Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(C) त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण वक्र में उच्चिष्ठों की संख्या $(n - l)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,उच्चिष्ठों की संख्या $= 3$,अतः $n - l = 3$ है।
साथ ही,कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ के बराबर होती है।
दिया गया है,कोणीय नोड की संख्या $= 3$,अतः $l = 3$ है।
प्रथम समीकरण में $l = 3$ रखने पर: $n - 3 = 3$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $l = 3$ का अर्थ $f$ कक्षक है,इसलिए कक्षक $6f$ है।

(C) कक्षक के लिए तरंग फलन $\psi$ का चिह्न इलेक्ट्रॉन तरंग के चरण (phase) को निर्धारित करता है।
$p$-कक्षक के लिए,नोडल तल की उपस्थिति के कारण दो पालियों में विपरीत चिह्न (एक धनात्मक,एक ऋणात्मक) होने चाहिए।
$d$-कक्षक के लिए,पालियाँ इस तरह व्यवस्थित होती हैं कि आसन्न पालियों में विपरीत चिह्न होते हैं।
$d_{x^2-y^2}$ कक्षक में,पालियाँ $x$ और $y$ अक्ष पर स्थित होती हैं। $d_{x^2-y^2}$ कक्षक का मानक निरूपण दर्शाता है कि $x$-अक्ष पर स्थित पालियों का एक चिह्न (जैसे,धनात्मक) और $y$-अक्ष पर स्थित पालियों का विपरीत चिह्न (जैसे,ऋणात्मक) होता है।
विकल्प $C$ में $d_{x^2-y^2}$ कक्षक की चारों पालियों को धनात्मक चिह्न के साथ दिखाया गया है,जो गलत है क्योंकि यह इस कक्षक के लिए तरंग फलन की समरूपता आवश्यकताओं का उल्लंघन करता है।

(A) एक कक्षक में त्रिज्यीय नोड्स (radial nodes) की संख्या $(n - l - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$1s$ कक्षक के लिए,$n=1$ और $l=0$,इसलिए त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $(1 - 0 - 1) = 0$ है।
$2s$ कक्षक के लिए,$n=2$ और $l=0$,इसलिए त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $(2 - 0 - 1) = 1$ है।
आलेख $(a)$ में कोई नोड नहीं है,जो $1s$ कक्षक के अनुरूप है।
आलेख $(b)$ में एक त्रिज्यीय नोड है,जो $2s$ कक्षक के अनुरूप है।
इसलिए,$'a'$ $1s$ के लिए है और $'b'$ $2s$ के लिए है।

(D) किसी कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या $(n - l - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$1s$ कक्षक के लिए: $n=1, l=0$,रेडियल नोड्स $= 1 - 0 - 1 = 0$.
$2p$ कक्षक के लिए: $n=2, l=1$,रेडियल नोड्स $= 2 - 1 - 1 = 0$.
$3d$ कक्षक के लिए: $n=3, l=2$,रेडियल नोड्स $= 3 - 2 - 1 = 0$.
दिया गया ग्राफ शून्य रेडियल नोड्स दर्शाता है क्योंकि $RDF$ वक्र केवल $r=0$ और $r=\infty$ पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
चूंकि $1s, 2p$ और $3d$ सभी कक्षकों में शून्य रेडियल नोड्स होते हैं,इसलिए ग्राफ इनमें से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है।
विकल्प $D$ के अनुसार,यह $2s$ (जिसमें $1$ रेडियल नोड होता है) से भिन्न है,जो कि एक सत्य कथन है।

(A) कथन $(i)$ सही है: चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ कक्षकों के त्रिविम अभिविन्यास के बारे में जानकारी देती है।
कथन $(ii)$ गलत है: इलेक्ट्रॉन चक्रण क्वांटम संख्या को '$m_s$' द्वारा दर्शाया जाता है और इसके मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ होते हैं।
कथन $(iii)$ सही है: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कक्षक के आकार और उसकी ऊर्जा को निर्धारित करती है।
अतः,कथन $(i)$ और $(iii)$ सही हैं।

