Significant Figures Questions in Hindi

(B) वैज्ञानिक पद्धति में संख्याओं को घटाने के लिए,हम पहले उन्हें $10$ की समान घात के साथ व्यक्त करते हैं।
$3.9 \times 10^5 = 39.0 \times 10^4$.
अब,घटाव करें: $(39.0 \times 10^4) - (2.5 \times 10^4) = (39.0 - 2.5) \times 10^4 = 36.5 \times 10^4$.
इसे वापस मानक वैज्ञानिक पद्धति में बदलने पर: $3.65 \times 10^5$.
घटाव के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम को उस माप के समान दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हों। यहाँ,$3.9 \times 10^5$ में एक दशमलव स्थान है ($39.0 \times 10^4$ के रूप में) और $2.5 \times 10^4$ में भी एक दशमलव स्थान है। इसलिए,परिणाम को एक दशमलव स्थान तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए।
$3.65 \times 10^5$ को एक दशमलव स्थान तक राउंड ऑफ करने पर $3.6 \times 10^5$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के योग की गणना करें: $3.20 + 4.80 = 8.00$.
योग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली माप में हैं।
यहाँ $3.20$ और $4.80$ दोनों में दशमलव के बाद दो अंक हैं,इसलिए योग $8.00$ दो दशमलव स्थानों तक सही है।
इस प्रकार,व्यंजक $8.00 \times 10^5$ हो जाता है।
यहाँ $8$,$0$ और $0$ तीनों अंक सार्थक हैं।
अतः,कुल $3$ सार्थक अंक हैं।

(A) $96378$ को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने के लिए,हम पहले दो अंकों $9$ और $6$ को देखते हैं।
चूंकि तीसरा अंक $3$ है (जो $5$ से कम है),इसलिए हम दूसरे अंक को वैसा ही रखेंगे और शेष अंकों को शून्य से बदल देंगे।
अतः,$96378$ को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर $96000$ या $9.6 \times 10^4$ प्राप्त होता है।

(A) एक मोती का द्रव्यमान $85 \, mg$ है। यह माप $1 \, mg$ की सटीकता के साथ लिया गया है।
यदि हम इस द्रव्यमान को ग्राम में व्यक्त करें, तो मोती का द्रव्यमान $0.085 \, g$ हो जाता है। यहाँ इकाई बदलने के लिए जोड़े गए शून्य सार्थक अंक नहीं हैं। अतः, यहाँ केवल दो सार्थक अंक $8$ और $5$ हैं।
यदि हम इस द्रव्यमान को किलोग्राम में व्यक्त करें, तो मोती का द्रव्यमान $0.000085 \, kg$ हो जाता है। यहाँ शुरुआती शून्य सार्थक अंक नहीं हैं। अतः, यहाँ भी केवल दो सार्थक अंक $8$ और $5$ ही हैं।
इस प्रकार, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मापन की इकाइयों को बदलने से सार्थक अंकों की संख्या नहीं बदलती है।

(N/A) यह नियम कि अंतिम शून्य सार्थक नहीं होते,उन संख्याओं पर लागू होता है जिनमें दशमलव बिंदु नहीं होता है। हालाँकि,जब किसी विशिष्ट उपकरण से मापन किया जाता है,तो अंतिम शून्य मापन की सटीकता को दर्शाते हैं।
मान लीजिए कि $0.01 \ cm$ के अल्पतमांक (least count) वाले वर्नियर कैलिपर्स से एक बेलन की लंबाई मापी जाती है। यदि मापी गई लंबाई सटीक $3.50 \ cm$ है,तो अंतिम शून्य एक सार्थक अंक है क्योंकि यह दर्शाता है कि मापन ऐसे उपकरण से लिया गया है जो दूसरे दशमलव स्थान तक मापने में सक्षम है।
इस प्रकार,$3.50 \ cm$ में अंतिम शून्य एक सार्थक अंक है,जो यह प्रदर्शित करता है कि भौतिक मापन के संदर्भ में सामान्य नियम हमेशा लागू नहीं होता है।

