Single Slit Diffraction of Light Questions in Hindi

(C) किरण प्रकाशिकी इस धारणा पर आधारित है कि प्रकाश सीधी रेखाओं में यात्रा करता है। यह सन्निकटन केवल तभी सही होता है जब अवरोध या द्वारक का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ से बहुत बड़ा हो。
जब अवरोध का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के बराबर या उससे छोटा हो जाता है, तो विवर्तन प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं और किरण सन्निकटन मान्य नहीं रहता है。
इसलिए, किरण प्रकाशिकी तब विफल हो जाती है जब अवरोध का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होता है।

(C) प्रकाश के अवरोधों के किनारों पर मुड़ने की घटना को विवर्तन (diffraction) कहा जाता है। विवर्तन केवल तभी महत्वपूर्ण होता है जब अवरोध या छिद्र का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय हो। चूंकि दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी ($400 \, nm$ से $700 \, nm$) होती है, इसलिए यह हमारे दैनिक जीवन में सामान्य वस्तुओं के चारों ओर ध्यान देने योग्य विवर्तन नहीं दिखाता है। परिणामस्वरूप, प्रकाश सीधी रेखाओं में गमन करता हुआ प्रतीत होता है, जिसे प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण कहा जाता है। अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन में पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
पहले निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$।
दिया गया है $\lambda = 6500 \; \mathring{A} = 6500 \times 10^{-10} \; m$ और $\theta = 30^\circ$।
मान रखने पर: $a \sin(30^\circ) = 6500 \times 10^{-10} \; m$।
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$,इसलिए $a(0.5) = 6500 \times 10^{-10} \; m$।
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \; m = 13000 \times 10^{-10} \; m = 1.3 \times 10^{-6} \; m$।
चूंकि $1 \; \mu m = 10^{-6} \; m$,इसलिए $a = 1.3 \; \mu m$ प्राप्त होता है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय अर्ध-चौड़ाई $\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$।
दिया गया है $\lambda = 6328 \times 10^{-10} \ m$ और $a = 0.2 \times 10^{-3} \ m$।
$\theta = \frac{6328 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} = 3.164 \times 10^{-3} \ \text{रेडियन}$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\theta = 3.164 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.18^o$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की कुल कोणीय चौड़ाई $2\theta = 2 \times 0.18^o = 0.36^o$ है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
विवर्तन को उस प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके द्वारा प्रकाश की किरण या तरंगों का कोई अन्य निकाय किसी संकीर्ण छिद्र से गुजरने या किसी किनारे के पार जाने के परिणामस्वरूप मुड़ जाता है और ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में प्रवेश कर जाता है।
यह तब होता है जब अवरोध या छिद्र का आकार प्रकाश तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है।

(C) किसी अवरोध या द्वारक के कोनों से प्रकाश के मुड़कर ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में प्रवेश करने की घटना को $Diffraction$ (विवर्तन) कहा जाता है।
यह तब होता है जब अवरोध या द्वारक का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र है: $w = \frac{2 \lambda D}{d}$।
दी गई मान हैं:
स्लिट की चौड़ाई $d = 0.15 \,cm = 0.15 \times 10^{-2} \,m = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
पर्दे से दूरी $D = 2.1 \,m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5 \times 10^{-5} \,cm = 5 \times 10^{-7} \,m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$w = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \,m) \times (2.1 \,m)}{1.5 \times 10^{-3} \,m}$.
$w = \frac{21 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$w = 14 \times 10^{-4} \,m = 1.4 \times 10^{-3} \,m$.
चूंकि $10^{-3} \,m = 1 \,mm$,इसलिए चौड़ाई $1.4 \,mm$ होगी।