(B) अधातुएँ अपना अष्टक पूर्ण करने के लिए इलेक्ट्रॉनों को साझा करके आसानी से द्विपरमाणुक अणु बनाती हैं।
तत्व $M$ $(1s^2, 2s^2\ 2p^5)$ के संयोजी कोश में सात इलेक्ट्रॉन हैं और इसे अपना अष्टक पूर्ण करने के लिए एक और इलेक्ट्रॉन की आवश्यकता है।
इसलिए,$M$ के दो परमाणु एक-एक इलेक्ट्रॉन साझा करके एक द्विपरमाणुक अणु $(M_2)$ बनाते हैं।

(C) तत्व $X$ की परमाणु संख्या $7$ है।
इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^3$ है,जिसका अर्थ है कि इसमें $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन हैं।
लुईस बिंदु संरचना के नियमों के अनुसार,संयोजी इलेक्ट्रॉनों को प्रतीक के चारों ओर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है।
$5$ संयोजी इलेक्ट्रॉनों के लिए,प्रतीक को $\cdot \dot{X}:$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) $(n+l)$ नियम के अनुसार,जैसे-जैसे $(n+l)$ का मान बढ़ता है,कक्षक की ऊर्जा बढ़ती है।
यदि $(n+l)$ का मान समान है,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
कक्षकों की तुलना करने पर:
$ns$: $(n+0) = n$
$np$: $(n+1)$
$(n-1)d$: $(n-1+2) = n+1$
$(n-2)f$: $(n-2+3) = n+1$
समान $(n+l)$ मान $(n+1)$ वाले कक्षकों में,ऊर्जा का बढ़ता क्रम $np < (n-1)d < (n-2)f$ है क्योंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ इस क्रम में बढ़ती है।
अतः,ऊर्जा का कुल क्रम $ns < np < (n-1)d < (n-2)f$ है।

(C) $d_{z^2}$ कक्षक पांच $d$-कक्षकों में अद्वितीय है क्योंकि इसका आकार अलग होता है। इसमें $z$-अक्ष के अनुदिश दो पालियाँ (lobes) और $xy$-तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक वलय (ring) होता है। इसे विकल्प $C$ में दिए गए चित्र द्वारा दर्शाया गया है।

(A) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग सूत्र $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$d$-कक्षक के लिए,एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l = 2$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2\pi}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी कक्षक के लिए,त्रिज्यीय प्रायिकता घनत्व $4\pi r^2 \Psi^2$ द्वारा दिया जाता है। $r^2 \Psi^2$ बनाम $r$ का आलेख त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण फलन को दर्शाता है।
$2s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 0$ है।
त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $n - l - 1 = 2 - 0 - 1 = 1$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
त्रिज्यीय नोड वह बिंदु है जहाँ प्रायिकता घनत्व शून्य होता है।
$2s$ कक्षक के लिए,त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण वक्र मूल बिंदु से शुरू होता है,एक उच्चिष्ठ तक बढ़ता है,त्रिज्यीय नोड $(r > 0)$ पर शून्य हो जाता है,और फिर अनंत की ओर बढ़ने से पहले दूसरे,छोटे उच्चिष्ठ तक बढ़ता है।
इस प्रकार,आलेख दो उच्चिष्ठ प्रदर्शित करता है।

(B) नोडल बिंदु (या रेडियल नोड) वहाँ होता है जहाँ रेडियल तरंग फलन $R_{n,l}(r)$ शून्य हो जाता है।
दिया गया तरंग फलन: $R_{2,0} = K(2 - r/a_0) \exp(-r/2a_0)$।
नोड के लिए,$R_{2,0} = 0$ होना चाहिए।
चूँकि $K \neq 0$ और $\exp(-r/2a_0) \neq 0$ किसी भी परिमित $r$ के लिए,इसलिए $(2 - r/a_0) = 0$ होगा।
$r$ के लिए हल करने पर: $2 = r/a_0$,जिससे $r = 2a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,नोडल बिंदु $r = 2a_0$ पर स्थित है।

