ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે નીચેની અસમતા સાચી છે:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): (2n + 7) < (n + 3)^{2}$
પગલું $1$: $n = 1$ માટે ચકાસો.
$2(1) + 7 = 9$ અને $(1 + 3)^{2} = 16$.
$9 < 16$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$(2k + 7) < (k + 3)^{2}$ ..........$(i)$
પગલું $3$: હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
$n = k + 1$ માટે પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$2(k + 1) + 7 = (2k + 7) + 2$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(k + 1) + 7 < (k + 3)^{2} + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 9 + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 11$
તમામ $k \in N$ માટે $k^{2} + 6k + 11 < k^{2} + 8k + 16$ હોવાથી (કારણ કે $k \geq 1$ માટે $2k + 5 > 0$),
$2(k + 1) + 7 < (k + 4)^{2}$
$2(k + 1) + 7 < \{(k + 1) + 3\}^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.