Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Hindi

(D) प्रेरक परिपथ में धारा $I_{L} = \frac{V}{X_{L}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{L} = \omega L = 2\pi f L$ है। अतः,$I_{L} = \frac{V}{2\pi f L}$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$I_{L}$ घटता है।
संधारित्र परिपथ में धारा $I_{C} = \frac{V}{X_{C}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ है। अतः,$I_{C} = V(2\pi f C)$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$I_{C}$ बढ़ता है।
इसलिए,पहले परिपथ में धारा घटती है और दूसरे परिपथ में धारा बढ़ती है।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 50 \text{ rad/s}$ है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) वोल्टेज $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
एमीटर rms धारा $I_{\text{rms}}$ को मापता है, जो $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A} = 10 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $10 \text{ mA}$ है।

(C) कुंडली का प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्रोत की आवृत्ति है।
$A.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f$ शून्य नहीं होती है,इसलिए प्रतिघात $X_{AC} = 2\pi f L$ होता है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है,इसलिए प्रतिघात $X_{DC} = 2\pi (0) L = 0$ होता है।
$A.C.$ स्रोत से जुड़े प्रतिघात और $D.C.$ स्रोत से जुड़े प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_{AC}}{X_{DC}} = \frac{2\pi f L}{0} = \infty$ होगा।
अतः,सही अनुपात $\infty$ है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक में,धारा आरोपित $e.m.f.$ (वोल्टेज) से $90^{\circ}$ या $\pi/2$ रेडियन के कला कोण से पीछे रहती है।
यदि वोल्टेज को $e_L = E_0 \sin(\omega t)$ के रूप में दर्शाया जाता है,तो धारा $i_L = I_0 \sin(\omega t - \pi/2)$ होती है।
फेजर आरेखों में,इसका अर्थ है कि धारा सदिश $i_L$,वोल्टेज सदिश $e_L$ से $90^{\circ}$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
चित्र $(A)$ उन्हें विपरीत दिशाओं $(180^{\circ})$ में दिखाता है।
चित्र $(B)$ में $i_L$,$e_L$ से $90^{\circ}$ पीछे (दक्षिणावर्त) है।
चित्र $(C)$ उन्हें समान कला $(0^{\circ})$ में दिखाता है।
चित्र $(D)$ में $i_L$,$e_L$ से $90^{\circ}$ आगे (वामावर्त) है।
इसलिए,चित्र $(B)$ सही कला संबंध को दर्शाता है।

(D) केवल प्रेरक $(L)$ वाले $A.C.$ परिपथ में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ द्वारा दिया जाता है। धारा $I = V / X_L = V / (2\pi fL)$ है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है, $X_L$ बढ़ता है, इसलिए धारा $I$ घटती है।
केवल संधारित्र $(C)$ वाले $A.C.$ परिपथ में, धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (2\pi fC)$ द्वारा दिया जाता है। धारा $I = V / X_C = V \cdot (2\pi fC)$ है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है, $X_C$ घटता है, इसलिए धारा $I$ बढ़ती है।
अतः, पहले परिपथ में धारा घटेगी और दूसरे परिपथ में धारा बढ़ेगी।

(C) जब $L$ प्रेरकत्व वाले शुद्ध प्रेरक पर $A.C.$ वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ लगाया जाता है,तो प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर,$V - L \frac{di}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है $V = L \frac{di}{dt}$।
$V$ का मान रखने पर,$V_m \sin(\omega t) = L \frac{di}{dt}$,इसलिए $di = \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$i = \int \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt = -\frac{V_m}{\omega L} \cos(\omega t) = \frac{V_m}{\omega L} \sin(\omega t - \pi / 2)$।
वोल्टेज $(\omega t)$ और धारा $(\omega t - \pi / 2)$ के कला (phase) की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ रेडियन के कला कोण से पीछे है।

(C) धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ का सूत्र $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
जब आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ और धारिता $C$ को दोगुना $(C' = 2C)$ किया जाता है,तो नया प्रतिघात $X_{C}'$ इस प्रकार होगा:
$X_{C}' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_{C}' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)} = \frac{1}{4} X_{C}$.
अतः,नया प्रतिघात $\frac{X_{C}}{4}$ होगा।

