દરેક $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $a_{1}=3$ અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $k > 1$ માટે $a_{k}=7 a_{k-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ માટે,તમામ $n \in N$ માટે સામાન્ય પદ $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$x^{n}-y^{n}$ એ $x-y$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ $x \neq y$ હોય તેવા કોઈપણ પૂર્ણાંકો છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે નીચેની અસમતા સાચી છે:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$

ધારો કે $P(n) : 3^n < n!$ એ $n \in N$ માટે $n \geq \lambda$ માટે સત્ય છે. $\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.