Depression of freezing point of the solvent Questions in Hindi

(D) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = T_f^\circ - T_f = 5.5 ^\circ C - 4.48 ^\circ C = 1.02 ^\circ C$ (या $1.02 \ K$) है।
मोलर द्रव्यमान के सूत्र $M = \frac{K_f \times w \times 1000}{W \times \Delta T_f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $w = 4.8 \ g$,$W = 60 \ g$,$K_f = 5.1 \ K \ kg \ mol^{-1}$,और $\Delta T_f = 1.02 \ K$.
$M = \frac{5.1 \times 4.8 \times 1000}{60 \times 1.02} = \frac{24480}{61.2} = 400 \ g \ mol^{-1}$.

(D) हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = m \times K_f$ है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है और $K_f$ विलायक का मोलल अवनमन स्थिरांक है।
प्रथम स्थिति के लिए: $m_1 = \frac{0.01 \ mol}{100 \ g} \times 1000 \ g/kg = 0.1 \ mol/kg$.
दिया गया है $\Delta T_{f1} = 0.40 \ ^oC$,अतः $0.40 = 0.1 \times K_f$,जिससे $K_f = 4 \ ^oC \ kg/mol$ प्राप्त होता है।
द्वितीय स्थिति के लिए: $m_2 = \frac{0.03 \ mol}{50 \ g} \times 1000 \ g/kg = 0.6 \ mol/kg$.
अब,हिमांक में नया अवनमन: $\Delta T_{f2} = m_2 \times K_f = 0.6 \times 4 = 2.4 \ ^oC$.

(C) मोलल अवनमन स्थिरांक,जिसे क्रायोस्कोपिक स्थिरांक $(K_f)$ के रूप में भी जाना जाता है,विलायक का एक विशिष्ट गुण है।
यह केवल विलायक की प्रकृति पर निर्भर करता है और विलेय की सांद्रता या विलयन की मोललता से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,यदि तनु विलयन की मोललता को दोगुना कर दिया जाए,तो $(K_f)$ का मान अपरिवर्तित रहेगा।

(A) दिया गया है: $w_2 = 68.5 \, g$,$M_2 = 342 \, g \, mol^{-1}$,$w_1 = 1000 \, g = 1 \, kg$,$K_f = 1.86 \, K \, kg \, mol^{-1}$.
$\Delta T_f = K_f \times m = K_f \times \frac{w_2}{M_2 \times w_1(kg)}$
$\Delta T_f = 1.86 \times \frac{68.5}{342 \times 1} = 0.3725 \, K$ या $^oC$.
विलयन का हिमांक $T_f = T_f^o - \Delta T_f = 0 \, ^oC - 0.3725 \, ^oC = -0.3725 \, ^oC \approx -0.37 \, ^oC$.

(B) हिमांक अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
मोललता $m = \frac{W_1 \times 1000}{M_1 \times W_2}$,जहाँ $W_1$ विलेय का द्रव्यमान है,$M_1$ विलेय का मोलर द्रव्यमान है और $W_2$ विलायक का द्रव्यमान ग्राम में है।
दिया गया है: $W_1 = 1.00 \ g$,$M_1 = 250 \ g \ mol^{-1}$,$W_2 = 51.2 \ g$,$K_f = 5.12 \ K \ kg \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\Delta T_f = 5.12 \times \frac{1.00 \times 1000}{250 \times 51.2}$.
$\Delta T_f = 5.12 \times \frac{1000}{12800} = 0.4 \ K$.

(A) दिया गया है:
$K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$
विलायक का द्रव्यमान $(W_A)$ $= 4 \ kg = 4000 \ g$
हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = 0 - (-6) = 6 \ K$
विलेय का मोलर द्रव्यमान $(M_B)$ $= 62 \ g \ mol^{-1}$
हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ है,जहाँ $m$ मोललता है।
$\Delta T_f = K_f \times \frac{w \times 1000}{M_B \times W_A \text{ (g में)}}$
$6 = 1.86 \times \frac{w \times 1000}{62 \times 4000}$
$6 = 1.86 \times \frac{w}{62 \times 4}$
$w = \frac{6 \times 62 \times 4}{1.86}$
$w = \frac{1488}{1.86} = 800 \ g$

(B) हिमांक अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ है।
दिए गए मान: $\Delta T_f = 2.8 \, K$,$K_f = 1.86 \, K \, kg \, mol^{-1}$,$i = 1$ (एथिलीन ग्लाइकॉल एक अन-अपघट्य है)।
विलायक का द्रव्यमान (पानी) $= 1.0 \, kg$.
माना विलेय (एथिलीन ग्लाइकॉल) का द्रव्यमान $= x \, g$.
एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का आणविक द्रव्यमान $= 62 \, g \, mol^{-1}$.
मोललता $(m)$ $= \frac{x / 62}{1} = \frac{x}{62} \, mol \, kg^{-1}$.
समीकरण में मान रखने पर: $2.8 = 1 \times 1.86 \times \frac{x}{62}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{2.8 \times 62}{1.86} = 93.33 \, g \approx 93 \, g$.