(D) $A.C.$ स्रोत से जुड़े श्रेणी $LCR$ परिपथ में:
$1$. शुद्ध प्रतिरोध $(R)$ में, धारा और वोल्टेज हमेशा समान कला में होते हैं।
$2$. शुद्ध प्रेरक $(L)$ में, वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे होता है, जिसका अर्थ है कि वे समान कला में नहीं हैं।
$3$. शुद्ध संधारित्र $(C)$ में, धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे होती है, जिसका अर्थ है कि वे समान कला में नहीं हैं।
अतः, प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ दोनों में, धारा और वोल्टेज एक-दूसरे के साथ कला में नहीं होते हैं। इसलिए, विकल्प $D$ सही है।

(C) एक प्रतिरोधक युक्त $A$.$C$. परिपथ में खपत की गई शक्ति का सूत्र है:
$P = I_{rms}^2 R$
दिया गया है:
$P = 108 \text{ W}$
$I_{rms} = 3 \text{ A}$
सूत्र में मान रखने पर:
$108 = (3)^2 \times R$
$108 = 9 \times R$
$R = \frac{108}{9} = 12 \ \Omega$
अतः,परिपथ में प्रतिरोध $12 \ \Omega$ है।

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 42 \, mH = 42 \times 10^{-3} \, H$, वोल्टेज $V_{rms} = 200 \, V$, आवृत्ति $f = 50 \, Hz$.
सबसे पहले, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना सूत्र $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ का उपयोग करके करें।
मान रखने पर: $X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 42 \times 10^{-3} \, \Omega$.
$X_L = 2 \times 22 \times 50 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 4400 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 13.2 \, \Omega$.
r.m.s. धारा $I_{rms}$ का मान $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I_{rms} = \frac{200}{13.2} \approx 15.15 \, A$.

(C) $1$. आदर्श प्रेरक:
- एक आदर्श प्रेरक में वोल्टेज और धारा $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं,जिसमें धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे रहती है।
- तात्कालिक शक्ति $p(t) = v(t) \times i(t)$ द्वारा दी जाती है।
- एक पूर्ण चक्र के दौरान,धनात्मक और ऋणात्मक शक्ति मान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप औसत शक्ति शून्य होती है।
$2$. आदर्श संधारित्र:
- एक आदर्श संधारित्र में भी वोल्टेज और धारा $90^{\circ}$ के कलांतर पर होते हैं,लेकिन यहाँ धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे रहती है।
- प्रेरक के मामले की तरह ही,तात्कालिक शक्ति धनात्मक और ऋणात्मक के बीच बदलती रहती है,जिसके परिणामस्वरूप एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति शून्य होती है।

(B) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ होता है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $X_C \propto \frac{1}{f}$।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 50 \ Hz$ और प्रारंभिक प्रतिघात $X_{C1} = 5 \ \Omega$ दिया गया है।
नई आवृत्ति $f_2 = 100 \ Hz$ है।
चूंकि $f_2 = 2 f_1$,इसलिए नया प्रतिघात $X_{C2}$ होगा:
$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{5 \ \Omega}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(D) प्रेरणिक प्रतिघात का सूत्र $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
यहाँ नई आवृत्ति $f' = 2f$ और नया प्रेरकत्व $L' = 3L$ दिया गया है।
अतः,नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}'$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$X_{L}' = 2 \pi f' L'$
$X_{L}' = 2 \pi (2f) (3L)$
$X_{L}' = 6 \times (2 \pi f L)$
चूंकि $X_{L} = 2 \pi f L$,इसलिए $X_{L}' = 6 X_{L}$ होगा।

(A) धारितीय प्रतिघात का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक धारितीय प्रतिघात $X_C = X \ \Omega$ है।
अतः,$X = \frac{1}{2 \pi f C}$।
जब आवृत्ति को दोगुना $(f' = 2f)$ और धारिता को दोगुना $(C' = 2C)$ किया जाता है,तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C'$ होगा:
$X_C' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$।
$X_C' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$।
चूंकि $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$X_C' = \frac{X}{4} \ \Omega$।

