8^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=8)$: $x_8 = 8 \beta = 8 \times 0.6 \ mm = 4.8 \ mm$.
$n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x'_n = (n - 0.5) \beta$ द्वारा दी जाती है।
$6^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=6)$: $x'_6 = (6 - 0.5) \beta = 5.5 \beta = 5.5 \times 0.6 \ mm = 3.3 \ mm$.
$8^{th}$ दीप्त फ्रिंज और $6^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta x = x_8 - x'_6 = 4.8 \ mm - 3.3 \ mm = 1.5 \ mm$ है।

(B) $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_6 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ है।
$m^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = \frac{(m - 0.5) \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $7^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_7 = \frac{(7 - 0.5) \lambda_2 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$ है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं,हम उनकी स्थितियों को बराबर करते हैं:
$\frac{6 \lambda_1 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$.
समान पदों $\frac{D}{d}$ को हटाने पर,हमें $6 \lambda_1 = 6.5 \lambda_2$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{6.5}{6} = \frac{13}{12}$ है।

(A) बाइप्रिज्म प्रयोग (या यंग के डबल स्लिट प्रयोग) में फ्रिंज चौड़ाई $(z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और आईपीस (पर्दे) के बीच की दूरी है,और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी है।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर रखी गई है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$z \propto D$
इसका अर्थ है कि अनुपात $\frac{z}{D}$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,$\frac{z_{1}}{D_{1}} = \frac{z_{2}}{D_{2}} = \frac{z_{3}}{D_{3}} = \frac{z_{4}}{D_{4}}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना आपतित तीव्रता $I$ है।
बिंदु $A$ पर,$I$ का $25\%$ किरण $AB$ के रूप में परावर्तित होता है। अतः,$I_1 = 0.25I = I/4$।
अपवर्तित किरण की तीव्रता $0.75I$ है।
बिंदु $C$ पर,यह किरण परावर्तित होती है। आपतित ऊर्जा $(0.75I)$ का $25\%$ परावर्तित होता है। अतः,$A^1$ तक पहुँचने वाली किरण की तीव्रता $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ है।
बिंदु $A^1$ पर,यह किरण $A^1B^1$ के रूप में अपवर्तित होती है। चूंकि $A^1$ पर $25\%$ परावर्तित होता है,इसलिए आपतित ऊर्जा का $75\%$ पारगमित (transmitted) होता है।
अतः,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$।
आयाम $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ और $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ हैं।
आयामों का अनुपात $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ है।
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$।

(B) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $Z = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर है,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ एक स्थिर मान है।
अतः,हम लिख सकते हैं कि $\frac{Z}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि $D$ और $Z$ के विभिन्न मानों के लिए,यह अनुपात समान रहता है:
$\frac{Z_1}{D_1} = \frac{Z_2}{D_2} = \frac{Z_3}{D_3} = \frac{Z_4}{D_4}$.

(A) क्षेत्र की चौड़ाई $L$ स्थिर रहती है और यह फ्रिंजों की संख्या $n$ और फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के गुणनफल के बराबर होती है।
$L = n_1 \beta_1 = n_2 \beta_2$
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
यहाँ $n_1 = 21$,$\lambda_1 = 4800 \text{ Å}$,और $\lambda_2 = 5600 \text{ Å}$ दिया गया है:
$21 \times 4800 = n_2 \times 5600$
$n_2 = \frac{21 \times 4800}{5600} = \frac{21 \times 48}{56} = \frac{21 \times 6}{7} = 3 \times 6 = 18$
अतः,देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $18$ है।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \,m$,फ्रिंज चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta_{2} - \beta_{1} = 12.5 \times 10^{-5} \,m$.
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
फ्रिंज चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta D = D_{2} - D_{1}$ पर्दे की स्थिति में विस्थापन है।
$\Delta D$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta D = \frac{d \cdot \Delta \beta}{\lambda}$.
मान रखने पर: $\Delta D = \frac{10^{-3} \times 12.5 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-7}}$.
$\Delta D = \frac{12.5 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-7}} = 2.5 \times 10^{-1} \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$.
अतः,पर्दे को स्लिट से दूर या पास $25 \,cm$ स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(D) बाईप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
दिया गया है $\lambda_1 = 5000 \ Å$ और $\lambda_2 = 6400 \ Å$.
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ और प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1$ का अनुपात $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{6400}{5000} = 1.28$ है।
इसका अर्थ है कि $\beta_2 = 1.28 \beta_1$.
फ्रिंज की चौड़ाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\beta_2 - \beta_1}{\beta_1} \times 100\% = (1.28 - 1) \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\%$ है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $28\%$ बढ़ जाएगी।

(A) केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = (n - 1/2) \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दूसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 2)$:
$y_2 = (2 - 1/2) \beta = 1.5 \beta = 3 \ mm$.
अतः,$\beta = 3 / 1.5 = 2 \ mm$.
केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है।
छठी दीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 6)$:
$y_6 = 6 \times \beta = 6 \times 2 \ mm = 12 \ mm$.