(A) विवर्तन बैंड की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि बैंड की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$.
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{blue}})$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{red}})$ से कम होती है,इसलिए नीले प्रकाश द्वारा उत्पन्न विवर्तन बैंड लाल प्रकाश की तुलना में अधिक संकीर्ण और एक-दूसरे के करीब होंगे।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए, प्रथम निम्निष्ठ की शर्त $d \sin \theta = \lambda$ है, जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है。
चूँकि $\theta$ बहुत छोटा है, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\theta = \frac{\lambda}{d}$ होता है。
केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $2\theta = \frac{2\lambda}{d}$ होती है。
यह व्यंजक दर्शाता है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और स्लिट की चौड़ाई $(d)$ पर निर्भर करती है。
चूँकि आवृत्ति $(f)$ तरंगदैर्ध्य से $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा संबंधित है, इसलिए कोणीय चौड़ाई आवृत्ति पर भी निर्भर करती है。
हालाँकि, यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $(D)$ पर निर्भर नहीं करती है。

(B) विवर्तन तब प्राप्त होता है जब स्लिट की चौड़ाई आपतित विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तरंगदैर्ध्य के क्रम की होती है।
पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लगभग $589 \, nm$ $(5.89 \times 10^{-7} \, m)$ है,जो स्लिट की चौड़ाई $(0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m)$ के क्रम की है।
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.01 \, nm$ से $10 \, nm$ ($10^{-11} \, m$ से $10^{-8} \, m$) की सीमा में होती है।
चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य स्लिट की चौड़ाई $(0.6 \, mm)$ की तुलना में बहुत कम है,इसलिए विवर्तन की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,कोई विवर्तन पैटर्न दिखाई नहीं देगा।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है।
दूसरे उच्चिष्ठ के लिए,$n = 2$,इसलिए $d \sin \theta = \frac{5\lambda}{2}$.
चूँकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{f}$,जहाँ $x$ केंद्रीय अक्ष से दूरी है और $f$ फोकस दूरी है।
अतः,$d \cdot \frac{x}{f} = \frac{5\lambda}{2} \implies x = \frac{5\lambda f}{2d}$.
दूसरे उच्चिष्ठ का रैखिक व्यास केंद्रीय अक्ष के दोनों ओर स्थित दूसरे उच्चिष्ठों के बीच की दूरी है,जो $2x$ है।
$2x = \frac{5\lambda f}{d} = \frac{5 \times (6 \times 10^{-7} \, m) \times 0.8 \, m}{0.4 \times 10^{-3} \, m}$.
$2x = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.4 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \, m = 6 \times 10^{-3} \, m = 6 \, mm$.

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta = \frac{2D\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है,अर्थात $\lambda_{\text{Blue}} < \lambda_{\text{Red}}$,और फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है $(\beta \propto \lambda)$,इसलिए जब नीले प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो विवर्तन पैटर्न सिकुड़ जाएगा।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(w \propto \frac{1}{a})$।
इसलिए,यदि स्लिट की चौड़ाई $a$ को कम किया जाता है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$ बढ़ जाती है।
यह संबंध फ्रेनेल और फ्रौनहोफर दोनों विवर्तन पैटर्न के लिए सत्य है क्योंकि एपर्चर के आकार पर निर्भरता समान रहती है।

(A) एकल स्लिट के लिए केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र है: $\beta = \frac{2\lambda}{a}$,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है: $\lambda = 589.3 \, nm = 589.3 \times 10^{-9} \, m$ और $a = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m$.
मान रखने पर: $\beta = \frac{2 \times 589.3 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} \, rad$.
$\beta = 2 \times 589.3 \times 10^{-5} \, rad = 1178.6 \times 10^{-5} \, rad = 0.011786 \, rad$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\beta_{deg} = 0.011786 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.675^\circ \approx 0.68^\circ$.

(D) प्रकाश के विवर्तन की घटना को सबसे पहले $17$ वीं शताब्दी में इतालवी वैज्ञानिक फ्रांसेस्को मारिया ग्रिमाल्डी द्वारा देखा और वर्णित किया गया था। उन्होंने लैटिन शब्द 'diffringere' से 'diffraction' (विवर्तन) शब्द गढ़ा,जिसका अर्थ है टुकड़ों में तोड़ना। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $n^{th}$ हाफ-पीरियड ज़ोन की त्रिज्या $r_n$ का सूत्र $r_n = \sqrt{n b \lambda}$ है,जहाँ $b$ तरंगिका से प्रेक्षण बिंदु की दूरी है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिए गए सेटअप के लिए $b$ और $\lambda$ स्थिरांक हैं,इसलिए त्रिज्या $r_n$ ज़ोन संख्या $n$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है।
अतः,$r_n \propto \sqrt{n}$।

