Radiation (General, Kirchoff's law, Black body, Prevost's Theory) Questions in Gujarati

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા એ વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે વચ્ચેની પ્લેટનું તાપમાન $T'$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($3T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (3T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા પ્રથમ પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટમાંથી શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટ ($2T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (2T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા ત્રીજી પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$ છે.
શોષાયેલી અને મુક્ત થયેલી ચોખ્ખી ઉર્જાને સરખાવતા:
$\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4 = \sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$
$(3T)^4 - (T')^4 = (T')^4 - (2T)^4$
$81T^4 + 16T^4 = 2(T')^4$
$97T^4 = 2(T')^4$
$(T')^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T' = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$

(D) આપેલ છે: સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 64 \ mm^2 = 64 \times 10^{-6} \ m^2$,તાપમાન $T = 2500 \ K$,અંતર $d = 100 \ m$,આંખની કીકીની ત્રિજ્યા $R_e = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
$(A)$ ફિલામેન્ટ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A e T^4$. કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,ઉત્સર્જકતા $e = 1$.
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (64 \times 10^{-6}) \times 1 \times (2500)^4 = 141.75 \ W$.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે.
$(B)$ આંખ સુધી પહોંચતો પાવર $P_{eye} = \frac{P}{4 \pi d^2} \times (\pi R_e^2) = \frac{141.75}{4 \times (100)^2} \times (3 \times 10^{-3})^2 = 3.189 \times 10^{-8} \ W$.
આ $3.15 \times 10^{-8} \ W$ થી $3.25 \times 10^{-8} \ W$ ની રેન્જમાં છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$(C)$ વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ વાપરતા: $\lambda_m T = b$.
$\lambda_m = \frac{2.90 \times 10^{-3}}{2500} = 1.16 \times 10^{-6} \ m = 1160 \ nm$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$(D)$ પાવર $P_{eye} = \dot{N} \frac{hc}{\lambda_{avg}}$,જ્યાં $\dot{N}$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા છે.
$\dot{N} = \frac{P_{eye} \lambda_{avg}}{hc} = \frac{3.189 \times 10^{-8} \times 1740 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8} \approx 2.79 \times 10^{11}$.
આ $2.75 \times 10^{11}$ થી $2.85 \times 10^{11}$ ની રેન્જમાં છે. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પો $(B, C, D)$ સાચા છે.

(C) ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા પદાર્થો એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$\rho$ સમાન છે. આપેલ છે કે દળ $M$ પણ સમાન છે,તેથી બધા પદાર્થોનું કદ $V$ સમાન હોવું જોઈએ.
અચળ કદ માટે,ગોળા,સમઘન અને તકતીમાંથી પાતળી વર્તુળાકાર તકતીનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સૌથી વધુ હોય છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} \propto A(T^4 - T_0^4)$ છે.
તકતીનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{\text{plate}}$ સૌથી વધુ હોવાથી,તકતી માટે ઠંડા પડવાનો દર સૌથી વધુ છે.
તેથી,વર્તુળાકાર તકતી સૌથી ઝડપથી ઓરડાના તાપમાને પહોંચશે.

(B) આપાત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_i = 1000 \ J \ min^{-1}$ છે.
ઉષ્મા વિકિરણ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન $(r)$,શોષણ $(a)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના ગુણાંકોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $r + a + t = 1$.
અહીં $r = 0.1$ અને $a = 0.8$ આપેલ છે,તેથી પ્રસરણ ગુણાંક $(t)$ શોધી શકાય:
$t = 1 - (r + a) = 1 - (0.1 + 0.8) = 1 - 0.9 = 0.1$.
પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_t = t \times P_i = 0.1 \times 1000 \ J \ min^{-1} = 100 \ J \ min^{-1}$ છે.
$5$ મિનિટના સમયગાળા માટે,કુલ પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જા $(Q_t)$:
$Q_t = P_t \times \text{સમય} = 100 \ J \ min^{-1} \times 5 \ min = 500 \ J$.

