Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(A) नाइट्रोजन $(N)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^3$ है।
इसके संयोजकता कोश $(n=2)$ में,$p$-उपकोश में $3$ इलेक्ट्रॉन हैं।
चूंकि $p$-उपकोश में अधिकतम $6$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं,इसलिए $3$ इलेक्ट्रॉन एक अर्ध-पूर्ण विन्यास $(p^3)$ को दर्शाते हैं।

(A) क्वांटम संख्याओं के मान्य होने के नियम:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है $(1, 2, 3, ...)$.
$2$. $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक होता है।
$3$. $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है।
$4$. $s$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ होता है।
विकल्प $(A)$ में $l=2$ होने के कारण $m$ का मान $-2$ से $+2$ के बीच होना चाहिए,इसलिए $m=-3$ अमान्य है। विकल्प $(B)$,$(C)$ और $(D)$ नियमों का पालन करते हैं।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
चूंकि उल्लिखित सभी कक्षकों $(3s, 3p_x, 3d_{xy}, 3d_{yz})$ की मुख्य क्वांटम संख्या $(n = 3)$ समान है,इसलिए वे समभ्रंश (degenerate) हैं।
अतः,इन कक्षकों के बीच संक्रमण में ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा का कोई अवशोषण या उत्सर्जन नहीं होता है।
इस प्रकार,दिए गए सभी संक्रमण बिना ऊर्जा परिवर्तन के संभव हैं।

(B) पोटेशियम $(K)$ का परमाणु क्रमांक $19$ है।
इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$ है।
अंतिम इलेक्ट्रॉन $4s$ कक्षक में प्रवेश करता है।
$4s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
चूंकि यह एक $s$-कक्षक है,इसलिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 0$ है।
$l = 0$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m = 0$ होती है।
अतः,मान $n = 4, l = 0, m = 0$ हैं।

(C) आउफबाऊ (Aufbau) सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बढ़ती ऊर्जा के क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं। ऊर्जा का क्रम $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है। $3d$ के लिए,$(n + l) = 3 + 2 = 5$ है। $3d$ के भरने के बाद,अगली कक्षकें $4p$ $(n + l = 4 + 1 = 5)$ और $5s$ $(n + l = 5 + 0 = 5)$ हैं। $3d$ $(n=3, l=2)$ और $4p$ $(n=4, l=1)$ की तुलना करने पर,$4p$ कक्षक की ऊर्जा $3d$ से अधिक होती है। अतः,$3d$ उपकोश के पूरी तरह भर जाने के बाद,अगला इलेक्ट्रॉन $4p$ कक्षक में प्रवेश करेगा।

(C) $17$ परमाणु क्रमांक वाले तत्व $(Cl)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ है।
संयोजकता कोश $n=3$ है।
संयोजकता कोश में $3s$ और $3p$ कक्षक होते हैं।
$3s$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन (एक युग्म) होते हैं।
$3p$ उपकोश में $3$ कक्षक $(3p_x, 3p_y, 3p_z)$ होते हैं।
$3p$ उपकोश में $5$ इलेक्ट्रॉन होने के कारण,वितरण $(3p_x)^2 (3p_y)^2 (3p_z)^1$ होता है।
इस प्रकार,$3p$ उपकोश में दो युग्म और $3s$ कक्षक में एक युग्म है।
इलेक्ट्रॉन युग्म रखने वाले कक्षकों की कुल संख्या = $1$ $(3s)$ + $2$ $(3p_x, 3p_y)$ = $3$.

(A) $Cu$ का परमाणु क्रमांक $29$ है।
$Cu$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
$4s$ कक्षक में $1$ इलेक्ट्रॉन है और $3d$ उपकोश में सभी $10$ इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं।
अतः,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $1$ है।

(B) $Z = 104$ (रदरफोर्डियम) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Rn] \ 5f^{14} \ 6d^2 \ 7s^2$ है।
हमें उन कक्षकों की पहचान करनी है जहाँ $(n + l) = 8$ है:
$5f$ के लिए: $n = 5, l = 3 \implies n + l = 8$.
$6d$ के लिए: $n = 6, l = 2 \implies n + l = 8$.
$7p$ के लिए: $n = 7, l = 1 \implies n + l = 8$.
$8s$ के लिए: $n = 8, l = 0 \implies n + l = 8$.
दिए गए विन्यास में:
- $5f$ कक्षक में $14$ इलेक्ट्रॉन हैं।
- $6d$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं।
- $7p$ और $8s$ कक्षक खाली हैं।
कुल इलेक्ट्रॉन जिनके लिए $(n + l) = 8$ है,वे $14 + 2 = 16$ हैं।