(B) एक कक्षक में नोडल तलों की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
$p$-कक्षकों $(l=1)$ के लिए,$1$ नोडल तल होता है।
$d$-कक्षकों $(l=2)$ के लिए,$2$ नोडल तल होते हैं,सिवाय $d_{z^2}$ कक्षक के।
$d_{z^2}$ कक्षक में $0$ नोडल तल होते हैं लेकिन इसमें $2$ नोडल शंकु (nodal cones) होते हैं।
अतः,$d_{xy}$ और $d_{zx}$ के युग्म में $2$ नोडल तल होते हैं।

(D) किसी दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक होता है।
दिए गए $l$ वाले उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2(2l+1)$ होती है।
किसी ऊर्जा स्तर $n$ में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $l=0$ से $l=n-1$ तक के सभी उपकोशों के इलेक्ट्रॉनों का योग करते हैं।
अतः,व्यंजक $\sum_{l=0}^{n-1} 2(2l+1)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में नाभिक से इलेक्ट्रॉन की औसत दूरी का सूत्र: $\langle r \rangle = \frac{a_0 n^2}{Z} \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{l(l+1)}{n^2} \right) \right]$ है।
एक निश्चित कक्षा $n$ के लिए,औसत दूरी $\langle r \rangle$ दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे $l$ बढ़ता है,कोष्ठक में दिया गया पद घटता है।
इसलिए,स्थिर $n$ के लिए,औसत दूरी $\langle r \rangle$ उस कक्षक के लिए न्यूनतम होती है जिसका $l$ मान अधिकतम होता है।
$4^{th}$ कक्षा $(n=4)$ के लिए,$l$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं जो क्रमशः $4s, 4p, 4d, 4f$ कक्षकों को दर्शाते हैं।
चूंकि $4f$ कक्षक के लिए $l$ का मान अधिकतम $(l=3)$ है,इसलिए औसत दूरी $4f$ के लिए न्यूनतम है।

(D) $ns$ कक्षक के लिए,रेडियल नोड्स की संख्या $(n - l - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$2s$ कक्षक के लिए,$n = 2$ और $l = 0$,इसलिए रेडियल नोड्स $= 2 - 0 - 1 = 1$,जो शून्य से अधिक है। अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
किसी भी $s$ कक्षक के लिए,कोणीय संवेग क्वांटम संख्या $l = 0$ होती है,इसलिए कोणीय नोड्स की संख्या $l = 0$ है। अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$s$ कक्षक के लिए तरंग फलन $\Psi$ गोलाकार रूप से सममित होता है,जिसका अर्थ है कि यह केवल त्रिज्यीय दूरी $r$ पर निर्भर करता है और कोणीय निर्देशांकों $\theta$ और $\phi$ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,$\Psi \left( \theta, \phi \right) = \text{स्थिरांक}$ सत्य है।
प्रायिकता घनत्व $|\Psi|^2$ द्वारा दिया जाता है। $s$ कक्षकों के लिए,नाभिक $(r = 0)$ पर इलेक्ट्रॉन घनत्व अधिकतम होता है। इसलिए,यह कथन कि नाभिक पर प्रायिकता घनत्व शून्य है,गलत है।

(D) बहु-इलेक्ट्रॉन प्रणाली में,एक ही उपकोश से संबंधित कक्षक (जिनका मुख्य क्वांटम संख्या $n$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ समान होता है) बाहरी चुंबकीय या विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में समान ऊर्जा (अपभ्रष्ट) रखते हैं।
चूंकि $2p_x$,$2p_y$ और $2p_z$ सभी $2p$ उपकोश के हैं $(n=2, l=1)$,इसलिए उनकी ऊर्जा समान होती है।
अतः,$E(2p_x) = E(2p_y) = E(2p_z)$.