(C) કોઈપણ સપાટી માટે,શોષણ ગુણાંક $(a)$,પરાવર્તન ગુણાંક $(r)$ અને પારગમન ગુણાંક $(t)$ નો સરવાળો $1$ થાય છે.
$a + r + t = 1$
આપેલ છે: $a = 0.77$,$r = 0.17$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.77 + 0.17 + t = 1$
$0.94 + t = 1$
$t = 1 - 0.94 = 0.06$
પારગમિત થતી ઉષ્માનો જથ્થો એ આપાત ઉષ્મા $(Q)$ અને પારગમન ગુણાંક $(t)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$Q_{\text{transmitted}} = Q \times t$
$Q_{\text{transmitted}} = 250 \ kcal \times 0.06$
$Q_{\text{transmitted}} = 15 \ kcal$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ એ એવી વસ્તુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કોઈપણ તરંગલંબાઇના તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરે છે. કિર્ચોફના ઉષ્મીય વિકિરણના નિયમ મુજબ,તેના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા કોઈપણ પદાર્થ માટે,તેની ઉત્સર્જકતા (emissivity) તેની શોષકતા (absorptivity) જેટલી હોય છે. કારણ કે સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થની શોષકતા $1$ હોય છે,તેથી તેની ઉત્સર્જકતા (ઉત્સર્જનનો ગુણાંક) પણ $1$ હોવી જોઈએ,જેને એકમ (unity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ $R \propto (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_0 = k(400^4 - 300^4) = k(256 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(175 \times 10^8)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $R' = k(900^4 - 300^4) = k(6561 \times 10^8 - 81 \times 10^8) = k(6480 \times 10^8)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R'}{R_0} = \frac{6480}{175} \approx 37.02$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $36 R_0$ છે.

(C) ધારો કે પદાર્થ પર આપાત થતી કુલ ઉષ્મા $Q = x$ જૂલ છે.
ધારો કે પરાવર્તિત ઉષ્મા $Q_r$ છે અને પારગમિત ઉષ્મા $Q_t$ છે.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને પારગમિત ઉષ્માનો સરવાળો $Q_r + Q_t = y$ જૂલ છે.
કુલ આપાત ઉષ્મા એ શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_a)$,પરાવર્તિત ઉષ્મા $(Q_r)$ અને પારગમિત ઉષ્મા $(Q_t)$ ના સરવાળા બરાબર હોય છે:
$Q = Q_a + Q_r + Q_t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = Q_a + y$
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_a = x - y$ થશે.
શોષણ ગુણાંક $(a)$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા અને કુલ આપાત ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે:
$a = \frac{Q_a}{Q} = \frac{x - y}{x}$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ સપાટીની ઉત્સર્જકતા (emissivity) છે.
આપેલ તાપમાન અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટે,ઠંડા થવાનો દર સપાટીની ઉત્સર્જકતા $(e)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
કાળી સપાટીઓની ઉત્સર્જકતા સૌથી વધુ ($1$ ની નજીક) હોય છે,ત્યારબાદ લાલ જેવા ઘેરા રંગો આવે છે,જ્યારે સફેદ અથવા પોલિશ કરેલી સપાટીઓની ઉત્સર્જકતા સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,ઠંડા થવાના દરનો મહત્તમથી ન્યૂનતમ ક્રમ આ મુજબ છે: કાળો > લાલ > સફેદ.

(A) કૃષ્ણ પદાર્થ એ એક આદર્શ પદાર્થ છે જે તમામ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ અને ઉત્સર્જન કરે છે. પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઈ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
$1$. બધી તરંગલંબાઈઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોતી નથી; તે એક ચોક્કસ વિતરણ વક્ર (પ્લાન્કનો વક્ર) ને અનુસરે છે જે તાપમાનના આધારે ચોક્કસ તરંગલંબાઈ પર મહત્તમ હોય છે.
$2$. તેથી,'બધી તરંગલંબાઈઓ માટે,તીવ્રતા સમાન હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.
$3$. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મહત્તમ તીવ્રતા ટૂંકી તરંગલંબાઈ તરફ ખસે છે,પરંતુ તીવ્રતા સમગ્ર વર્ણપટમાં સતત બદલાતી રહે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થ માટે,શોષણ $(a)$,પરાવર્તન $(r)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,એટલે કે $a + r + t = 1$.
અપારદર્શક પદાર્થ એટલે એવો પદાર્થ જેમાંથી કોઈ પણ વિકિરણ પસાર થઈ શકતું નથી.
તેથી,અપારદર્શક પદાર્થ માટે પ્રસરણ સહગુણક $t = 0$ થાય છે.
સમીકરણ $a + r + t = 1$ માં $t = 0$ મૂકતા,આપણને $a + r = 1$ મળે છે.
આમ,અપારદર્શક પદાર્થ માટે $t = 0$ અને $a + r = 1$ થાય છે.