(C) $n = 3$ और $l = 2$ के लिए,कक्षक $3d$ है।
$l = 2$ मान $d$-उपकोश को दर्शाता है,जिसमें $(2l + 1) = 2(2) + 1 = 5$ कक्षक होते हैं।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं।
अतः,इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या = $5 \times 2 = 10$ इलेक्ट्रॉन।

(B) $Ca^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $(2, 8, 8)$ है।
इस विन्यास में,सबसे बाहरी कोश $(n=3)$ में $8$ इलेक्ट्रॉन हैं और पेनअल्टीमेट कोश $(n=2)$ में भी $8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
अतः,$Ca^{2+}$ में सबसे बाहरी और पेनअल्टीमेट कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान है।

(C) नियॉन $(Z = 10)$ परमाणु की मूल अवस्था का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2}\, 2s^{2}\, 2p^{6}$ है।
जब $2p$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3s$ कक्षक में जाता है,तो यह नियॉन की प्रथम उत्तेजित अवस्था बनाता है: $1s^{2}\, 2s^{2}\, 2p^{5}\, 3s^{1}$.

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई स्पीशीज अनुचुंबकीय है या नहीं,हम अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति की जांच करते हैं।
$1$. $Be^-$ ($4 + 1 = 5$ इलेक्ट्रॉन): $1s^2 2s^2 2p^1$ (अयुग्मित इलेक्ट्रॉन मौजूद है,अनुचुंबकीय)।
$2$. $Ne^{2+}$ ($10 - 2 = 8$ इलेक्ट्रॉन): $1s^2 2s^2 2p^4$ (अयुग्मित इलेक्ट्रॉन मौजूद हैं,अनुचुंबकीय)।
$3$. $Cl^-$ ($17 + 1 = 18$ इलेक्ट्रॉन): $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$ (सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,प्रतिचुंबकीय)।
$4$. $As^+$ ($33 - 1 = 32$ इलेक्ट्रॉन): इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $4p^2$ पर समाप्त होता है,जिसमें अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं (अनुचुंबकीय)।
अतः,$Cl^-$ अनुचुंबकीय नहीं है।

(C) $Fe$ का परमाणु क्रमांक $26$ है।
तटस्थ $Fe$ परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
जब $Fe$,$Fe^{2+}$ आयन बनाता है,तो यह $4s$ कक्षक से दो इलेक्ट्रॉन खो देता है।
इसलिए,$Fe^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6$ है।
अतः,$Fe^{2+}$ में $d$-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।

(C) क्रोमियम $(Cr)$ का परमाणु क्रमांक $24$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,अपेक्षित विन्यास $[Ar] \, 3d^4 \, 4s^2$ है।
हालाँकि,अर्ध-पूर्ण $d$-कक्षक विनिमय ऊर्जा और समरूपता के कारण अधिक स्थिर होते हैं।
इसलिए,$4s$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में स्थानांतरित हो जाता है ताकि यह अर्ध-पूर्ण $(3d^5)$ हो सके।
सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 3d^5 \, 4s^1$ है।

(C) $M^{2+}$ आयन का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 3d^8$ है।
इसका अर्थ है कि आयन ने अपनी उदासीन अवस्था से $2$ इलेक्ट्रॉन खो दिए हैं।
उदासीन परमाणु $M$ का विन्यास $[Ar] \, 3d^8 \, 4s^2$ होगा।
इलेक्ट्रॉनों को जोड़ने पर: $18$ (आर्गन से) $+ 8 + 2 = 28$।
अतः,तत्व का परमाणु क्रमांक $28$ है।

(C) दिया गया विन्यास: $(n - 1)s^2 (n - 1)p^6 (n - 1)d^x ns^2$ है।
$n = 4$ और $x = 5$ रखने पर,हमें $3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$ प्राप्त होता है।
कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या सभी कोशों के इलेक्ट्रॉनों का योग है: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$ है।
कुल इलेक्ट्रॉन $= 2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 5 + 2 = 25$ है।
चूंकि परमाणु उदासीन है,प्रोटॉन की संख्या इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर यानी $25$ होगी।

