Significant Figures Questions in Hindi

(B) वैज्ञानिक पद्धति $a \times 10^n$ में सार्थक अंकों की संख्या गुणांक $a$ में मौजूद सार्थक अंकों की संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है।
दिए गए व्यंजक $0.310 \times 10^3$ में,गुणांक $0.310$ है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,दशमलव बिंदु से पहले के शून्य सार्थक नहीं होते हैं,लेकिन दशमलव बिंदु के बाद के अंतिम शून्य सार्थक होते हैं।
इसलिए,अंक $3$,$1$ और $0$ सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की कुल संख्या $3$ है।

(A) दिया गया भिन्न $\frac{1}{20} = 0.05$ है।
इस मान को $3$ सार्थक अंकों तक व्यक्त करने के लिए,हमें दशमलव बिंदु के बाद के शून्य को शामिल करना होगा।
सार्थक अंकों की गणना पहले गैर-शून्य अंक से शुरू होती है।
$0.0500$ में,$5$,$0$,और $0$ अंक सार्थक हैं।
इसलिए,$3$ सार्थक अंकों तक $0.05$ को $0.0500$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) प्रत्येक संख्या में सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए:
$1$. $25.12$ के लिए,सभी गैर-शून्य अंक सार्थक हैं,इसलिए इसमें $4$ सार्थक अंक हैं।
$2$. $2009$ के लिए,सभी गैर-शून्य अंक और उनके बीच के शून्य सार्थक हैं,इसलिए इसमें $4$ सार्थक अंक हैं।
$3$. $4.156$ के लिए,सभी गैर-शून्य अंक सार्थक हैं,इसलिए इसमें $4$ सार्थक अंक हैं।
$4$. $1.217 \times 10^{-4}$ के लिए,$10$ की घात सार्थक अंकों में योगदान नहीं देती है। अंक $1, 2, 1, 7$ सार्थक हैं,इसलिए इसमें $4$ सार्थक अंक हैं।
अतः,दी गई सभी संख्याओं में $4$ सार्थक अंक हैं।

(A) नियम: गुणा या भाग में,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि मूल संख्याओं में सबसे कम सार्थक अंक वाली संख्या में हैं।
$97.52$ में $4$ सार्थक अंक हैं।
$2.54$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,अंतिम परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
गणना: $\frac{97.52}{2.54} \approx 38.3937...$
$3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $38.4$ प्राप्त होता है।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$2$. दो गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य सार्थक होते हैं।
$3$. दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
संख्या $200.40$ में,अंक $2, 0, 0, 4, 0$ सभी सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की कुल संख्या $5$ है।

(C) संवेग,द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है: $p = m \times v$.
दिया गया है,$m = 3.513 \ kg$ ($4$ सार्थक अंक) और $v = 5.00 \ ms^{-1}$ ($3$ सार्थक अंक)।
गुणनफल की गणना करने पर: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \ kg \ ms^{-1}$.
गुणा में सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंक $3$ हैं ($5.00$ से)।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$17.565$ को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर $17.56 \ kg \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,एक गोले का आयतन $V_1 = 1.76 \ cm^3$ है।
गोलों की संख्या $n = 25$ है।
कुल आयतन $V = n \times V_1 = 25 \times 1.76 \ cm^3 = 44.0 \ cm^3$ होगा।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणा करते समय परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में हैं।
यहाँ,$1.76$ में $3$ सार्थक अंक हैं और $25$ एक सटीक संख्या है (अनंत सार्थक अंक)।
इसलिए,परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए।
अतः,$44.0 \ cm^3$ सही उत्तर है।

(A) आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $Area = 1.23 \ cm \times 2.345 \ cm = 2.88435 \ cm^2$.
गुणनफल में सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
यहाँ $1.23$ में $3$ सार्थक अंक हैं और $2.345$ में $4$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$2.88435$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $2.88 \ cm^2$ प्राप्त होता है।

(A) घन की भुजा की लंबाई $l = 1.2 \times 10^{-2} \; m$ है।
घन का आयतन $V = l^3$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $V = (1.2 \times 10^{-2} \; m)^3 = (1.2)^3 \times (10^{-2})^3 \; m^3 = 1.728 \times 10^{-6} \; m^3$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,भुजा की लंबाई $1.2$ में दो सार्थक अंक हैं। इसलिए,परिणाम को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।
$1.728$ को दो सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $1.7$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $V = 1.7 \times 10^{-6} \; m^3$ है।