(A) दिया गया है कि आपतित प्रकाश की कुल तीव्रता का $25 \%$ ऊपरी सतह से परावर्तित होता है। इसका अर्थ है कि यदि आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है,तो पहली परावर्तित किरण की तीव्रता $I_1 = 0.25 I_0 = \frac{I_0}{4}$ होगी।
प्लेट की निचली सतह तक पहुँचने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_0 - 0.25 I_0 = 0.75 I_0 = \frac{3}{4} I_0$ है।
चूंकि इस तीव्रता का $50 \%$ निचली सतह से परावर्तित होता है,इसलिए दूसरी परावर्तित किरण की तीव्रता $I_2 = 0.50 \times \frac{3}{4} I_0 = \frac{3}{8} I_0$ होगी।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2}{\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2}$
$I_1$ और $I_2$ के मान रखने पर:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}+\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}-\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2} = \left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} + \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} - \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{3}{8}}}\right)^2$

(A) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट पृथक्करण है।
चूंकि दोनों सेटअप के लिए फ्रिंज चौड़ाई $W$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ स्थिर हैं,इसलिए $W = \frac{\lambda D_1}{d_1} = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{D_1}{d_1} = \frac{D_2}{d_2}$,या $\frac{D_1}{D_2} = \frac{d_1}{d_2}$।
स्लिट पृथक्करण का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}$ दिया गया है,इसलिए दूरियों का अनुपात $\frac{D_1}{D_2} = \frac{2}{3}$ होगा।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
पहली स्थिति के लिए: $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d}$
दूसरी स्थिति के लिए: $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $W_1 - W_2 = \frac{\lambda}{d}(D_1 - D_2)$
$d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda(D_1 - D_2)}{(W_1 - W_2)}$

(D) अवधारणा: बाइप्रिज्म प्रयोग में,$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है: $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$.
दिया गया है कि $4^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से स्लिट की दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
$n = 4$ के लिए,स्थिति $y_4 = (2(4) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{7 \lambda D}{2d}$ होगी।
$y_4$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{7 \lambda D}{2d} = \frac{d}{2}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $7 \lambda D = d^2 \implies \lambda = \frac{d^2}{7D}$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और आईपीस के बीच की दूरी है,और $d$ दो सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
नई स्थिति में,स्रोतों के बीच की दूरी $d' = 2d$ हो जाती है और स्लिट तथा आईपीस के बीच की दूरी $D' = 2D$ हो जाती है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d}$ है।
अतः,$\beta' = \beta$,जिसका अर्थ है कि फ्रिंज की चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।

(D) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $D = 1.2 \ m$ स्रोत और ऐपिस के बीच की दूरी है और $d = 0.84 \ mm = 0.84 \times 10^{-3} \ m$ आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
जब ऐपिस को $y = 2.799 \ cm = 2.799 \times 10^{-2} \ m$ की दूरी तक अनुप्रस्थ रूप से स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित फ्रिंजों की संख्या $n = 30$ है।
संबंध $y = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
मान रखने पर: $2.799 \times 10^{-2} = 30 \times \frac{\lambda \times 1.2}{0.84 \times 10^{-3}}$.
$\lambda = \frac{2.799 \times 10^{-2} \times 0.84 \times 10^{-3}}{30 \times 1.2}$.
$\lambda = \frac{2.35116 \times 10^{-5}}{36} = 0.06531 \times 10^{-5} \ m = 6531 \times 10^{-10} \ m$.
अतः,$\lambda = 6531 \ \mathring{A}$.

(A) पतली फिल्म से परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $2 \mu t = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ और $\mu$ अपवर्तनांक है, $t$ मोटाई है, और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
न्यूनतम मोटाई के लिए, हम $n = 0$ लेते हैं।
मान रखने पर: $2 \mu t = \frac{\lambda}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\lambda}{4 \mu}$।
दिया गया है $\lambda = 600 \, nm$ और $\mu = 1.5$, इसलिए $t = \frac{600}{4 \times 1.5} = \frac{600}{6} = 100 \, nm$।