(D) કૃષ્ણ પદાર્થ એ એક આદર્શ ભૌતિક પદાર્થ છે જે તમામ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ કરે છે.
પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ અનુસાર,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે.
ઉત્સર્જન વર્ણપટ સતત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે તમામ તરંગલંબાઇઓ પર વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જો કે,તીવ્રતા તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે અચળ હોતી નથી; તે એક ચોક્કસ વિતરણ વક્ર (પ્લાન્કનું વિતરણ) ને અનુસરે છે જે પદાર્થના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,એવું વિધાન કે તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોય છે,તે ખોટું છે.

(A) કૃષ્ણ પદાર્થ એક આદર્શ પદાર્થ છે જે તમામ આવૃત્તિઓના વિકિરણનું ઉત્સર્જન અને શોષણ કરે છે. પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થ વિકિરણના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઇ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તીવ્રતાનું વિતરણ બધી તરંગલંબાઇઓ માટે સમાન હોતું નથી; તે એક ચોક્કસ વક્ર (પ્લાન્કનો વક્ર) ને અનુસરે છે જ્યાં તીવ્રતા તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે. તેથી,'બધી તરંગલંબાઇઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) પ્રસરણનો ગુણાંક $(T)$ એ પદાર્થમાંથી પસાર થતી વિકિરણ ઉર્જા અને તેના પર આપાત થતી કુલ વિકિરણ ઉર્જાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અથર્મનસ પદાર્થ એવો પદાર્થ છે જે ઉષ્મીય વિકિરણને પોતાની આરપાર પસાર થવા દેતો નથી.
અથર્મનસ પદાર્થમાંથી કોઈ પણ વિકિરણ ઉર્જા પસાર થતી ન હોવાથી,પ્રસારિત ઉર્જા $0$ થાય છે.
તેથી,પ્રસરણનો ગુણાંક $T = 0$ થાય છે.

(D) દરેક પદાર્થ દરેક સમયે અને દરેક તાપમાને વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
માનવ શરીર માટે,જેનું સામાન્ય તાપમાન આશરે $37^{\circ}C$ $(310 \ K)$ હોય છે,ઉત્સર્જિત વિકિરણની મહત્તમ તરંગલંબાઇ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.
તેથી,માનવ શરીર દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં હોય છે.

(A) અપારદર્શક પદાર્થ કોઈપણ વિકિરણનું પ્રસરણ કરતું નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રસરણનો ગુણાંક $(t)$ એ પ્રસારિત ઉર્જા અને આપાત ઉર્જાનો ગુણોત્તર છે.
અપારદર્શક પદાર્થમાંથી કોઈ વિકિરણ પસાર થતું ન હોવાથી,પ્રસારિત ઉર્જા $0$ છે.
તેથી,અપારદર્શક પદાર્થ માટે પ્રસરણનો ગુણાંક $0$ છે.

(B) જ્યારે ઉષ્મીય વિકિરણ $(Q)$ કોઈ પદાર્થ પર પડે છે,ત્યારે તે આંશિક રીતે પરાવર્તિત $(Q_{r})$,આંશિક રીતે શોષાય $(Q_{a})$ અને આંશિક રીતે પારગમિત $(Q_{t})$ થાય છે.
કુલ આપાત ઉર્જા $Q = Q_{a} + Q_{r} + Q_{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $a + r + t = 1$,જ્યાં $a$ એ શોષણનો ગુણાંક છે,$r$ એ પરાવર્તનનો ગુણાંક છે,અને $t$ એ પારગમનનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે: $Q = 150 \,J$,$Q_{r} = 15 \,J$,અને $a = 0.6$.
પરાવર્તનનો ગુણાંક $r = \frac{Q_{r}}{Q} = \frac{15}{150} = 0.1$.
સંબંધ $a + r + t = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.6 + 0.1 + t = 1$
$0.7 + t = 1$
$t = 0.3$.
પારગમિત ઉર્જા $Q_{t} = t \times Q = 0.3 \times 150 \,J = 45 \,J$.

