Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(C) $P$ પાવર ધરાવતા બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\epsilon_0 c E_{rms}^2 = \frac{P}{4 \pi r^2}$.
$E_{rms}$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_{rms} = \sqrt{\frac{P}{4 \pi r^2 \epsilon_0 c}}$.
અહીં $P = 1080 \,W$, $r = 3 \,m$, $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,F/m$, અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{4 \times 3.14159 \times 3^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{12.566 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 3}} = \sqrt{\frac{1080}{300.5}} \approx \sqrt{3594} \approx 59.95 \,Vm^{-1} \approx 60 \,Vm^{-1}$.

(B) આપેલ છે કે, એન્ટેનાની લંબાઈ, $l = 4 \, m$.
સિગ્નલની તીવ્રતા, $I = 8 \times 10^{-16} \, W/m^2$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ છે, જ્યાં $E_0$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$.
કિંમતો મૂકતા ($\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$, $c = 3 \times 10^8 \, m/s$):
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-16}}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-16}}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{0.6026 \times 10^{-12}} \approx 0.776 \times 10^{-6} \, V/m$.
એન્ટેના પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = E_0 \times l$ છે.
$V_0 = 0.776 \times 10^{-6} \, V/m \times 4 \, m = 3.104 \times 10^{-6} \, V \approx 3.1 \, \mu V$.

(A) આયનોસ્ફિયરને વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $D$,$E$,$F_1$,અને $F_2$.
$D$ સ્તર એ આયનોસ્ફિયરનું સૌથી નીચું સ્તર છે,જે આશરે $65 \ km$ થી $90 \ km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલું છે.
આ સ્તર ફક્ત દિવસ દરમિયાન જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કારણ કે તે સૌર વિકિરણ દ્વારા આયનીકૃત થાય છે.
જેમ જ સૂર્યાસ્ત થાય છે,આયનીકરણની પ્રક્રિયા બંધ થઈ જાય છે અને આયનો અને ઇલેક્ટ્રોનના પુનઃસંયોજનને કારણે $D$ સ્તર અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
આ સ્તર લો ફ્રીક્વન્સી $(LF)$ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પરાવર્તન માટે જવાબદાર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આયનોસ્ફિયર એ પૃથ્વીના વાતાવરણનો ઉપરનો ભાગ છે,જેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનોની સાંદ્રતા ખૂબ વધારે હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તરંગનો ફેઝ વેગ (phase velocity) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ કરતા વધી જાય છે.
વક્રીભવનાંક $(n)$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં તરંગના ફેઝ વેગ $(v)$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $n = c/v$.
આયનોસ્ફિયરમાં $v > c$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક $n$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા ઓછું હોય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો $(EMW)$ ઉર્જા અને વેગમાન બંને ધરાવે છે. જ્યારે આ તરંગો સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ સપાટીને વેગમાન સ્થાનાંતરિત કરે છે,જેના પરિણામે રેડિયેશન પ્રેશર ઉત્પન્ન થાય છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,રેડિયેશન પ્રેશર $p = 2I/c$ છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે,રેડિયેશન પ્રેશર $p = I/c$ છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે તેઓ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે તેઓ ઉર્જા ધરાવે છે. જોકે તે સાચું છે કે $EMW$ ઉર્જા ધરાવે છે,પરંતુ દબાણ ખાસ કરીને એટલા માટે ઉત્પન્ન થાય છે કારણ કે તેઓ વેગમાન ધરાવે છે $(p = E/c)$. તેથી,તેઓ ઉર્જા ધરાવે છે તે હકીકત રેડિયેશન પ્રેશરના અસ્તિત્વ માટે સીધી અથવા સંપૂર્ણ સમજૂતી નથી.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) $\text{આપેલ છે,સરેરાશ પાવર આઉટપુટ,} P = 960 \,W$.
$\text{અંતર,} r = 400 \,cm = 4 \,m$.
$\text{બિંદુવત ઉદગમથી } r \text{ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તીવ્રતા } I = \frac{P}{4 \pi r^2} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે.}$
$\text{વળી,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર } E_0 \text{ ના સંદર્ભમાં તીવ્રતા } I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c \text{ છે.}$
$\text{બંને સમીકરણોને સરખાવતા: } \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0 \text{ માટે ઉકેલતા: } E_0 = \sqrt{\frac{P}{2 \pi r^2 \varepsilon_0 c}}$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } E_0 = \sqrt{\frac{960}{2 \times 3.14 \times 4^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$\text{ગણતરી કરતા, } E_0 = 60 \,Vm^{-1} \text{ મળે છે.}$