(A) तार द्वारा उत्पन्न विवर्तन पैटर्न में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ (जो $d$ चौड़ाई की एक स्लिट की तरह कार्य करता है) को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ तार से पर्दे की दूरी है,और $d$ तार का व्यास है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ तार के व्यास $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$\beta \propto \frac{1}{d}$)।
इसलिए,जब तार का व्यास $d$ बढ़ाया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घट जाती है।

(B) सफेद प्रकाश से प्रकाशित होने पर कॉम्पैक्ट डिस्क $(CD)$ पर दिखाई देने वाली रंगीन 'लेन' मुख्य रूप से विवर्तन की घटना के कारण होती हैं।
$CD$ की सतह पर बहुत पास-पास स्थित सूक्ष्म खांचे (tracks) होते हैं,जो एक परावर्तक विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करते हैं।
जब सफेद प्रकाश इन खांचों पर पड़ता है,तो प्रकाश तरंगें अपनी तरंगदैर्ध्य (रंग) के आधार पर अलग-अलग कोणों पर विवर्तित हो जाती हैं।
इसके कारण सफेद प्रकाश अपने घटक रंगों में विभाजित हो जाता है,जिससे डिस्क की सतह पर इंद्रधनुष जैसा प्रभाव दिखाई देता है।

(D) विवर्तन यांत्रिक तरंगों (जैसे ध्वनि) और विद्युत चुम्बकीय तरंगों (जैसे प्रकाश) सहित सभी प्रकार की तरंगों की एक सामान्य विशेषता है।
विवर्तन को महत्वपूर्ण होने के लिए, बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंग दैर्ध्य के तुलनीय होना चाहिए।
चूंकि ध्वनि तरंगों की तरंग दैर्ध्य सेंटीमीटर से मीटर की सीमा में होती है, इसलिए वे सामान्य बाधाओं के चारों ओर आसानी से विवर्तित हो जाती हैं।
प्रकाश तरंगों की तरंग दैर्ध्य बहुत छोटी ($400 \, nm$ से $700 \, nm$ के बीच) होती है, इसलिए विवर्तन को देखने के लिए बहुत छोटे छिद्रों या बाधाओं की आवश्यकता होती है।
अतः, विवर्तन प्रभाव ध्वनि और प्रकाश दोनों तरंगों में देखा जा सकता है।

(A) एकल स्लिट फ्रौनहोफर विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $2\theta = \frac{2\lambda}{e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ स्लिट की चौड़ाई है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि कोणीय अर्ध-चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{e}$ है।
चूंकि $\theta$ स्लिट की चौड़ाई $e$ के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात $\theta \propto \frac{1}{e}$),इसलिए स्लिट की चौड़ाई $e$ को कम करने पर $\theta$ का मान बढ़ जाएगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) विवर्तन ग्रेटिंग में मुख्य उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ ग्रेटिंग तत्व है,$\theta$ विवर्तन कोण है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
शून्य-क्रम के मुख्य उच्चिष्ठ के लिए,हम $n = 0$ रखते हैं।
यह $d \sin \theta = 0$ देता है,जिसका अर्थ है कि सभी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए $\sin \theta = 0$ या $\theta = 0^\circ$ होता है।
चूंकि सभी तरंगदैर्ध्य एक ही कोण $\theta = 0^\circ$ पर विवर्तित होती हैं,इसलिए वे केंद्रीय स्थिति पर एक साथ मिल जाती हैं।
अतः,शून्य-क्रम का उच्चिष्ठ मूल सफेद प्रकाश का बना होता है।