(C) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है। हिमांक $T_f = T_f^0 - \Delta T_f$ है। उच्चतम हिमांक के लिए,$\Delta T_f$ का मान न्यूनतम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि वांट हॉफ कारक $(i)$ और मोललता $(m)$ का गुणनफल न्यूनतम होना चाहिए।
$A$ के लिए: $i = 3$,$i \times m = 3 \times 0.12 = 0.36$.
$B$ के लिए: $i = 2$,$i \times m = 2 \times 0.15 = 0.30$.
$C$ के लिए: $i = 1$ (यूरिया अनपघट्य है),$i \times m = 1 \times 0.2 = 0.20$.
$D$ के लिए: $i \approx 1$ (दुर्बल अम्ल),$i \times m > 0.20$.
अतः,यूरिया विलयन का हिमांक सबसे अधिक है।

(C) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
यहाँ $\Delta T_f = 0.5 \ ^\circ C$,$K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$,और ग्लूकोज के मोल = $\frac{36 \ g}{180 \ g/mol} = 0.2 \ mol$ हैं।
माना $W$ द्रव अवस्था में शेष जल का द्रव्यमान ($kg$ में) है।
$0.5 = 1.86 \times \frac{0.2}{W}$
$W = \frac{1.86 \times 0.2}{0.5} = 0.744 \ kg = 744 \ g$।
चूँकि जल का प्रारंभिक द्रव्यमान $1000 \ g$ था,अतः अलग हुई बर्फ का द्रव्यमान = $1000 \ g - 744 \ g = 256 \ g$।

(B) हम जानते हैं कि $\Delta T_f = K_f \cdot m$। चूंकि विलेय की मात्रा स्थिर है, $\Delta T_f \propto \frac{1}{W}$, जहाँ $W$ विलायक का द्रव्यमान है। दिया गया है: $\Delta T_{f1} = 0.2^\circ\text{C}$, $W_1 = 100 \text{ g}$, $\Delta T_{f2} = 0.25^\circ\text{C}$। $\frac{\Delta T_{f1}}{\Delta T_{f2}} = \frac{W_2}{W_1}$ $\frac{0.2}{0.25} = \frac{W_2}{100}$ $W_2 = \frac{0.2 \cdot 100}{0.25} = 80 \text{ g}$ अलग हुई बर्फ का द्रव्यमान = $W_1 - W_2 = 100 \text{ g} - 80 \text{ g} = 20 \text{ g}$.

(B) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $K_f$ और $m$ स्थिर हैं,$\Delta T_f \propto i$।
हिमांक $T_f = T_f^0 - \Delta T_f = 273 - (i \times K_f \times 0.1)$।
सुक्रोज के लिए,$i=1$,$\Delta T_f = 273 - 272 = 1 \, K$।
अतः,$K_f \times 0.1 = 1$।
$T_f = 273 - i$।
$a. \ BaCl_2$ $(i=3)$ के लिए: $T_f = 273 - 3 = 270 \, K$ $(q)$।
$b. \ NaCl$ $(i=2)$ के लिए: $T_f = 273 - 2 = 271 \, K$ $(p)$।
$c. \ K_3[Fe(CN)_6]$ $(i=4)$ के लिए: $T_f = 273 - 4 = 269 \, K$ $(s)$।
$d. \ Al_2(SO_4)_3$ $(i=5)$ के लिए: $T_f = 273 - 5 = 268 \, K$ $(r)$।
अतः,सही मिलान $a-q, b-p, c-s, d-r$ है।

(C) दिया गया आरेख हिमांक में अवनमन के लिए वाष्प दाब वक्र को दर्शाता है।
इस ग्राफ में:
$(i)$ ठोस विलायक और विलयन के वाष्प दाब वक्र का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो विलयन का हिमांक $(T_f)$ है।
$(ii)$ शुद्ध द्रव विलायक का वाष्प दाब वक्र है।
$(iii)$ विलयन का वाष्प दाब वक्र है।
अतः,$(i)$ जमा हुआ विलायक है,$(ii)$ द्रव विलायक है,और $(iii)$ विलयन है।
इसलिए,सही पहचान $(i)$ जमा हुआ विलायक,$(ii)$ द्रव विलायक,$(iii)$ विलयन है।

(A) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = T_f^{\circ} - T_f = 273 \ K - 271.14 \ K = 1.86 \ K$ है।
सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m$ मोललता है:
$1.86 = 1.86 \times m \implies m = 1 \ mol/kg$.
इसका अर्थ है कि $1000 \ g$ जल में $1 \ mol$ यूरिया घुला हुआ है।
जल के मोल = $\frac{1000 \ g}{18 \ g/mol} \approx 55.55 \ mol$.
यूरिया का मोल अंश $(X_{\text{urea}})$ = $\frac{n_{\text{urea}}}{n_{\text{urea}} + n_{\text{water}}} = \frac{1}{1 + 55.55} = \frac{1}{56.55} \approx \frac{1}{56.5}$.