(D) डिस्क के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi R^2$ है।
यहाँ त्रिज्या $R = 1.2 \; cm$ दी गई है,जिसमें $2$ सार्थक अंक हैं।
क्षेत्रफल की गणना करने पर: $A = 3.14159 \times (1.2)^2 = 3.14159 \times 1.44 = 4.52388... \; cm^2$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस मापन के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
चूंकि $1.2$ में $2$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम परिणाम को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
अतः,$4.52388...$ को $2$ सार्थक अंकों में बदलने पर $4.5 \; cm^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $L = 4.234 \; m$,$B = 1.005 \; m$,$T = 2.01 \; cm = 0.0201 \; m$.
आयताकार शीट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ का सूत्र $A = 2(L \times B + B \times T + T \times L)$ है।
$A = 2(4.234 \times 1.005 + 1.005 \times 0.0201 + 0.0201 \times 4.234)$
$A = 2(4.25517 + 0.0202005 + 0.0851034) = 2(4.3604739) = 8.7209478 \; m^{2}$.
न्यूनतम सार्थक अंकों ($2.01 \; cm$ में $3$ अंक हैं) के अनुसार राउंड ऑफ करने पर,$A = 8.72 \; m^{2}$ प्राप्त होता है।
आयतन $V$ के लिए,$V = L \times B \times T$.
$V = 4.234 \times 1.005 \times 0.0201 = 0.085531443 \; m^{3}$.
न्यूनतम सार्थक अंकों $(3)$ के अनुसार राउंड ऑफ करने पर,$V = 0.0855 \; m^{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,घन की भुजा की लंबाई $L = 1.2 \times 10^{-2} \ m$ है।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = L^3$ है।
$V = (1.2 \times 10^{-2} \ m)^3 = (1.2)^3 \times (10^{-2})^3 \ m^3$.
$V = 1.728 \times 10^{-6} \ m^3$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
यहाँ दी गई लंबाई $1.2 \times 10^{-2} \ m$ में $2$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,आयतन को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$1.728$ को $2$ सार्थक अंकों में बदलने पर $1.7$ प्राप्त होता है।
अतः,घन का आयतन $1.7 \times 10^{-6} \ m^3$ है।

(B) तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 0.16 \; mm$ दी गई है।
मान रखने पर,$A = \pi \times (0.16 \; mm)^2 = 3.14159 \times 0.0256 \; mm^2 \approx 0.0804247 \; mm^2$ प्राप्त होता है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणा के परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
त्रिज्या $0.16 \; mm$ में $2$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,अंतिम परिणाम को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$0.0804247$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $0.080 \; mm^2$ प्राप्त होता है।

(A) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,दशमलव बिंदु के बिना एक पूर्ण संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक नहीं माने जाते हैं।
इसलिए,संख्या $3400$ में केवल $3$ और $4$ अंक ही सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $2$ है।

(C) $23.023$ के लिए,सभी गैर-शून्य अंक और उनके बीच के शून्य सार्थक होते हैं। अतः,सार्थक अंकों की संख्या $5$ है।
$0.0003$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं। केवल अंक $3$ सार्थक है। अतः,सार्थक अंकों की संख्या $1$ है।
$2.1 \times 10^{-3}$ के लिए,$10$ की घात सार्थक अंकों में योगदान नहीं देती है। अंक $2$ और $1$ सार्थक हैं। अतः,सार्थक अंकों की संख्या $2$ है।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $5, 1, 2$ है।

(C) घन का आयतन $V = a^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ $a = 7.203 \ m$ दिया गया है।
$V = (7.203)^3 = 373.714754627 \ m^3$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणन या घात के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में है।
यहाँ $7.203$ में $4$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,परिणाम को $4$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$373.714754627$ को $4$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $373.7 \ m^3$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,सभी द्रव्यमानों को $kg$ में बदलें:
$2.15\, g = 0.00215\, kg$
$12.39\, g = 0.01239\, kg$
कुल द्रव्यमान $= 2.3 + 0.00215 + 0.01239 = 2.31454\, kg$।
योग में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाले माप में हैं।
$2.3$ में दशमलव के बाद एक अंक है।
इसलिए,$2.31454$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $2.3\, kg$ प्राप्त होता है।

(D) आयताकार प्लेट का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\text{Area} = \text{length} \times \text{width}$.
दिया गया है: $\text{length} = 1.5\, cm$ (जिसमें $2$ सार्थक अंक हैं) और $\text{width} = 1.203\, cm$ (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं)।
गुणनफल की गणना करने पर: $1.5 \times 1.203 = 1.8045\, cm^2$.
गुणन में सार्थक अंकों के नियम के अनुसार, अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं。
चूंकि $1.5$ में $2$ सार्थक अंक हैं, इसलिए परिणाम को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए。
$1.8045$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.8\, cm^2$ प्राप्त होता है।