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ है।
ए.सी. एमीटर आर.एम.एस. $(RMS)$ धारा को मापता है, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
अतः, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(C) एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज $(e_R)$ और धारा $(i_R)$ समान कला में होते हैं। इसका अर्थ है कि वे एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान तक पहुँचते हैं। उनके बीच का कलांतर $0$ होता है। इसलिए,इस संबंध को दर्शाने वाला फेजर आरेख दोनों सदिशों को एक ही दिशा में इंगित करता है,जैसा कि चित्र $(A)$ में दिखाया गया है।

(A) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L$ है, जहाँ $\omega = 2 \pi f$ होता है।
$\omega$ का मान रखने पर, हमें $X_L = 2 \pi f L$ प्राप्त होता है।
यहाँ $X_L = 11 \, \Omega$ और $L = 0.07 \, H$ दिया गया है, इसलिए आवृत्ति $f$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$f = \frac{X_L}{2 \pi L} = \frac{11}{2 \times 3.14159 \times 0.07} \approx \frac{11}{0.4398} \approx 25 \, Hz$.
अतः, प्रत्यावर्ती वोल्टेज की आवृत्ति $25 \, Hz$ है।

(C) धारितीय प्रतिघात $X_c$ का सूत्र है: $X_c = \frac{1}{2 \pi f C}$।
दिए गए मान हैं: $X_c = \frac{1}{1000} \Omega = 10^{-3} \Omega$ और $C = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$10^{-3} = \frac{1}{2 \pi f (5 \times 10^{-6})}$
$10^{-3} = \frac{1}{10 \pi f \times 10^{-6}}$
$10^{-3} = \frac{1}{\pi f \times 10^{-5}}$
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर:
$f = \frac{1}{10^{-3} \times \pi \times 10^{-5}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{\pi} \text{ Hz}$।
चूंकि $1 \text{ MHz} = 10^6 \text{ Hz}$,इसलिए $f = \frac{100 \times 10^6}{\pi} \text{ Hz} = \frac{100}{\pi} \text{ MHz}$।

(A) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$f = \frac{X_L}{2 \pi L}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $X_L = 330 \Omega$ और $L = 0.25 mH = 0.25 \times 10^{-3} H$.
मान रखने पर: $f = \frac{330}{2 \times (22/7) \times 0.25 \times 10^{-3}}$.
$f = \frac{330 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25 \times 10^{-3}} = \frac{2310}{11 \times 10^{-3}} = 210 \times 10^3 Hz = 210 kHz$.

(C) प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ के लिए व्यंजक इस प्रकार है:
$X_L = 2 \pi f L$
जहाँ $f$ प्रत्यावर्ती धारा की आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $X_L$ आवृत्ति $(f)$ और प्रेरकत्व $(L)$ दोनों के सीधे समानुपाती है।
इसलिए,$X_L \propto f$ और $X_L \propto L$।

(D) दिया गया वोल्टेज समीकरण $e = 220 \sin(50t)$ है।
इसे मानक समीकरण $e = E_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,शिखर वोल्टेज $E_0 = 220 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
मान रखने पर: $X_C = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
शिखर धारा $I_0$ का सूत्र $I_0 = \frac{E_0}{X_C}$ है।
$I_0 = \frac{220}{400} = \frac{22}{40} = 0.55 \text{ A}$.

(D) प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
दिया गया है कि प्रारंभिक प्रेरणिक प्रतिघात $R = 2 \pi f L$ है।
यदि नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई आवृत्ति $f' = 2f$ हो,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L'$ होगा:
$X_L' = 2 \pi f' L' = 2 \pi (2f) (2L) = 4 (2 \pi f L) = 4R$.
अतः,नया प्रेरणिक प्रतिघात $4R$ होगा।

(A) संधारित्र परिपथ में r.m.s. धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारिता प्रतिघात है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = V_{rms} \cdot \omega \cdot C$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $V_{rms} = 230 \text{ V}$,$\omega = 300 \text{ rad/s}$,और $C = 100 \text{ pF} = 100 \times 10^{-12} \text{ F}$ हैं।
$I_{rms} = 230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 230 \times 3 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 690 \times 10^{-8} \text{ A} = 6.9 \times 10^{-6} \text{ A}$.