(D) दिग्ंशीय क्वांटम संख्या $l$ के दिए गए मान के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ केवल $-l$ से $+l$ (शून्य सहित) तक के मान ले सकती है।
विकल्प $D$ में,$l = 2$ है,इसलिए $m_l$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।
चूंकि $m_l = -3$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए क्वांटम संख्याओं का यह सेट असंभव है।

(D) हुंड का अधिकतम बहुलता का नियम बताता है कि समान ऊर्जा वाले कक्षकों (जैसे $p$-कक्षक) में,इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक शुरू नहीं होता जब तक कि प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन समानांतर चक्रण (spin) के साथ न भर जाए।
विकल्प $A$ नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि चक्रण समानांतर नहीं हैं।
विकल्प $B$ नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि सभी कक्षकों में एक-एक इलेक्ट्रॉन भरने से पहले ही युग्मन हो जाता है।
विकल्प $C$ नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि तीसरा इलेक्ट्रॉन दूसरी कक्षक के खाली होने के बावजूद विपरीत चक्रण के साथ युग्मित हो जाता है।
विकल्प $D$ हुंड के नियम के अनुसार सही विन्यास दर्शाता है।

(B) इलेक्ट्रॉन $A$ के लिए,$n=3$ और $l=2$,जो $3d$ उपकोश (subshell) के अनुरूप है।
इलेक्ट्रॉन $B$ के लिए,$n=3$ और $l=0$,जो $3s$ उपकोश के अनुरूप है।
$(n+l)$ नियम के अनुसार,कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ मान के साथ बढ़ती है।
$A$ के लिए,$(n+l) = 3+2 = 5$ है।
$B$ के लिए,$(n+l) = 3+0 = 3$ है।
चूंकि $A$ के लिए $(n+l)$ का मान $B$ से अधिक है,इसलिए इलेक्ट्रॉन $A$ की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन $B$ से अधिक है।

(C) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं और इन इलेक्ट्रॉनों का चक्रण (spin) विपरीत होना चाहिए।
दिए गए विन्यास में,एक कक्षक में समान चक्रण वाले $2$ इलेक्ट्रॉन हैं (दोनों ऊपर की ओर),जो पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

(D) $1$. $_{21}Sc$ के लिए: परमाणु क्रमांक $21$ है। इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 3d^1 \, 4s^2$ है,जो सही है।
$2$. $_{89}Ac$ के लिए: परमाणु क्रमांक $89$ है। इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Rn] \, 5f^0 \, 6d^1 \, 7s^2$ है,जो सही है।
$3$. $_{29}Cu$ के लिए: परमाणु क्रमांक $29$ है। पूर्ण भरे हुए $d$-उपकोश के स्थायित्व के कारण,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 3d^{10} \, 4s^1$ है,जो सही है।
$4$. अतः,सभी विकल्प सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) हुंड का अधिकतम बहुलता का नियम बताता है कि समान ऊर्जा वाले कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तभी शुरू होता है जब प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन समानांतर चक्रण (spin) के साथ भर जाए।
विकल्प $A$ में,$2p^4$ विन्यास $(\uparrow)(\uparrow\downarrow)(\uparrow)$ के रूप में दिखाया गया है,जो सही है।
विकल्प $B$ में,$2p^2$ विन्यास $(\uparrow\downarrow)(\text{खाली})(\text{खाली})$ के रूप में दिखाया गया है,जो हुंड के नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों को अलग-अलग कक्षकों में समानांतर चक्रण के साथ होना चाहिए था।
विकल्प $C$ में,$2p^3$ विन्यास $(\uparrow)(\downarrow)(\uparrow)$ के रूप में दिखाया गया है,जो हुंड के नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों का चक्रण समानांतर होना चाहिए।
चूंकि $B$ और $C$ दोनों हुंड के नियम का उल्लंघन करते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) समान ऊर्जा वाले ऑर्बिटल्स को डीजनरेट ऑर्बिटल्स कहा जाता है। उदाहरण के लिए,हाइड्रोजन परमाणु में,$2p_x$,$2p_y$,और $2p_z$ ऑर्बिटल्स की ऊर्जा समान होती है।