(C) किसी माप में सार्थक अंकों की संख्या उन अंकों द्वारा निर्धारित की जाती है जो उसकी सटीकता के बारे में सार्थक जानकारी देते हैं।
संख्या $11.118 \times 10^{-6}$ के लिए,$10$ की घात (अर्थात $10^{-6}$) सार्थक अंकों की संख्या में योगदान नहीं करती है।
अंक $1, 1, 1, 1,$ और $8$ सभी गैर-शून्य अंक हैं।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
इसलिए,दिए गए मान में $5$ सार्थक अंक हैं।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,जब दो संख्याओं का गुणा किया जाता है,तो परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हैं।
यहाँ,प्रतिरोध $R = 10.845 \ \Omega$ में $5$ सार्थक अंक हैं।
धारा $I = 3.23 \ A$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
गुणनफल $V = I \times R = 3.23 \times 10.845 = 35.02935 \ V$ है।
परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$35.02935$ को $3$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $35.0 \ V$ प्राप्त होता है।

(B) ब्लॉक का आयतन $V$ की गणना $V = l \times b \times t$ सूत्र द्वारा की जाती है।
दी गई मानों को रखने पर: $V = 12 \, cm \times 6 \, cm \times 2.45 \, cm = 176.4 \, cm^3$ प्राप्त होता है।
गुणा के लिए सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
दी गई मान हैं: $l = 12 \, cm$ ($2$ सार्थक अंक),$b = 6 \, cm$ ($1$ सार्थक अंक),और $t = 2.45 \, cm$ ($3$ सार्थक अंक)।
सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या $1$ है (चौड़ाई $b = 6 \, cm$ से)।
इसलिए,परिणाम $176.4 \, cm^3$ को एक सार्थक अंक तक पूर्णांकित (round off) करना होगा।
$176.4$ को एक सार्थक अंक में बदलने पर $200 \, cm^3$ प्राप्त होता है,जिसे $2 \times 10^2 \, cm^3$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) किसी पिंड का संवेग $P$,उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$P = m \times v$
यहाँ,$m = 3.513\ kg$ ($4$ सार्थक अंक) और $v = 5.00\ ms^{-1}$ ($3$ सार्थक अंक) दिया गया है।
गुणनफल की गणना करने पर:
$P = 3.513 \times 5.00 = 17.565\ kg\ m/s$
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के समान होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
चूंकि $5.00$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए हमें परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) करना होगा।
$17.565$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $17.6\ kg\ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$(i)$ सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$(ii)$ दो गैर-शून्य अंकों के बीच के सभी शून्य सार्थक होते हैं।
$(iii)$ $1$ से छोटी संख्याओं के लिए,दशमलव बिंदु के दाईं ओर और पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
$(iv)$ $10$ की घात को सार्थक अंकों के लिए नहीं गिना जाता है।
इन नियमों को लागू करने पर:
$1$. $23.023$ के लिए: सभी $5$ अंक सार्थक हैं। अतः,सार्थक अंक $= 5$ हैं।
$2$. $0.0003$ के लिए: $3$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं। केवल अंक $3$ सार्थक है। अतः,सार्थक अंक $= 1$ हैं।
$3$. $2.1 \times 10^3$ के लिए: $10$ की घात को छोड़ दिया जाता है। अंक $2$ और $1$ सार्थक हैं। अतः,सार्थक अंक $= 2$ हैं।
इस प्रकार,सार्थक अंकों की संख्या क्रमशः $5, 1, 2$ है।

(B) संवेग $p$,द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $p = m \times v$.
यहाँ $m = 3.513 \; kg$ ($4$ सार्थक अंक) और $v = 5.00 \; ms^{-1}$ ($3$ सार्थक अंक) दिए गए हैं।
गुणनफल की गणना करने पर: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \; kg \; ms^{-1}$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस मापन के सार्थक अंकों के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हैं।
चूंकि $5.00$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
अतः,$17.565$ को $3$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $17.6 \; kg \; ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) $1$ गोले का आयतन $= 1.76 \ cm^3$ (जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं)।
$25$ गोलों का आयतन $= 25 \times 1.76 \ cm^3 = 44.0 \ cm^3$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,जब किसी मापे गए मान को एक सटीक संख्या (जैसे $25$) से गुणा किया जाता है,तो परिणाम में मापे गए मान के बराबर ही सार्थक अंक होने चाहिए।
चूंकि $1.76$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए परिणाम को $3$ सार्थक अंकों में व्यक्त किया जाना चाहिए,जो कि $44.0 \ cm^3$ है।

(D) आयत के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \text{length} \times \text{breadth}$ होता है।
यहाँ,$\text{length} = 3.124\,m$ और $\text{breadth} = 3.002\,m$ दिया गया है।
गुणनफल की गणना करने पर: $3.124 \times 3.002 = 9.378248\,m^2$ प्राप्त होता है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
यहाँ,$3.124$ और $3.002$ दोनों में $4$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,अंतिम परिणाम को $4$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$9.378248$ को $4$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $9.378\,m^2$ प्राप्त होता है।