(B) प्रकाश का विवर्तन तब होता है जब अवरोध या छिद्र का आकार (इस मामले में फिल्म की मोटाई) आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के कोटि का हो।
दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लगभग $4,000 \; \mathring{A}$ से $7,500 \; \mathring{A}$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों में से,$10,000 \; \mathring{A}$ ही एकमात्र ऐसा मान है जो दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का है।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(D) विवर्तन किसी बाधा के कोनों के चारों ओर या किसी छिद्र से तरंगों का मुड़ना है। महत्वपूर्ण विवर्तन के लिए शर्त यह है कि बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होना चाहिए। ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य $10^{-2} \ m$ से $10^1 \ m$ की सीमा में होती है,जो रोजमर्रा की वस्तुओं के आकार के तुलनीय है। इसके विपरीत,प्रकाश तरंगों की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी (लगभग $400 \ nm$ से $700 \ nm$) होती है,जिससे प्रकाश के लिए विवर्तन के प्रभावों को विशेष उपकरणों के बिना देखना कठिन हो जाता है।

(D) चौड़ाई वाली स्लिट के किनारों से आने वाली किरणों के बीच $\theta$ कोण पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$-वें गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ रखने पर,$d \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए पथ अंतर का मान रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{2} = 3\pi$.
अतः,कलांतर $3\pi$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ प्रथम निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \; \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
स्लिट की चौड़ाई $d = 0.001 \; mm = 10^{-3} \; mm = 10^{-6} \; m$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = 0.5$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.

(C) फ्रौनहोफर विवर्तन तब होता है जब प्रकाश का स्रोत और पर्दा दोनों एपर्चर या स्लिट से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
इस विन्यास में,स्लिट तक पहुँचने वाली प्रकाश किरणें एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
चूँकि समानांतर किरणें एक समतल तरंगाग्र के अनुरूप होती हैं,इसलिए आपतित तरंगाग्र समतल होना चाहिए।

(A) विवर्तन किसी अवरोध या द्वारक के कोनों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,अवरोध या द्वारक का आकार $(d)$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इस स्थिति को $d \approx \lambda$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,अर्थात $d$ को $\lambda$ की कोटि का होना चाहिए।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n{\lambda}D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य ${\lambda _1}$ के लिए पहले निम्निष्ठ $(n=1)$ की स्थिति $y_1 = \frac{1 \cdot {\lambda _1}D}{d} = \frac{{\lambda _1}D}{d}$ है।
$m$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की स्थिति $y'_m = \frac{(2m+1){\lambda}D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य ${\lambda _2}$ के लिए तीसरे उच्चिष्ठ $(m=3)$ की स्थिति $y'_3 = \frac{(2 \times 3 + 1){\lambda _2}D}{2d} = \frac{7{\lambda _2}D}{2d} = 3.5\frac{{\lambda _2}D}{d}$ है।
चूंकि पहला निम्निष्ठ और तीसरा उच्चिष्ठ संपाती हैं,हम उनकी स्थितियों को बराबर करते हैं:
$\frac{{\lambda _1}D}{d} = 3.5\frac{{\lambda _2}D}{d}$.
अतः,${\lambda _1} = 3.5{\lambda _2}$.

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पहले निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ है।
दिए गए मान हैं: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$,$D = 1 \ m$,और $x_1 = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \times 1}{d}$
$d = \frac{5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} \ m$
$d = 10^{-4} \ m = 0.1 \ mm$.
अतः,स्लिट की चौड़ाई $0.1 \ mm$ है।

(B) $nth$ $HPZ$ की त्रिज्या $r_n = \sqrt{nb\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $b$ तरंगग्र से प्रेक्षण बिंदु की दूरी है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$nth$ $HPZ$ की चौड़ाई को $nth$ ज़ोन और $(n-1)th$ ज़ोन की त्रिज्या के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
$B_n = r_n - r_{n-1}$
मान रखने पर:
$B_n = \sqrt{nb\lambda} - \sqrt{(n-1)b\lambda}$
$\sqrt{b\lambda}$ को कॉमन लेने पर:
$B_n = \sqrt{b\lambda} [\sqrt{n} - \sqrt{n-1}]$

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $y = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,$y = \frac{2 \lambda_1 D}{a_1}$,जहाँ $\lambda_1 = 400 \ nm$ और $a_1 = a$ है।
दूसरे मामले में,नई स्लिट चौड़ाई $a_2 = a/2$ है और नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 600 \ nm$ है।
नई चौड़ाई $y'$ का मान $y' = \frac{2 \lambda_2 D}{a_2} = \frac{2 \times 600 \times D}{a/2} = \frac{4 \times 600 \times D}{a} = \frac{2400 D}{a}$ है।
इसे प्रारंभिक चौड़ाई $y = \frac{800 D}{a}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{y'}{y} = \frac{2400}{800} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y' = 3y$.