(N/A) समतल कोण $\theta$ (रेडियन में) का सूत्र $\theta = \frac{l}{r}$ है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{6}$ रेडियन और $r = 31.0 \, cm$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\pi}{6} = \frac{l}{31.0}$
$l$ के लिए हल करने पर:
$l = 31.0 \times \frac{\pi}{6} \, cm$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$l = 31.0 \times \frac{3.14159}{6} \, cm \approx 16.231 \, cm$.
तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर (चूंकि त्रिज्या $31.0$ में तीन सार्थक अंक हैं),चाप की लंबाई $16.2 \, cm$ प्राप्त होती है।

(C) $1$. दी गई रीडिंग $5.50\, mm, 5.55\, mm, 5.45\, mm,$ और $5.65\, mm$ हैं। इन सभी रीडिंग में $3$ सार्थक अंक हैं।
$2$. औसत मान $5.5375\, mm$ है। सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम को मापे गए मानों के समान सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए,जो कि $3$ है। इस प्रकार,$5.5375$ को $5.54\, mm$ के रूप में राउंड ऑफ किया जाता है।
$3$. मानक विचलन $0.07395\, mm$ है। अनिश्चितता (त्रुटि) को आमतौर पर एक या दो सार्थक अंकों में व्यक्त किया जाना चाहिए। $0.07395$ को एक सार्थक अंक में राउंड ऑफ करने पर $0.07\, mm$ प्राप्त होता है।
$4$. इसलिए,व्यास को $(5.54 \pm 0.07)\, mm$ के रूप में रिकॉर्ड किया जाना चाहिए।

(C) घटाव में,परिणाम में दशमलव स्थानों की संख्या उस पद के दशमलव स्थानों की संख्या के बराबर होनी चाहिए जिसमें दशमलव के बाद सबसे कम अंक हों।
दिए गए मान:
$9.99\, m$ ($2$ दशमलव स्थान)
$0.0099\, m$ ($4$ दशमलव स्थान)
घटाव करने पर:
$9.99 - 0.0099 = 9.9801$
घटाव के लिए सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,परिणाम को उस पद के समान दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हैं,जो कि $2$ है।
$9.9801$ को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर $9.98$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम परिणाम $9.98\, m$ है।

(C) आयताकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$.
यहाँ,लंबाई $= 55.3 \ m$ ($3$ सार्थक अंक) और चौड़ाई $= 25 \ m$ ($2$ सार्थक अंक) है।
गुणनफल करने पर: $55.3 \times 25 = 1382.5 \ m^{2}$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी उस माप में है जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या $2$ है (जो $25 \ m$ में है)।
$1382.5$ को $2$ सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर,हमें $1400 \ m^{2}$ प्राप्त होता है,जिसे $14 \times 10^{2} \ m^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) मापन में सटीकता सार्थक अंकों (significant figures) की संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है। सार्थक अंकों की अधिक संख्या एक अधिक सटीक मापन को दर्शाती है।
$A$. $400 \times 10^{-4} \,m = 0.0400 \,m$ (सार्थक अंक: $3$)
$B$. $0.04 \,m$ (सार्थक अंक: $1$)
$C$. $40 \,m$ (सार्थक अंक: $2$)
$D$. $4 \times 10^1 \,m = 40 \,m$ (सार्थक अंक: $1$)
सार्थक अंकों की तुलना करने पर: $3 > 2 > 1$। अतः,$400 \times 10^{-4} \,m$ मापन में सार्थक अंकों की संख्या सबसे अधिक है,जो इसे सबसे सटीक बनाता है।