(C) इन संख्याओं को जोड़ने के लिए,हम पहले उन्हें $10$ की समान घात के रूप में व्यक्त करते हैं:
$3.8 \times 10^{-6} = 0.38 \times 10^{-5}$
अब,संख्याओं को जोड़ें:
$0.38 \times 10^{-5} + 4.2 \times 10^{-5} = (0.38 + 4.2) \times 10^{-5} = 4.58 \times 10^{-5}$
योग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने उस माप में हैं जिसमें दशमलव के बाद सबसे कम अंक हैं।
$0.38$ में दशमलव के बाद दो अंक हैं और $4.2$ में दशमलव के बाद एक अंक है।
इसलिए,परिणाम को दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$4.58$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $4.6$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम परिणाम $4.6 \times 10^{-5}$ है।

(D) किसी संख्या को सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$1$. यदि छोड़े जाने वाला अंक $5$ से कम है,तो पिछला अंक अपरिवर्तित रहता है।
$2$. यदि छोड़े जाने वाला अंक $5$ से अधिक है,तो पिछले अंक में $1$ जोड़ दिया जाता है।
$3$. यदि छोड़े जाने वाला अंक $5$ है और उसके बाद शून्य है,तो हम पिछले अंक को देखते हैं:
- यदि पिछला अंक सम (even) है,तो वह अपरिवर्तित रहता है।
- यदि पिछला अंक विषम (odd) है,तो उसमें $1$ जोड़ दिया जाता है।
$2.745$ के लिए:
यहाँ छोड़े जाने वाला अंक $5$ है। पिछला अंक $4$ है,जो कि सम है। इसलिए,यह अपरिवर्तित रहेगा। राउंड ऑफ करने पर मान $2.74$ होगा।
$2.735$ के लिए:
यहाँ छोड़े जाने वाला अंक $5$ है। पिछला अंक $3$ है,जो कि विषम है। इसलिए,इसमें $1$ जोड़ दिया जाएगा। राउंड ऑफ करने पर मान $2.74$ होगा।
अतः,सही मान $2.74$ और $2.74$ हैं।

(C) एक वर्ग का क्षेत्रफल $a = 5.29\ cm^2$ दिया गया है।
ऐसे $7$ वर्गों का कुल क्षेत्रफल $A = 7 \times a$ के रूप में गणना की जाती है।
मान रखने पर,$A = 7 \times 5.29 = 37.03\ cm^2$ प्राप्त होता है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,जब किसी मापी गई राशि को एक सटीक संख्या (जैसे $7$) से गुणा किया जाता है,तो परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने मापी गई राशि में हैं।
यहाँ $5.29$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,अंतिम परिणाम $37.03$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$37.03$ को $3$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $37.0\ cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) जब संख्याओं को वैज्ञानिक संकेतन में लिखा जाता है,तो गुणांक (जो $1$ और $10$ के बीच होता है) में अंकों की संख्या सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करती है।
$6.25 \times 10^5$ व्यंजक में,गुणांक $6.25$ है।
अंक $6$,$2$,और $5$ सभी सार्थक हैं।
इसलिए,इसमें $3$ सार्थक अंक हैं।

(C) चरण $1$: योग में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,अंतिम परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाले पद में हैं।
चरण $2$: यहाँ,$L = 2.331 \ cm$ में $3$ दशमलव स्थान हैं और $B = 2.1 \ cm$ में $1$ दशमलव स्थान है।
चरण $3$: योग $L + B = 2.331 + 2.1 = 4.431 \ cm$ है।
चरण $4$: चूंकि सबसे कम दशमलव स्थानों वाला पद $(B = 2.1 \ cm)$ में केवल $1$ दशमलव स्थान है,इसलिए परिणाम को $1$ दशमलव स्थान तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
चरण $5$: $4.431 \ cm$ को $1$ दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $4.4 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) माप में सार्थक अंकों की संख्या माप की परिशुद्धता को दर्शाती है,जो सीधे मापन उपकरण के अल्पतमांक (least count) से संबंधित है। कम अल्पतमांक अधिक सटीक माप की अनुमति देता है,जिससे सार्थक अंकों की संख्या बढ़ जाती है।
सार्थक अंक माप की विश्वसनीयता और परिशुद्धता के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं,जो उपकरण की पठन क्षमता की सटीकता के समान है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$ $Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(D) सही क्रम निर्धारित करने के लिए,हमें योग करना होगा और परिणाम को सबसे कम सटीक माप (जिसमें दशमलव के बाद सबसे कम अंक हों) के आधार पर सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करना होगा।
$(i)$ $A_{1}+B_{1}+C_{1} = 24.36 + 0.0724 + 256.2 = 280.6324$. सबसे कम सटीक मान $256.2$ (एक दशमलव स्थान) है,इसलिए योग $280.6$ है।
$(ii)$ $A_{2}+B_{2}+C_{2} = 24.44 + 16.082 + 240.2 = 280.722$. सबसे कम सटीक मान $240.2$ (एक दशमलव स्थान) है,इसलिए योग $280.7$ है।
$(iii)$ $A_{3}+B_{3}+C_{3} = 25.2 + 19.2812 + 236.183 = 280.6642$. सबसे कम सटीक मान $25.2$ (एक दशमलव स्थान) है,इसलिए योग $280.7$ है।
$(iv)$ $A_{4}+B_{4}+C_{4} = 25 + 236.191 + 19.5 = 280.691$. सबसे कम सटीक मान $25$ (शून्य दशमलव स्थान) है,इसलिए योग $281$ है।
परिणामों की तुलना करने पर: $281 > 280.7 = 280.7 > 280.6$. अतः,$A_{4}+B_{4}+C_{4} > A_{3}+B_{3}+C_{3} = A_{2}+B_{2}+C_{2} > A_{1}+B_{1}+C_{1}$.

