Electric Current Questions in Hindi

(N/A) जब चालकों को विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो उनमें मौजूद विद्युत आवेश एक बल का अनुभव करते हैं।
यदि ये आवेश गति करने के लिए स्वतंत्र हैं,तो वे विद्युत धारा का निर्माण करेंगे।
परमाणुओं और अणुओं में,इलेक्ट्रॉन कूलम्ब बलों द्वारा नाभिक से बंधे होते हैं। हालाँकि,थोक पदार्थ (bulk matter) में अणु इतने करीब से पैक होते हैं कि बाहरी इलेक्ट्रॉन अब किसी एक नाभिक से सख्ती से नहीं जुड़े रहते हैं।
धातुओं में,कुछ इलेक्ट्रॉन व्यावहारिक रूप से पूरे पदार्थ में बेतरतीब ढंग से घूमने के लिए स्वतंत्र होते हैं। जब एक बाहरी विद्युत क्षेत्र लागू किया जाता है,तो ये मुक्त इलेक्ट्रॉन एक शुद्ध बल का अनुभव करते हैं और ड्रिफ्ट करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप विद्युत धारा उत्पन्न होती है।
ठोस चालकों में,धारा इलेक्ट्रॉनों की गति के कारण बनती है।
तरल पदार्थों (इलेक्ट्रोलाइट्स) में,धारा धनात्मक और ऋणात्मक आयनों की परस्पर विपरीत दिशाओं में गति के कारण उत्पन्न होती है।
गैसों में भी,आयनीकरण द्वारा निर्मित आयनों की गति के कारण धारा उत्पन्न होती है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार $R$ त्रिज्या का एक धात्विक बेलन (सिलेंडर) मान लीजिए।
हम दो पतली वृत्ताकार डिस्क पर विचार करते हैं जिन पर $+Q$ और $-Q$ आवेश वितरित हैं। यदि हम इन दो डिस्क को बेलन की दो सपाट सतहों पर लगा दें,तो एक विद्युत क्षेत्र $E$ स्थापित हो जाता है और एक धारा उत्पन्न होती है जो धनात्मक से ऋणात्मक आवेश की ओर निर्देशित होती है।
बेलन में इस विद्युत क्षेत्र के कारण,इलेक्ट्रॉन $+Q$ आवेश की ओर त्वरित होंगे।
ये इलेक्ट्रॉन,जब तक गतिमान हैं,विद्युत धारा का निर्माण करेंगे। इस स्थिति में,धारा बहुत कम समय के लिए बनेगी और फिर आवेशों के उदासीन (neutralize) हो जाने पर रुक जाएगी।
यदि हम सेल या बैटरी जैसी किसी प्रणाली पर विचार करें,जिसमें उदासीन होने वाले $+Q$ आवेश की मात्रा को दूसरे सिरे पर समान $-Q$ आवेश द्वारा लगातार पुनः भरा जाता है,तो एक स्थिर विद्युत धारा बनाए रखी जा सकती है।

(B) चालकों में,परमाणुओं की सबसे बाहरी कक्षा में इलेक्ट्रॉन ढीले ढंग से बंधे होते हैं,जिन्हें मुक्त इलेक्ट्रॉन कहा जाता है।
जब चालक पर एक बाहरी विद्युत क्षेत्र लागू किया जाता है,तो ये मुक्त इलेक्ट्रॉन एक बल का अनुभव करते हैं और एक विशिष्ट दिशा में गति करना शुरू कर देते हैं।
इन मुक्त इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह ही विद्युत धारा का निर्माण करता है।
इसलिए,चालकों में विद्युत धारा इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह के कारण बनती है।

(C) एक इलेक्ट्रोलाइट में,विद्युत धारा बाहरी विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में धनात्मक आयनों (धनायन) और ऋणात्मक आयनों (ऋणायन) दोनों के विपरीत दिशाओं में गति करने के कारण बनती है। धात्विक चालकों के विपरीत,जहाँ विद्युत धारा केवल मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्रवाहित होती है,इलेक्ट्रोलाइट्स में विद्युत का चालन आवेशित आयनों के प्रवास के माध्यम से होता है।