(B) हिमांक में अवनमन $\Delta T_{f} = K_{f} \cdot m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
दिया गया है: $\Delta T_{f} = 0 - (-0.93) = 0.93\,^{\circ}C$,$K_{f} = 1.86\,^{\circ}C\,kg\,mol^{-1}$,और विलयन $7.0\%$ द्रव्यमान वाला है,जिसका अर्थ है $93\,g$ पानी में $7\,g$ विलेय।
मोललता $m = \frac{\text{विलेय का द्रव्यमान}}{\text{विलेय का आणविक द्रव्यमान} \times \text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{7}{M \times 0.093}$.
मान रखने पर: $0.93 = 1.86 \times \frac{7}{M \times 0.093}$.
$M = \frac{1.86 \times 7}{0.93 \times 0.093} = \frac{13.02}{0.08649} \approx 150.5\,g\,mol^{-1}$.

(A) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है। विलयन का हिमांक $T_f = T_f^\circ - \Delta T_f$ होता है। न्यूनतम हिमांक के लिए,विलयन का $i \times m$ मान अधिकतम होना चाहिए।
$A: 0.01 \ M \ NaCl \implies i=2, m=0.01, i \times m = 0.02$
$B: 0.005 \ M \ C_2H_5OH \implies i=1, m=0.005, i \times m = 0.005$
$C: 0.005 \ M \ MgI_2 \implies i=3, m=0.005, i \times m = 0.015$
$D: 0.005 \ M \ MgSO_4 \implies i=2, m=0.005, i \times m = 0.010$
$i \times m$ के मानों की तुलना करने पर,$0.01 \ M \ NaCl$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए इसमें हिमांक में अधिकतम अवनमन होगा और हिमांक न्यूनतम होगा।

(D) फ्रुक्टोज $(C_6H_{12}O_6)$ का मोलर द्रव्यमान $180 \ g \ mol^{-1}$ है।
फ्रुक्टोज के मोल = $\frac{1.8 \ g}{180 \ g \ mol^{-1}} = 0.01 \ mol$.
मोललता $(m)$ = $\frac{0.01 \ mol}{2 \ kg} = 0.005 \ m$.
हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f)$ = $i \times m \times k_f$.
चूंकि फ्रुक्टोज एक अनपघट्य है,इसलिए वांट हॉफ कारक $(i)$ = $1$ है।
$\Delta T_f = 1 \times 0.005 \times 1.86 = 0.0093 \ ^\circ C$.
विलयन का हिमांक = $0 \ ^\circ C - 0.0093 \ ^\circ C = -0.0093 \ ^\circ C$.

(D) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
दिया गया है: $\Delta T_f = 273 \, K - 268 \, K = 5 \, K$,$K_f = 1.86 \, K \, kg \, mol^{-1}$,पानी का आयतन = $10 \, L$,पानी का द्रव्यमान $(W)$ = $10 \, kg$,मिथाइल अल्कोहल $(CH_3OH)$ का मोलर द्रव्यमान = $32 \, g/mol$.
मोललता $m = \frac{w}{32 \times 10}$.
मान रखने पर: $5 = 1.86 \times \frac{w}{32 \times 10}$.
$w = \frac{5 \times 32 \times 10}{1.86} = \frac{1600}{1.86} \approx 860.22 \, g$.
दिए गए विकल्पों की तुलना में,निकटतम मान $868.06 \, g$ है।

(C) एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $62 \ g \ mol^{-1}$ है।
एथिलीन ग्लाइकॉल के मोल $= \frac{62 \ g}{62 \ g \ mol^{-1}} = 1 \ mol$.
माना कि द्रव अवस्था में शेष जल का द्रव्यमान $w \ g$ है।
हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = 0 - (-10) = 10 \ K$ है।
सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ का उपयोग करने पर:
$10 = 1.86 \times \frac{1 \ mol}{(w / 1000) \ kg}$.
$w = \frac{1.86 \times 1000}{10} = 186 \ g$.
बर्फ के रूप में अलग हुए जल की मात्रा $= \text{प्रारंभिक द्रव्यमान} - \text{शेष द्रव्यमान} = 250 \ g - 186 \ g = 64 \ g$.

(B) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f$ दूध में विलेय की सांद्रता के सीधे समानुपाती होता है। मान लीजिए $V_p$ शुद्ध दूध का आयतन है और $V_w$ मिलाए गए पानी का आयतन है।
शुद्ध दूध के लिए,हिमांक में अवनमन सांद्रता $C_p = \frac{n}{V_p} = 0.5$ के समानुपाती है।
तनु दूध के लिए,सांद्रता $C_d = \frac{n}{V_p + V_w} = 0.2$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{C_p}{C_d} = \frac{V_p + V_w}{V_p} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.
इसका अर्थ है $V_p + V_w = 2.5 V_p$,इसलिए $V_w = 1.5 V_p$.
यदि $V_p = 2$ कप है,तो $V_w = 1.5 \times 2 = 3$ कप।
अतः,$2$ कप शुद्ध दूध में $3$ कप पानी मिलाया गया है।