(C) સૂર્ય વિકિરણ એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો બનેલો છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તે પ્રકૃતિમાં લંબગત (transverse) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે. તેથી,સૂર્ય વિકિરણ એ એક લંબગત વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $\vec{B} = B_0 \sin (kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (100 \pi x + 10^{12} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 100 \pi \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $100 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ m$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $0.02 \ m$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = 6.3 \text{ Vm}^{-1}$ આપેલ છે.
આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
સૂત્ર $B = \frac{E}{c}$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
$B = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ છે.

(C) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ સાથે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$c$ માટેના આ સૂત્રને $E = cB$ સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = \left( \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \right) B$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્ય માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$B = E \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$.

(D) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ઉદગમનો પાવર છે.
વળી,તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P}{4 \pi r^2} = \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
$P$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $P = 4 \pi r^2 \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
આપેલ છે: $r = 3 \ m$,$E_{rms} = 3 \ N C^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = 4 \times 3.14 \times (3)^2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8) \times (3)^2$.
$P = 4 \times 3.14 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 9$.
$P \approx 113.04 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 27 \approx 270.2 \times 10^{-2} \approx 2.7 \ W$.
આમ,ઉદગમનો પાવર $2.7 \ W$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આપણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના $10^8$ ગણા મૂલ્યનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
ગુણોત્તર $= E / (10^8 \times B) = (cB) / (10^8 \times B) = c / 10^8$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ ની કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર $= (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વધુમાં,આ બંને સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમયે અને એક જ સ્થાને તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં હોય છે અને સમાન કળામાં હોય છે.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \pi \times 10^{11} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1.5 \pi \times 10^{11} \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$1.5 \pi \times 10^{11} = 2 \pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{1.5 \pi \times 10^{11}}{2 \pi} = 0.75 \times 10^{11} \ Hz$ મળે છે.
આને $f = 75 \times 10^9 \ Hz$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બધા જ દિશાઓમાં સમાન રીતે પાવર $P$ ઉત્સર્જિત કરતા બિંદુવત સ્ત્રોતની $r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{P}{4 \pi r^2}$
આપેલ છે:
પાવર $P = 10 \ W$
અંતર $r = 0.5 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times (0.5)^2}$
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times 0.25}$
$I = \frac{10}{3.14}$
$I \approx 3.18 \ W \ m^{-2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$.
તેથી,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ અને $\mu_r = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times \varepsilon_r}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{9}{\varepsilon_r}$.
તેથી,$\varepsilon_r = \frac{9}{4} = 2.25$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં તાત્કાલિક વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = 1/2 \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,તેથી $u_E = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \sin^2(\omega t - kx)$.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\sin^2(\theta)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $1/2$ છે.
તેથી,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times \langle \sin^2(\omega t - kx) \rangle$ થાય.
$\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times 1/2 = 1/4 \epsilon_0 E_0^2$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av}$ નું સૂત્ર $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે,જ્યાં $E_0$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે $E_{rms} = 660 \ NC^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 660 \ NC^{-1}$.
આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (\sqrt{2} E_{rms})^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (2 E_{rms}^2) = \varepsilon_0 E_{rms}^2$.
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ લેતા:
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times (660)^2$.
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times 435600$.