(A) मापी गई लंबाई $l = 7.203 \; m$ में सार्थक अंकों की संख्या $4$ है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 6l^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A = 6 \times (7.203)^{2} = 6 \times 51.883209 = 311.299254 \; m^{2}$।
$4$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $A = 311.3 \; m^{2}$ प्राप्त होता है।
घन का आयतन $V = l^{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = (7.203)^{3} = 373.714754 \; m^{3}$।
$4$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $V = 373.7 \; m^{3}$ प्राप्त होता है।

(B) द्रव्यमान $5.74 \; g$ है,जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं।
आयतन $1.2 \; cm^3$ है,जिसमें $2$ सार्थक अंक हैं।
भाग में सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
इसलिए,परिणाम को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{5.74 \; g}{1.2 \; cm^3} \approx 4.7833 \; g/cm^3$.
$4.7833$ को $2$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $4.8 \; g/cm^3$ प्राप्त होता है।

(N/A) दी गई राशि $0.007 \;m^{2}$ है।
यदि संख्या $1$ से कम है,तो दशमलव बिंदु के दाईं ओर लेकिन पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अतः,केवल $7$ सार्थक अंक है। सार्थक अंकों की संख्या = $1$ ।
$(b)$ दी गई राशि $2.64 \times 10^{24} \;kg$ है।
$10$ की घात सार्थक अंकों की संख्या को प्रभावित नहीं करती है। अंक $2, 6, 4$ सार्थक हैं। सार्थक अंकों की संख्या = $3$ ।
$(c)$ दी गई राशि $0.2370 \;g \;cm^{-3}$ है।
दशमलव वाली संख्या में,अंतिम शून्य सार्थक होते हैं। अतः,$2, 3, 7, 0$ सार्थक हैं। सार्थक अंकों की संख्या = $4$ ।
$(d)$ दी गई राशि $6.320 \;J$ है।
दशमलव वाली संख्या में अंतिम शून्य सार्थक होते हैं। अतः,$6, 3, 2, 0$ सार्थक हैं। सार्थक अंकों की संख्या = $4$ ।
$(e)$ दी गई राशि $6.032 \;N \;m^{-2}$ है।
दो गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य हमेशा सार्थक होते हैं। अतः,$6, 0, 3, 2$ सार्थक हैं। सार्थक अंकों की संख्या = $4$ ।
$(f)$ दी गई राशि $0.0006032 \;m^{2}$ है।
दशमलव बिंदु के दाईं ओर लेकिन पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अंक $6, 0, 3, 2$ सार्थक हैं। सार्थक अंकों की संख्या = $4$ ।

(D) शीट की लंबाई,$l = 4.234 \; m$ ($4$ सार्थक अंक)।
शीट की चौड़ाई,$b = 1.005 \; m$ ($4$ सार्थक अंक)।
शीट की मोटाई,$h = 2.01 \; cm = 0.0201 \; m$ ($3$ सार्थक अंक)।
गुणा या भाग के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों। यहाँ,सबसे कम सार्थक अंक $3$ हैं।
शीट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l \times b + b \times h + h \times l)$
$= 2(4.234 \times 1.005 + 1.005 \times 0.0201 + 0.0201 \times 4.234)$
$= 2(4.25517 + 0.02020 + 0.08510)$
$= 2(4.36047) = 8.72094 \; m^2$।
$3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $8.72 \; m^2$ प्राप्त होता है।
शीट का आयतन $= l \times b \times h$
$= 4.234 \times 1.005 \times 0.0201 = 0.085553 \; m^3$।
$3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.0856 \; m^3$ प्राप्त होता है (नोट: विकल्प $D$ में $0.0855$ दिया गया है,जो निकटतम उत्तर है)।

(N/A) बॉक्स का द्रव्यमान $= 2.30 \ kg$.
सोने के टुकड़े $I$ का द्रव्यमान $= 20.15 \ g = 0.02015 \ kg$.
सोने के टुकड़े $II$ का द्रव्यमान $= 20.17 \ g = 0.02017 \ kg$.
$(a)$ कुल द्रव्यमान $= 2.30 \ kg + 0.02015 \ kg + 0.02017 \ kg = 2.34032 \ kg$.
योग के लिए सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,अंतिम परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में हैं। यहाँ,$2.30 \ kg$ में दशमलव के बाद दो अंक हैं। अतः,कुल द्रव्यमान $2.34 \ kg$ है।
$(b)$ द्रव्यमान में अंतर $= 20.17 \ g - 20.15 \ g = 0.02 \ g$.
व्यवकलन (घटाव) के लिए सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में हैं। $20.17 \ g$ और $20.15 \ g$ दोनों में दशमलव के बाद दो अंक हैं,इसलिए परिणाम $0.02 \ g$ है।