(B) किसी पदार्थ का हिमांक उसकी स्थिर क्रिस्टल जालक (crystal lattice) बनाने की क्षमता से संबंधित होता है,जो अंतर-आणविक बलों और आणविक समरूपता से प्रभावित होता है।
थैलिक एसिड $(C_8H_6O_4)$ में मजबूत अंतर-आणविक हाइड्रोजन बंधन होता है।
$2$-नेफ्थोल $(C_{10}H_8O)$ भी हाइड्रोजन बंधन प्रदर्शित करता है।
नेफ्थलीन $(C_{10}H_8)$ एक अत्यधिक सममित समतलीय अणु है जो क्रिस्टल जालक में अच्छी तरह से पैक होता है।
$9,10$-डाइमिथाइलएन्थ्रासीन एक बड़ा,अध्रुवीय अणु है जिसमें $9$ और $10$ स्थितियों पर मिथाइल समूहों के कारण महत्वपूर्ण त्रिविम बाधा (steric hindrance) होती है,जो कुशल क्रिस्टल पैकिंग को बाधित करती है,जिससे दूसरों की तुलना में इसका हिमांक कम हो जाता है।

(A) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
चूँकि हिमांक समान हैं,$(\Delta T_f)_X = (\Delta T_f)_Y$,जिसका अर्थ है $m_X = m_Y$.
$X$ के $4 \%$ जलीय विलयन के लिए,$X$ का द्रव्यमान $96 \ g$ पानी में $4 \ g$ है। मोललता $m_X = \frac{4 \times 1000}{A \times 96}$.
$Y$ के $12 \%$ जलीय विलयन के लिए,$Y$ का द्रव्यमान $88 \ g$ पानी में $12 \ g$ है। मोललता $m_Y = \frac{12 \times 1000}{M_Y \times 88}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{A \times 96} = \frac{12}{M_Y \times 88}$.
$M_Y$ के लिए हल करने पर: $M_Y = \frac{12 \times 96 \times A}{4 \times 88} = \frac{288 \times A}{88} \approx 3.27 \times A$.
निकटतम पूर्णांक में,$Y$ का आणविक भार $3A$ है।

(C) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है। हिमांक $T_f = T_f^0 - \Delta T_f$ होता है। अतः, वांट हॉफ गुणांक $(i)$ और मोललता $(m)$ का गुणनफल जितना अधिक होगा, हिमांक उतना ही कम होगा।
प्रत्येक विलयन के लिए $i \times m$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$(a) \ CuSO_4 \rightarrow Cu^{2+} + SO_4^{2-}$, अतः $i = 2$. गुणनफल $= 2 \times 0.075 = 0.150 \ M$.
$(b) \ (NH_4)_2SO_4 \rightarrow 2NH_4^+ + SO_4^{2-}$, अतः $i = 3$. गुणनफल $= 3 \times 0.060 = 0.180 \ M$.
$(c) \ \text{यूरिया एक अनपघट्य है}$, अतः $i = 1$. गुणनफल $= 1 \times 0.14 = 0.140 \ M$.
$(d) \ MgCl_2 \rightarrow Mg^{2+} + 2Cl^-$, अतः $i = 3$. गुणनफल $= 3 \times 0.04 = 0.120 \ M$.
गुणनफल $(i \times m)$ की तुलना करने पर: $(b) \ 0.180 > (a) \ 0.150 > (c) \ 0.140 > (d) \ 0.120$.
चूंकि $i \times m$ बढ़ने पर हिमांक घटता है, इसलिए हिमांक का घटता क्रम $(c) > (d) > (a) > (b)$ है।

(B) हिमांक में अवनमन का सूत्र है: $\Delta T_f = k_f \times m$,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
$\Delta T_f = T_f^\circ - T_f = 0 \ ^oC - (-4.02 \ ^oC) = 4.02 \ K$.
मोललता $m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{x}{1.2 \ kg}$.
सूत्र में मान रखने पर: $4.02 = 1.86 \times \frac{x}{1.2}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{4.02 \times 1.2}{1.86} = \frac{4.824}{1.86} \approx 2.59 \ \text{मोल}$.

(C) हिमांक में अवनमन का सूत्र है: $\Delta T_f = K_f \times m$
यहाँ $K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$ और मोललता $m = 0.05 \ molal$ दी गई है।
$\Delta T_f = 1.86 \times 0.05 = 0.093 \ K$
चूँकि शुद्ध जल का हिमांक $0 \ ^oC$ होता है,इसलिए विलयन का हिमांक होगा:
$T_f = T_f^\circ - \Delta T_f = 0 \ ^oC - 0.093 \ ^oC = - 0.093 \ ^oC$

(D) विलयन का हिमांक हिमांक में अवनमन नामक अणुसंख्यक गुणधर्म द्वारा निर्धारित होता है। $\Delta T_f = i \times K_f \times m$। चूंकि कैल्शियम नाइट्रेट $(Ca(NO_3)_2)$ एक विलेय है,इसलिए इसे पानी में मिलाने से विलायक का हिमांक कम हो जाता है। अतः,विलयन का हिमांक शुद्ध जल के हिमांक $(0\,^{\circ}C)$ से कम होगा।