(B) किसी भी कक्षक के लिए,नोड्स की कुल संख्या $(n - 1)$ के रूप में गणना की जाती है।
कोणीय नोड्स दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दिए जाते हैं।
रेडियल नोड्स $(n - l - 1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल नोड्स $=$ रेडियल नोड्स $+$ कोणीय नोड्स $= (n - l - 1) + l = n - 1$.
$p_z-$कक्षक के लिए,$xy-$तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है,इसलिए यह एक नोडल तल है।
अतः,यह कथन कि $ns-$कक्षक में $(n + 1)$ नोड्स होते हैं,गलत है,क्योंकि इसमें $(n - 1)$ नोड्स होने चाहिए।

(D) $d_{xy}$ कक्षक में चार पालियाँ (lobes) होती हैं जो $xy$-तल में स्थित होती हैं।
ये पालियाँ $x$ और $y$ अक्षों के बीच स्थित होती हैं,विशेष रूप से $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर।
इसलिए,$d_{xy}$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की अधिकतम प्रायिकता $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर होती है।

(C) $Pauli$ का अपवर्जन सिद्धांत बताता है कि एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का मान समान नहीं हो सकता। इसका अर्थ है कि एक कक्षक में विपरीत चक्रण (spin) वाले अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन ही रह सकते हैं।
$Hund$ का अधिकतम बहुलता का नियम बताता है कि $p, d,$ और $f$ कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक नहीं हो सकता जब तक कि उपकोश के प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए।
विकल्प $C$ में,$p$-उपकोश के पहले कक्षक में समान चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन हैं,जो $Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत का उल्लंघन करता है। इसके अतिरिक्त,दूसरा कक्षक खाली है जबकि पहले में इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,जो $Hund$ के नियम का उल्लंघन करता है।

(D) हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,किसी उपकोष ($p$,$d$,या $f$) के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक नहीं होता जब तक कि उस उपकोष के प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए।
विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p_x^2$ में,$2p_x$ कक्षक युग्मित है जबकि $2p_y$ और $2p_z$ खाली हैं,जो इस नियम का उल्लंघन करता है।

(B) $(n+l)$ नियम के अनुसार,एक कक्षक की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ के योग द्वारा निर्धारित की जाती है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $n+l = 3+2 = 5$.
विकल्प $(B)$ के लिए: $n+l = 4+3 = 7$.
विकल्प $(C)$ के लिए: $n+l = 4+1 = 5$.
विकल्प $(D)$ के लिए: $n+l = 5+0 = 5$.
चूंकि $(n+l)$ का मान विकल्प $(B)$ के लिए सबसे अधिक है,इसलिए इस सेट में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा सबसे अधिक है।

(A) क्वांटम संख्या $n = 4$,$l = 2$,और $m = -2$ एक विशिष्ट कक्षक को परिभाषित करती है।
पाउली के अपवर्जन नियम के अनुसार,किसी भी एक कक्षक में विपरीत चक्रण वाले अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।

(C) किसी दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell$ का मान $0$ से $n-1$ तक होता है।
किसी दिए गए $\ell$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-\ell$ से $+\ell$ तक होता है।
सभी विकल्पों में $n=3$ है।
इसलिए,$n=3$ के लिए $\ell$ के संभावित मान $0, 1, \text{या } 2$ हो सकते हैं।
विकल्प $C$ में,$\ell=3$ है,जो $n=3$ के लिए संभव नहीं है क्योंकि $\ell$ का मान हमेशा $n$ से कम होना चाहिए।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया क्वांटम संख्याओं का सेट अमान्य है।

(B) एक कोश में कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n = 4$ के लिए,कक्षकों की कुल संख्या $4^2 = 16$ है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ के एक विशिष्ट मान के अनुरूप होता है,इसलिए चुंबकीय क्वांटम संख्या के मानों की कुल संख्या कक्षकों की कुल संख्या के बराबर होती है।
अतः,कुल मान $16$ है।