(A) जब मापों को जोड़ा जाता है,तो अंतिम परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक लिखा जाना चाहिए जितने उस मापन में हैं जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हैं।
दिए गए मापन $18.425 \, cm$ (तीन दशमलव स्थान),$7.21 \, cm$ (दो दशमलव स्थान) और $5.0 \, cm$ (एक दशमलव स्थान) हैं।
योग $18.425 + 7.21 + 5.0 = 30.635 \, cm$ है।
चूंकि सबसे कम दशमलव स्थान वाला मापन $5.0 \, cm$ (एक दशमलव स्थान) है,इसलिए अंतिम परिणाम को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$30.635$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $30.6 \, cm$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया माप $0.0205 \times 10^{-4} \,m$ है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. दशमलव संख्या में अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
$2$. अंक $2, 0, 5$ सार्थक हैं।
$3$. $10$ की घात (अर्थात $10^{-4}$) सार्थक अंकों की संख्या में योगदान नहीं देती है।
अतः,सार्थक अंक $2, 0, 5$ हैं,जो कुल $3$ सार्थक अंक प्रदान करते हैं।

(A) वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 2.12 \ m$ है।
यहाँ $r$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
$A = 3.14159 \times (2.12)^2$.
$A = 3.14159 \times 4.4944 = 14.11965... \ m^2$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में हैं।
चूँकि $2.12$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$14.11965$ को $3$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $14.1 \ m^2$ प्राप्त होता है।

(A) ओम के नियम के अनुसार,विभवांतर $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R = 10.845 \, \Omega$ (जिसमें $5$ सार्थक अंक हैं) और $I = 3.23 \, \text{A}$ (जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं)।
गुणनफल की गणना करने पर: $V = 10.845 \times 3.23 = 35.02935 \, V$.
गुणा में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या $3$ है ($3.23$ से)।
$35.02935$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $35.0 \, V$ प्राप्त होता है।

(B) लोलक की लंबाई $(L)$,धागे की लंबाई $(l)$ और गोलक की त्रिज्या $(r)$ के योग के बराबर होती है।
$L = l + r$
दिया गया है,$l = 63.2 \,cm$ और व्यास $d = 2.256 \,cm$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{2.256}{2} = 1.128 \,cm$ है।
$L = 63.2 + 1.128 = 64.328 \,cm$ है।
योग/व्यवकलन में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली माप में हैं।
यहाँ,$63.2$ में दशमलव के बाद एक अंक है और $1.128$ में तीन अंक हैं।
इसलिए,परिणाम को दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।
$L = 64.3 \,cm$।

(B) घन की भुजा की लंबाई $l = 1.2 \,m$ है।
भुजा की लंबाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $l = 1.2 \times 10^2 \,cm = 120 \,cm$ प्राप्त होता है।
घन का आयतन $V = l^3 = (120 \,cm)^3 = 1,728,000 \,cm^3$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $V = 1.728 \times 10^6 \,cm^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गणना का परिणाम उस माप के समान सार्थक अंकों वाला होना चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
दी गई भुजा की लंबाई $1.2 \,m$ में $2$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,आयतन को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$1.728$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.7$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $1.7 \times 10^6 \,cm^3$ है।

(B) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 1.6 \,g$,$m_2 = 7.32 \,g$ और $m_3 = 4.238 \,g$ हैं।
इन मानों का योग करने पर: $m = 1.6 + 7.32 + 4.238 = 13.158 \,g$.
योग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,अंतिम परिणाम में उतने ही दशमलव स्थान होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थान वाले मापन में हैं।
यहाँ,$1.6 \,g$ में सबसे कम (एक) दशमलव स्थान है।
इसलिए,हम $13.158 \,g$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित (round off) करते हैं,जिससे $13.2 \,g$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
लंबाई $(l)$ = $10.2 \,cm$ ($3$ सार्थक अंक हैं)।
चौड़ाई $(w)$ = $6.8 \,cm$ ($2$ सार्थक अंक हैं)।
क्षेत्रफल = $l \times w = 10.2 \times 6.8 = 69.36 \,cm^2$।
गुणा में सार्थक अंकों के नियम के अनुसार,अंतिम परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या $2$ है ($6.8 \,cm$ से)।
$69.36$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $69 \,cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
किसी भी भौतिक माप में,विश्वसनीय रूप से ज्ञात अंकों और पहले अनिश्चित अंक को सार्थक अंक कहा जाता है।
$41.68 \,cm$ के रूप में दर्ज माप के लिए,अंक $4, 1,$ और $6$ निश्चित हैं,जबकि अंतिम अंक $8$ अनिश्चित अंक है।
अतः,अनिश्चित अंक $8$ है।