(B) सही उत्तर $(b)$ है। रेडियो तरंगें और प्रकाश तरंगें दोनों विद्युतचुंबकीय $(EM)$ तरंगें हैं,जो केवल अपनी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य श्रेणियों में भिन्न होती हैं।
विवर्तन की घटना महत्वपूर्ण रूप से होने के लिए,बाधा का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होना चाहिए।
दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बहुत कम (आमतौर पर $400$ nm से $700$ nm के आसपास) होती है,जो इमारतों के आकार की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए यह उनके चारों ओर विवर्तन नहीं करती है।
रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य बहुत लंबी (मीटर से किलोमीटर तक) होती है,जो इमारतों के आकार के तुलनीय होती है,जिससे वे इन बाधाओं के चारों ओर मुड़ सकती हैं या विवर्तन कर सकती हैं।

(A) अवलोकन बिंदु से $b$ दूरी पर $a$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क द्वारा कवर किए गए हाफ पीरियड ज़ोन $(n)$ की संख्या $n = \frac{a^2}{\lambda b}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्रोत और डिस्क स्थिर हैं,$n \cdot b = \text{स्थिरांक}$.
पहले मामले के लिए,$n_1 = 1$ और $b_1 = 1 \, m$.
दूसरे मामले के लिए,$b_2 = 25 \, cm = 0.25 \, m$.
अतः,$n_2 = \frac{n_1 b_1}{b_2} = \frac{1 \times 1}{0.25} = 4$.
जब डिस्क $n$ ज़ोन को कवर करती है,तो परिणामी आयाम $R = R_1 - R_2 + R_3 - R_4 + R_5 - \dots \pm R_n$ द्वारा दिया जाता है।
$n=1$ के लिए,$R = R_1$,इसलिए $I_0 = R_1^2$.
$n=4$ के लिए,$R' = R_1 - R_2 + R_3 - R_4$. चूंकि $R_n \approx \frac{R_{n-1} + R_{n+1}}{2}$,इसलिए $R' \approx \frac{R_1}{2} - \frac{R_5}{2} \approx \frac{R_1}{2}$.
अधिक सटीक रूप से,तीव्रता के लिए फ्रेनेल विवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$I = I_0 (0.531)$.
अतः,$I_1 = 0.531 I_0$.

(B) माना कि प्रथम,द्वितीय और तृतीय $HPZ$ के आयाम क्रमशः $R_1, R_2, R_3$ हैं। दिया गया है कि क्रमागत आयामों का अनुपात $R_2/R_1 = R_3/R_2 = 3/4$ है।
बिंदु $A$ पर (एक $HPZ$): $I_A = R_1^2$.
बिंदु $B$ पर (दो $HPZ$): $I_B = (R_1 - R_2)^2 = R_1^2(1 - R_2/R_1)^2 = R_1^2(1 - 3/4)^2 = R_1^2(1/4)^2 = R_1^2/16$.
बिंदु $C$ पर (तीन $HPZ$): $I_C = (R_1 - R_2 + R_3)^2 = R_1^2(1 - R_2/R_1 + R_3/R_1)^2 = R_1^2(1 - 3/4 + (3/4)^2)^2 = R_1^2(1 - 3/4 + 9/16)^2 = R_1^2((16 - 12 + 9)/16)^2 = R_1^2(13/16)^2 = (169/256)R_1^2$.
अतः,$I_A : I_B : I_C = R_1^2 : (R_1^2/16) : (169/256)R_1^2 = 256 : 16 : 169$.

