Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(A) ऊर्जा का क्रम निर्धारित करने के लिए,हम $(n+l)$ नियम का उपयोग करते हैं:
$A. n=4, l=1 \implies n+l = 4+1 = 5$ ($4p$ कक्षक)
$B. n=4, l=0 \implies n+l = 4+0 = 4$ ($4s$ कक्षक)
$C. n=3, l=2 \implies n+l = 3+2 = 5$ ($3d$ कक्षक)
$D. n=3, l=1 \implies n+l = 3+1 = 4$ ($3p$ कक्षक)
$(n+l)$ नियम के अनुसार,कम $(n+l)$ मान वाले कक्षकों की ऊर्जा कम होती है।
यदि $(n+l)$ मान समान हैं,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
मानों की तुलना करने पर:
$D (n+l=4, n=3) < B (n+l=4, n=4) < C (n+l=5, n=3) < A (n+l=5, n=4)$
अतः,बढ़ती ऊर्जा का क्रम $D < B < C < A$ है।

(A) रुबिडियम $(Z=37)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^6 5s^1$ है।
संयोजी इलेक्ट्रॉन $5s$ कक्षक में उपस्थित है।
$5s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=5$ है।
चूंकि यह $s$-कक्षक है,इसलिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=0$ है।
$l=0$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m=0$ है।
स्पिन क्वांटम संख्या $s$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है। अतः,सही सेट $(5, 0, 0, +1/2)$ है।

(B) $Al$ $(Z = 13)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^1$ है।
अंतिम इलेक्ट्रॉन $3p$ कक्षक (orbital) में प्रवेश करता है।
$3p$ कक्षक के लिए,क्वांटम संख्याएँ हैं:
मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ = $3$ है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ = $1$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m)$ = $-1, 0, +1$ हो सकती है।
चक्रण क्वांटम संख्या $(s)$ = $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकती है।
विकल्प $B$ $3s$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन के लिए क्वांटम संख्याओं को दर्शाता है $(n=3, l=0, m=0, s=+\frac{1}{2})$,जो $Al$ का अंतिम इलेक्ट्रॉन नहीं है। इसलिए,यह सेट अंतिम इलेक्ट्रॉन के लिए संभव नहीं है।

(D) पैलेडियम $(Pd)$ का परमाणु क्रमांक $46$ है।
इसकी मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Kr] 4d^{10} 5s^0$ है।
$l = 2$ का मान $d$-उपकोश (subshell) को दर्शाता है।
$4d^{10}$ विन्यास में,$d$-उपकोश में $10$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
अतः,$l = 2$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $10$ है।

(C) दिया गया कोणीय तरंग फलन $\psi_{(\theta, \phi)} = \left( \frac{15}{4\pi} \right)^{1/2} \sin \theta \cos \theta \sin \phi$ है।
यह $d_{yz}$ ऑर्बिटल को दर्शाता है।
गोलीय निर्देशांक में,$y = r \sin \theta \sin \phi$ और $z = r \cos \theta$ होता है।
गुणनफल $yz$,$\sin \theta \sin \phi \cos \theta$ के समानुपाती है,जो दिए गए कोणीय भाग से मेल खाता है।
$d_{yz}$ ऑर्बिटल के लिए नोडल तल $XY$ तल $(z=0)$ और $XZ$ तल $(y=0)$ हैं,जहाँ इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $Cu$ $(Z=29)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \ 2s^2 \ 2p^6 \ 3s^2 \ 3p^6 \ 4s^1 \ 3d^{10}$ है।
$s$-कक्षक $(l=0)$ के लिए,$m_l$ हमेशा $0$ होता है। $1s$ में $2$,$2s$ में $2$,$3s$ में $2$ और $4s$ में $1$ इलेक्ट्रॉन है।
$p$-कक्षक $(l=1)$ के लिए,$m_l$ के मान $-1, 0, +1$ होते हैं। प्रत्येक $p$-उपकोश में $6$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,इसलिए प्रत्येक ($2p$ और $3p$) में $2$ इलेक्ट्रॉन $m_l=0$ रखते हैं।
$d$-कक्षक $(l=2)$ के लिए,$m_l$ के मान $-2, -1, 0, +1, +2$ होते हैं। पूर्ण भरे हुए $3d^{10}$ उपकोश में $2$ इलेक्ट्रॉन $m_l=0$ रखते हैं।
$m_l = 0$ वाले कुल इलेक्ट्रॉन: $2 (1s) + 2 (2s) + 2 (2p) + 2 (3s) + 2 (3p) + 1 (4s) + 2 (3d) = 13$.