(D) दिया गया मान $4.700 \,m$ है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
इसलिए,$4.700$ में $4$ सार्थक अंक हैं।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(a)$ $4700$: दशमलव बिंदु के बिना अंत में आने वाले शून्य सार्थक नहीं होते हैं। इसमें $2$ सार्थक अंक हैं।
$(b)$ $0.047$: दशमलव से पहले के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। इसमें $2$ सार्थक अंक हैं।
$(c)$ $4070$: दशमलव बिंदु के बिना अंत में आने वाले शून्य सार्थक नहीं होते हैं। इसमें $3$ सार्थक अंक हैं।
$(d)$ $470.0$: दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं। इसमें $4$ सार्थक अंक हैं।
अतः,$470.0 \,m$ मान में $4.700 \,m$ के समान ही सार्थक अंक हैं।

(C) दिया गया मान $2.7465 \,g$ है।
सार्थक अंक वे अंक होते हैं जो मापन की सटीकता के बारे में सार्थक जानकारी देते हैं।
यदि मान को तीन सार्थक अंकों तक सीमित किया जाता है,तो हम पहले तीन अंकों $(2, 7, 4)$ को रखते हैं और शेष अंकों को हटा देते हैं।
जिन अंकों को हटाया जाना है,उन्हें असार्थक माना जाता है।
इसलिए,दो असार्थक अंक $6$ और $5$ हैं।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 4.237 \, g$ (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं)।
दिया गया आयतन $V = 1.72 \, cm^3$ (जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं)।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{4.237 \, g}{1.72 \, cm^3} \approx 2.46337 \, g \, cm^{-3}$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,भागफल में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में हैं।
चूंकि $1.72$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम उत्तर को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।
अतः,घनत्व $2.46 \, g \, cm^{-3}$ है।

(B) किसी संख्या को सार्थक अंकों की एक निश्चित संख्या तक पूर्णांकित करने के लिए,हम अंतिम सार्थक अंक के बाद वाले अंक को देखते हैं।
यहाँ,हमें $2.845$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना है।
पहले $3$ अंक $2, 8, 4$ हैं। अगला अंक $5$ है।
पूर्णांकन के नियमों के अनुसार,यदि छोड़े जाने वाला अंक $5$ है और उससे पहले वाला अंक सम (even) है,तो वह अंक अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि $4$ एक सम संख्या है,इसलिए $2.845$ का पूर्णांकित मान $2.84$ होगा।

(A) $5.997$ को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने के लिए,हम चौथे अंक को देखते हैं,जो $7$ है।
चूंकि $7 > 5$ है,इसलिए हम तीसरे अंक $(9)$ में $1$ जोड़ते हैं।
$9$ में $1$ जोड़ने पर $10$ प्राप्त होता है,इसलिए हम $1$ को अगले अंक पर हासिल (carry) के रूप में ले जाते हैं।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक हमें $6.00$ प्राप्त नहीं हो जाता।
अतः,$5.997 \ m$ को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $6.00 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) निर्वात में प्रकाश की गति लगभग $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ होती है।
परिमाण की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम मान को $a \times 10^n$ के रूप में व्यक्त करते हैं,जहाँ $1 \le a < 10$ हो।
यहाँ,$a = 3$ है,जो $1 \le 3 < 10$ की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,परिमाण की कोटि घातांक $n$ है,जो $8$ है।