$U_{av} \approx 3.85 \times 10^{-6} \ J \ m^{-3}$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય છે,એટલે કે $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$. વળી,પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રસરણ $+Z$-દિશામાં $(\hat{k})$ હોવાથી,$\vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{k}$ થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\vec{E} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j})$ અને $\vec{B} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$. આ લંબ હોવાની શરતનું પાલન કરે છે.
સદિશ ગુણાકાર: $\vec{E} \times \vec{B} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 13\hat{k}$.
પરિણામ $+Z$-દિશામાં હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
પરમિટિવિટી અને પરમીબિલિટીના ગુણાકારને શોધવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$
તેથી, સાચો સંબંધ $\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે અને એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,ઉર્જાના પ્રસરણની દિશા (પોઇન્ટિંગ સદિશ $\vec{S}$ ની દિશા) વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 36 \sqrt{\pi} \ V/m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \times (36 \sqrt{\pi})^2$
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 1296 \pi$
$U_{av} = \frac{1296}{144 \times 10^9} = 9 \times 10^{-9} \ J/m^3$.
નોંધ: જો આપણે $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,તો જવાબ $18 \times 10^{-9} \ J/m^3$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો અનુસાર,$f$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરતો વિદ્યુતભાર તે જ આવૃત્તિ $f$ ના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $750 kHz$ ની આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,તેથી ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ પણ $750 kHz$ હશે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_o$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_o$ ના મૂલ્યો વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_o = c B_o$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$c = \frac{E_o}{B_o}$.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{E_o}{B_o} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$E_o \sqrt{\varepsilon_0} = \frac{B_o}{\sqrt{\mu_0}}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ એ સાચો સંબંધ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સરેરાશ પાવર (તીવ્રતા) નું સૂત્ર: $I = \frac{c B_{max}^2}{2 \mu_0}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \ m/s)$,$\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A)$ અને $B_{max}$ એ દોલિત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
$B_{max}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \mu_0 I}{c}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 9240}{3 \times 10^8}}$
$B_{max} = \sqrt{\frac{8 \pi \times 9240 \times 10^{-15}}{3}}$
$B_{max} \approx 8.798 \times 10^{-6} \ T \approx 8.8 \ \mu T$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ જેટલો હોય છે, જે સંબંધ $c = \frac{E}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $E = 8.7 \ V \ m^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{E}{c}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{8.7}{3 \times 10^8} = 2.9 \times 10^{-8} \ T$.
તરંગ $z$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે, તેથી પ્રસરણની દિશા ($\vec{E} \times \vec{B}$ દિશા) સંતોષવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} . . . (i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અને શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c = \frac{E_0}{B_0} . . . (ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c$ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવી શકીએ છીએ:
$\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$E_0 k = B_0 \omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે,સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = (3 \times 10^{-7} \text{ T}) \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{j}$ છે.
અહીં,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = B_0 c$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$E_0 = (3 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) = 90 \text{ V/m}$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે (ફેઝમાં $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત).
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ $-\hat{i}$ દિશામાં ગતિ કરે છે અને $\vec{B}$ એ $\hat{j}$ દિશામાં છે,તેથી $\hat{n}_E \times \hat{j} = -\hat{i}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{n}_E = \hat{k}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = E_0 \sin (kx + \omega t) \hat{k} = 90 \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{k} \text{ Vm}^{-1}$ થશે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $K_{B} = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$E_0 = c B_0$ ને $K_{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $K_{E} = K_{B}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ $B = B_0 \sin (\omega t - kx) \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 60 \,Vm^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \,T$ થાય.
તરંગ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં (એકમ સદિશ $\hat{k}$) હોવું જોઈએ.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. અહીં $\lambda = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$ હોવાથી,$k = \frac{2\pi}{10^{-2}} = 200\pi \,rad/m$ મળે.
સામાન્ય સમીકરણ $B = B_0 \sin [k(ct - x)] \hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = (2 \times 10^{-7}) \sin [200\pi(ct - x)] \hat{k} \,T$.