(D) एक कक्षक में त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$2s$ कक्षक $(n=2, l=0)$ के लिए,त्रिज्यीय नोड्स $= 2 - 0 - 1 = 1$। आलेख में $1$ नोड होना चाहिए।
$2p$ कक्षक $(n=2, l=1)$ के लिए,त्रिज्यीय नोड्स $= 2 - 1 - 1 = 0$। आलेख में $0$ नोड होना चाहिए।
$3s$ कक्षक $(n=3, l=0)$ के लिए,त्रिज्यीय नोड्स $= 3 - 0 - 1 = 2$। आलेख में $2$ नोड होना चाहिए।
$3p$ कक्षक $(n=3, l=1)$ के लिए,त्रिज्यीय नोड्स $= 3 - 1 - 1 = 1$। आलेख में $1$ नोड होना चाहिए।
दिए गए आलेखों को देखने पर,सभी लेबल सही प्रतीत होते हैं।

(A) $Cr$ $(Z = 24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
इस विन्यास में,इलेक्ट्रॉन $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d,$ और $4s$ कक्षकों में मौजूद होते हैं।
विकल्प $A$ में $n = 4, l = 1$ दिया गया है,जो $4p$ कक्षक को दर्शाता है।
चूंकि क्रोमियम परमाणु की मूल अवस्था में $4p$ कक्षक में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं होता है,इसलिए क्वांटम संख्याओं का यह सेट $Cr$ के किसी भी इलेक्ट्रॉन से संबंधित नहीं है।

(B) $3^{rd}$ मुख्य ऊर्जा स्तर $(n=3)$ में $3s$,$3p$ और $3d$ उपकोष होते हैं। इस स्तर के पूरी तरह से भरने के लिए इसमें $2 + 6 + 10 = 18$ इलेक्ट्रॉन होने चाहिए।
$Ar$ $(Z=18)$ का विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$ है। यहाँ $3d$ उपकोष खाली है।
$Zn$ $(Z=30)$ का विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^2$ है। $3^{rd}$ स्तर $(3s^2 3p^6 3d^{10})$ में $18$ इलेक्ट्रॉन हैं और यह पूरी तरह से भरा हुआ है।
$Cu$ $(Z=29)$ का विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है। $3^{rd}$ स्तर पूरी तरह से भरा हुआ है।
अतः,$Cu$ और $Zn$ दोनों में $3^{rd}$ मुख्य ऊर्जा स्तर पूरी तरह से भरा हुआ है।

(C) किसी भी कक्षक के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ को शर्त $-l \leqslant m \leqslant +l$ को पूरा करना चाहिए।
विकल्प $C$ में,$l=2$ है,इसलिए $m$ के संभावित मान $-2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
$l=2$ के लिए $m=-3$ मान संभव नहीं है।
इसलिए,$n=3, l=2, m=-3, s=1/2$ की व्यवस्था असंभव है।

(D) $p$-कक्षकों के लिए कोणीय तरंग फलन इस प्रकार है:
$p_z$ कक्षक के लिए $A(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{3}{\pi}} \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta$ है।
चूंकि कोणीय भाग केवल $\theta$ पर निर्भर करता है और इसमें $\cos \theta$ शामिल है,यह $p_z$ कक्षक के अनुरूप है,जो $Z$-अक्ष के अनुदिश स्थित है।
$p_z$ कक्षक के लिए,नोडल तल $XY$ तल है,जहाँ $\theta = 90^{\circ}$ और $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है।