(N/A) प्रत्येक मापन में त्रुटियां होती हैं। मापन का परिणाम इस तरह से रिपोर्ट किया जाना चाहिए जो मापन की सटीकता को इंगित करे।
सामान्यतः,मापन का रिपोर्ट किया गया परिणाम एक ऐसी संख्या होती है जिसमें विश्वसनीय रूप से ज्ञात सभी अंक और पहला अनिश्चित अंक शामिल होता है।
विश्वसनीय अंकों और पहले अनिश्चित अंक को सार्थक अंक (Significant digits) या सार्थक आंकड़े (Significant figures) कहा जाता है।
- सार्थक आंकड़े के अंकों को सार्थक अंक कहा जाता है।
- किसी भी सार्थक आंकड़े में अंतिम अंक (सबसे दाईं ओर का) अनिश्चित होता है।
- उदाहरण के लिए,एक सरल लोलक का आवर्तकाल $1.62 \ s$ है। इसमें $1$ और $6$ विश्वसनीय और निश्चित हैं,जबकि अंक $2$ अनिश्चित है। अतः,इस अवलोकन में $3$ सार्थक अंक हैं।
- जब किसी वस्तु की लंबाई $287.5 \ cm$ के रूप में रिपोर्ट की जाती है,तो इस मापन में $2, 8$ और $7$ निश्चित हैं,जबकि अंक $5$ अनिश्चित है।
- मापन के परिणाम को सार्थक अंकों से अधिक अंकों के साथ रिपोर्ट करना अनावश्यक और भ्रामक है,क्योंकि यह मापन की सटीकता के बारे में गलत विचार देगा।
- इकाइयों को बदलने से मापन में सार्थक अंकों की संख्या नहीं बदलती है।
- उदाहरण के लिए,$2.308 \ cm$ लंबाई के मापन में $4$ सार्थक अंक हैं। इसे $0.02308 \ m$ या $23.08 \ mm$ या $23080 \ \mu m$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
- प्रत्येक मामले में सार्थक अंक $2, 3, 0, 8$ हैं,इसलिए सार्थक अंकों की संख्या $4$ है।
- इस प्रकार,सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने में दशमलव बिंदु का स्थान कोई महत्व नहीं रखता है।

(N/A) सार्थक अंकों को निर्धारित करने के नियम निम्नलिखित हैं:
$(1)$ $(a)$ सभी अशून्य अंक सार्थक होते हैं। उदाहरण के लिए,$584$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
$(b)$ दो अशून्य अंकों के बीच के सभी शून्य सार्थक होते हैं,चाहे दशमलव बिंदु कहीं भी हो। $120007 \ cm$ में,$1, 2, 0, 0, 0, 7$ सभी सार्थक अंक हैं,कुल $6$ सार्थक अंक हैं।
$(c)$ दशमलव बिंदु के बिना किसी संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए,$12300 \ m$ में सार्थक अंकों की संख्या $3$ है।
$(d)$ $1$ से छोटी संख्याओं में,दशमलव बिंदु के दाईं ओर और पहले अशून्य अंक के बाईं ओर आने वाले शून्य सार्थक नहीं होते हैं। $0.002308$ में,शुरुआती शून्य सार्थक नहीं हैं।
$(e)$ दशमलव बिंदु वाली संख्या में,अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं। उदाहरण के लिए,$3.500 \ cm$ में $4$ सार्थक अंक हैं। $0.06990$ में,शुरुआती शून्य सार्थक नहीं हैं,लेकिन अंतिम शून्य सार्थक है,जिससे कुल $4$ सार्थक अंक $(6, 9, 9, 0)$ प्राप्त होते हैं।
$(2)$ जब मापन को अंत में शून्य के साथ दर्शाया जाता है,तो यह उच्च सटीकता को इंगित करता है; इसलिए वे सार्थक हैं। उदाहरण के लिए,$4.700 \ m = 470.0 \ cm = 4700 \ mm$ सभी में $4$ सार्थक अंक हैं।
$(3)$ वैज्ञानिक संकेतन $(a \times 10^b)$ अस्पष्टता को दूर करने का सबसे अच्छा तरीका है। यहाँ $a$,$1$ और $10$ के बीच की एक संख्या है और $b$ एक पूर्णांक है। उदाहरण के लिए,$246.35 \ kg$ को $2.4635 \times 10^2$ के रूप में लिखा जाता है।
$(4)$ $0.5$ जैसी संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाईं ओर रखा गया शून्य सार्थक नहीं होता है।
$(5)$ सटीक संख्याएँ (जैसे सूत्रों में स्थिरांक $S = 2\pi r$) में अनंत सार्थक अंक होते हैं।