(C) ખુલ્લી બારી એક સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ (perfectly black body) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેમાં પ્રવેશતું કોઈપણ વિકિરણ રૂમની અંદર શોષાઈ જાય છે અને બહાર નીકળતું નથી.
સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,શોષણ ગુણાંક $1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) પૃથ્વીનું વાતાવરણ એક ધાબળા તરીકે કામ કરે છે જે ગ્રીનહાઉસ અસરને કારણે ગરમીને જાળવી રાખે છે,જે મુખ્યત્વે $CO_2$ અને પાણીની વરાળ જેવા વાયુઓને આભારી છે.
જો વાતાવરણ ન હોય,તો દિવસ દરમિયાન સૂર્ય પાસેથી મળેલી ગરમી રાત્રે અવકાશમાં પાછી ફેંકાઈ જાય અને તે જળવાઈ રહે નહીં.
પરિણામે,પૃથ્વીનું સરેરાશ સપાટીનું તાપમાન અત્યારના તાપમાન કરતા ઘણું ઓછું હોત.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઉષ્મીય વિકિરણ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે પ્રકાશની જેમ જ વર્તે છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે માધ્યમના વક્રીભવનાંકમાં ફેરફારને કારણે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
જોકે,વિકિરણની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોતનો ગુણધર્મ છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહીને અચળ રહે છે.
તેથી,આવૃત્તિ બદલાય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(D) આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ (perfect black body) એ એક એવો આદર્શ પદાર્થ છે જે તેના પર આપાત થતા તમામ વિકિરણોનું શોષણ કરે છે,પછી ભલે તે કોઈ પણ આવૃત્તિ કે આપાતકોણ હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,શોષણ ગુણાંક $\alpha$ એ પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા અને પદાર્થ પર આપાત થતી કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર છે.
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરતું હોવાથી,શોષાયેલી ઉર્જા એ કુલ આપાત ઉર્જા જેટલી જ હોય છે.
તેથી,શોષણ ગુણાંક $\alpha = 1$ થાય છે.

(A) એક આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ તેના પર આપાત થતા $100 \%$ વિકિરણનું શોષણ કરે છે. તેથી,શોષણ ગુણાંક $(a_r)$ ને શોષાયેલા વિકિરણના જથ્થા $(Q_a)$ અને આપાત વિકિરણના જથ્થા $(Q_i)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $Q_a = Q_i$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a_r = \frac{Q_a}{Q_i} = \frac{Q_a}{Q_a} = 1$.

(D) થર્મોપાઈલ એ એક ઉપકરણ છે જે ઉષ્મીય ઊર્જાને વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે. તે થર્મોઇલેક્ટ્રિક અસર (સીબેક અસર) પર આધારિત છે,જ્યાં બે ભિન્ન ધાતુઓ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને કારણે વોલ્ટેજ ઉત્પન્ન થાય છે. તે ગરમી પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોવાથી,તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ઇન્ફ્રારેડ કિરણોત્સર્ગને શોધવા માટે થાય છે.

(D) ઉષ્મા વિકિરણ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં ઉષ્માના સ્થાનાંતરની પ્રક્રિયા છે.
આ તરંગો પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે અને તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.

(D) $T$ તાપમાને બ્લેકબોડી રેડિયેશનની ઉર્જા ઘનતા $u = aT^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ રેડિયેશન અચળાંક છે.
$V$ કદના પાત્રમાં કુલ ઉર્જા $E = uV = aVT^4$ છે.
તાપમાન $T_1$ થી $T_2$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta E = aV(T_2^4 - T_1^4)$ છે.
પ્રશ્નમાં પાત્રનું કદ $V$ આપેલું ન હોવાથી,જરૂરી ઉષ્માનું ચોક્કસ મૂલ્ય ગણવું અશક્ય છે.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(A) તાપમાન $T$ પર પોલાણમાં રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણની ઊર્જા ઘનતા $u$ એ $u = aT^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વિકિરણ અચળાંક છે.
બોક્સમાં સમાયેલી કુલ ઊર્જા $E$ એ ઊર્જા ઘનતા $u$ અને બોક્સના કદ $V$ નો ગુણાકાર છે.
$E = u \times V = aT^4 \times V$.
શરૂઆતમાં,બાજુની લંબાઈ $L$ છે,તેથી કદ $V_1 = L^3$. ઊર્જા $E_1 = aT^4 L^3$ છે.
અંતે,બાજુની લંબાઈ બમણી થાય છે,તેથી $L' = 2L$,અને નવું કદ $V_2 = (2L)^3 = 8L^3$.
તાપમાન અડધું થાય છે,તેથી $T' = T/2$.
નવી કુલ ઊર્જા $E_2 = a(T')^4 V_2 = a(T/2)^4 (8L^3)$.
$E_2 = a(T^4 / 16) (8L^3) = (8/16) aT^4 L^3 = (1/2) aT^4 L^3$.
$E_2 = E_1 / 2$.
તેથી,કુલ ઊર્જા અડધી થાય છે.