(C) रेडियल नोड की संख्या का सूत्र: $n - \ell - 1 = 1$ है।
$n = 3$ दिया गया है,अतः: $3 - \ell - 1 = 1$।
$\ell$ के लिए हल करने पर: $2 - \ell = 1$,जिससे $\ell = 1$ प्राप्त होता है।
कक्षक कोणीय संवेग का सूत्र: $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2\pi}$ है।
$\ell = 1$ रखने पर: $\sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2\pi}$।

(A) $1$. $4d$ कक्षक के लिए,गोलीय (त्रिज्यीय) नोड्स की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यहाँ,$n = 4$ और $l = 2$ है। अतः,$4 - 2 - 1 = 1$। $3$ होने का कथन $FALSE$ है।
$2$. $p_y$ कक्षक के लिए,$xz$ तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है,इसलिए यह एक कोणीय नोड के रूप में कार्य करता है। यह $TRUE$ है।
$3$. $s$ कक्षकों के लिए,प्रायिकता घनत्व $\psi^2$ नाभिक $(r = 0)$ पर अधिकतम होता है। यह $TRUE$ है।
$4$. $p_z$ के लिए कोणीय तरंग फलन $\cos \theta$ के समानुपाती होता है,जहाँ $\theta$,$z$-अक्ष से कोण है। यह $TRUE$ है।

(A) हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,सबसे स्थिर विन्यास (न्यूनतम ऊर्जा) वह होता है जिसमें समानांतर चक्रण वाले अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या अधिकतम होती है।
दिए गए विकल्पों में,तीन अलग-अलग कक्षकों में तीन इलेक्ट्रॉनों वाला विन्यास (जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है) अर्ध-पूर्ण अवस्था को दर्शाता है,जो अधिक स्थिर है और इसकी ऊर्जा कम होती है,क्योंकि इलेक्ट्रॉनों को एक ही कक्षक में युग्मित करने के लिए अंतर-इलेक्ट्रॉनिक प्रतिकर्षण को दूर करना पड़ता है।

(B) दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कक्षक की आकृति और उपकोश को निर्धारित करती है।
$l$ के मान उपकोशों के लिए इस प्रकार हैं:
$l = 0$ ($s$-उपकोश के लिए)
$l = 1$ ($p$-उपकोश के लिए)
$l = 2$ ($d$-उपकोश के लिए)
$l = 3$ ($f$-उपकोश के लिए)
$l = 4$ ($g$-उपकोश के लिए)
अतः,$g$-उपकोश के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या का मान $4$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों (एक इलेक्ट्रॉन वाली प्रणाली) के लिए,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती है।
कक्षक की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
दिए गए प्रश्न में,$3s$,$3p$,और $3d$ उप-कोश सभी एक ही मुख्य कोश $(n=3)$ से संबंधित हैं।
चूंकि उनका $n$ मान समान है,इसलिए वे समभ्रंश (degenerate) हैं,अर्थात उनकी ऊर्जा समान है।
इसलिए,इन उप-कोशों से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा समान है।
$E_1 = E_2 = E_3$
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) किसी भी कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ से अधिक होना चाहिए। $g$ कक्षकों के लिए $l = 4$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $n = l + 1 = 4 + 1 = 5$ होगा।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है। $l = 4$ के लिए,$m_l$ के मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4\}$ हैं।
उपकोश में कक्षकों की संख्या $2l + 1$ द्वारा दी जाती है। $l = 4$ के लिए,$2(4) + 1 = 9$ कक्षक होते हैं।
प्रत्येक कक्षक अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रख सकता है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $9 \times 2 = 18$ होगी।

(C) कक्षक की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$(i)$ के लिए: $n = 4, l = 0 \implies n + l = 4 + 0 = 4 \ (4s \text{ कक्षक})$.
$(ii)$ के लिए: $n = 3, l = 1 \implies n + l = 3 + 1 = 4 \ (3p \text{ कक्षक})$.
$(iii)$ के लिए: $n = 3, l = 2 \implies n + l = 3 + 2 = 5 \ (3d \text{ कक्षक})$.
$(iv)$ के लिए: $n = 3, l = 0 \implies n + l = 3 + 0 = 3 \ (3s \text{ कक्षक})$.
$(n + l)$ नियम के अनुसार,यदि $(n + l)$ का मान अलग-अलग है,तो उच्च $(n + l)$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा अधिक होती है।
यदि $(n + l)$ का मान समान है,तो उच्च $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा अधिक होती है।
मानों की तुलना करने पर: $(iii) \ (5) > (i) \ (4, n=4) > (ii) \ (4, n=3) > (iv) \ (3)$.
अतः,ऊर्जा का घटता क्रम $(iii) > (i) > (ii) > (iv)$ है।