(B) एक प्रेरक का प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$,सूत्र $X_{L} = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$,$a.c.$ आपूर्ति की आवृत्ति है और $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $X_{L} \propto f$ है।
इसलिए,यदि आवृत्ति $f$ बढ़ती है,तो प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ भी रैखिक रूप से बढ़ता है।

(B) कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_{C}$ का सूत्र है: $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कैपेसिटिव रिएक्टेंस आवृत्ति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $X_{C} \propto \frac{1}{f}$।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $f$ है और प्रारंभिक रिएक्टेंस $X_{C}$ है।
माना नई आवृत्ति $f' = 4f$ है और नया रिएक्टेंस $X_{C}'$ है।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $X_{C} \cdot f = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करने पर:
$X_{C}' \cdot f' = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' \cdot (4f) = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' = \frac{X_{C}}{4}$।

(D) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $e = e_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $e_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है。
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \Omega$ है。
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ है。
$AC$ एमीटर का पाठ्यांक $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ देता है。
मान रखने पर, $I_{rms} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(A) चोक कुंडली एक उच्च प्रेरकत्व और कम प्रतिरोध वाला प्रेरक (inductor) है। इसका उपयोग $AC$ परिपथों में ऊष्मा के रूप में महत्वपूर्ण शक्ति का क्षय किए बिना धारा को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है। $DC$ परिपथों में,एक प्रेरक नगण्य प्रतिरोध वाले साधारण तार की तरह कार्य करता है,इसलिए इसका उपयोग धारा को प्रभावी ढंग से नियंत्रित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। इसलिए,चोक कुंडली का उपयोग $AC$ परिपथों में प्रतिरोध (प्रतिबाधा) के रूप में किया जाता है।

(C) $AC$ परिपथों में,एक प्रतिरोधक कलांतर (phase difference) की परवाह किए बिना $I^2R$ हानि के कारण ऊष्मा के रूप में ऊर्जा का अपव्यय करता है।
हालाँकि,एक आदर्श चोक कुंडली नगण्य प्रतिरोध वाला एक प्रेरक (inductor) है।
एक आदर्श प्रेरक में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $90^{\circ}$ होता है,जिससे शक्ति गुणांक (power factor) $\cos(90^{\circ}) = 0$ हो जाता है।
इसलिए,एक आदर्श चोक कुंडली द्वारा खपत की गई औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos(90^{\circ}) = 0$ होती है।
इस प्रकार,चोक कुंडली विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा के रूप में बर्बाद किए बिना $AC$ परिपथ में धारा को नियंत्रित करती है।

(A) प्रयुक्त वोल्टेज $e = e_0 \sin \omega t$ है।
एक प्रेरक (inductor) में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहती है। प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L$ है। अतः,तात्क्षणिक धारा $i_L$ है:
$i_L = \frac{e_0}{\omega L} \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$
एक संधारित्र (capacitor) में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ आगे रहती है। धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है। अतः,तात्क्षणिक धारा $i_C$ है:
$i_C = \frac{e_0}{X_C} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = e_0 \omega C \cos \omega t$
अतः,धाराएँ $-\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$ और $e_0 \omega C \cos \omega t$ हैं।

(A) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi = 90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से पीछे रहती है।
एक शुद्ध संधारित्र परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\phi = 90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे रहती है।
इसलिए,दोनों स्थितियों में शक्ति गुणांक $\cos(90^\circ) = 0$ होता है।

(D) प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला संबंध परिपथ में मौजूद घटकों पर निर्भर करता है।
शुद्ध प्रेरक परिपथ (जिसमें केवल प्रेरक $L$ हो) के लिए,वोल्टेज धारा से $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ के कला कोण से आगे रहता है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ पीछे रहती है।
शुद्ध संधारित्र परिपथ (जिसमें केवल संधारित्र $C$ हो) के लिए,धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ के कला कोण से आगे रहती है।
शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ (जिसमें केवल प्रतिरोध $R$ हो) के लिए,धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं (कलांतर $0$ होता है)।
इसलिए,चूंकि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ पीछे रहती है,इसलिए परिपथ में केवल प्रेरक $L$ होना चाहिए।

