ધારો કે $P(n) : 3^n < n!$ એ $n \in N$ માટે $n \geq \lambda$ માટે સત્ય છે. $\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે :
$1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે.

સાબિત કરો કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ દરેક $n \in N$ માટે.

જો $P(n): 2^{n} < n!$ હોય,તો $n$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત કઈ છે જેના માટે $P(n)$ સત્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ તમામ $n \in N$ માટે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિત કરો:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$