(N/A) एक चालक में,मुक्त इलेक्ट्रॉन कमरे के तापमान पर तापीय ऊर्जा के कारण निरंतर यादृच्छिक (random) गति की स्थिति में होते हैं।
किसी भी क्षण,किसी भी दिशा में गति करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या विपरीत दिशा में गति करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,बाहरी विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में चालक में सभी मुक्त इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग शून्य होता है,अर्थात $\vec{v}_{avg} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$।
चूंकि चालक के किसी भी अनुप्रस्थ काट (cross-section) से आवेश का कुल प्रवाह शून्य होता है,इसलिए कोई शुद्ध विद्युत धारा उत्पन्न नहीं होती है।

(N/A) एक विद्युत सेल के अंदर,विद्युत धारा ऋणात्मक इलेक्ट्रोड (कैथोड) से धनात्मक इलेक्ट्रोड (एनोड) की ओर प्रवाहित होती है। यह सेल के भीतर मौजूद रासायनिक ऊर्जा के कारण होता है,जो स्थिर विद्युत बल के विरुद्ध आवेशों को स्थानांतरित करने के लिए कार्य करती है,जिससे टर्मिनलों के बीच विभवांतर बना रहता है।

(B) एक इलेक्ट्रोलाइट के भीतर,विद्युत धारा ऋणात्मक इलेक्ट्रोड (कैथोड) से धनात्मक इलेक्ट्रोड (एनोड) की ओर बहती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि धनात्मक आयन (धनायन) कैथोड की ओर और ऋणात्मक आयन (ऋणायन) एनोड की ओर गति करते हैं,जिससे आवेश का एक शुद्ध प्रवाह बनता है जो सेल के अंदर ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल तक धारा का निर्माण करता है।

(N/A) विद्युत आवेश की $SI$ इकाई कूलम्ब $(C)$ है।
परिभाषा के अनुसार,विद्युत धारा $I$,किसी चालक के अनुप्रस्थ काट से आवेश $Q$ के प्रवाह की दर है,जिसे $I = Q/t$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$Q = I \times t$।
जब $1 \; A$ की स्थिर विद्युत धारा $1 \; s$ के समयांतराल के लिए किसी चालक से प्रवाहित होती है,तो उसके अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाली आवेश की मात्रा को $1 \; C$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$1 \; C = 1 \; A \times 1 \; s$।

(N/A) विद्युत धारा $(I)$,आवेश $(Q)$ और समय $(t)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = \frac{Q}{t}$.
इस सूत्र को आवेश के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $Q = I \times t$.
परिभाषा के अनुसार,$1 \ Ampere$ प्रति सेकंड प्रवाहित होने वाला $1 \ Coulomb$ आवेश है $(1 \ A = 1 \ C/s)$.
अतः,$1 \ Coulomb$ वह विद्युत आवेश की मात्रा है जो $1 \ second$ में किसी चालक के अनुप्रस्थ काट से होकर गुजरती है,जब चालक में $1 \ Ampere$ की स्थिर धारा प्रवाहित हो रही हो।

(B) धारा $i = \alpha_{0} t + \beta t^{2}$ द्वारा दी गई है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$i = 20t + 8t^{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि धारा $i = \frac{dq}{dt}$,इसलिए आवेश $q$ समाकलन $q = \int i \, dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$15 \, s$ में गुजरने वाला कुल आवेश ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 15 \, s$ तक समाकलन करेंगे:
$q = \int_{0}^{15} (20t + 8t^{2}) \, dt$
$q = \left[ \frac{20t^{2}}{2} + \frac{8t^{3}}{3} \right]_{0}^{15}$
$q = \left[ 10t^{2} + \frac{8}{3}t^{3} \right]_{0}^{15}$
$q = 10(15)^{2} + \frac{8}{3}(15)^{3}$
$q = 10(225) + \frac{8}{3}(3375)$
$q = 2250 + 8(1125)$
$q = 2250 + 9000$
$q = 11250 \, C$.