(C) चरण $1$: गुणा करें $1.53 \times 0.9995 = 1.529235$।
चरण $2$: सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हैं। यहाँ,$1.53$ में $3$ सार्थक अंक हैं और $0.9995$ में $4$ हैं। अतः,गुणनफल को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.53$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: भाग करें $\frac{1.53}{1.592} = 0.961055...$।
चरण $4$: भागफल को भी ऑपरेंड्स में मौजूद सबसे कम सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। यहाँ,$1.53$ में $3$ सार्थक अंक हैं और $1.592$ में $4$ हैं। इसलिए,अंतिम परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $0.961$ प्राप्त होता है।

(C) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$1$. सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$2$. गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य सार्थक होते हैं।
$3$. संख्या की शुरुआत के शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
$4$. दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत के शून्य सार्थक होते हैं।
इन नियमों को लागू करने पर:
- $A. 1001$: इसमें $4$ सार्थक अंक हैं (सभी अंक सार्थक हैं)।
- $B. 010.1$: शुरुआती शून्य सार्थक नहीं है। अंक $1, 0, 1$ सार्थक हैं। कुल = $3$ सार्थक अंक।
- $C. 100.100$: सभी अंक सार्थक हैं क्योंकि शून्य गैर-शून्य अंकों के बीच में हैं या दशमलव के बाद के अंतिम शून्य हैं। कुल = $6$ सार्थक अंक।
- $D. 0.0010010$: शुरुआती शून्य सार्थक नहीं हैं। अंक $1, 0, 0, 1, 0$ सार्थक हैं। कुल = $5$ सार्थक अंक।
परिणामों का मिलान करने पर: $A-II, B-I, C-IV, D-III$।

(C) दिए गए मान $4.62 \,s, 4.632 \,s, 4.6 \,s$ और $4.64 \,s$ हैं।
माध्य ज्ञात करने के लिए,पहले हम योग करते हैं: $4.62 + 4.632 + 4.6 + 4.64 = 18.492 \,s$.
योग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाले माप में हैं। यहाँ,$4.6 \,s$ में दशमलव के बाद केवल एक अंक है।
इसलिए,योग को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर: $18.5 \,s$ प्राप्त होता है।
अब,माध्य की गणना करते हैं: $\text{Mean} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \,s$.
अंत में,भाग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या सबसे कम सार्थक अंकों वाले माप के बराबर होनी चाहिए। यहाँ $4.6 \,s$ में दो सार्थक अंक हैं।
इसलिए,$4.625 \,s$ को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $4.6 \,s$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक $y = \frac{32.3 \times 1125}{27.4}$ है।
मान की गणना करने पर: $y = 1326.18613...$
गुणा और भाग में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हैं।
व्यंजक में,$32.3$ में $3$ सार्थक अंक हैं,$1125$ में $4$ सार्थक अंक हैं,और $27.4$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या $3$ है।
$1326.186$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) करने पर,हमें $1330$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 435.42 \ g$,$m_2 = 226.3 \ g$ और $m_3 = 0.125 \ g$ हैं।
योग ज्ञात करने के लिए: $435.42 + 226.3 + 0.125 = 661.845 \ g$.
सार्थक अंकों के साथ योग के नियमों के अनुसार,अंतिम परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाले माप में हैं।
यहाँ मापों में क्रमशः $2$,$1$ और $3$ दशमलव स्थान हैं। सबसे कम दशमलव स्थानों की संख्या $1$ है।
अतः,$661.845 \ g$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $661.8 \ g$ प्राप्त होता है।

(C) कथन-$1$ सत्य है क्योंकि सार्थक अंकों की परिभाषा में वे सभी अंक शामिल होते हैं जो निश्चित रूप से ज्ञात हैं और साथ ही पहला अंक जो अनिश्चित है।
कथन-$2$ असत्य है क्योंकि सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंतिम शून्य हमेशा सार्थक होते हैं (उदाहरण के लिए,$3.500$ में $4$ सार्थक अंक हैं)।