(D) एक वृत्ताकार बाधा द्वारा कवर किए गए हाफ पीरियड ज़ोन $(HPZ)$ की संख्या $n_1 b_1 = n_2 b_2$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ $HPZ$ की संख्या है और $b$ डिस्क से दूरी है।
दिया गया है $n_1 = 1$ और $b_1 = 2 \, m = 200 \, cm$.
दूसरे मामले के लिए,$b_2 = 25 \, cm$.
मान रखने पर: $1 \times 200 = n_2 \times 25 \implies n_2 = 8$.
जब $n$ ज़ोन कवर होते हैं,तो परिणामी आयाम $A = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + ... \pm A_n$ द्वारा दिया जाता है।
सम संख्या के ज़ोन $n$ के लिए,परिणामी आयाम $A = \frac{A_n}{2}$ होता है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ है,इसलिए $n=8$ के लिए तीव्रता $I_2 = (A_8/2)^2$ होगी।
पहले मामले के साथ तुलना करने पर जहाँ $n=1$,$I_1 = A_1^2 = I$.
$HPZ$ आयाम के गुण का उपयोग करते हुए,$A_n \approx A_{n+1}$,$n=8$ पर तीव्रता $9$वें ज़ोन के आयाम योगदान को $2$ से विभाजित करने के बराबर है,अर्थात $I_2 = (R_9/2)^2$.
अतः,$I_2 = (R_9/R_2)^2 I$।

(C) $e$ चौड़ाई की एक एकल स्लिट के लिए,प्रथम निम्निष्ठ की शर्त $e \sin \theta = \lambda$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,हम $\sin \theta \approx \theta$ मान सकते हैं।
अतः,$\theta = \frac{\lambda}{e}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $2\theta = \frac{2\lambda}{e}$ है।
$b$ दूरी पर स्थित पर्दे पर केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई केंद्रीय बिंदु के दोनों ओर स्थित प्रथम कोटि के निम्निष्ठों के बीच की दूरी है।
यह $w = 2b\theta + e = 2b \left( \frac{\lambda}{e} \right) + e = \frac{2b\lambda}{e} + e$ द्वारा दी जाती है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\beta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूँकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 6000 \ \mathring A$ और कोणीय चौड़ाई $30\%$ कम हो जाती है,इसलिए नई कोणीय चौड़ाई $\beta_2 = \beta_1 - 0.30\beta_1 = 0.70\beta_1$ होगी।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\beta_1}{0.70\beta_1} = \frac{6000}{\lambda_2}$.
$\frac{1}{0.70} = \frac{6000}{\lambda_2} \Rightarrow \lambda_2 = 6000 \times 0.70 = 4200 \ \mathring A$.

(C) विवर्तन पैटर्न की तीव्रता $I = I_0 \left[ \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right]^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के लिए,$n=0$,$\alpha = 0$,और $I = I_0$ होता है।
द्वितीयक उच्चिष्ठों के लिए,शर्त $\alpha = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I_n = I_0 \left[ \frac{\sin((n + 1/2)\pi)}{(n + 1/2)\pi} \right]^2 = I_0 \left[ \frac{\pm 1}{(n + 1/2)\pi} \right]^2 = \frac{I_0}{(n + 1/2)^2 \pi^2} = \frac{4 I_0}{(2n + 1)^2 \pi^2}$।
$n=0$ (केंद्रीय) के लिए,$I_0 = I_0$।
$n=1$ (प्रथम द्वितीयक) के लिए,$I_1 = \frac{4 I_0}{9 \pi^2}$।
$n=2$ (द्वितीय द्वितीयक) के लिए,$I_2 = \frac{4 I_0}{25 \pi^2}$।
अतः,अनुपात $I_0 : I_1 : I_2 = 1 : \frac{4}{9 \pi^2} : \frac{4}{25 \pi^2}$ है।