(B) $p$ कक्षक डंबेल के आकार का होता है।
$p$ कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्वांटम संख्या के तीन मानों में से कोई भी एक मान रख सकते हैं: $0, +1$,या $-1$।

(A) $s$-कक्षक का आकार गोलाकार होता है,जिसका अर्थ है कि नाभिक के चारों ओर सभी दिशाओं में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता समान होती है। इसलिए,$s$-कक्षक को अदिश माना जाता है। इसके विपरीत,$p$,$d$,और $f$ कक्षकों का अंतरिक्ष में विशिष्ट दिशात्मक अभिविन्यास होता है।

(A) जिन कक्षकों की ऊर्जा समान होती है लेकिन उनका अभिविन्यास (orientation) भिन्न होता है,उन्हें अपभ्रष्ट (degenerate) कक्षक कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,$3d$-कक्षकों के लिए $l = 2$ होता है,जिससे $m = -2, -1, 0, +1, +2$ मान प्राप्त होते हैं।
इसका अर्थ है कि $d_{xy}, d_{yz}, d_{zx}, d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$ द्वारा दर्शाए गए पाँच अलग-अलग अभिविन्यास हैं,जो सभी समान ऊर्जा रखते हैं।

(C) मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ यह दर्शाती है कि यह $4^{th}$ कोश है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ का अर्थ $f$ उपकोश है ($l=0$ का अर्थ $s$,$l=1$ का अर्थ $p$,$l=2$ का अर्थ $d$,$l=3$ का अर्थ $f$)।
अतः,इलेक्ट्रॉन $4f$ उपकोश में स्थित है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. $n$ (मुख्य क्वांटम संख्या) कोई भी धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ हो सकती है।
$2$. $l$ (दिगंशीय क्वांटम संख्या) $0$ से $n-1$ तक हो सकती है।
$3$. $m$ (चुंबकीय क्वांटम संख्या) $-l$ से $+l$ तक हो सकती है।
$4$. $s$ (चक्रण क्वांटम संख्या) $+1/2$ या $-1/2$ हो सकती है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $B$ में,$n=3, l=2$ के लिए $m$ का मान $-2$ से $+2$ के बीच होना चाहिए। यहाँ $m = -3$ है,जो संभव नहीं है।

(C) किसी भी मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
विकल्प $A$ में,$n=2$ है,इसलिए $l$ का मान $0$ या $1$ हो सकता है। यहाँ $l=0$ है,जो सही है।
विकल्प $B$ में,$n=4$ है,इसलिए $l$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है। यहाँ $l=3$ है,जो सही है।
विकल्प $C$ में,$n=2$ है,इसलिए $l$ का मान केवल $0$ या $1$ हो सकता है। $n=2$ के लिए $l=2$ संभव नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया क्वांटम संख्याओं का सेट गलत है।

(A) क्वांटम संख्याओं के एक मान्य सेट के लिए,निम्नलिखित नियमों का पालन होना चाहिए:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ है।
$2$. $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$3$. $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
$4$. $s$ का मान केवल $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
विकल्प $A$: $n=5, l=2, m=+2, s=-1/2$. यहाँ $l < n$ $(2 < 5)$ और $|m| \le l$ $(2 \le 2)$ है। यह एक मान्य सेट है।
विकल्प $B$: $n=5, l=5$. यह अमान्य है क्योंकि $l$ का मान $n$ से कम होना चाहिए।
विकल्प $C$: $s=0$. यह अमान्य है क्योंकि $s$ का मान $\pm 1/2$ होना चाहिए।
विकल्प $D$: $m=+3, l=2$. यह अमान्य है क्योंकि $|m|$ का मान $l$ से अधिक नहीं हो सकता $(3 > 2)$।