(A) योग और घटाव में,परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जितने कि उस माप में हैं जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हैं।
$(i)\ 11.3 \ cm$ (एक दशमलव स्थान) $+ 4 \ cm$ (शून्य दशमलव स्थान) $= 15 \ cm$. अतः,$(i)$ गलत है।
$(ii)\ 4.53 \ m$ (दो दशमलव स्थान) $- 1.2 \ m$ (एक दशमलव स्थान) $= 3.3 \ m$. अतः,$(ii)$ सही है।
$(iii)\ 5.45 \ kg$ (दो दशमलव स्थान) $- 3.2 \ kg$ (एक दशमलव स्थान) $= 2.3 \ kg$. अतः,$(iii)$ गलत है।
$(iv)\ 84.8 \ cm$ (एक दशमलव स्थान) $+ 48.6 \ cm$ (एक दशमलव स्थान) $= 133.4 \ cm$. अतः,$(iv)$ गलत है।
इसलिए,केवल $(ii)$ सही है।

(B) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{V}$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 4.237 \ g$ (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं)।
दिया गया आयतन $V = 2.5 \ cm^3$ (जिसमें $2$ सार्थक अंक हैं)।
घनत्व की गणना करने पर: $\rho = \frac{4.237}{2.5} = 1.6948 \ g \ cm^{-3}$ प्राप्त होता है।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,भागफल में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में हैं।
चूंकि $2.5$ में $2$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम उत्तर को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$1.6948$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.7 \ g \ cm^{-3}$ प्राप्त होता है।

(A) $0.007\ m^2$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं हैं। अतः,$1$ सार्थक अंक है। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(b)$ $2.64 \times 10^{24}\ kg$ के लिए,$10$ की घात सार्थक नहीं है। अंक $2, 6, 4$ सार्थक हैं। अतः,$3$ सार्थक अंक हैं। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(c)$ $0.0021\ g\ cm^{-3}$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं हैं। अंक $2, 1$ सार्थक हैं। अतः,$2$ सार्थक अंक हैं। यह $(p)$ से मेल खाता है।
$(d)$ $0.0006032\ J$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं हैं। अंक $6, 0, 3, 2$ सार्थक हैं। अतः,$4$ सार्थक अंक हैं। यह $(r)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $a-q, b-s, c-p, d-r$ है।

(B) दिए गए माप हैं: $L = 10.5 \ cm$ ($3$ सार्थक अंक),$b = 0.05 \ mm = 0.005 \ cm$ ($1$ सार्थक अंक),और $t = 6.0 \ \mu m = 6.0 \times 10^{-4} \ cm$ ($2$ सार्थक अंक)।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले माप में हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या $1$ है ($b = 0.05 \ mm$ से)।
आयतन $V = L \times b \times t = 10.5 \ cm \times 0.005 \ cm \times 6.0 \times 10^{-4} \ cm$।
$V = 10.5 \times 5 \times 10^{-3} \times 6.0 \times 10^{-4} \ cm^3 = 315 \times 10^{-7} \ cm^3 = 3.15 \times 10^{-5} \ cm^3$।
$1$ सार्थक अंक तक पूर्णांकित करने पर,हमें $V = 3 \times 10^{-5} \ cm^3$ प्राप्त होता है।

(C) पृथ्वी का व्यास $(D_e)$ = $2 \times 6371 \ km = 12742 \ km = 1.2742 \times 10^4 \ km$.
पृथ्वी के व्यास की कोटि $10^4$ है।
कक्षा का व्यास $(D_o)$ = $2 \times 149 \times 10^6 \ km = 298 \times 10^6 \ km = 2.98 \times 10^8 \ km$.
कक्षा के व्यास की कोटि $10^8$ है।
कोटि में अंतर $8 - 4 = 4$ है।
अतः,कक्षा के व्यास की कोटि पृथ्वी के व्यास की कोटि से $10^4$ अधिक है।

