Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(B) બલ્બનો કુલ પાવર $P_{total} = 100 \ W$ છે.
પાવરના $20 \%$ દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત થતા હોવાથી,દ્રશ્યમાન વિકિરણનો પાવર $P_{vis}$ નીચે મુજબ છે:
$P_{vis} = 100 \ W \times \frac{20}{100} = 20 \ W$.
બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે આઇસોટ્રોપિકલી ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$.
અહીં $r = 5 \ m$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{20}{4 \pi \times (5)^2} = \frac{20}{4 \pi \times 25} = \frac{5}{25 \pi} \ W/m^2$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\alpha}{25 \pi} \ W/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(D) સાચું વિધાન વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ છે.
વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ:
વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે કારણ કે ફોટોનનું સ્થિર દળ શૂન્ય હોય છે,તેમ છતાં તેમની ઉર્જાને કારણે તેઓ વેગમાન ધરાવે છે $(p = E/c)$.
વિકલ્પ $(B)$ ખોટો છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય બળ એ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને કરતા ઘણું વધારે પ્રબળ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે કારણ કે ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા માટે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ જવાબદાર છે,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય બળો લાંબા અંતરના બળો છે અને તેને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પરનું રેડિયેશન દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ અને એકમ સમય દીઠ સ્થાનાંતરિત વેગમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે $P = \frac{I}{c}$ છે.
તીવ્રતા માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \frac{\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c}{c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ મળે છે.
આમ,એકમ ક્ષેત્રફળ અને એકમ સમય દીઠ સ્થાનાંતરિત સરેરાશ વેગમાનનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.

(D) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,આપણે લખી શકીએ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
અહીં $\epsilon_r = 8$ અને $\mu_r = 200$ આપેલ છે,તેથી વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r} = \sqrt{200 \times 8} = \sqrt{1600} = 40$.
આમ,ઝડપ $v = \frac{3 \times 10^8}{40} = 0.075 \times 10^8 = 7.5 \times 10^6 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $f = 100 \text{ MHz} = 10^8 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{7.5 \times 10^6}{10^8} = 7.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 7.5 \text{ cm}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
આપેલ છે: $I = \frac{15}{\pi} \text{ W m}^{-2}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$, અને $\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \text{ F m}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15}{\pi} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{3 \times 10^{-1}}{72\pi} \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{1}{240\pi} \times E_0^2$.
$E_0^2 = 15 \times 240 = 3600$.
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N C}^{-1}$.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_z = 60 \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ Vm^{-1}$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $E_z = E_0 \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0$ એ $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8} = 20 \times 10^{-8} = 2 \times 10^{-7} \ T$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v}$ ને સંતોષવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ T$ થશે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_0 = c B_0$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 270 \ nT = 270 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (270 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 810 \times 10^{-1} \ NC^{-1} = 81 \ NC^{-1}$
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $81 \ NC^{-1}$ છે.

(B) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે મળતું વેગમાન $p = \frac{U}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U$ એ સ્થાનાંતરિત ઉર્જા છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{E_0}{B_0}$ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $c$ ની આ કિંમત મૂકતા:
$p = \frac{U}{E_0 / B_0} = \frac{U B_0}{E_0}$.
આમ,સપાટીને મળતા કુલ વેગમાનનું મૂલ્ય $\frac{U B_0}{E_0}$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 30 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (30 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 90 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_0 = 9 \ Vm^{-1}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $9 \ Vm^{-1}$ છે.

(A) આપેલ આવૃત્તિ, $f = 3 \text{ GHz} = 3 \times 10^9 \text{ Hz}$.
પ્રકાશની ઝડપ, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$, આવૃત્તિ $f$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 10^{-1} \text{ m} = 0.1 \text{ m}$.