(B) $Cu$ $(Z = 29)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $29$ है।
पूर्ण भरे हुए कक्षकों में $2$ इलेक्ट्रॉन विपरीत चक्रण के साथ होते हैं।
$Cu$ में $14$ पूर्ण भरे हुए कक्षक हैं जिनमें $28$ इलेक्ट्रॉन हैं।
इन $28$ इलेक्ट्रॉनों में से $14$ का चक्रण $+1/2$ और $14$ का $-1/2$ है।
शेष $1$ इलेक्ट्रॉन $4s$ कक्षक में है,जिसका चक्रण $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
अतः,$15$ इलेक्ट्रॉनों का चक्रण एक दिशा में और $14$ इलेक्ट्रॉनों का दूसरी दिशा में होता है।

(C) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में कक्षक की ऊर्जा प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ और मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
हाइड्रोजन $(H)$ में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है,जबकि अन्य क्षार धातुओं में आंतरिक इलेक्ट्रॉनों के कारण परिरक्षण प्रभाव (shielding effect) अधिक होता है।
जैसे-जैसे हम समूह $IA$ में नीचे जाते हैं,परमाणु का आकार बढ़ता है और परिरक्षण प्रभाव बढ़ता है,जिससे $2s$ कक्षक की ऊर्जा कम हो जाती है।
अतः,ऊर्जा का सही घटता क्रम $E_{2s(H)} > E_{2s(Li)} > E_{2s(Na)} > E_{2s(K)}$ है।

(B) दिए गए ऊर्जा स्तर के लिए जहाँ $(n + l) = 6$ है,$(n, l)$ के संभावित मान हैं:
$1$. यदि $n = 6, l = 0$ ($6s$ कक्षक)
$2$. यदि $n = 5, l = 1$ ($5p$ कक्षक)
$3$. यदि $n = 4, l = 2$ ($4d$ कक्षक)
$4$. यदि $n = 3, l = 3$ ($3f$ कक्षक - संभव नहीं क्योंकि $l < n$)
अतः,संभावित कक्षक $6s$,$5p$,और $4d$ हैं।
कुल कक्षकों की संख्या = $1$ $(6s)$ + $3$ $(5p)$ + $5$ $(4d)$ = $9$ कक्षक।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं,लेकिन प्रत्येक कक्षक में केवल एक इलेक्ट्रॉन का चक्रण दक्षिणावर्त होता है (आमतौर पर $m_s = +1/2$ के रूप में दर्शाया जाता है)।
इसलिए,दक्षिणावर्त चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $9$।

(D) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग सूत्र $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$3p$ इलेक्ट्रॉन के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) $l = 1$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$L = \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2\pi}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $H$ परमाणु जैसी एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
समान $n$ मान वाली कक्षकों की ऊर्जा समान होती है।
दी गई कक्षकों की तुलना:
- $2s$ के लिए,$n = 2$ है।
- $3s, 3p_x, 3p_y$ के लिए,$n = 3$ है।
- $4s, 4p_z, 4d_{xy}$ के लिए,$n = 4$ है।
अतः,ऊर्जा का बढ़ता क्रम: $2s < 3s = 3p_x = 3p_y < 4s = 4p_z = 4d_{xy}$ है।

(B) एक कोश में कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n = 5$ के लिए,कक्षकों की संख्या $= (5)^2 = 25$।

(A) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6$ अक्रिय गैस $Ar$ (आर्गन) के समान है,जिसमें $18$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$NaF$ में,आयन $Na^+$ ($10$ इलेक्ट्रॉन: $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6$) और $F^-$ ($10$ इलेक्ट्रॉन: $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6$) हैं। इनमें से कोई भी आयन $18$ इलेक्ट्रॉन विन्यास नहीं रखता है।
$KBr$ में,$K^+$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) और $Br^-$ ($36$ इलेक्ट्रॉन) मौजूद हैं। $K^+$ में $18$ इलेक्ट्रॉन विन्यास है।
$NaCl$ में,$Cl^-$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) मौजूद है।
$CaI_2$ में,$Ca^{2+}$ ($18$ इलेक्ट्रॉन) मौजूद है।
अतः,$NaF$ के जलीय विलयन में $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6$ विन्यास वाला कोई आयन नहीं होता है।

