ધારો કે $P(n)$ એક વિધાન છે અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $P(n) \implies P(n + 1)$ છે,તો $P(n)$ ક્યારે સત્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $n(n^{2}+5)$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

બધા $n \ge 1$ માટે,સાબિત કરો કે $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે:
$2n < (n+2)!$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે.

વિધાન $P(n): n^2 - n + 37$ અવિભાજ્ય છે,તેમ ધ્યાનમાં લો. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?