(N/A) भौतिक राशियों के मापन में,गणना का परिणाम अक्सर अनिश्चितता को दर्शाता है। स्थिरता बनाए रखने के लिए,परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने गणना में उपयोग किए गए डेटा में हैं। राउंड ऑफ करने के लिए निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाता है:
$(1)$ यदि हटाया जाने वाला अंक $5$ से कम है,तो पिछला अंक अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण के लिए,$2.753$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर यह $2.75$ हो जाता है।
$(2)$ यदि हटाया जाने वाला अंक $5$ से अधिक है,तो पिछले अंक में $1$ जोड़ दिया जाता है।
उदाहरण के लिए,$5.86$ को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर यह $5.9$ हो जाता है।
$(3)$ यदि हटाया जाने वाला अंक ठीक $5$ है,तो निम्नलिखित परंपराओं का पालन किया जाता है:
- यदि पिछला अंक सम (even) है,तो $5$ को सीधे हटा दिया जाता है।
उदाहरण के लिए,$2.745$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर यह $2.74$ हो जाता है।
- यदि पिछला अंक विषम (odd) है,तो उसमें $1$ जोड़ दिया जाता है।
उदाहरण के लिए,$2.735$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर यह $2.74$ हो जाता है।

(N/A) $1$. सार्थक अंकों में,जैसे-जैसे सार्थक अंकों की संख्या बढ़ती है,माप की सटीकता बढ़ती है।
$2$. मापी गई भौतिक राशियों पर जोड़,घटाव,गुणा और भाग जैसी गणितीय संक्रियाएं करने पर अक्सर दशमलव के बाद बहुत अधिक अंक प्राप्त होते हैं।
$3$. गणना का अंतिम परिणाम इनपुट मापों की सटीकता के अनुरूप होना चाहिए।
$4$. उदाहरण के लिए,यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान $m = 4.237 \ g$ है और उसका आयतन $V = 2.51 \ cm^{3}$ है,तो घनत्व $\rho$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{4.237}{2.51} = 1.68804780876 \ g \ cm^{-3}$.
$5$. यह परिणाम अनावश्यक रूप से लंबा है। सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम को सबसे कम सार्थक अंकों वाले माप के बराबर सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ (round off) किया जाना चाहिए (जो इस मामले में $3$ है)। अतः,घनत्व का व्यावहारिक मान $1.69 \ g \ cm^{-3}$ होगा।

(N/A) सार्थक अंकों वाली संख्याओं के योग और घटाव में निम्नलिखित बिंदुओं का पालन किया जाना चाहिए:
$(1)$ यदि संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं,तो उन्हें सामान्य अंकगणितीय नियमों का उपयोग करके जोड़ा या घटाया जाना चाहिए।
उदाहरण के लिए,
यदि $A = 25 \text{ g}$ और $B = 2 \text{ g}$ है,तो:
$A + B = 25 + 2 = 27 \text{ g}$
$A - B = 25 - 2 = 23 \text{ g}$
$(2)$ योग या घटाव में,अंतिम परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में हैं।
उदाहरण के लिए,$436.32 \text{ g}$,$227.2 \text{ g}$ और $0.301 \text{ g}$ को जोड़ें।
$436.32 \text{ g} + 227.2 \text{ g} + 0.301 \text{ g} = 663.821 \text{ g}$
संख्या $227.2$ में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक है; इसलिए,परिणाम में भी दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होना चाहिए।
अतः,$663.821$ को राउंड ऑफ करके $663.8 \text{ g}$ लिखा जाना चाहिए।
उदाहरण के लिए,$0.307 \text{ m}$ और $0.304 \text{ m}$ के बीच का अंतर प्राप्त करने के लिए:
$0.307 \text{ m} - 0.304 \text{ m} = 0.003 \text{ m}$
इसे $3 \times 10^{-3} \text{ m}$ के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसे $3.00 \times 10^{-3} \text{ m}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता क्योंकि परिणाम को घटाव की सटीकता को दर्शाना चाहिए।