(D) कॉपर $(Cu)$ का परमाणु क्रमांक $29$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,अपेक्षित विन्यास $[Ar] \, 3d^9 \, 4s^2$ है।
हालाँकि,पूर्ण रूप से भरी हुई $d$-उपकोश समरूपता और विनिमय ऊर्जा के कारण अधिक स्थिर होती है।
इसलिए,$4s$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में चला जाता है ताकि यह $3d^{10}$ हो जाए।
सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 3d^{10} \, 4s^1$ है।

(B) कॉपर $(Cu)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
$1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^1$ में कुल $29$ इलेक्ट्रॉन हैं।
पूर्णतः भरी हुई कक्षकों $(1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d)$ में प्रत्येक युग्म में एक इलेक्ट्रॉन दक्षिणावर्त $(+1/2)$ और एक वामावर्त $(-1/2)$ चक्रण रखता है।
अतः,$28$ इलेक्ट्रॉनों में से $14$ का चक्रण $+1/2$ और $14$ का चक्रण $-1/2$ है।
शेष एक $4s^1$ इलेक्ट्रॉन का चक्रण $+1/2$ होता है।
कुल $+1/2$ चक्रण वाले इलेक्ट्रॉन = $14 + 1 = 15$.
कुल $-1/2$ चक्रण वाले इलेक्ट्रॉन = $14$.
अतः,$15$ इलेक्ट्रॉन एक दिशा में और $14$ इलेक्ट्रॉन विपरीत दिशा में हैं,जो विकल्प $B$ में दिया गया है।

(B) आयरन $(Fe)$ का परमाणु क्रमांक $26$ है।
$Fe$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
जब $Fe$,फेरस आयन $(Fe^{2+})$ बनाता है,तो यह $4s$ कक्षक से दो इलेक्ट्रॉन खो देता है।
$Fe^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6$ हो जाता है।
$3d$ उपकोष में $5$ कक्षक होते हैं। हुंड के नियम के अनुसार,$6$ इलेक्ट्रॉन इस प्रकार भरे जाते हैं: प्रत्येक $5$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन और $6^{th}$ इलेक्ट्रॉन पहले कक्षक में युग्मित हो जाता है।
इस प्रकार,$Fe^{2+}$ आयन में $4$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(C) $Fe$ का परमाणु क्रमांक $26$ है।
$Fe$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
जब $Fe$,$Fe^{2+}$ आयन बनाता है,तो यह $4s$ कक्षक से दो इलेक्ट्रॉन खो देता है।
$Fe^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^0$ हो जाता है।
अतः,$Fe^{2+}$ में उपस्थित $d$-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।

(C) क्लोरीन $(Cl)$ का परमाणु क्रमांक $17$ है।
$Cl$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ है।
संयोजकता कोश का विन्यास $3s^2 3p^5$ है।
$3p$ उपकोश में $3$ कक्षक $(3p_x, 3p_y, 3p_z)$ होते हैं। हुंड के नियम के अनुसार,$5$ इलेक्ट्रॉन इस प्रकार भरे जाते हैं: $3p_x^2, 3p_y^2, 3p_z^1$।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $3p_z$ कक्षक में है।
इस इलेक्ट्रॉन के लिए:
मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ = $3$
$p$-कक्षक के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ = $1$
चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m)$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है। परंपरा के अनुसार,अयुग्मित इलेक्ट्रॉन को $m = +1$ दिया जाता है।
अतः,क्वांटम संख्याओं का सेट $n=3, l=1, m=1$ है।

(B) आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बढ़ती ऊर्जा के क्रम में ऑर्बिटल्स में भरे जाते हैं। $2s$ ऑर्बिटल की ऊर्जा $2p$ ऑर्बिटल्स से कम होती है।
इसलिए,$2p$ ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉन भरने से पहले $2s$ ऑर्बिटल पूरी तरह से भरी ($2$ इलेक्ट्रॉनों के साथ) होनी चाहिए।
विकल्प $(B)$ में,$2s$ ऑर्बिटल में केवल $1$ इलेक्ट्रॉन है जबकि $2p$ ऑर्बिटल्स भरी जा रही हैं,जो आउफबाऊ सिद्धांत का उल्लंघन है।