(C) पतली फिल्म के लिए,परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) की शर्त $2 \mu t \cos r = (n + 1/2) \lambda_1$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = m \lambda_2$ है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
यहाँ $\lambda_1 = 600 \ nm$ और $\lambda_2 = 450 \ nm$ दिया गया है। लंबवत आपतन $(\cos r = 1)$ मानते हुए:
$2 \mu t = (n + 1/2) \lambda_1 = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2} = (2n + 1) \times 300 \ nm$
$2 \mu t = m \lambda_2 = m \times 450 \ nm$
दोनों को बराबर करने पर: $(2n + 1) \times 300 = m \times 450 \implies (2n + 1) \times 2 = 3m \implies 4n + 2 = 3m$.
बीच में कोई निम्निष्ठ न होने वाली सबसे छोटी मोटाई के लिए,$n=1$ रखने पर: $4(1) + 2 = 6 = 3m \implies m = 2$.
उच्चिष्ठ की शर्त में $n=1$ रखने पर:
$2 \times 1.5 \times t = (1 + 0.5) \times 600 \ nm$
$3t = 1.5 \times 600 \ nm = 900 \ nm$
$t = 300 \ nm = 3 \times 10^{-7} \ m$.
अतः,फिल्म की मोटाई $3$ इकाई है।

(D) पतली फिल्म में परावर्तित प्रकाश के लिए संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) की शर्त $2 \mu d \cos r = n \lambda$ है।
यहाँ फिल्म की मोटाई $d = 2.9 \times 10^{-4} \ mm = 2.9 \times 10^{-7} \ m$ है।
लंबवत आपतन के लिए,$\cos r = 1$ और वायु के लिए अपवर्तनांक $\mu = 1$ है।
पथ अंतर $\Delta = 2d = 2 \times 2.9 \times 10^{-7} \ m = 5.8 \times 10^{-7} \ m = 580 \ nm$ है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $2d = n \lambda$ है।
यदि $n = 1$ लिया जाए,तो $\lambda = 580 \ nm$ प्राप्त होता है।
चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $580 \ nm$ है,इसलिए यह संपोषी व्यतिकरण प्रदर्शित करता है और प्रबलता से परावर्तित होता है।
अतः,परावर्तित प्रकाश का रंग पीला दिखाई देता है।

(B) साबुन के बुलबुले में दिखाई देने वाले रंग व्यतिकरण (interference) की घटना के कारण उत्पन्न होते हैं।
जब प्रकाश साबुन के बुलबुले की पतली फिल्म पर पड़ता है,तो यह बाहरी और आंतरिक दोनों सतहों से परावर्तित होता है।
ये परावर्तित तरंगें अध्यारोपित (superposition) होती हैं,जिससे फिल्म की मोटाई और प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के आधार पर संपोषी या विनाशी व्यतिकरण होता है।
इस व्यतिकरण पैटर्न के परिणामस्वरूप विभिन्न रंग दिखाई देते हैं।

(A) माना आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
ऊपरी सतह से परावर्तित तीव्रता,$I_1 = 25 \% \text{ of } I_0 = \frac{I_0}{4}$.
कांच की प्लेट में प्रवेश करने वाली तीव्रता = $I_0 - \frac{I_0}{4} = \frac{3I_0}{4}$.
निचली सतह से परावर्तित तीव्रता,$I_2 = 50 \% \text{ of } \frac{3I_0}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{3I_0}{4} = \frac{3I_0}{8}$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \left( \frac{\sqrt{\frac{I_0}{4}} + \sqrt{\frac{3I_0}{8}}}{\sqrt{\frac{I_0}{4}} - \sqrt{\frac{3I_0}{8}}} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{3}{8}}} \right)^2$.

(B) एक पतली फिल्म से परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $2nt = (m + 1/2)\lambda$ है, जहाँ $m = 0, 1, 2, \dots$ और $n$ फिल्म का अपवर्तनांक है।
न्यूनतम मोटाई ज्ञात करने के लिए, हम $m = 0$ रखते हैं।
अतः, $2nt = \lambda/2$.
$t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $t = \lambda / (4n)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda = 532 \,nm$ और $n = 1.33$.
$t = 532 / (4 \times 1.33) = 532 / 5.32 = 100 \,nm$.
इसलिए, न्यूनतम मोटाई $100 \,nm$ है।

(D) परावर्तित प्रकाश के लिए,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) की शर्त इस प्रकार है:
$2 \mu t \cos r = n \lambda$
जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है,$t$ मोटाई है,$r$ अपवर्तन कोण है,और $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$।
न्यूनतम मोटाई के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं:
$2 \mu t \cos r = \lambda$
दिए गए मान:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\mu = 1.5$
$r = 60^{\circ} \Rightarrow \cos 60^{\circ} = 0.5$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 \times 1.5 \times t \times 0.5 = 6 \times 10^{-7}$
$1.5 \times t = 6 \times 10^{-7}$
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$