(C) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,કુલ ઉર્જા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(U_E)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(U_B)$ જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$U_E = U_B$.
આને $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{2 \mu_0} B_{rms}^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$.
આપેલ છે: $B_0 = 2.2 \times 10^{-4} \ T$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(2.2 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{4.84 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{14.52}{25.13 \times 10^{-7}} \approx 5.77 \times 10^6 \ W/m^2$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $I \approx 5.8 \times 10^6 \ W/m^2$ મળે છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$
જ્યાં:
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ (શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી)
$E_0 = 4.4 \ Vm^{-1}$ (મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર)
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ (પ્રકાશની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (4.4)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 19.36 \times 3 \times 10^8$
$I = 25.7052 \times 10^{-3} \ W \ m^{-2}$
$I \approx 25.7 \ mW \ m^{-2}$

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{avg} = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ છે.
અહીં $B_0 = 400 \ \mu T = 400 \times 10^{-6} \ T$ અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U_{avg} = \frac{(400 \times 10^{-6})^2}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}} = \frac{16 \times 10^{-8}}{8 \pi \times 10^{-7}} = \frac{2 \times 10^{-1}}{\pi} \approx 0.06366 \ J \ m^{-3} = 63.66 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રને અનુરૂપ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_E = \frac{U_{avg}}{2} = \frac{63.66 \times 10^{-3}}{2} = 31.83 \times 10^{-3} \ J \ m^{-3}$ થાય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $(\vec{E} \times \vec{B})$ ના સદિશ ગુણાકારની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તરંગ $Z$-અક્ષ ($\hat{k}$ દિશા) માં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $(\vec{E} \times \hat{B})$ ની દિશા $\hat{k}$ હોવી જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$. આ પ્રસરણની દિશા સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ક્ષેત્રો $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના વિદ્યુતક્ષેત્રનું આપેલ સમીકરણ $E = (3.1 \text{ NC}^{-1}) \cos [(1.8 \text{ rad m}^{-1}) y + (5.4 \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}) t] \hat{i}$ છે.
આપણે આને સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \cos (ky + \omega t) \hat{i}$ સાથે સરખાવીએ છીએ.
સરખામણી કરતા,પ્રસરણ અચળાંક $k = 1.8 \text{ rad m}^{-1}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રસરણ અચળાંક $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \text{ m}$.
આમ,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $3.49 \text{ m}$ છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં $EM$ તરંગની સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\mu_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $\mu_B = \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2 = \frac{B_0^2}{4\mu_0}$ છે.
સંબંધ $E_0 = cB_0$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\mu_B$ ના સમીકરણમાં $B_0 = \frac{E_0}{c} = E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ મૂકી શકીએ છીએ.
આનાથી $\mu_B = \frac{(E_0 \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0})^2}{4\mu_0} = \frac{E_0^2 \mu_0 \varepsilon_0}{4\mu_0} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ મળે છે.
જેથી $\mu_E = \mu_B$ હોવાથી,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બંનેનું ઉર્જા પ્રદાન સમાન હોય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ $v = 8.2 \times 10^6 \,Hz$ આપેલ છે。
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે。
ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $c = v \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે。
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{8.2 \times 10^6} \,m$.
$\lambda = \frac{300}{8.2} \,m \approx 36.58 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $\lambda = 36.5 \,m$ છે。

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ $f = 1.0 \times 10^{14} \,Hz$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = 4 \,Vm^{-1}$.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \,C^2 \,N^{-1} \,m^{-2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (4)^2$
$u_E = \frac{1}{2} \times 8.8 \times 10^{-12} \times 16$
$u_E = 4.4 \times 16 \times 10^{-12}$
$u_E = 70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $70.4 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$ છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં મોનોક્રોમેટિક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે:
$1$. વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,તેથી કળા તફાવત $0$ છે,$\frac{\pi}{2}$ નથી. વિધાન $1$ ખોટું છે.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$ છે. $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ હોવાથી,$u_E = u_B$ થાય છે. આમ,ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી છે. વિધાન $2$ સાચું છે.
$3$. રેડિયેશન દબાણ $P = \frac{I}{c} = u_{avg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u_{avg}$ એ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા છે. તે ઝડપ અને ઉર્જા ઘનતાનો ગુણાકાર નથી. વિધાન $3$ ખોટું છે.
$4$. તરંગની ઝડપ $c = \frac{E}{B}$ છે. વિધાન $4$ ખોટું છે કારણ કે તે ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $(B/E = 1/c)$ દર્શાવે છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $2$ સાચું છે.