(B) $(n+l)$ नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बढ़ते हुए $(n+l)$ मानों के क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं।
$n=6$ के लिए:
$6s: n+l = 6+0 = 6$
$4f: n+l = 4+3 = 7$
$5d: n+l = 5+2 = 7$
$6p: n+l = 6+1 = 7$
समान $(n+l)$ मान वाले कक्षकों में,जिसका $n$ मान कम होता है,वह पहले भरता है।
अतः,सही क्रम $6s \to 4f \to 5d \to 6p$ है,जो $ns \to (n-2)f \to (n-1)d \to np$ के अनुरूप है।

(C) दी गई क्वांटम संख्याएँ $n = 3$ और $l = 2$ हैं,जो $3d$ उपकोश (subshell) को दर्शाती हैं।
किसी उपकोश के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है।
$l = 2$ के लिए,$m_l$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।
$m_l$ का प्रत्येक विशिष्ट मान केवल एक कक्षक को दर्शाता है।
इसलिए,$m_l = +2$ के लिए,केवल $1$ कक्षक होता है।

(B) $(A)\ n = 5$ का अर्थ है $l = 0, 1, 2, 3, 4$ ($s, p, d, f, g$ कक्षक)।
$m_l = +1$ के लिए,$p, d, f$ और $g$ कक्षक संभव हैं।
प्रत्येक कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।
कुल इलेक्ट्रॉन $= 2 (p) + 2 (d) + 2 (f) + 2 (g) = 8$ इलेक्ट्रॉन।
$(B)\ n = 2, l = 1, m_l = -1, m_s = -1/2$ एक $2p$ कक्षक में एक विशिष्ट इलेक्ट्रॉन को दर्शाता है।
चूंकि सभी चार क्वांटम संख्याएं निर्दिष्ट हैं,यह केवल $1$ इलेक्ट्रॉन को दर्शाता है।

(B) सबसे पहले,दी गई क्वांटम संख्याओं के आधार पर ऑर्बिटल्स की पहचान करें:
$(i)$ $n = 4, l = 1$ का अर्थ है $4p$ ऑर्बिटल। $(n+l) = 4 + 1 = 5$।
$(ii)$ $n = 4, l = 0$ का अर्थ है $4s$ ऑर्बिटल। $(n+l) = 4 + 0 = 4$।
$(iii)$ $n = 3, l = 2$ का अर्थ है $3d$ ऑर्बिटल। $(n+l) = 3 + 2 = 5$।
$(iv)$ $n = 3, l = 1$ का अर्थ है $3p$ ऑर्बिटल। $(n+l) = 3 + 1 = 4$।
$(n+l)$ नियम के अनुसार,जैसे-जैसे $(n+l)$ का मान बढ़ता है,ऊर्जा बढ़ती है।
$(iv)$ और $(ii)$ के लिए,दोनों का $(n+l) = 4$ है। चूंकि $(iv)$ का $n$ मान $(n=3)$ $(ii)$ $(n=4)$ से कम है,इसलिए $(iv)$ की ऊर्जा कम है।
$(iii)$ और $(i)$ के लिए,दोनों का $(n+l) = 5$ है। चूंकि $(iii)$ का $n$ मान $(n=3)$ $(i)$ $(n=4)$ से कम है,इसलिए $(iii)$ की ऊर्जा कम है।
अतः,ऊर्जा का बढ़ता क्रम: $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ है।