(C) एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $62 \ g \ mol^{-1}$ है।
हिमांक में अवनमन के लिए सूत्र: $\Delta T_f = K_f \times m$,जहाँ $m$ मोललता है।
$\Delta T_f = 9.3 \ K$.
$9.3 = 1.86 \times \frac{50 / 62}{W / 1000}$,जहाँ $W$ द्रव अवस्था में बचे पानी का द्रव्यमान है।
$9.3 = \frac{1.86 \times 50 \times 1000}{62 \times W}$.
$W = \frac{1.86 \times 50 \times 1000}{62 \times 9.3} = 161.29 \ g$.
अलग हुई बर्फ की मात्रा = पानी का प्रारंभिक द्रव्यमान - द्रव अवस्था में बचे पानी का द्रव्यमान।
$\text{अलग हुई बर्फ} = 200 \ g - 161.29 \ g = 38.71 \ g$.

(A) $T_1 =$ शुद्ध विलायक का हिमांक
$T_2 =$ विलयन का हिमांक
$\Delta T_f = T_1 - T_2 = i \times K_f \times m$
यूरिया के लिए,वांट हॉफ गुणांक $i = 1$.
मोललता $m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{6 \ g / 60 \ g \ mol^{-1}}{1 \ kg} = 0.1 \ mol \ kg^{-1}$.
$\Delta T_f = 1 \times 2 \ kg \ K \ mol^{-1} \times 0.1 \ mol \ kg^{-1} = 0.2 \ K$.
चूंकि तापमान का अंतर $^\circ C$ और $K$ में समान होता है,इसलिए $T_1 - T_2 = 0.2 \ ^\circ C$.

(C) विलेय मिलाने से विलयन का हिमांक कम हो जाता है (हिमांक में अवनमन)।
$CaCl_2$ को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि $CaCl_2$ और $H_2O$ के यूटेक्टिक मिश्रण का हिमांक $(-55 \ ^oC)$,$NaCl$ और $H_2O$ के यूटेक्टिक मिश्रण $(-18 \ ^oC)$ की तुलना में बहुत कम होता है।
यह $CaCl_2$ को बहुत कम तापमान पर भी बर्फ को प्रभावी ढंग से पिघलाने में सक्षम बनाता है।

(D) समान हिमांक के लिए,दोनों जलीय विलयनों की मोललता $(m)$ समान होनी चाहिए।
$m_A = m_B$
मोललता का सूत्र $m = \frac{\text{विलेय का द्रव्यमान (g)} \times 1000}{\text{विलेय का अणुभार} \times \text{विलायक का द्रव्यमान (g)}}$ है।
$A$ के $4 \%$ विलयन के लिए,$A$ का द्रव्यमान $= 4 \ g$ और जल का द्रव्यमान $= 96 \ g$ है।
$B$ के $10 \%$ विलयन के लिए,$B$ का द्रव्यमान $= 10 \ g$ और जल का द्रव्यमान $= 90 \ g$ है।
मान रखने पर: $\frac{4 \times 1000}{60 \times 96} = \frac{10 \times 1000}{M_B \times 90}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{4}{60 \times 96} = \frac{10}{M_B \times 90}$.
$M_B = \frac{10 \times 60 \times 96}{4 \times 90} = \frac{57600}{360} = 160$.

(B) विलयन के हिमांक पर,विलायक की तरल अवस्था शुद्ध विलायक की ठोस अवस्था के साथ साम्यावस्था में होती है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि ठंडा करने पर,केवल विलायक के अणु ही ठोस के रूप में क्रिस्टलीकृत होते हैं,जबकि विलेय शेष तरल विलयन में रहता है।
इसलिए,साम्य को इस प्रकार दर्शाया जाता है: विलायक$_{(l)}$ $\rightleftharpoons$ विलायक$_{(s)}$.

(B) हिमांक में अवनमन का सूत्र है: $\Delta T_f = K_f \times m$
जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
दिया गया है: $\Delta T_f = 6 \ K$,$K_f = 1.85 \ K \ kg \ mol^{-1}$,$W_A = 4 \ kg$,$M_B = 62 \ g \ mol^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\Delta T_f = K_f \times \frac{w_B}{M_B \times W_A}$
$6 = \frac{1.85 \times w_B}{62 \times 4}$
$w_B = \frac{6 \times 62 \times 4}{1.85}$
$w_B = \frac{1488}{1.85} \approx 804.32 \ g$
अतः,आवश्यक एथिलीन ग्लाइकॉल की मात्रा लगभग $804.3 \ g$ है।

(C) हिमांक में अवनमन का सूत्र है: $\Delta T_f = K_f \times m$.
यहाँ $K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$ और मोललता $m = 0.05 \ molal$ दी गई है।
$\Delta T_f = 1.86 \times 0.05 = 0.093 \ K$.
चूँकि शुद्ध जल का हिमांक $0 \ ^oC$ होता है,इसलिए विलयन का हिमांक $T_f = T_f^0 - \Delta T_f$ होगा।
$T_f = 0 - 0.093 = -0.093 \ ^oC$.