(A) $A.C.$ परिपथ में प्रेरक का प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है।
इसलिए,$D.C.$ परिपथ में प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2\pi (0) L = 0$ होता है।
$A.C.$ स्रोत और $D.C.$ स्रोत में प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_{L(ac)}}{X_{L(dc)}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ है।

(C) चरण $1$: दिए गए मान:
$V = 220 \ V$
$L = 50 \ mH = 50 \times 10^{-3} \ H$
$\nu = 50 \ Hz$
चरण $2$: प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L = 2 \pi \nu L$ है।
चरण $3$: rms धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{2 \pi \nu L}$ है।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{220}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 50 \times 10^{-3}}$
$I = \frac{220}{15.70795} \approx 14.005 \ A$.
अतः,rms धारा लगभग $14 \ A$ है।

(C) वाटहीन धारा को $AC$ परिपथ में उस धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए औसत व्यय शक्ति शून्य होती है।
$AC$ परिपथ में शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है, जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण है।
$P$ के शून्य होने के लिए, $\cos \phi$ का शून्य होना आवश्यक है, जिसका अर्थ है $\phi = 90^{\circ}$।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ (केवल $L$) या एक शुद्ध संधारित्र परिपथ (केवल $C$) में वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $90^{\circ}$ होता है।
इसलिए, केवल एक आदर्श प्रेरक (केवल $L$) या केवल एक आदर्श संधारित्र वाले परिपथ में, शक्ति गुणांक $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है, जिसके परिणामस्वरूप वाटहीन धारा प्राप्त होती है।
दिए गए विकल्पों में से, केवल $L$ सही विकल्प है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} F$,वोल्टेज $V_{rms} = 110 V$,आवृत्ति $\nu = 60 Hz$.
सबसे पहले,$X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ सूत्र का उपयोग करके धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें।
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 60 \times 50 \times 10^{-6}} \approx 53.05 \Omega$.
rms धारा $I_{rms}$ का मान $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I_{rms} = \frac{110}{53.05} \approx 2.07 A$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $I_{rms} = 2.1 A$ प्राप्त होता है।

(D) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ है,जहाँ $\nu$ स्रोत की आवृत्ति है।
$DC$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $\nu = 0 \ Hz$ होती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $X_C = \frac{1}{2 \pi (0) C} = \frac{1}{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$DC$ परिपथ में संधारित्र का प्रतिघात अनंत होता है।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $V = 100 \sqrt{2} \sin(100t) \text{ V}$ है।
इसे मानक रूप $V = V_m \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें पीक वोल्टेज $V_m = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$X_C = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \text{ } \Omega$.
रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ है।
$RMS$ करंट $I_{\text{rms}}$ को $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A}$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर,$I_{\text{rms}} = 10^{-2} \times 10^3 \text{ mA} = 10 \text{ mA}$.

(B) एक शुद्ध संधारित्र वाले $AC$ परिपथ में,वोल्टेज $V$ को $V = V_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है और धारा $I$ को $I = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दर्शाता है कि धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
$DC$ परिपथ में,आवृत्ति $v = 0 \ Hz$ होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi v = 2 \pi \times 0 = 0 \ rad/s$ द्वारा दी जाती है।
धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
मान रखने पर,हमें $X_C = \frac{1}{0 \times 1} = \frac{1}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,$DC$ परिपथ में संधारित्र का धारितीय प्रतिघात अनंत होता है,जिसका अर्थ है कि यह एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है।

(D) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय $P$ का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
एक आदर्श संधारित्र के लिए,धारा वोल्टेज से $\phi = \frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे होती है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos(\frac{\pi}{2})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए औसत शक्ति क्षय $P = 0$ प्राप्त होता है।

(A) सही उत्तर $A$ है। प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ को एक प्रेरक (inductor) द्वारा प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह के विरुद्ध प्रदान किए गए विरोध के रूप में परिभाषित किया गया है।
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
जहाँ $f$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
चूंकि $X_L$ आवृत्ति $(f)$ के सीधे आनुपातिक है,यह सर्किट में प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह को प्रभावी ढंग से सीमित करता है।
$DC$ सर्किट के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है,जिसका अर्थ है कि $X_L = 0$। इसलिए,एक शुद्ध प्रेरक $DC$ धारा के लिए कोई प्रतिरोध प्रदान नहीं करता है।