(D) $1s$ कक्षक हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) है,जिसकी ऊर्जा सबसे कम होती है।
$1s$ कक्षक में मौजूद इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन को अवशोषित करके उच्च ऊर्जा स्तर में जा सकता है।
हालाँकि,चूंकि $1s$ से नीचे कोई ऊर्जा स्तर नहीं है,इसलिए $1s$ कक्षक में मौजूद इलेक्ट्रॉन निचले स्तर में जाने के लिए फोटॉन का उत्सर्जन नहीं कर सकता है।

(C) $Cu$ $(Z=29)$ का सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 4s^1 3d^{10}$ है,जो पूर्णतः भरे हुए $d$-उपकोश के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण होता है।
विकल्प $C$ में विन्यास $4s^2 3d^9$ दर्शाया गया है,जो $Cu$ की मूल अवस्था के लिए गलत है।

(A) चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
विकल्प $A$ के लिए,$n = 3$ और $l = 2$ है।
अतः $m$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।
चूंकि $m = -3$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए यह सेट क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत के साथ असंगत है।

(B) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Angular momentum} = \sqrt{l(l + 1)} \frac{h}{2\pi}$।
$s$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) $l = 0$ होती है।
सूत्र में $l = 0$ रखने पर: $\text{Angular momentum} = \sqrt{0(0 + 1)} \frac{h}{2\pi} = 0$।
अतः,$s$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग शून्य होता है।

(D) क्वांटम संख्याएँ $n = 4, l = 1$ दर्शाती हैं कि अंतिम इलेक्ट्रॉन $4p$ कक्षक में प्रवेश करता है।
$l = 1$ के लिए,$m$ के संभावित मान $-1, 0, +1$ हैं।
इलेक्ट्रॉन $m = +1$ और $s = -1/2$ के साथ $4p$ कक्षक में है,जो $p$-ब्लॉक तत्व के अंतिम इलेक्ट्रॉन के अनुरूप है।
परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^6$ है।
इलेक्ट्रॉनों का योग: $2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 6 = 36$ है।
अतः,परमाणु संख्या $36$ है,जो क्रिप्टन $(Kr)$ के अनुरूप है।

(A) नाइट्रोजन का परमाणु क्रमांक $Z = 7$ है। इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^3$ है।
हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,समान ऊर्जा वाले कक्षकों में इलेक्ट्रॉन तब तक युग्मित नहीं होते जब तक कि प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए।
अतः,$2p$ कक्षकों में तीन इलेक्ट्रॉन समानांतर चक्रण (parallel spin) के साथ अलग-अलग कक्षकों में भरे जाएंगे।
यह विन्यास विकल्प $A$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) स्पिन क्वांटम संख्या $(m_s)$ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक कोणीय संवेग का वर्णन करती है।
ऐतिहासिक रूप से,इसे इलेक्ट्रॉन के अपनी धुरी पर घूमने के रूप में देखा गया था,जहाँ $+1/2$ दक्षिणावर्त (clockwise) और $-1/2$ वामावर्त (anticlockwise) घूर्णन को दर्शाता है।
वैकल्पिक रूप से,यह इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण की दिशा को दर्शाता है,जहाँ $+1/2$ का अर्थ है कि चुंबकीय आघूर्ण ऊपर की ओर है और $-1/2$ का अर्थ है कि यह नीचे की ओर है।
अतः,कथन $A$ और $C$ दोनों ही स्वीकार्य व्याख्याएं हैं।

(B) सीज़ियम $(Cs)$ का परमाणु क्रमांक $55$ है। $Cs$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6, 6s^1$ है।
सीज़ियम आयन $(Cs^+)$ के लिए,$6s$ ऑर्बिटल से एक इलेक्ट्रॉन निकल जाता है: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6$।
$s$-ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $(1s, 2s, 3s, 4s, 5s)$: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$।
$p$-ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $(2p, 3p, 4p, 5p)$: $6 + 6 + 6 + 6 = 24$।
$d$-ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $(3d, 4d)$: $10 + 10 = 20$।
अतः,संख्याएँ $10, 24, 20$ हैं।

(B) $n = 3$ और $l = 1$ के लिए,उपकोश (subshell) $3p$ है।
पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,कोई भी एक कक्षक अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रख सकता है जिनकी चक्रण (spin) विपरीत होती है।
इसलिए,एक $3p$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं।