(B) एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $62 \ g \ mol^{-1}$ है।
दिया गया है: $\Delta T_f = 9.3 \ K$,$K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$,विलेय का द्रव्यमान $(w)$ = $40 \ g$.
सूत्र $\Delta T_f = \frac{1000 \times K_f \times w}{M \times W}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $W$ द्रव अवस्था में बचे विलायक का द्रव्यमान है।
$9.3 = \frac{1000 \times 1.86 \times 40}{62 \times W}$
$9.3 = \frac{74400}{62 \times W}$
$W = \frac{74400}{62 \times 9.3} = \frac{74400}{576.6} \approx 129.03 \ g$.
अलग हुई बर्फ की मात्रा = (पानी का प्रारंभिक द्रव्यमान) - (द्रव अवस्था में बचे पानी का द्रव्यमान)।
अलग हुई बर्फ की मात्रा = $400 - 129.03 = 270.97 \ g$.

(D) जब अवाष्पशील विलेय युक्त विलयन जमता है,तो जो ठोस अवस्था अलग होती है वह शुद्ध ठोस विलायक होती है।
इसलिए,शुद्ध ठोस विलायक और द्रव विलयन में उपस्थित विलायक के बीच साम्य स्थापित होता है।
इस साम्य को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: $\text{ठोस विलायक} \rightleftharpoons \text{विलयन में विलायक}$.

(A) एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $62\, g\, mol^{-1}$ है।
$28\%$ द्रव्यमान द्वारा घोल का अर्थ है $72\, g$ पानी में $28\, g$ एथिलीन ग्लाइकॉल।
मोललता $(m)$ $= \frac{28}{62 \times 0.072} \approx 6.27\, mol\, kg^{-1}$.
हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m = 1.86 \times 6.27 \approx 11.66\, K$.
घोल का हिमांक $= 0 - 11.66 = -11.66\, ^{\circ}C$.
चूंकि घोल का हिमांक $(-11.66\, ^{\circ}C)$ परिवेश के तापमान $(-11\, ^{\circ}C)$ से कम है,इसलिए घोल नहीं जमेगा।
अतः,यह कार रेडिएटर के लिए उपयुक्त है।

(D) हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ है,जहाँ $i$ वांट हॉफ गुणांक है,$K_f$ क्रायोस्कोपिक स्थिरांक है और $m$ मोललता है।
चूँकि सभी विलयनों के लिए $K_f$ और $m$ समान हैं,हिमांक में अवनमन वांट हॉफ गुणांक $(i)$ पर निर्भर करता है।
हिमांक $T_f = T_f^0 - \Delta T_f$। अधिकतम हिमांक प्राप्त करने के लिए,अवनमन $\Delta T_f$ न्यूनतम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $i$ न्यूनतम होना चाहिए।
प्रत्येक विलेय के लिए $i$ की गणना करते हैं:
$(A)$ $CH_3COONa \rightarrow CH_3COO^- + Na^+$,$i = 2$
$(B)$ $CaCl_2 \rightarrow Ca^{2+} + 2Cl^-$,$i = 3$
$(C)$ $Na_3PO_4 \rightarrow 3Na^+ + PO_4^{3-}$,$i = 4$
$(D)$ $C_{12}H_{22}O_{11}$ (सुक्रोज) एक अनपघट्य है,$i = 1$
चूँकि $C_{12}H_{22}O_{11}$ का $i$ मान सबसे कम है,इसलिए इसमें हिमांक में अवनमन न्यूनतम होगा और इस प्रकार इसका हिमांक अधिकतम होगा।

(B) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times \sum m_i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ प्रत्येक विलेय की मोललता है।
$95 \ g$ जल में $5\%$ यूरिया (मोलर द्रव्यमान $= 60 \ g \ mol^{-1}$) के लिए: $m_{urea} = \frac{5 \times 1000}{60 \times 95} \approx 0.877 \ mol \ kg^{-1}$.
$90 \ g$ जल में $10\%$ ग्लूकोज (मोलर द्रव्यमान $= 180 \ g \ mol^{-1}$) के लिए: $m_{glucose} = \frac{10 \times 1000}{180 \times 90} \approx 0.617 \ mol \ kg^{-1}$.
कुल $\Delta T_f = 1.86 \times (0.877 + 0.617) = 1.86 \times 1.494 \approx 2.78 \ ^oC$.
चूँकि $T_f = T_f^{\circ} - \Delta T_f$ और $T_f^{\circ} = 0 \ ^oC$ है,इसलिए हिमांक $0 - 2.78 = -2.78 \ ^oC$ होगा।

(A) विलयन के हिमांक पर,द्रव विलायक और ठोस विलायक साम्यावस्था में होते हैं।
हिमांक प्रक्रिया के दौरान,केवल विलायक के अणु द्रव अवस्था से ठोस अवस्था में परिवर्तित होते हैं।
साम्यावस्था के लिए हिमांक पर ठोस विलायक और द्रव विलायक का वाष्प दाब समान होना चाहिए।
अतः,सही साम्यावस्था द्रव विलायक और ठोस विलायक के बीच होती है।