(N/A) सार्थक अंकों वाली संख्याओं के गुणा और भाग के लिए निम्नलिखित बिंदुओं पर विचार किया जाना चाहिए:
$(1)$ गुणा या भाग में,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि मूल संख्याओं में से सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हैं।
$(2)$ जब किसी माप का गुणा या भाग किसी निश्चित संख्या (जैसे भौतिक समीकरणों में आने वाले पूर्णांक या भिन्न) से किया जाता है,तो परिणाम में माप के समान ही सार्थक अंक होने चाहिए।
उदाहरण के लिए:
$(1)$ यदि एक प्लेट की लंबाई $1.567 \text{ cm}$ और चौड़ाई $10.4 \text{ cm}$ है,तो क्षेत्रफल $1.567 \times 10.4 = 16.2968 \text{ cm}^2$ होगा।
चूंकि $10.4$ में $3$ सार्थक अंक हैं (जो न्यूनतम हैं),इसलिए क्षेत्रफल को $16.3 \text{ cm}^2$ तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए।
$(2)$ यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान $8.254 \text{ g}$ और आयतन $2.68 \text{ cm}^3$ है,तो:
$\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{8.254}{2.68} = 3.07985074626 \text{ g cm}^{-3}$.
चूंकि $2.68$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए परिणाम को $3.08 \text{ g cm}^{-3}$ के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।
$(3)$ यदि गणना में उपयोग की जाने वाली किसी संख्या में अनंत सार्थक अंक हैं,तो उसे अन्य मापों की सटीकता के अनुसार सीमित सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए।
$(4)$ समीकरणों में,$\pi, \epsilon_0, \mu_0$ जैसे स्थिरांकों को माप में मौजूद सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या से एक अंक अधिक तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए।

(N/A) सार्थक संख्या वह संख्या है जो किसी माप की सटीकता को व्यक्त करती है। इसमें वे सभी अंक शामिल होते हैं जो निश्चित रूप से ज्ञात हैं और पहला अंक जो अनिश्चित है।
सार्थक अंक (Significant digit) किसी संख्या का वह अंक है जो उसकी सटीकता के स्तर में योगदान देता है। इसमें सभी गैर-शून्य अंक,गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य,और दशमलव संख्या में अंत में आने वाले शून्य शामिल हैं। शुरुआती शून्यों को सार्थक नहीं माना जाता है।

(A) सार्थक अंकों को निर्धारित करने की सबसे अच्छी विधि संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त करना है,जो $a \times 10^b$ है,जहाँ $1 \le |a| < 10$ होता है। इस रूप में,गुणांक $a$ में सभी अंक सार्थक होते हैं। यह पूर्ण संख्याओं में अंत में आने वाले शून्य के बारे में किसी भी अस्पष्टता को समाप्त करता है।

(C) जो संख्याएँ मापन का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं,जैसे कि स्थिरांक (उदाहरण के लिए,$\pi$) या वस्तुओं की गिनती (उदाहरण के लिए,$5$ सेब),उन्हें अनंत सार्थक अंकों वाला माना जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ये मान सटीक होते हैं और इनसे जुड़ी कोई अनिश्चितता नहीं होती है।

(C) मापन $(iii) \ 2.000 \ cm$ सबसे अधिक सटीक है।
सटीकता का निर्धारण मापक यंत्र के विभेदन (resolution) या अल्पतमांक (least count) द्वारा किया जाता है।
दशमलव बिंदु के बाद अधिक सार्थक अंक वाला मापन यंत्र के छोटे अल्पतमांक को दर्शाता है।
चूंकि $2.000 \ cm$ में दशमलव के बाद तीन अंक हैं,यह $0.001 \ cm$ के विभेदन को दर्शाता है,जो अन्य दो विकल्पों के $0.1 \ cm$ और $0.01 \ cm$ के विभेदन से अधिक है।

(B) सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर की घटाव करें: $6.5 - 6.32 = 0.18$।
घटाव के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थान वाली संख्या में हैं। यहाँ,$6.5$ में एक दशमलव स्थान है,इसलिए $0.18$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $0.2$ प्राप्त होता है।
यदि हम $\sqrt{0.18} \approx 0.42426...$ की गणना करते हैं,तो हमें अंतिम परिणाम पर सार्थक अंकों के नियमों को लागू करना होगा।
संख्या $0.18$ में दो सार्थक अंक हैं। इसलिए,अंतिम परिणाम को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।
$0.42426...$ को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $0.42$ प्राप्त होता है।

(A) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$1$. $2.85 \times 10^{26} \ kg$ के लिए: $10$ की घात सार्थक अंकों में योगदान नहीं देती है। अंक $2, 8, 5$ सभी गैर-शून्य हैं,इसलिए यहाँ $3$ सार्थक अंक हैं। अतः,$(1)-(c)$।
$2$. $0.009 \ m^2$ के लिए: दशमलव बिंदु के बाद के शुरुआती शून्य सार्थक नहीं होते हैं। केवल अंक $9$ सार्थक है। अतः,यहाँ $1$ सार्थक अंक है। अतः,$(2)-(a)$।
$3$. $0.060 \ s$ के लिए: शुरुआती शून्य सार्थक नहीं होते हैं। दशमलव बिंदु के बाद का अंतिम शून्य सार्थक होता है। अतः,अंक $6$ और $0$ सार्थक हैं,जिससे $2$ सार्थक अंक प्राप्त होते हैं। अतः,$(3)-(b)$।
इसलिए,सही मिलान $(1)-(c), (2)-(a), (3)-(b)$ है।