(D) ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગોને મુસાફરી કરવા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેથી,તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે.
$B$ ખોટું છે કારણ કે $EM$ તરંગો લંબગત તરંગો છે,સંગત (longitudinal) તરંગો નથી.
$C$ ખોટું છે કારણ કે $EM$ તરંગો પ્રવેગિત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,સમાન વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા નહીં.
$D$ સાચું છે કારણ કે $EM$ તરંગો અવકાશમાં પ્રસરણ પામતી વખતે ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે,$\mu_r$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે અને $\epsilon_r$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે: $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\epsilon_r = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{\mu_r \times 2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1.5)^2 = \frac{3^2}{2\mu_r} \Rightarrow 2.25 = \frac{9}{2\mu_r}$.
$\mu_r$ માટે ઉકેલતા: $2\mu_r = \frac{9}{2.25} = 4 \Rightarrow \mu_r = 2$.
મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_r = 1 + \chi_m$ છે.
તેથી,$\chi_m = \mu_r - 1 = 2 - 1 = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = B_0 c$ છે.
અહીં $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
તેથી,$E_0 = (2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^8) = 6 \text{ V m}^{-1}$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તરંગ $-\hat{j}$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં છે.
ધારો કે $\vec{E}$ ની દિશા $\hat{n}$ છે. તો $\hat{n} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{i}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તરંગનો ફેઝ (કળા) સમાન રહે છે,તેથી કોસાઇન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})$ રહેશે.
આમ,$\vec{E} = (6) \cos [\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})] \hat{i} \text{ V m}^{-1}$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા છે.
પ્રથમ,આપણે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટે એકમ સદિશો શોધીએ:
$\hat{E} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{B} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$
પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ એ $\hat{E} \times \hat{B}$ દ્વારા મળે છે:
$\hat{n} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$
$\hat{n} = \frac{1}{2} [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})]$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\hat{n} = \frac{1}{2} [0 - \hat{k} - \hat{k} - 0] = \frac{1}{2} [-2\hat{k}] = -\hat{k}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$.
આપેલ છે: $I = 2.1 \times 10^{15} \ W/m^2$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા: $2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$.
$2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$.
$B_0^2 = \frac{2.1 \times 10^{15} \times 8 \pi \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} = \frac{16.8 \pi \times 10^8}{3 \times 10^8} = 5.6 \pi \approx 5.6 \times 3.14 = 17.584 \approx 17.64$.
$B_0 = \sqrt{17.64} = 4.2 \ T$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{B_0^2 C}{2 \mu_0}$.
આપેલ છે,$I = \frac{6}{\pi} \times 10^3 \text{ W/m}^2$,$C = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$B_0^2$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{C}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_0^2 = \frac{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{6}{\pi} \times 10^3)}{3 \times 10^8}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $B_0^2 = \frac{8\pi \times 10^{-7} \times 6 \times 10^3}{\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{48 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 16 \times 10^{-12}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $B_0 = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(B) આપેલ છે: $E_0 = 150 \text{ V/m}$,$f = 30 \text{ MHz} = 30 \times 10^6 \text{ Hz}$.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર: $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{150}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-7} \text{ T}$.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 30 \times 10^6 = 60\pi \times 10^6 \text{ rad/s} = 6\pi \times 10^7 \text{ rad/s}$.
$3$. તરંગ સંખ્યા: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.2\pi = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$.
$4$. દિશા: તરંગ $\hat{i}$ ($x$-અક્ષ) દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને $\vec{E}$ એ $\hat{j}$ ($y$-અક્ષ) દિશામાં છે. $\vec{B}$ એ $\vec{E}$ અને પ્રસરણની દિશા બંનેને લંબ હોવું જોઈએ,તેથી $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
$5$. તરંગનું સમીકરણ: $\vec{B} = B_0 \sin(kx - \omega t) \hat{k} = 5 \times 10^{-7} \sin \left[\pi \left(\frac{x}{5} - 6 \times 10^7 t\right)\right] \hat{z} \text{ T}$.