(B) हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta T_f = T_f^{\circ} - T_f = 278.82 \ K - 276.82 \ K = 2.00 \ K$.
हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
दिया गया है $m = 0.25 \ mol \ kg^{-1}$ और $\Delta T_f = 2.00 \ K$।
मान रखने पर: $2.00 \ K = K_f \times 0.25 \ mol \ kg^{-1}$।
अतः,$K_f = \frac{2.00}{0.25} = 8 \ K \ kg \ mol^{-1}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f)$ का सूत्र है: $\Delta T_f = K_f \times m$,जहाँ $K_f$ क्रायोस्कोपिक स्थिरांक (मोलल अवनमन स्थिरांक) है और $m$ विलयन की मोललता है।
अतः,क्रायोस्कोपिक स्थिरांक $K_f$,हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f)$ और विलयन की मोललता $(m)$ का अनुपात है: $K_f = \frac{\Delta T_f}{m}$.

(A) किसी पदार्थ का हिमांक वह तापमान है जिस पर पदार्थ की द्रव अवस्था का वाष्प दाब उसकी ठोस अवस्था के वाष्प दाब के बराबर होता है। विलयन के मामले में,जब यह अपने हिमांक पर पहुँचता है,तो द्रव विलायक,ठोस विलायक के साथ साम्यावस्था में होता है। विलेय द्रव अवस्था में ही रहता है।

(A) चीनी $(C_{12}H_{22}O_{11})$ का मोलर द्रव्यमान $342\,g/mol$ है।
विलेय का द्रव्यमान $(w_2) = 342\,g$.
विलायक का द्रव्यमान $(w_1) = 1000\,g = 1\,kg$.
मोललता $(m) = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{342/342}{1} = 1\,m$.
हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f) = K_f \times m = 1.86 \times 1 = 1.86\,^{\circ}C$.
विलयन का हिमांक $(T_f) = T_f^{\circ} - \Delta T_f = 0 - 1.86 = -1.86\,^{\circ}C$.

(C) हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = K_f \times m$ है,जहाँ $m$ मोललता है।
मोललता $m = \frac{w_2 \times 1000}{M_2 \times w_1}$,जहाँ $w_2$ विलेय (यूरिया) का द्रव्यमान है,$M_2$ यूरिया का मोलर द्रव्यमान $(60 \ g/mol)$ है,और $w_1$ विलायक (जल) का द्रव्यमान है।
दिया गया है: $\Delta T_f = 0.186 \ ^oC$,$K_f = 1.86 \ ^oC/m$,$w_1 = 500 \ g$ (चूँकि जल का घनत्व $1 \ g/mL$ है,$500 \ mL = 500 \ g$)।
मान रखने पर: $0.186 = 1.86 \times \frac{w_2 \times 1000}{60 \times 500}$.
$0.186 = 1.86 \times \frac{w_2 \times 2}{60}$.
$0.186 = 1.86 \times \frac{w_2}{30}$.
$w_2 = \frac{0.186 \times 30}{1.86} = 0.1 \times 30 = 3 \ g$.

(B) जब किसी विलयन को ठंडा किया जाता है,तो विलायक (पानी) सबसे पहले जमना शुरू होता है क्योंकि विलयन का हिमांक शुद्ध विलायक के हिमांक से कम होता है। जैसे-जैसे विलायक जमता है,शेष तरल में विलेय (ग्लूकोज) की सांद्रता बढ़ जाती है,जिससे हिमांक और कम हो जाता है। इसलिए,शुद्ध $H_2O$ के क्रिस्टल सबसे पहले अलग होते हैं।

(D) हिमांक में अवनमन का सूत्र $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ है,जहाँ $i$ वांट हॉफ गुणांक है और $m$ मोललता है। हिमांक तब सबसे कम होता है जब हिमांक में अवनमन $(\Delta T_f)$ अधिकतम होता है। यह $i \times m$ के मान पर निर्भर करता है।
$A$ के लिए: $KNO_3 \rightarrow K^+ + NO_3^-$,अतः $i = 2$. $i \times m = 2 \times 0.08 = 0.16$.
$B$ के लिए: $FeCl_3 \rightarrow Fe^{3+} + 3Cl^-$,अतः $i = 4$. $i \times m = 4 \times 0.03 = 0.12$.
$C$ के लिए: $Ca(NO_3)_2 \rightarrow Ca^{2+} + 2NO_3^-$,अतः $i = 3$. $i \times m = 3 \times 0.05 = 0.15$.
$D$ के लिए: $Al_2(SO_4)_3 \rightarrow 2Al^{3+} + 3SO_4^{2-}$,अतः $i = 5$. $i \times m = 5 \times 0.04 = 0.20$.
चूंकि $D$ के लिए $i \times m$ का मान सबसे अधिक $(0.20)$ है,इसलिए इसमें हिमांक में अवनमन अधिकतम होगा,और इस प्रकार इसका हिमांक सबसे कम होगा।