(B) घनत्व को द्रव्यमान और आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$.
दिया गया है: $\text{द्रव्यमान} = 49.53 \ g$ (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं)।
दिया गया है: $\text{आयतन} = 1.5 \ cm^3$ (जिसमें $2$ सार्थक अंक हैं)।
गणना: $\text{घनत्व} = \frac{49.53}{1.5} = 33.02 \ g \ cm^{-3}$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,भाग देते समय परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाले मापन में हैं।
चूंकि $1.5$ में $2$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम उत्तर को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
अतः,घनत्व $33 \ g \ cm^{-3}$ है।

(B) संख्या $4.8000 \times 10^{4}$ के लिए:
वैज्ञानिक संकेतन में,$10$ की घात सार्थक अंकों की संख्या में योगदान नहीं देती है।
अंक $4, 8, 0, 0, 0$ सभी सार्थक हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंतिम शून्य सार्थक होते हैं।
अतः,इसमें $5$ सार्थक अंक हैं।
संख्या $48000.50$ के लिए:
सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
दो गैर-शून्य अंकों के बीच आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
दशमलव बिंदु के बाद के अंतिम शून्य भी सार्थक होते हैं।
इसलिए,सभी अंक $4, 8, 0, 0, 0, 5, 0$ सार्थक हैं,जो कुल $7$ सार्थक अंक बनाते हैं।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
इसके अतिरिक्त,दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
संख्या $4.870$ में,अंक $4, 8, 7$ गैर-शून्य हैं और दशमलव बिंदु के बाद आने वाला अंतिम शून्य भी सार्थक है।
इसलिए,सार्थक अंकों की कुल संख्या $4$ है।

(A) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हैं:
$(i)$ $A = 0.001204 \ m$ के लिए: शुरुआती शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अंक $1, 2, 0, 4$ सार्थक हैं। अतः,$N_A = 4$ है।
$(ii)$ $B = 43120000 \ m$ के लिए: दशमलव बिंदु के बिना वाली संख्या में अंत के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अंक $4, 3, 1, 2$ सार्थक हैं। अतः,$N_B = 4$ है।
$(iii)$ $C = 1.200 \ m$ के लिए: दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत के शून्य सार्थक होते हैं। अंक $1, 2, 0, 0$ सार्थक हैं। अतः,$N_C = 4$ है।
चूंकि $N_A = 4, N_B = 4$ और $N_C = 4$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $N_A = N_B = N_C$ है।

(A) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,$1$ से कम संख्या के लिए,दशमलव बिंदु के दाईं ओर और पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
संख्या $0.00764$ में,$7$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
इसलिए,सार्थक अंक $7, 6,$ और $4$ हैं,जो कुल $3$ सार्थक अंक बनाते हैं।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) $74.083$ के लिए,सभी गैर-शून्य अंक और उनके बीच का शून्य सार्थक हैं,इसलिए $5$ सार्थक अंक हैं $(IV)$।
$0.029$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं हैं,इसलिए $2$ सार्थक अंक हैं $(III)$।
$0.002407$ के लिए,अग्रणी शून्य सार्थक नहीं हैं,लेकिन $2$ और $4$ के बीच का शून्य सार्थक है,इसलिए $4$ सार्थक अंक हैं $(II)$।
$2.74 \times 10^7$ के लिए,घातांकीय पद सार्थक अंकों में योगदान नहीं देता है,इसलिए $3$ सार्थक अंक हैं $(I)$।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-II, D-I$ है।

(B) $1$ से छोटी किसी भी संख्या के लिए,दशमलव बिंदु से पहले या बाद में आने वाले अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
दी गई संख्या $0.00005041$ में,$5$ के बाईं ओर के शून्य अग्रणी शून्य हैं और वे सार्थक नहीं हैं।
अंक $5, 0, 4, 1$ सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $4$ है।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. अग्रणी शून्य (पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य) सार्थक नहीं होते हैं। $0.03240$ में,$3$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
$2$. गैर-शून्य अंक हमेशा सार्थक होते हैं। यहाँ,$3, 2, 4$ सार्थक हैं।
$3$. दशमलव संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं। $0.03240$ के अंत में स्थित शून्य सार्थक है।
अतः,सार्थक अंक $3, 2, 4, 0$ हैं,जो कुल $4$ सार्थक अंक प्रदान करते हैं।