(A) બલ્બનો કુલ પાવર $P = 100 \pi \ W$ છે.
દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત થતો પાવર કુલ પાવરના $10 \%$ છે,તેથી $P' = 0.10 \times 100 \pi \ W = 10 \pi \ W$.
બિંદુવત ઉદગમથી $d = 10 \ m$ અંતરે તીવ્રતા $I$ શોધવાનું સૂત્ર $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{10 \pi}{4 \pi (10)^2} = \frac{10 \pi}{4 \pi \times 100} = \frac{10}{400} = 0.025 \ W \ m^{-2}$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
આપેલ છે:
$I = 17.7 \times 10^{14} \ W/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 / (N \cdot m^2)$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$17.7 \times 10^{14} = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$17.7 \times 10^{14} = \frac{26.55 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$17.7 \times 10^{14} = 13.275 \times 10^{-4} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{17.7 \times 10^{14}}{13.275 \times 10^{-4}} = \frac{17.7}{13.275} \times 10^{18} \approx 1.333 \times 10^{18} = \frac{4}{3} \times 10^{18}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$E_0 = \sqrt{\frac{4}{3} \times 10^{18}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 10^9 \ N \ C^{-1}$

(A) પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ ... $(i)$
જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$I = \frac{15}{\pi} \text{ W/m}^2$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \implies \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \text{ F/m}$
$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
સમીકરણ $(i)$ ને $E_0^2$ માટે ગોઠવતા:
$E_0^2 = \frac{2I}{\varepsilon_0 c} = \frac{2I \times 4 \pi}{(4 \pi \varepsilon_0) c}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0^2 = \frac{2 \times (15/\pi) \times 4 \pi}{(1 / (9 \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}$
$E_0^2 = \frac{120}{3 \times 10^8 / 9 \times 10^9} = \frac{120}{1/30} = 120 \times 30 = 3600$
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N/C}$

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B} = \hat{i} - \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા $\hat{E} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{n} = (\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})$.
એકમ સદિશોના ગુણધર્મો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\hat{n} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
આમ,દિશા $-2\hat{k}$ હોવાથી,તરંગ $-z$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(B) ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = 4 \% \text{ of } 100 \,W = \frac{4}{100} \times 100 \,W = 4 \,W$ છે.
$r = 2 \,m$ અંતરે, વિકિરણ $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2)^2 = 16 \pi \,m^2$ જેટલા ગોળાકાર પૃષ્ઠફળ પર ફેલાય છે.
સરેરાશ તીવ્રતા $I_{\text{avg}} = \frac{P_{\text{avg}}}{A} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$ મળે છે.
વળી, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{rms}}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{\text{avg}} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$ છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{4 \pi} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$.
$E_{\text{rms}}^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right) \times \frac{1}{c}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{rms}}^2 = (9 \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8} = 3 \times 10 = 30$.
તેથી, $E_{\text{rms}} = \sqrt{30} \,V/m$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગની આવૃત્તિ,$f = 3 \ MHz = 3 \times 10^6 \ Hz$.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમની પરમિટિવિટી,$\epsilon = 16 \epsilon_0$.
શૂન્યાવકાશમાં $EM$ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{3 \times 10^6 \ Hz} = 100 \ m$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ છે. માધ્યમ બિન-ચુંબકીય હોવાથી,$\mu_r = 1$ થાય.
તેથી,$n = \sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_0}} = \sqrt{16} = 4$.
માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{n} = \frac{100 \ m}{4} = 25 \ m$ થાય.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 25 \ m - 100 \ m = -75 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B_0 = 1.26 \times 10^{-4} \ T$ અને શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6} \ H/m$. પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times \frac{(1.26 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times \frac{1.26 \times 1.26 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times 1.26 \times 3 \times 10^2 \times 10^6$
$I = 0.63 \times 3 \times 10^6 = 1.89 \times 10^6 \ W/m^2$.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B = 5 \times 10^{-6} \sin(0.6 \times 10^2 x + 0.5 \times 10^{10} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 0.6 \times 10^2 \text{ m}^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 0.5 \times 10^{10} \text{ rad/s}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{0.5 \times 10^{10}}{0.6 \times 10^2}$
$v = \frac{5}{6} \times 10^8 \text{ m/s}$
$v \approx 0.833 \times 10^8 \text{ m/s}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઊર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
જેમ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $E = E_0 \sin(\omega t)$ અને $B = B_0 \sin(\omega t)$ તરીકે દોલન કરે છે, તેથી ઊર્જા ઘનતામાં $\sin^2(\omega t)$ જેવા પદોનો સમાવેશ થાય છે।
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઊર્જા ઘનતા $2\omega$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે।
તેથી, ઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $f_{energy} = 2f = 2 \times (4 \times 10^{14} \,Hz) = 8 \times 10^{14} \,Hz$ થાય છે।

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે આપેલું સમીકરણ $E = i 30 \cos (k z - 5 \times 10^8 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \cos (k z - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 5 \times 10^8 \ rad/s$ મળે છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સદિશ $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{\omega}{k}$ છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{\omega}{c}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{5 \times 10^8 \ rad/s}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
આમ,$k = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ rad/m$ થાય છે.