(C) $d-$ कक्षकों को उनके अक्षों के सापेक्ष अभिविन्यास के आधार पर दो समूहों में वर्गीकृत किया जाता है:
$1$. $e_g$ समूह: इन कक्षकों में अक्षों के अनुदिश इलेक्ट्रॉन घनत्व होता है। इनमें $d_{z^2}$ और $d_{x^2 - y^2}$ शामिल हैं।
$2$. $t_{2g}$ समूह: इन कक्षकों में अक्षों के बीच इलेक्ट्रॉन घनत्व होता है। इनमें $d_{xy}, d_{yz},$ और $d_{xz}$ शामिल हैं।
अतः,$d-$ कक्षकों का वह युग्म जिसमें अक्षों के अनुदिश इलेक्ट्रॉन घनत्व होता है,$d_{z^2}$ और $d_{x^2 - y^2}$ है।

(B) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है।
एक ही कक्षक में स्थित दो इलेक्ट्रॉनों के लिए मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ समान होते हैं।
इसलिए,वे अपनी चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ में भिन्न होते हैं,जो $+1/2$ या $-1/2$ हो सकती है।

(C) टाइटेनियम $(Z = 22)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^2$ है।
$(n+l)$ नियम के अनुसार,जैसे-जैसे $(n+l)$ का मान बढ़ता है,कक्षक की ऊर्जा बढ़ती है।
$3s$ के लिए: $n+l = 3+0 = 3$.
$3p$ के लिए: $n+l = 3+1 = 4$.
$4s$ के लिए: $n+l = 4+0 = 4$.
$3d$ के लिए: $n+l = 3+2 = 5$.
चूंकि $3p$ और $4s$ का $(n+l)$ मान समान है,इसलिए कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है। अतः,$3p < 4s$.
बढ़ती ऊर्जा का सही क्रम $3s < 3p < 4s < 3d$ है।

(D) $Fe^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{6} 4s^{0}$ है। अतः,$d-$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।
$A) \ Fe \ (Z = 26): [Ar] 3d^{6} 4s^{2}$. $d-$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।
$B) \ Ne \ (Z = 10): 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6}$. $p-$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।
$C) \ Mg \ (Z = 12): 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2}$. $s-$ इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2 + 2 + 2 = 6$ है।
$D) \ Cl \ (Z = 17): 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{5}$. $p-$ इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $6 + 5 = 11$ है।
चूंकि $11 \neq 6$,इसलिए $Cl$ में $p-$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $Fe^{2+}$ के $d-$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर नहीं है।

(C) इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग का सूत्र $\sqrt{l(l+1)} \ \hbar$ होता है।
$d$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) $l = 2$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
कोणीय संवेग $= \sqrt{2(2+1)} \ \hbar = \sqrt{2 \times 3} \ \hbar = \sqrt{6} \ \hbar$।

(A) क्वांटम संख्याएँ $n = 3$,$l = 1$,और $m_l = 0$ एक एकल ऑर्बिटल को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती हैं।
$n = 3$ तीसरी कक्षा को दर्शाता है।
$l = 1$ एक $p$-उपकोश को दर्शाता है।
$m_l = 0$ $p$-उपकोश के भीतर एक विशिष्ट ऑर्बिटल (आमतौर पर $3p_z$) को निर्दिष्ट करता है।
चूंकि तीनों क्वांटम संख्याएँ निश्चित हैं,इसलिए वे केवल $1$ ऑर्बिटल को दर्शाती हैं।

(B) क्वांटम संख्याओं $n = 3, l = 1$ और $m = -1$ का सेट एक विशिष्ट कक्षक (orbital) को परिभाषित करता है,जो $3p$ कक्षक है।
पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,किसी भी एक कक्षक में विपरीत चक्रण (opposite spins) वाले अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।
इसलिए,क्वांटम संख्याओं के इस सेट के साथ जुड़े इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2$ है।

(A) $n$ मुख्य ऊर्जा स्तर को दर्शाता है और $l$ उपकोश को दर्शाता है।
यदि $n = 4$ और $l = 3$ है,तो उपकोश $4f$ है।
$f$ उपकोश में $2l + 1 = 2(3) + 1 = 7$ कक्षक होते हैं।
चूंकि प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,इसलिए $4f$ उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $7 \times 2 = 14$ है।