(C) सही उत्तर $(c)$ है।
बाह्य परिपथ में,मुक्त इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में स्थिर-विद्युत बल का अनुभव करते हैं क्योंकि उन पर ऋण आवेश होता है।
विद्युत क्षेत्र हमेशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर निर्देशित होता है।
इसलिए,साम्यावस्था प्राप्त करने के लिए इलेक्ट्रॉन स्वाभाविक रूप से बाह्य परिपथ में निम्न विभव से उच्च विभव की ओर प्रवाहित होते हैं।
हालाँकि,एक पावर स्रोत (जैसे बैटरी) के अंदर,गैर-स्थिर-विद्युत बल (रासायनिक या चुंबकीय) इलेक्ट्रॉनों को उच्च विभव से निम्न विभव की ओर ले जाने के लिए कार्य करते हैं,जिससे परिपथ में विभवांतर बना रहता है।
अतः,पावर स्रोतों को छोड़कर इलेक्ट्रॉन निम्न से उच्च विभव की ओर प्रवाहित होते हैं।

(B) विद्युत धारा को अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं,लेकिन यह सदिश योग के नियमों (जैसे सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम) का पालन नहीं करता है।
इसके बजाय,यह योग के बीजगणितीय नियमों का पालन करता है।
इसलिए,विद्युत धारा को एक अदिश राशि के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

(D) चालक से प्रवाहित कुल आवेश $\Delta q$,$I-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\Delta q = \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\Delta q = \frac{1}{2} \times 15 \, s \times 10 \, A = 75 \, C$
औसत धारा $I_{\text{avg}}$ को कुल आवेश और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$I_{\text{avg}} = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{75 \, C}{15 \, s} = 5 \, A$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) आवेश $Q(t) = \alpha t - \beta t^2 + \gamma t^3$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत धारा $i$ आवेश के परिवर्तन की समय के सापेक्ष दर है: $i = \frac{dQ}{dt} = \alpha - 2\beta t + 3\gamma t^2$.
न्यूनतम धारा ज्ञात करने के लिए,हम धारा का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{di}{dt} = -2\beta + 6\gamma t = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2\beta}{6\gamma} = \frac{\beta}{3\gamma}$ प्राप्त होता है।
अब,$t = \frac{\beta}{3\gamma}$ का मान धारा के समीकरण में रखने पर:
$i_{min} = \alpha - 2\beta \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right) + 3\gamma \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right)^2$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + 3\gamma \left(\frac{\beta^2}{9\gamma^2}\right)$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + \frac{\beta^2}{3\gamma}$
$i_{min} = \alpha - \frac{\beta^2}{3\gamma}$.

(B) दिया गया है कि विद्युत धारा $I$ समय $t$ के साथ $I = I_0 + \beta t$ के अनुसार बदलती है।
यहाँ,$I_0 = 20 \ A$ और $\beta = 3 \ A/s$ है।
अतः,$I = 20 + 3t$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत धारा $I = \frac{dq}{dt}$,जिसका अर्थ है $dq = I \ dt$।
$t = 0$ से $t = 20 \ s$ के समय अंतराल में तार के अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले कुल आवेश $q$ को ज्ञात करने के लिए,हम इसका समाकलन करेंगे:
$q = \int_{0}^{20} I \ dt = \int_{0}^{20} (20 + 3t) \ dt$
$q = \left[ 20t + \frac{3t^2}{2} \right]_{0}^{20}$
$q = \left( 20(20) + \frac{3(20)^2}{2} \right) - 0$
$q = 400 + \frac{3 \times 400}{2} = 400 + 600 = 1000 \ C$.

(A) विद्युत आवेश $q$ और धारा $I$ के बीच का संबंध $q = \int I \ dt$ है।
दिया गया है $I = 3t^2 + 4t^3$,इसलिए $t = 1 \ s$ से $t = 2 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$q = \int_{1}^{2} (3t^2 + 4t^3) \ dt$
$q = [t^3 + t^4]_{1}^{2}$
$q = (2^3 + 2^4) - (1^3 + 1^4)$
$q = (8 + 16) - (1 + 1)$
$q = 24 - 2 = 22 \ C$.

