ताश के एक पैकेट में केवल $51$ पत्ते पाए गए। यदि जांचे गए पहले $13$ पत्ते लाल हैं,तो लापता पत्ता काला होने की प्रायिकता क्या है?

थैली $I$ में $3$ लाल और $2$ हरी गेंदें हैं और थैली $II$ में $5$ लाल और $3$ हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक थैली से एक गेंद निकाली जाती है और वह हरी पाई जाती है। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह थैली $I$ से निकाली गई है?

तीन कार्टन $A, B, C$ में एक दोषपूर्ण खिलौना होने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{5}$ है। यदि यादृच्छिक रूप से एक कार्टन चुना जाता है और उसमें से यादृच्छिक रूप से एक खिलौना निकाला जाता है और वह दोषपूर्ण पाया जाता है,तो इसके कार्टन $B$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?

एक थैली में $2n+1$ सिक्के हैं। यह ज्ञात है कि इनमें से $n$ सिक्कों के दोनों तरफ चित (head) है,जबकि शेष $n+1$ सिक्के निष्पक्ष (fair) हैं। थैली से एक सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उछाला जाता है। यदि सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता $\frac{31}{42}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $HIV$ परीक्षण की विश्वसनीयता इस प्रकार निर्दिष्ट है: $HIV$ वाले लोगों में से,$90\%$ परीक्षण रोग का पता लगा लेते हैं,लेकिन $10\%$ का पता नहीं चल पाता है। $HIV$ से मुक्त लोगों में से,$99\%$ परीक्षणों को $HIV$ नेगेटिव माना जाता है,लेकिन $1\%$ को $HIV$ पॉजिटिव के रूप में निदान किया जाता है। एक बड़ी आबादी में से जिसमें केवल $0.1\%$ लोगों को $HIV$ है,एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$HIV$ परीक्षण दिया जाता है,और पैथोलॉजिस्ट उसे $HIV$ पॉजिटिव बताता है। क्या संभावना है कि व्यक्ति को वास्तव में $HIV$ है?

एक दुकानदार तीन निर्माताओं $M_1, M_2$ और $M_3$ से एक विशेष प्रकार के इलेक्ट्रिक बल्ब खरीदता है। वह अपनी आवश्यकता का $25 \%$ $M_1$ से,$45 \%$ $M_2$ से और $30 \%$ $M_3$ से खरीदता है। पिछले अनुभव के आधार पर,उसने पाया कि $M_3$ प्रकार के $2 \%$ बल्ब खराब हैं,जबकि $M_1$ और $M_2$ प्रकार के केवल $1 \%$ बल्ब खराब हैं। यदि उसके द्वारा यादृच्छिक रूप से चुना गया एक बल्ब खराब है,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि वह $M_3$ प्रकार का था?