(C) दिया गया है: $K_f = 7.00$,$W_2 = 0.072 \ g-atom \times 32 \ g/mol = 2.304 \ g$,$W_1 = 100 \ g$,$\Delta T_f = 0.84 \ ^\circ C$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\Delta T_f = K_f \times m = K_f \times \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1}$.
$0.84 = 7.00 \times \frac{2.304 \times 1000}{M_2 \times 100}$.
$M_2 = \frac{7.00 \times 2.304 \times 10}{0.84} = \frac{161.28}{0.84} = 192 \ g/mol$.
चूंकि सल्फर का परमाणु द्रव्यमान $32 \ g/mol$ है,अणु में परमाणुओं की संख्या $n = \frac{192}{32} = 6$ है।
अतः,आणविक सूत्र $S_6$ है।

(C) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ मोललता है।
$5\%$ (द्रव्यमान द्वारा) विलयन के लिए,मोललता $m = \frac{w_2 \times 1000}{M_2 \times w_1}$ है।
चूंकि द्रव्यमान प्रतिशत समान $(5\%)$ है,इसलिए मोललता विलेय के मोलर द्रव्यमान $(M_2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$\Delta T_f \propto \frac{1}{M_2}$.
केन शुगर $(M_1 = 342 \ g/mol)$ के लिए: $\Delta T_{f1} = 273.15 - 271 = 2.15 \ K$.
ग्लूकोज $(M_2 = 180 \ g/mol)$ के लिए: $\Delta T_{f2} = \Delta T_{f1} \times \frac{M_1}{M_2}$.
$\Delta T_{f2} = 2.15 \times \frac{342}{180} = 2.15 \times 1.9 = 4.085 \ K$.
ग्लूकोज विलयन का हिमांक $= 273.15 - 4.085 = 269.065 \ K \approx 269.07 \ K$.

(A) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f$ समान मोललता वाले विलयनों के लिए वांट हॉफ गुणांक $i$ के सीधे आनुपातिक होता है: $\Delta T_f = i \times K_f \times m$
चूंकि सभी के लिए मोललता $m$ समान है,इसलिए जिस विलयन के लिए $i$ का मान सबसे अधिक होगा,उसमें हिमांक में अवनमन सबसे अधिक होगा और परिणामस्वरूप हिमांक सबसे कम होगा।
$1$. $Al_2(SO_4)_3 \rightarrow 2Al^{3+} + 3SO_4^{2-}$ $(i = 5)$
$2$. $C_6H_{12}O_6$ (ग्लूकोज) एक अनपघट्य है $(i = 1)$
$3$. $KCl \rightarrow K^{+} + Cl^{-}$ $(i = 2)$
$4$. $C_{12}H_{22}O_{11}$ (सुक्रोज) एक अनपघट्य है $(i = 1)$
चूंकि $Al_2(SO_4)_3$ का वांट हॉफ गुणांक $(i = 5)$ सबसे अधिक है,इसलिए यह हिमांक में अधिकतम अवनमन दिखाएगा,जिसके परिणामस्वरूप इसका हिमांक सबसे कम होगा।

(C) हिमांक अवनमन का सूत्र $\Delta T_{f} = i \times K_{f} \times m$ है।
यहाँ,$\Delta T_{f} = 0.2 \ K$,$K_{f} = 2 \ K \ kg \ mol^{-1}$,और $NaCl$ के लिए वांट हॉफ गुणांक $i = 2$ है।
मोललता $m = \frac{w / 58.5}{0.6 \ kg}$,जहाँ $w$ $NaCl$ का ग्राम में द्रव्यमान है।
मान रखने पर: $0.2 = 2 \times 2 \times \frac{w}{58.5 \times 0.6}$.
$0.2 = 4 \times \frac{w}{35.1}$.
$w = \frac{0.2 \times 35.1}{4} = 1.755 \ g$.

(N/A) हिमांक में अवनमन की गणना सूत्र $\Delta T_{f} = K_{f} \times m$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
$1.$ एथिलीन ग्लाइकॉल के मोल की गणना: $\text{Moles} = \frac{45 \ g}{62 \ g \ mol^{-1}} = 0.726 \ mol$.
$2.$ जल का द्रव्यमान $kg$ में: $\text{Mass} = \frac{600 \ g}{1000 \ g \ kg^{-1}} = 0.6 \ kg$.
$3.$ मोललता $(m)$ की गणना: $m = \frac{0.726 \ mol}{0.6 \ kg} = 1.21 \ mol \ kg^{-1}$.
$4.$ हिमांक में अवनमन $(\Delta T_{f})$ की गणना: $\Delta T_{f} = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1} \times 1.21 \ mol \ kg^{-1} = 2.25 \ K$.
$5.$ विलयन के हिमांक की गणना: $T_{f} = T_{f}^{\circ} - \Delta T_{f} = 273.15 \ K - 2.25 \ K = 270.90 \ K$.