(A) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ किसी दिए गए ऊर्जा स्तर में मौजूद उपकोशों की संख्या निर्धारित करती है।
किसी भी मुख्य क्वांटम स्तर $n$ के लिए,उपकोशों की संख्या $n$ के बराबर होती है।
उदाहरण के लिए,यदि $n = 1$ है,तो $1$ उपकोश $(1s)$ होता है।
यदि $n = 2$ है,तो $2$ उपकोश ($2s$ और $2p$) होते हैं।
इसलिए,$n^{th}$ क्वांटम स्तर में उपकोशों की संख्या $n$ है।

(D) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले ऊर्जा स्तर में कक्षकों की संख्या $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ के लिए,कक्षकों की संख्या $3^2 = 9$ है।
ये $9$ कक्षक $3s$ उपकोष में $1$ कक्षक,$3p$ उपकोष में $3$ कक्षक और $3d$ उपकोष में $5$ कक्षकों से मिलकर बने हैं $(1 + 3 + 5 = 9)$।

(C) दी गई मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,उपकोशों की संख्या $n$ के बराबर होती है। इसलिए,$n = 3$ के लिए,उपकोशों की संख्या $3$ है (जो $3s, 3p, 3d$ हैं)।
एक कोश में कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है। इसलिए,$n = 3$ के लिए,कक्षकों की संख्या $3^2 = 9$ है।

(B) दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ उपकोश के प्रकार को निर्धारित करती है:
$l = 0$ का अर्थ $s$-कक्षक है,
$l = 1$ का अर्थ $p$-कक्षक है,
$l = 2$ का अर्थ $d$-कक्षक है,
$l = 3$ का अर्थ $f$-कक्षक है।
यहाँ $l = 2$ दिया गया है,इसलिए कक्षक का प्रकार $d$ है।
उपकोश में कक्षकों की संख्या का सूत्र $(2l + 1)$ है।
$l = 2$ के लिए,कक्षकों की संख्या $= 2(2) + 1 = 5$ है।
अतः,$l = 2$ के लिए $5$ कक्षकें $d$ प्रकार की होती हैं।

(C) $d_{xy}$ कक्षक में चार पालियाँ (lobes) होती हैं जो $xy-$ तल में स्थित होती हैं।
ये पालियाँ $x$ और $y$ अक्षों के बीच स्थित होती हैं।
$d_{xy}$ कक्षक के लिए अधिकतम इलेक्ट्रॉन घनत्व (प्रायिकता) $x$ और $y$ दोनों अक्षों से $45^o$ के कोण पर स्थित होता है,जो अक्षों के समद्विभाजक के अनुरूप है।

(D) इलेक्ट्रॉन स्पिन क्वांटम संख्या $(m_s)$ एक इलेक्ट्रॉन के आंतरिक कोणीय संवेग का वर्णन करती है।
हालाँकि इसे अक्सर इलेक्ट्रॉन के अपनी धुरी पर घूमने के रूप में देखा जाता है,लेकिन यह एक सरलीकृत मॉडल है।
क्वांटम यांत्रिकी में,$+1/2$ और $-1/2$ मान दो अलग-अलग क्वांटम यांत्रिक स्पिन अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनका कोई सीधा शास्त्रीय (classical) अनुरूप नहीं है।

(D) $n$ के किसी दिए गए मान के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $(n-1)$ तक हो सकता है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है।
यहाँ $m = -3$ दिया गया है,इसलिए $l$ का न्यूनतम मान $3$ होना चाहिए (क्योंकि $|m| \leq l$)।
यदि $l = 3$ है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कम से कम $n = l + 1 = 3 + 1 = 4$ होनी चाहिए।
अतः,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $4$ या उससे अधिक हो सकता है। दिए गए विकल्पों में से $4$ सही उत्तर है।

