સાબિત કરો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $(1 + x)^n \ge (1 + nx),$ જ્યાં $x > -1.$

(N/A) ધારો કે $P(n)$ એ આપેલ વિધાન છે,એટલે કે $P(n): (1 + x)^n \ge (1 + nx)$ જ્યાં $x > -1.$
આપણે નોંધીએ છીએ કે જ્યારે $n = 1$ હોય ત્યારે $P(n)$ સત્ય છે,કારણ કે $x > -1$ માટે $(1 + x) \ge (1 + x).$
ધારો કે $P(k): (1 + x)^k \ge (1 + kx)$ જ્યાં $x > -1$ સત્ય છે. $(1)$
આપણે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $x > -1$ માટે $P(k + 1)$ સત્ય છે. $(2)$
નિત્યસમ $(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k(1 + x)$ ધ્યાનમાં લો.
આપેલ છે કે $x > -1,$ તેથી $(1 + x) > 0.$
તેથી,$(1 + x)^k \ge (1 + kx)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + kx)(1 + x).$
એટલે કે,$(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x + kx + kx^2).$ $(3)$
અહીં $k$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $x^2 \ge 0,$ તેથી $kx^2 \ge 0.$ તેથી,$(1 + x + kx + kx^2) \ge (1 + x + kx).$
અને તેથી આપણને મળે છે $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + (1 + k)x).$
આમ,$(2)$ માંનું વિધાન સાબિત થાય છે. તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે સત્ય છે.