Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Hindi

(B) दिया गया है: प्रारंभिक आवृत्ति, $f_1 = 50 \, Hz$.
प्रारंभिक प्रतिघात, $X_1 = 10 \, \Omega$.
अंतिम आवृत्ति, $f_2 = 200 \, Hz$.
हम जानते हैं कि प्रेरक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
चूँकि $L$ स्थिर है, इसलिए $X_L \propto f$ होगा।
अतः, $\frac{X_2}{X_1} = \frac{f_2}{f_1}$.
मान रखने पर: $\frac{X_2}{10} = \frac{200}{50}$.
$\frac{X_2}{10} = 4$.
$X_2 = 4 \times 10 = 40 \, \Omega$.

(A) दिया गया है,वोल्टेज $V = V_0 \sin \omega t$,जहाँ $V_0 = 10 \ V$ और प्रेरकत्व $L = 10 \ H$ है।
एक शुद्ध प्रेरक के लिए,प्रेरित $EMF$ $E = -L \frac{di}{dt}$ होता है।
किरचॉफ के लूप नियम के अनुसार,$V + E = 0$,इसलिए $V = L \frac{di}{dt}$।
धारा $i$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{di}{dt} = \frac{V}{L} = \frac{V_0 \sin \omega t}{L}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन (integration) करने पर:
$i = \int \frac{V_0}{L} \sin \omega t \ dt = \frac{V_0}{L} \left( -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right) = -\frac{V_0}{\omega L} \cos \omega t$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\cos \theta = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$i = \frac{V_0}{\omega L} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$।
$V_0 = 10$ और $L = 10$ का मान रखने पर:
$i = \frac{10}{\omega \times 10} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\omega} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$।

(B) एक संधारित्र का धारितीय प्रतिघात $X_C$,सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $X_C \propto \frac{1}{f}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1$ है और प्रारंभिक प्रतिघात $X_{C1} = 6 \ k\Omega$ है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_2 = 2f_1$ है।
नया प्रतिघात $X_{C2}$ अनुपात द्वारा प्राप्त होता है:
$\frac{X_{C2}}{X_{C1}} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{f_1}{2f_1} = \frac{1}{2}$।
अतः,$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{6 \ k\Omega}{2} = 3 \ k\Omega$।

(C) केवल धारिता वाले $AC$-परिपथ में,धारा हमेशा वोल्टेज से $90^{\circ}$ के कला कोण (phase angle) से आगे होती है।
यह इसलिए होता है क्योंकि संधारित्र पर आवेश $q$,वोल्टेज $V$ से $q = CV$ द्वारा संबंधित होता है।
धारा $I$ आवेश के परिवर्तन की दर है,$I = dq/dt = C(dV/dt)$।
यदि $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,तो $I = C \omega V_0 \cos(\omega t) = I_0 \sin(\omega t + 90^{\circ})$ प्राप्त होता है।
अतः,धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $V = V_0 \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में प्रत्यावर्ती धारा $I = I_0 \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
इन दो समीकरणों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि धारा $EMF$ (वोल्टेज) से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे है।
अतः,धारा और $EMF$ के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ और प्रत्यावर्ती धारा $I = I_m \sin(\omega t)$ दोनों समान कला में होते हैं।
चूंकि दोनों एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं,इसलिए वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $0^{\circ}$ होता है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ और वोल्टेज $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$।
इसे मानक समीकरण $V = V_0 \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर,हमें पीक वोल्टेज $V_0 = 220 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारिता प्रतिघात $X_C$ इस प्रकार है: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
पीक धारा $i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$ है।
$rms$ धारा $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$ होगी।

(C) केवल प्रेरक युक्त $AC$ परिपथ के लिए:
$I = I_0 \sin(\omega t)$
$V = V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = V_0 \cos(\omega t)$
तात्कालिक शक्ति $P = V \cdot I$
$P = (V_0 \cos(\omega t)) \cdot (I_0 \sin(\omega t))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} \sin(2\omega t)$
शक्ति की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,शक्ति की आवृत्ति $f' = 2f$ होगी।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,अतः तात्कालिक शक्ति की आवृत्ति $f' = 2 \times 50 \ Hz = 100 \ Hz$ है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \Omega$,$AC$ स्रोत $\varepsilon = 10 \sin (250 \pi t)$.
$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin (\omega t)$ से तुलना करने पर,$\varepsilon_0 = 10 \text{ V}$ और $\omega = 250 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मा के रूप में क्षयित ऊर्जा $H = \int_0^{t} \frac{\varepsilon^2}{R} dt$ द्वारा दी जाती है।
$H = \frac{1}{R} \int_0^{10^{-3}} (10 \sin (250 \pi t))^2 dt = \frac{100}{100} \int_0^{10^{-3}} \sin^2 (250 \pi t) dt$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$H = \int_0^{10^{-3}} \frac{1 - \cos (500 \pi t)}{2} dt$.
$H = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin (500 \pi t)}{500 \pi} \right]_0^{10^{-3}}$.
$H = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (500 \pi \times 10^{-3})}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (0.5 \pi)}{500 \pi} \right]$.
चूंकि $\sin (0.5 \pi) = 1$,$H = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi - 2}{1000 \pi} \right] = \frac{\pi - 2}{2000 \pi} \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$\pi - 2 \approx 1.14$. अतः $H \approx \frac{1.14}{2000 \pi} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \times 10^{-3} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \text{ mJ}$.

(D) दिया गया है: धारिता $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ और वोल्टेज $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$।
मानक समीकरण $V = V_0 \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $V_0 = 220 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना इस प्रकार है:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
शिखर धारा $i_0$ इस प्रकार है:
$i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
rms धारा $i_{\text{rms}}$ का मान है:
$i_{\text{rms}} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$.

(C) प्रेरक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L$ होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \nu$ होती है, जहाँ $\nu$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है, इसलिए $X_L = 2 \pi \nu L$ होगा।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 1 \ H$ और आवृत्ति $\nu = 50 \ Hz$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$।

(C) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा $I$,वोल्टेज $V$ से $\phi = 90^{\circ}$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण (phase angle) से पीछे रहती है।
$A$.$C$. परिपथ में खपत की गई औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
सूत्र में कला कोण $\phi = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें $\cos 90^{\circ} = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$।
अतः,एक शुद्ध प्रेरक कोई औसत शक्ति व्यय नहीं करता है।

(B) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ होता है।
दिए गए मान: आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$ और धारिता $C = 15.0 \mu\text{F} = 15.0 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{314.159 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{4712.385 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{10^6}{4712.385} \approx 212.2 \Omega$.
निकटतम पूर्णांक में,धारितीय प्रतिघात $212 \Omega$ है।