(D) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 I}{\epsilon_0 c}}$.
આપેલ કિંમતો: $I = 53.1 \ W \ m^{-2}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 53.1}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{106.2}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ N \ C^{-1}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર છે.
આપેલ છે:
$E_0 = 40 \,Vm^{-1}$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,Fm^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$U_E = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (40)^2$
$U_E = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1600$
$U_E = 8.85 \times 10^{-12} \times 400$
$U_E = 3540 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
$U_E = 3.54 \times 10^{-9} \,Jm^{-3}$

(D) શૂન્યાવકાશમાં,તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 150 \text{ m}$ છે.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમમાં,સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r = 1$ છે. માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{9 \times 1}} = \frac{c}{3}$ થાય.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,$v = \frac{3 \times 10^8}{3} = 1 \times 10^8 \text{ m/s}$ મળે છે.
જ્યારે તરંગ બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. તેથી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 50 \text{ m}$ થાય.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_0 - \lambda = 150 \text{ m} - 50 \text{ m} = 100 \text{ m}$ છે.
આમ,તરંગલંબાઈ $100 \text{ m}$ જેટલી ઘટે છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $E_y = E_0 \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_y = 30 \sin(2 \times 10^{11} t + 300 \pi x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 300 \pi \ rad/m$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ મળે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda = \frac{2 \pi}{300 \pi} = \frac{1}{150} \ m$ થાય.
ગણતરી કરતા,$\lambda = 0.00666... \ m = 6.67 \times 10^{-3} \ m$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $E = 750 \text{ NC}^{-1}$ આપેલ છે.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$B = \frac{750}{3 \times 10^8} = 250 \times 10^{-8} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ T}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $X$-અક્ષ ($\hat{i}$ દિશા) પર ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-અક્ષ ($\hat{j}$ દિશા) પર છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર $(\vec{E} \times \vec{B})$ દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $Z$-અક્ષ ($\hat{k}$ દિશા) હોવી જોઈએ કારણ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2.5 \times 10^{-6} \hat{k} \text{ T}$ છે.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
બિન-ચુંબકીય ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ માટે,વક્રીભવનાંક $n$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r$ સાથે $n = \sqrt{\epsilon_r}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 2 \times 10^{-10} \,m$ અને $\epsilon_r = 4$.
તેથી,$n = \sqrt{4} = 2$.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{2 \times 10^{-10}}{2} = 1 \times 10^{-10} \,m$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s})$.
અહીં $E = 6.3 \text{ V/m}$ આપેલ છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ થાય.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $X$-દિશા $(\hat{i})$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-દિશા $(\hat{j})$ માં છે.
તરંગ $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, તેથી $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{k}$.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \text{ T}$ મળે છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ (જ્યાં $K = \epsilon_{r}$) ધરાવતા માધ્યમમાં,ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ છે.
અહીં,$\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ અને $\epsilon = \epsilon_{0} \epsilon_{r} = \epsilon_{0} K$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{(\mu_{0} \mu_{r}) (\epsilon_{0} K)}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \sqrt{\mu_{r} K}}$ મળે છે.
કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,તેથી $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} K}}$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_0 = \frac{E_0}{c}$.
અહીં $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8}$
$B_0 = 20 \times 10^{-8} \ T$
$B_0 = 2 \times 10^{-7} \ T$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $2 \times 10^{-7} \ T$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2}$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} c \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\right) E_0^2 = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$.
આપેલ છે: $E_0 = 300 \ Vm^{-1}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$.
$I = \frac{(300)^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8)}$.
$I = \frac{90000}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8} = \frac{90000}{24\pi \times 10} = \frac{9000}{24\pi} = \frac{375}{\pi}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$I \approx \frac{375}{3.14159} \approx 119.36 \ Wm^{-2}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$I \approx 119.4 \ Wm^{-2}$.