(D) तार से प्रवाहित होने वाला आवेश $q$,समय $t$ के सापेक्ष धारा $I$ के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \, dt$.
यहाँ $I(t) = 0.02t + 0.01$ दिया गया है,इसलिए $t = 1 \ s$ से $t = 2 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$q = \int_{1}^{2} (0.02t + 0.01) \, dt$
$q = \left[ 0.02 \frac{t^2}{2} + 0.01t \right]_{1}^{2}$
$q = \left[ 0.01t^2 + 0.01t \right]_{1}^{2}$
सीमाओं को रखने पर:
$q = (0.01(2)^2 + 0.01(2)) - (0.01(1)^2 + 0.01(1))$
$q = (0.04 + 0.02) - (0.01 + 0.01)$
$q = 0.06 - 0.02 = 0.04 \ C$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब असमान अनुप्रस्थ काट वाले धात्विक चालक से एक स्थिर धारा प्रवाहित होती है,तो आवेश संरक्षण के सिद्धांत के कारण चालक में धारा $I$ स्थिर रहती है।
अनुगमन वेग के संबंध $v_d = \frac{I}{neA}$ से,चूँकि $n$,$e$ और $I$ स्थिर हैं,इसलिए $v_d$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है।
धारा घनत्व के संबंध $J = \frac{I}{A}$ से,चूँकि $I$ स्थिर है,इसलिए $J$,$A$ पर निर्भर करता है।
विद्युत क्षेत्र के संबंध $E = \rho J = \frac{\rho I}{A}$ से,चूँकि $\rho$ और $I$ स्थिर हैं,इसलिए $E$,$A$ पर निर्भर करता है।
अतः,चालक के अनुदिश केवल विद्युत धारा $I$ ही स्थिर रहती है।

(C) सही उत्तर केवल धारा है।
स्थिर धारा के लिए निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,किसी चालक के किसी भी अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल की परवाह किए बिना स्थिर रहती है।
सूत्र $I = nAev_d$ के अनुसार,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $v_d$ अपवाह वेग है,यदि क्षेत्रफल $A$ बदलता है,तो धारा $I$ को स्थिर रखने के लिए अपवाह वेग $v_d$ को बदलना होगा।
इसी प्रकार,विद्युत क्षेत्र $E$ धारा घनत्व $J = I/A$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के साथ बदलता है।

(A) चालक के अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $Q$,$I-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,$0 \leq t \leq 10 \ s$ के लिए,धारा $100 \ mA$ से $300 \ mA$ तक रैखिक रूप से बढ़ती है। यह क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है: $A_1 = \frac{(100 + 300) \times 10^{-3} \ A}{2} \times 10 \ s = 2 \ C$.
$10 \ s \leq t \leq 20 \ s$ के लिए,धारा $300 \ mA$ पर स्थिर रहती है। यह क्षेत्रफल एक आयत है: $A_2 = 300 \times 10^{-3} \ A \times (20 - 10) \ s = 3 \ C$.
कुल आवेश $Q = A_1 + A_2 = 2 \ C + 3 \ C = 5 \ C$.
आवेश के क्वांटीकरण के नियम का उपयोग करते हुए,$Q = ne$,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
$n = \frac{Q}{e} = \frac{5}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.125 \times 10^{19}$.

(B) दिया गया है: धारा $I = 20 \text{ A}$.
समय $t = 1 \text{ घंटा } 30 \text{ मिनट} = 90 \text{ मिनट} = 90 \times 60 \text{ सेकंड} = 5400 \text{ सेकंड}$.
स्थानांतरित आवेश का सूत्र $Q = I \times t$ है।
मान रखने पर: $Q = 20 \text{ A} \times 5400 \text{ s} = 108000 \text{ C}$.
वैज्ञानिक संकेतन में,$Q = 1.08 \times 10^{5} \text{ C}$ या $10.8 \times 10^{4} \text{ C}$ होगा।

(A) चालक से प्रवाहित होने वाली धारा '$I$' को समय के सापेक्ष आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो आवेश '$Q$' का समय '$t$' के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होती है:
$I = \frac{dQ}{dt}$
आवेश के लिए दिया गया समीकरण: $Q = 3t^2 + t$
'$Q$' का '$t$' के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$I = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) = 6t + 1$
$t = 3 \ s$ पर धारा ज्ञात करने के लिए,'$I$' के व्यंजक में '$t = 3$' प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 6(3) + 1 = 18 + 1 = 19 \ A$
अतः,$t = 3 \ s$ पर चालक में प्रवाहित धारा $19 \ A$ है।