(A) किसी दिए गए दिगंशीय (एज़िमुथल) क्वांटम संख्या $l$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है।
$s$ कक्षक के लिए,$l = 0$,इसलिए $m$ केवल $0$ हो सकता है।
$p$ कक्षक के लिए,$l = 1$,इसलिए $m$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
$d$ कक्षक के लिए,$l = 2$,इसलिए $m$ का मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हो सकता है।
$f$ कक्षक के लिए,$l = 3$,इसलिए $m$ का मान $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ हो सकता है।
चूंकि दिया गया चुंबकीय क्वांटम संख्या $m = -1$ है,इसलिए इलेक्ट्रॉन $s$ कक्षक में नहीं हो सकता है क्योंकि $l = 0$ के लिए $m$ का मान केवल $0$ ही संभव है।

(D) किसी दिए गए कक्षक के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ पर निर्भर करती है,जहाँ $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है।
दिए गए $m_l = 2$ के लिए,$l$ के संभावित मानों को $l \ge |m_l|$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
इसलिए,$l$ का मान कम से कम $2$ होना चाहिए (अर्थात $n = 4$ के लिए $l = 2$ या $l = 3$)।
विकल्प $D$ कहता है कि $l = 0, 1, 2 \text{ या } 3$ हो सकता है,जो गलत है क्योंकि जब $m_l = 2$ हो तो $l$ का मान $0$ या $1$ नहीं हो सकता है।

(D) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ हो सकती है।
$2$. दिए गए $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ का मान $0$ से $(n-1)$ तक हो सकता है।
$3$. दिए गए $l$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m)$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $A$: $n=1$ के लिए,$l=0$ हो सकता है। $l=0$ के लिए,$m=0$ हो सकता है। यह सेट सही है।
- विकल्प $B$: $n=2$ के लिए,$l=0$ या $1$ हो सकता है। यदि $l=0$,तो $m=0$। यदि $l=1$,तो $m=-1, 0, +1$। यह सेट सही है।
- विकल्प $C$: $n=3$ के लिए,$l=0, 1, 2$ हो सकता है। यदि $l=0$,तो $m=0$। यदि $l=1$,तो $m=-1, 0, +1$। यदि $l=2$,तो $m=-2, -1, 0, +1, +2$। यह सेट सही है।
चूंकि सभी दिए गए सेट क्वांटम यांत्रिकी के नियमों का पालन करते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के चारों क्वांटम संख्याओं $(n, l, m_l, m_s)$ का मान समान नहीं हो सकता है।
विकल्प $A$ के अनुसार दो इलेक्ट्रॉनों के $n, l$ और $m$ के मान समान हो सकते हैं,जो संभव है यदि उनके चक्रण (spin) अलग हों।
विकल्प $B$ में $4d$ इलेक्ट्रॉन के लिए $n = 4$ और $l = 3$ दिया गया है। $d-$कक्षक के लिए $l = 2$ होना चाहिए,जबकि $l = 3$ का मान $f-$कक्षक के लिए होता है। अतः यह कथन असंभव है।

(B) $2s$-कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन का कक्षक कोणीय संवेग शून्य होता है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ वाले उपकोश के लिए,कक्षक कोणीय संवेग का व्यंजक है:
$L = \frac{h}{2\pi} \sqrt{l(l+1)}$
$2s$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 0$ है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$L = \frac{h}{2\pi} \sqrt{0(0+1)} = 0$

(B) कक्षीय कोणीय संवेग का सूत्र $\frac{h}{2 \pi} \sqrt{\ell(\ell+1)}$ है।
$s$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 0$ होती है।
सूत्र में $\ell = 0$ रखने पर: $\text{कोणीय संवेग} = \frac{h}{2 \pi} \sqrt{0(0+1)} = 0$.