(A) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$
કારણ કે $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ ના પરિમાણો $c^2$ ના પરિમાણો સમાન છે:
$[\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}] = [c^2] = [LT^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$.

(D) આપેલ છે: બલ્બનો પાવર $P = 60 \ W$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 16 \% = 0.16$,અંતર $r = 2 \ m$.
પ્રથમ,$r$ અંતરે બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તીવ્રતાની ગણતરી કરો:
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = \eta \times P = 0.16 \times 60 = 9.6 \ W$.
$r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{9.6}{4 \pi (2)^2} = \frac{9.6}{16 \pi} = \frac{0.6}{\pi} \ W/m^2$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{0.6}{\pi} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,તેથી $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9}$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_0^2 = \frac{2 \times I}{c \epsilon_0} = \frac{2 \times 0.6 / \pi}{3 \times 10^8 \times (1 / (36 \pi \times 10^9))}$.
$E_0^2 = \frac{1.2}{\pi} \times \frac{36 \pi \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.2 \times 12 \times 10 = 144$.
તેથી,$E_0 = \sqrt{144} = 12 \ Vm^{-1}$.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i k_0[(x+y+z) - ct]}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સદિશ $\vec{k} = k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સદિશનું મૂલ્ય $k = |k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = k_0 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = k_0 \sqrt{3}$ છે.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{k_0 c}{k_0 \sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ છે.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \sqrt{3}$ છે.
તરંગ લંબગત હોવાથી,$\vec{E} \cdot \vec{k} = 0$,જે સૂચવે છે કે $\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{E}$ એ $x-z$ સમતલમાં ધ્રુવીભૂત છે,તેથી $\hat{n}$ એ $x-z$ સમતલમાં હોવું જોઈએ,એટલે કે $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{k}$.
$\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ પરથી,આપણને $a + b = 0$ મળે છે,તેથી $a = -b$.
$\hat{n}$ નું નોર્મલાઇઝેશન કરતા,આપણને $\hat{n} = \frac{\hat{i} - \hat{k}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,પ્રસરણની દિશા સદિશ $\vec{k}_{dir} = \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે કળા $kz - \omega t$ છે).
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_0(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશા અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ બંનેને લંબ હોય છે.
$\vec{B}$ ની દિશા ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{k}_{dir} \times \vec{E}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{B}_{dir} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{k} \times \hat{i}) + (\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{j} - \hat{i} = -\hat{i} + \hat{j}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $-\hat{i} + \hat{j}$ છે.

(B) આપેલ છે,$\vec{E} = 90 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{k} \text{ V/m}$.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $\vec{E} = E_{0} \sin (kx + \omega t) \hat{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_{0} = 90 \text{ V/m}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $-\hat{i}$ છે (કારણ કે દલીલ $kx + \omega t$ છે).
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{90}{3 \times 10^{8}} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{E}$ એ $\hat{k}$ ની દિશામાં છે અને પ્રસરણની દિશા $-\hat{i}$ છે.
તેથી,$\hat{k} \times \hat{B} = -\hat{i}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$,તેથી $\vec{B}$ એ $\hat{j}$ ની દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{j} \text{ T}$.

(A) તરંગના પ્રસરણની દિશા તરંગ સદિશ $\vec{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $z$-અક્ષ ($+\hat{k}$ દિશા) ની સાથે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\hat{c}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E})$ છે.
અહીં,$\hat{c} = \hat{k}$ અને $\vec{E} = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat{j}$ છે.
$\vec{B}$ ની દિશા $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{54}{3 \times 10^8} = 18 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7} \ T$ છે.
તેથી,$\vec{B} = -1.8 \times 10^{-7} \sin(kz - \omega t) \hat{i} \ T$ થશે.