(A) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर घटाव करें। $0.312 - 0.03 = 0.282$। घटाव के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाली माप में हैं। यहाँ,$0.03$ में दो दशमलव स्थान हैं,इसलिए परिणाम $0.282$ को $0.28$ (दो दशमलव स्थान) तक राउंड ऑफ किया जाता है।
चरण $2$: भाग करें। $\frac{0.501}{0.05} = 10.02$।
चरण $3$: परिणामों का गुणा करें। $10.02 \times 0.28 = 2.8056$।
चरण $4$: गुणा के नियमों को लागू करें। परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में है। $0.05$ में $1$ सार्थक अंक है और $0.28$ में $2$ सार्थक अंक हैं। इसलिए,अंतिम परिणाम को $1$ सार्थक अंक तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए। अतः,सार्थक अंकों की संख्या $1$ है।

(D) घन की भुजा की लंबाई $l = 1.2 \times 10^{-2} \ m$ है।
घन का आयतन $V = l^3$ द्वारा दिया जाता है।
$V = (1.2 \times 10^{-2} \ m)^3 = 1.728 \times 10^{-6} \ m^3$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणा या भाग के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के समान होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
दी गई लंबाई $1.2 \times 10^{-2} \ m$ में $2$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,आयतन को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$1.728$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.7$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $1.7 \times 10^{-6} \ m^3$ है।

(C) वैज्ञानिक संकेतन में,प्रत्येक संख्या को $a \times 10^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$,$1$ और $10$ के बीच की एक संख्या है और $b$ कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक घातांक है।
सार्थक अंकों का निर्धारण केवल गुणांक $a$ में मौजूद अंकों द्वारा किया जाता है।
$10$ की घात (अर्थात $10^{22}$) सार्थक अंकों के निर्धारण के लिए अप्रासंगिक है।
दिए गए मान $3.78 \times 10^{22}$ में,गुणांक $3.78$ है।
चूंकि सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं,इसलिए $3.78$ में सार्थक अंकों की संख्या $3$ है।

(C) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। यहाँ,$7$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
$2$. दशमलव संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
$0.079000 \ m$ के मापन में,अंक $7, 9, 0, 0, 0$ सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की कुल संख्या $5$ है।

(A) मूल छड़ की लंबाई $43.4 \ m$ है (जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं और यह दशमलव के पहले स्थान तक सटीक है)।
काटे गए टुकड़े की लंबाई $3.532 \ m$ है (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं और यह दशमलव के तीसरे स्थान तक सटीक है)।
घटाते समय,परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जितने उस माप में हैं जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हैं।
शेष लंबाई $= 43.4 \ m - 3.532 \ m = 39.868 \ m$.
चूंकि $43.4$ में केवल एक दशमलव स्थान है,इसलिए हमें परिणाम को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित (round off) करना होगा।
$39.868$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $39.9 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$2$. दशमलव बिंदु के बिना किसी संख्या में अंत में आने वाले शून्य आमतौर पर सार्थक नहीं माने जाते हैं,जब तक कि माप की सटीकता द्वारा निर्दिष्ट न किया गया हो।
संख्या $830600$ में,अंक $8, 3, 0, 6$ सार्थक हैं।
अंतिम दो शून्य सार्थक नहीं हैं क्योंकि इसमें कोई दशमलव बिंदु नहीं है।
इसलिए,सार्थक अंक $8, 3, 0, 6$ हैं,जो कुल $4$ सार्थक अंक प्रदान करते हैं।