(D) एक धात्विक चालक में,विद्युत धारा $I$ को अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाले आवेश की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
असमान अनुप्रस्थ काट वाले चालक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा के लिए,धारा $I$ पूरे चालक में स्थिर रहती है क्योंकि किसी भी बिंदु पर आवेश जमा नहीं हो सकता है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$I = nAev_d$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है,और $v_d$ अनुगमन वेग (drift velocity) है।
चूंकि $I$ स्थिर है,यदि क्षेत्रफल $A$ बदलता है,तो धारा घनत्व $J = I/A$ और अनुगमन वेग $v_d = I/(nAe)$ दोनों को स्थिर धारा बनाए रखने के लिए बदलना होगा।
इसलिए,केवल विद्युत धारा $I$ ही स्थिर रहती है।

(B) दिया गया है,विद्युत धारा,$I = 9 \,A$.
मान लीजिए कि $t$ समय में एक चालक से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ है।
हम जानते हैं कि,$I = \frac{q}{t}$ और $q = ne$.
इसलिए,$I = \frac{ne}{t}$.
प्रति सेकंड इलेक्ट्रॉनों की संख्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$.
मान रखने पर,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है:
$\frac{n}{t} = \frac{9}{1.6 \times 10^{-19}} = 5.625 \times 10^{19} \approx 5.6 \times 10^{19}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।

(D) धारा $i$ और समय $t$ के बीच का संबंध $i = 12t + 9t^2$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि आवेश $q$,समय के सापेक्ष धारा का समाकलन है: $q = \int_{t_1}^{t_2} i dt$.
यहाँ $t_1 = 2 \,s$ और $t_2 = 10 \,s$ दिया गया है,इसलिए:
$q = \int_{2}^{10} (12t + 9t^2) dt$
$q = [12 \cdot \frac{t^2}{2} + 9 \cdot \frac{t^3}{3}]_{2}^{10}$
$q = [6t^2 + 3t^3]_{2}^{10}$
अब,सीमाएं रखने पर:
$q = (6(10)^2 + 3(10)^3) - (6(2)^2 + 3(2)^3)$
$q = (600 + 3000) - (6 \cdot 4 + 3 \cdot 8)$
$q = 3600 - (24 + 24)$
$q = 3600 - 48 = 3552 \,C$.

(A) धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $I = \frac{Q}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, तार से प्रवाहित होने वाले कुल आवेश $Q$ की गणना करें।
इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = n \times N_A$, जहाँ $n = 0.1 \text{ mol}$ और $N_A = 6 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ है।
$N = 0.1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{22} \text{ इलेक्ट्रॉन}$.
कुल आवेश $Q = N \times e$, जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ है।
$Q = 6 \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} = 9.6 \times 10^3 \text{ C} = 9600 \text{ C}$.
समय $t = 40 \text{ min} = 40 \times 60 \text{ s} = 2400 \text{ s}$.
अब, धारा $I = \frac{9600 \text{ C}}{2400 \text{ s}} = 4 \text{ A}$ की गणना करें।

(A) धारा $I = I_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दी गई है।
हम जानते हैं कि धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $I = \frac{dQ}{dt}$.
अतः,$dQ = I dt = I_{0} e^{-\lambda t} dt$.
संपूर्ण पल्स अवधि के दौरान कुल आवेश $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = \infty$ तक समाकलन करते हैं:
$Q = \int_{0}^{\infty} I_{0} e^{-\lambda t} dt$
$Q = I_{0} \left[ \frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda} \right]_{0}^{\infty}$
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [e^{-\infty} - e^{0}]$
चूंकि $e^{-\infty} = 0$ और $e^{0} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [0 - 1] = \frac{I_{0}}{\lambda}$.

(A) धारा $I$ और आवेश $Q$ के बीच का संबंध $I = \frac{dQ}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $Q = \int I \ dt$।
चूँकि $I = 3t^2 + 2t + 5$ दिया गया है,हम $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक समय के सापेक्ष इसका समाकलन करेंगे:
$Q = \int_{0}^{2} (3t^2 + 2t + 5) \ dt$
$Q = [t^3 + t^2 + 5t]_{0}^{2}$
$Q = (2^3 + 2^2 + 5(2)) - (0^3 + 0^2 + 5(0))$
$Q = (8 + 4 + 10) - 0$
$Q = 22 \ C$.