(A) कथन $1$ सत्य है: उच्च कोणीय संवेग $(l)$ वाले कक्षकों में इलेक्ट्रॉन अधिक परिरक्षण (shielding) का अनुभव करते हैं और सामान्यतः नाभिक से अधिक दूर पाए जाते हैं।
कथन $2$ गलत है: कक्षक का आकार मुख्य रूप से मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करता है,न कि दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ पर।
कथन $3$ सत्य है: बोहर मॉडल के अनुसार,मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{h}{2\pi}$ होता है।
कथन $4$ गलत है: त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण आलेख दर्शाते हैं कि जैसे-जैसे $l$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन घनत्व नाभिक से दूर स्थानांतरित होता है,लेकिन $\Psi$ बनाम $r$ के लिए दिया गया कथन कक्षक आकार के रुझानों की मानक व्याख्या नहीं है।
अतः,सही संयोजन $1$ और $3$ है।

(C) तत्व $X$ का परमाणु क्रमांक $71$ है। इस तत्व (लुटेटियम) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe]4f^{14} 5d^1 6s^2$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के बढ़ते क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं।
$Z = 71$ के लिए,विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^6 5s^2 4d^{10} 5p^6 6s^2 4f^{14} 5d^1$ है।
अंतिम इलेक्ट्रॉन ($71^{st}$ इलेक्ट्रॉन) $5d$ कक्षक में प्रवेश करता है।

(C) कक्षक की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$I$ के लिए: $n = 4, l = 2, (n + l) = 4 + 2 = 6$ ($4d$ कक्षक)।
$II$ के लिए: $n = 3, l = 2, (n + l) = 3 + 2 = 5$ ($3d$ कक्षक)।
$III$ के लिए: $n = 4, l = 1, (n + l) = 4 + 1 = 5$ ($4p$ कक्षक)।
$IV$ के लिए: $n = 3, l = 1, (n + l) = 3 + 1 = 4$ ($3p$ कक्षक)।
$(n + l)$ नियम के अनुसार,कम $(n + l)$ मान का अर्थ है कम ऊर्जा। यदि $(n + l)$ मान समान हैं,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
मानों की तुलना करने पर: $IV (4) < II (5, n=3) < III (5, n=4) < I (6)$।
अतः,ऊर्जा का बढ़ता क्रम $IV < II < III < I$ है।

(C) $s$-कक्षक के लिए,प्रायिकता घनत्व $|\psi|^2$ नाभिक $(r=0)$ पर अधिकतम होता है।
त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $n-l-1$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$2s$ कक्षक के लिए,त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $2-0-1 = 1$ है।
ग्राफ एक त्रिज्यीय नोड दिखाता है (जहाँ वक्र $r$-अक्ष को स्पर्श करता है),जो $2s$ कक्षक की विशेषता है।
इसलिए,ग्राफ $2s$ कक्षक को दर्शाता है।

(B) हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन युग्मन शुरू होने से पहले समान ऊर्जा वाली कक्षकों $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ में अकेले भरे जाते हैं।
विकल्प $B$ $(1s^2\, 2s^2\, 2p_x^1\, 2p_y^1)$ गलत है क्योंकि यह एक ऐसी स्थिति को दर्शाता है जहाँ $2p$ उपकोष अधूरा भरा हुआ है और यह कक्षकों को भरने के सही क्रम या स्थिरता के सिद्धांत का पालन नहीं करता है।

(C) क्वांटम संख्याओं के नियमों के अनुसार:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ हो सकती है।
$2$. दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$3$. चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है।
$4$. चक्रण क्वांटम संख्या $s$ केवल $+1/2$ या $-1/2$ हो सकती है।
विकल्प $C$ में,$l = -1$ है,जो संभव नहीं है क्योंकि $l$ कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,क्वांटम संख्याओं का यह सेट अमान्य है।

(B) किसी कक्षक के लिए नोडल तलों की संख्या उसके दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ द्वारा दी जाती है।
$d$-कक्षक के लिए,$l = 2$ होता है,इसलिए नोडल तलों की संख्या $2$ है।
विशेष रूप से,$d_{xy}$ कक्षक के लिए,इलेक्ट्रॉन घनत्व $x$ और $y$ अक्षों के बीच $xy$-तल में केंद्रित होता है।
दो नोडल तल $xz$-तल और $yz$-तल हैं,जहाँ इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।