(A) कक्षीय कोणीय संवेग $(L)$ का सूत्र $L = \sqrt{l(l+1)} \hbar$ होता है।
$d$ इलेक्ट्रॉन के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l) = 2$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$L = \sqrt{2(2+1)} \hbar = \sqrt{2 \times 3} \hbar = \sqrt{6} \hbar$.
अतः,$d$ इलेक्ट्रॉन के लिए कक्षीय कोणीय संवेग $\sqrt{6} \hbar$ है।

(D) परमाणु की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए $4$ क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है।
इस प्रकार,चारों क्वांटम संख्याएँ $n, l, m$ और $s$ आवश्यक हैं। यह पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार है,जिसके अनुसार एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है।

(D) मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ परमाणु में इलेक्ट्रॉन की मुख्य ऊर्जा स्तर या कोश को निर्धारित करती है।
यह मुख्य रूप से कक्षक के आकार और नाभिक से इलेक्ट्रॉन की औसत दूरी से संबंधित है।
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,कक्षक का आकार और ऊर्जा बढ़ती है।

(C) चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ कक्षकों के त्रिविम अभिविन्यास (orientation) से संबंधित है।
यह कक्षकों के पसंदीदा स्थानिक अभिविन्यास को निर्धारित करती है।
यह उपकोश में कक्षकों की संख्या बताती है।
यह चुंबकीय ($Zeeman$ प्रभाव) और विद्युत ($Stark$ प्रभाव) क्षेत्रों की उपस्थिति में स्पेक्ट्रमी रेखाओं के विपाटन (splitting) की व्याख्या करती है।

(C) मुख्य क्वांटम संख्या,जिसे $n$ द्वारा दर्शाया जाता है,उस मुख्य ऊर्जा स्तर या कोश को निर्धारित करती है जिसमें इलेक्ट्रॉन स्थित होता है।
यह कक्षक के आकार और नाभिक से इलेक्ट्रॉन की औसत दूरी के बारे में जानकारी प्रदान करती है।
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन औसतन नाभिक से दूर होता जाता है।

(D) परमाणु कक्षक परमाणु के नाभिक के चारों ओर का वह त्रिविमीय क्षेत्र है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता अधिकतम होती है।
बोर की कक्षाओं के विपरीत,जो वृत्ताकार पथ हैं,परमाणु कक्षक त्रिविमीय स्थान में इलेक्ट्रॉन के तरंग फलन (wave function) का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(D) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,कोई भी एकल कक्षक अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रख सकता है,और इन इलेक्ट्रॉनों का चक्रण विपरीत होना चाहिए।
इसलिए,कोई भी $p-$ कक्षक विपरीत चक्रण वाले $2$ इलेक्ट्रॉन रख सकता है।

(B) $p$-कक्षक डम्ब-बेल आकार का होता है।
$p$-कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्वांटम संख्या के तीन मानों में से कोई भी एक मान रख सकते हैं: $0, +1$,या $-1$।

(D) किसी भी उपकोश के लिए,कक्षकों की संख्या $(2l + 1)$ द्वारा दी जाती है।
$f-$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ होती है।
कक्षकों की संख्या $= 2(3) + 1 = 7$ है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉनों को समायोजित कर सकता है,इसलिए $f-$ उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $7 \times 2 = 14$ है।

(C) किसी भी मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
दिए गए $l$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
विकल्प $C$ में,$n=3$ और $l=2$ है। $m$ के लिए अनुमत मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।
चूंकि $m=-3$,$l=2$ के लिए अनुमत मानों की सीमा से बाहर है,इसलिए यह व्यवस्था असंभव है।

(D) किसी भी ऑर्बिटल के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ ऑर्बिटल प्रतीक के गुणांक द्वारा दी जाती है। $2p$ के लिए,$n = 2$ है।
एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l$ सबशेल के प्रकार को दर्शाती है। $s$-ऑर्बिटल के लिए $l = 0$,$p$-ऑर्बिटल के लिए $l = 1$,$d$-ऑर्बिटल के लिए $l = 2$ और $f$-ऑर्बिटल के लिए $l = 3$ होता है।
अतः,$2p$-ऑर्बिटल्स के लिए $n = 2$ और $l = 1$ है।

(D) $4d$ इलेक्ट्रॉन के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
$d$-ऑर्बिटल के लिए,अज़ीमुथल क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है,अर्थात $-2, -1, 0, +1, +2$।
स्पिन क्वांटम संख्या $s$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ $(n=4, l=2, m=1, s=-1/2)$ $4d$ इलेक्ट्रॉन के लिए सभी शर्तों को पूरा करता है।