(D) विवर्तन ग्रेटिंग का समीकरण $(e + d) \sin \theta_n = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(e + d)$ ग्रेटिंग तत्व है,$\theta_n$ विवर्तन कोण है,और $n$ विवर्तन की कोटि है।
प्रथम कोटि $(n = 1)$ के लिए,हमारे पास $\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{e + d} = \sin 32^\circ$ है।
चूँकि $\sin 32^\circ \approx 0.5299$,इसलिए $\frac{\lambda}{e + d} \approx 0.5299$ है।
द्वितीय कोटि $(n = 2)$ के लिए,समीकरण $\sin \theta_2 = \frac{2\lambda}{e + d} = 2 \times \sin 32^\circ$ हो जाता है।
इसकी गणना करने पर,$\sin \theta_2 = 2 \times 0.5299 = 1.0598$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin \theta_2$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए द्वितीय कोटि का विवर्तन संभव नहीं है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की चौड़ाई $2\lambda D/a$ होती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है। चूंकि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई द्वितीयक उच्चिष्ठों से दोगुनी होती है,इसलिए सभी फ्रिंजों की चौड़ाई समान नहीं होती है।

(D) चौड़ाई वाली स्लिट के ऊपरी और निचले किनारों से निकलने वाली तरंगों के बीच का कलान्तर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (d \sin \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
एकल स्लिट विवर्तन में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = \lambda$ होती है।
इस शर्त को कलान्तर के सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (\lambda) = 2\pi \, rad$.
अतः,प्रथम निम्निष्ठ पर स्लिट के ऊपरी और निचले किनारों से निकलने वाली तरंगों के बीच का कलान्तर $2\pi \, rad$ है।

(A) चौड़ाई वाली एक एकल स्लिट के लिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
द्वितीयक उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta' = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इनकी तुलना करने पर,द्वितीयक उच्चिष्ठ की चौड़ाई केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई की आधी होती है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) पर्दे के केंद्र पर बनता है जहाँ सभी द्वितीयक तरंगिकाएं समान कला में पहुँचती हैं।
इसलिए,केंद्रीय फ्रिंज की तीव्रता अधिकतम होती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,तीव्रता तेजी से घटती जाती है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\beta_0 = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वितीयक उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इन दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\beta = \frac{1}{2} \beta_0$ है।
अतः,द्वितीयक उच्चिष्ठ की चौड़ाई केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई की आधी होती है।

(C) एकल स्लिट के कारण फ्रॉनहोफर विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
लेंस की फोकस दूरी $f$ होने पर,पर्दे पर केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $w$ ज्ञात करने के लिए हम $w = f \times \Delta \theta$ संबंध का उपयोग करते हैं।
$\Delta \theta$ का मान रखने पर,हमें $w = f \times \left( \frac{2\lambda}{a} \right) = \frac{2f\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\frac{2f\lambda}{a}$ है।

(D) चौड़ाई की एकल स्लिट द्वारा फ्रौनहोफर विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता $I_0 \propto a^2$ द्वारा दी जाती है।
जब स्लिट की चौड़ाई दोगुनी कर दी जाती है,तो नई चौड़ाई $a' = 2a$ हो जाती है।
नई तीव्रता $I'$ नई चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती होगी: $I' \propto (a')^2 = (2a)^2 = 4a^2$।
चूंकि $I_0 \propto a^2$,इसलिए हमें $I' = 4I_0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता $4I_0$ हो जाएगी।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि हरे प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{green})$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{red})$ से कम होती है,इसलिए विवर्तन पैटर्न की चौड़ाई $\beta$ तरंगदैर्घ्य के सीधे समानुपाती होती है $(\beta \propto \lambda)$।
अतः,जब हरे प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो विवर्तन पैटर्न सिकुड़ जाएगा या पास आ जाएगा।

(B) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$,स्लिट की चौड़ाई $a = 0.30 \, mm = 3 \times 10^{-4} \, m$,दूरी $D = 2 \, m$.
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
इस मान को शर्त में रखने पर: $a \left( \frac{x}{D} \right) = n \lambda$.
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$. अतः,$x = \frac{n \lambda D}{a}$.
$x = \frac{1 \times (6 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{3 \times 10^{-4} \, m}$.
$x = \frac{12 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} \, m = 4 \times 10^{-3} \, m$.

(D) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ की स्थिति के लिए पथ अंतर की शर्त है:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए $(n=1)$: $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ है।