(C) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\overline{E}(x,t) = 25 \sin(2.0 \times 10^{15}t - 10^{7}x)\hat{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 2.0 \times 10^{15} \text{ rad/s}$
$k = 10^{7} \text{ m}^{-1}$
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
$v = \frac{2.0 \times 10^{15}}{10^7} = 2.0 \times 10^8 \text{ m/s}$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.

(D) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}$ છે.
માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $V = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{C}{V} = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} = \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}$ થાય.
અહીં,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \varepsilon_{r} = 3$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_{0}} = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{C}{V} = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\sqrt{6} : 1$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
આના પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = B_0 c$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B_0 = \frac{E_0}{c}$.
$E_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B_0 = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$ મળે છે.
અહીં $I = 4.0 \times 10^{14} \ W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/Nm^2$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 4.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{8.85 \times 10^{-12} \times 27 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{8.0 \times 10^{14}}{238.95 \times 10^{12}}} = \sqrt{\frac{800}{238.95}} \approx \sqrt{3.348} \approx 1.83 \ T$.

(D) સમતલ તરંગ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4.5 \times 10^{14} \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 3 \times 10^6 \text{ rad/m}$ મળે છે.
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{4.5 \times 10^{14}}{3 \times 10^6} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = 2$ છે.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમ માટે,સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1$ છે. વક્રીભવનાંક અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (સાપેક્ષ પરમિટિવિટી) $\varepsilon_r$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \sqrt{\varepsilon_r}$ છે.
તેથી,$\varepsilon_r = n^2 = 2^2 = 4$ થાય.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 69 \text{ V/m}$, $k = 0.6 \times 10^3 \text{ rad/m}$, અને $\omega = 1.8 \times 10^{11} \text{ rad/s}$ છે.
તરંગ $+x$ દિશામાં $(\hat{i})$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$ દિશામાં $(\hat{j})$ છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$ દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ કારણ કે $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E}) = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_y \hat{j}) = \frac{E_y}{c} \hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{69}{3 \times 10^8} = 23 \times 10^{-8} = 2.3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ફેઝ (કળા) વિદ્યુતક્ષેત્ર જેવો જ હોય છે, તેથી $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t) = 2.3 \times 10^{-7} \sin[0.6 \times 10^3 x - 1.8 \times 10^{11} t] \text{ T}$ થાય.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I$ એ સૂત્ર $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતનો પાવર છે.
જ્યારે ડિટેક્ટરને $L$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન ગોળાકાર સપાટી પર બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતથી અંતર $r$ અચળ રહે છે $(r = L)$.
કારણ કે આઈસોટ્રોપિક બિંદુવત સ્ત્રોત માટે તીવ્રતા $I$ માત્ર અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,તેથી નવા સ્થાને તીવ્રતા પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_o$ જેટલી જ રહેશે.
તેથી,નવા સ્થાને માપવામાં આવેલી તીવ્રતા $I_o$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગના પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં,તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{i}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{j}$ તરીકે આપેલ છે.
સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{i})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\vec{B}$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\vec{E} = c B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) (\hat{j} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = v\lambda$ (જ્યાં $v$ એ આવૃત્તિ અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે),આપણને મળે છે:
$\vec{E} = -v\lambda B_0 \sin(2\pi vt - \frac{2\pi x}{\lambda}) \hat{k}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = evB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે.
તેથી,મહત્તમ બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_m} = \frac{eE}{evB} = \frac{E}{v(E/c)} = \frac{c}{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ અને $v = 1.5 \times 10^6 \text{ m/s}$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^6} = \frac{300 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = 200$ થાય.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = c(\vec{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગ પ્રસરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
અહીં,તરંગ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{i}$.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{B} = 2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (2 \times 10^{-7} \hat{j} \text{ T} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી $\vec{E} = (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-7}) \times (-\hat{k}) = 60 \times (-\hat{k}) = -60\hat{k} \text{ V/m}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણ સદિશ $\vec{k}$ વચ્ચેનો સંબંધ મેક્સવેલ-ફેરાડેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ વિકલન સ્વરૂપમાં,$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ છે.
સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ અને $\vec{B} = \vec{B}_0 \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$ લેતા.
આ કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{k} \times \vec{E} = \omega \vec{B}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\vec{k} \times \vec{E}}{\omega}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.