(A) प्रेरणिक प्रतिघात का सूत्र $X_{L} = \omega L$ है।
यहाँ,$\omega = 2\pi\nu$,जहाँ $\nu$ वोल्टेज स्रोत की आवृत्ति है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $X_{L} = 2\pi\nu L$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2$,$\pi$,और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए $X_{L} \propto \nu$ होता है।
यह प्रेरणिक प्रतिघात और आवृत्ति के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$।
स्रोत वोल्टेज $V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$ है।
इसे $V = V_{\max} \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर, हमें $V_{\max} = 50 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \Omega$ है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$ है।
$AC$ एमीटर का पाठ्यांक $RMS$ धारा $I_{\text{rms}}$ को दर्शाता है, जो $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{50}{1000} = 0.05 \text{ A}$ है।
मिलीएम्पियर में बदलने पर, $I_{\text{rms}} = 0.05 \times 1000 \text{ mA} = 50 \text{ mA}$।

(D) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय का सूत्र $ P_{av} = VI \cos \phi $ होता है,जहाँ $ V $ $RMS$ वोल्टेज है,$ I $ $RMS$ धारा है,और $ \phi $ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase angle) है।
एक शुद्ध प्रेरक में,धारा वोल्टेज से $ \phi = \pi / 2 $ के कलांतर से पीछे रहती है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $ P_{av} = VI \cos(\pi / 2) $।
चूंकि $ \cos(\pi / 2) = 0 $ होता है,इसलिए हमें $ P_{av} = VI \times 0 = 0 $ प्राप्त होता है।
अतः,एक शुद्ध प्रेरक में औसत शक्ति क्षय शून्य होता है।

(A) संधारित्र का धारितीय प्रतिघात $X_C$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$.
यहाँ,$f$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
सूत्र से स्पष्ट है कि $X_C \propto \frac{1}{f}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक धारितीय प्रतिघात $X_{C1} = 3 \ k\Omega$ आवृत्ति $f_1 = f$ पर।
जब आवृत्ति दोगुनी कर दी जाती है,तो $f_2 = 2f$ हो जाता है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_{C2}$ होगा: $X_{C2} = \frac{1}{2 \pi (2f) C} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2 \pi f C} \right) = \frac{X_{C1}}{2}$।
मान रखने पर: $X_{C2} = \frac{3 \ k\Omega}{2} = 1.5 \ k\Omega$।

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 70 mH = 70 \times 10^{-3} H$,वोल्टेज $V_{rms} = 220 V$,आवृत्ति $f = 50 Hz$.
प्रेरकीय प्रतिघात $\chi_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\chi_{L} = 2 \times \pi \times 50 \times 70 \times 10^{-3} = 7 \pi \Omega$.
$rms$ धारा $i_{rms} = \frac{V_{rms}}{\chi_{L}} = \frac{220}{7 \pi} \approx 10 A$।

(A) दिया गया है: धारिता $C = \frac{50}{\pi} \mu F = \frac{50}{\pi} \times 10^{-6} \, F$.
स्रोत वोल्टेज $V_{rms} = 250 \, V$ और आवृत्ति $f = 50 \, Hz$.
धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
मान रखने पर: $X_C = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (\frac{50}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{100 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5000 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.005} = 200 \, \Omega$.
rms धारा $I_{rms}$ का सूत्र $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ है।
$I_{rms} = \frac{250}{200} = 1.25 \, A$.

(A) दिया गया है: $V_{rms} = 100 \text{ V}$, $f = 50 \text{ Hz}$, $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$.
सबसे पहले, संधारित्र प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ सूत्र का उपयोग करके करें।
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \pi \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.01 \pi} = \frac{100}{\pi} \Omega$.
धारा का rms मान $I_{rms}$ सूत्र $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{rms} = \frac{100}{100 / \pi} = \pi \text{ A}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$, इसलिए धारा $3.14 \text{ A}$ है।