(C) रुबिडियम परमाणु $(Z = 37)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Kr] 5s^1$ है।
संयोजी इलेक्ट्रॉन $5s$ कक्षक में है।
$5s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $(n) = 5$ है।
$s$-कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l) = 0$ है।
चूंकि $l = 0$,इसलिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l) = 0$ है।
स्पिन क्वांटम संख्या $(m_s) = +1/2$ या $-1/2$ हो सकती है।
अतः,क्वांटम संख्याओं का सेट $(n = 5, l = 0, m_l = 0, m_s = +1/2)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) कक्षीय कोणीय संवेग का सूत्र $\sqrt{l(l+1)} \times \frac{h}{2 \pi}$ है।
$p-$ इलेक्ट्रॉन के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) $l = 1$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
कक्षीय कोणीय संवेग $= \sqrt{1(1+1)} \times \frac{h}{2 \pi}$
$= \sqrt{2} \times \frac{h}{2 \pi}$
$= \frac{h}{\sqrt{2} \pi}$.

(B) किसी दिए गए ऊर्जा स्तर (कोश) में परमाणु कक्षकों की कुल संख्या,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए $n^{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चौथे ऊर्जा स्तर के लिए,$n = 4$ है।
अतः,परमाणु कक्षकों की संख्या $= 4^{2} = 16$ है।

(A) $(n + l)$ नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बढ़ते हुए $(n + l)$ मानों के क्रम में भरे जाते हैं।
$n = 6$ के लिए:
$ns$ का अर्थ है $6s$ $(n+l = 6+0 = 6)$
$(n-2)f$ का अर्थ है $4f$ $(n+l = 4+3 = 7)$
$(n-1)d$ का अर्थ है $5d$ $(n+l = 5+2 = 7)$
$np$ का अर्थ है $6p$ $(n+l = 6+1 = 7)$
$(n+l)$ मानों और समान $(n+l)$ वाली कक्षकों के लिए $n$ मानों की तुलना करने पर,भरने का सही क्रम $6s$ $\rightarrow 4f$ $\rightarrow 5d$ $\rightarrow 6p$ है।

(D) दिए गए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के लिए,उपकोष में कक्षकों की संख्या $(2l + 1)$ होती है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,इसलिए उपकोष में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2 \times (2l + 1) = 4l + 2$ होती है।

(B) परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,क्वांटम संख्याओं को निम्नलिखित नियमों का पालन करना चाहिए:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ है।
$2$. $l$ का मान $0$ से $(n - 1)$ तक हो सकता है।
$3$. $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
$4$. $s$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
विकल्प $B$ में,$n = 3$ और $l = 2$ है। $m$ के लिए अनुमेय मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं। चूंकि $m = -3$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए यह व्यवस्था अनुमेय नहीं है।

(B) क्वांटम संख्याओं के नियम हैं: $n > 0$,$0 \le l < n$,$-l \le m \le +l$,और $s = \pm 1/2$.
$(ii)$ असंभव है क्योंकि $l = n = 2$ ($l < n$ होना चाहिए)।
$(iv)$ असंभव है क्योंकि जब $l = 0$ है तो $m = -1$ नहीं हो सकता ($|m| \le l$ होना चाहिए)।
$(v)$ असंभव है क्योंकि जब $l = 2$ है तो $m = 3$ नहीं हो सकता ($|m| \le l$ होना चाहिए)।
अतः,सेट $(ii), (iv)$ और $(v)$ संभव नहीं हैं।

(D) चुंबकीय क्वांटम संख्या को $m_l$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह मानक निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष कक्षक के स्थानिक अभिविन्यास के बारे में जानकारी देता है।
गलत विकल्पों के लिए स्पष्टीकरण:
- दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कक्षक के आकार के बारे में बताती है।
- चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ इलेक्ट्रॉन के चक्रण की दिशा को दर्शाती है।
- मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कक्षक के आकार और काफी हद तक उसकी ऊर्जा को निर्धारित करती है।
इसलिए,विकल्प $(A)$,$(B)$ और $(C)$ गलत हैं।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) $(n+l)$ नियम के अनुसार,जैसे-जैसे $(n+l)$ का मान बढ़ता है,कक्षक की ऊर्जा बढ़ती है।
विकल्प $A$ के लिए: $n+l = 3+0 = 3$
विकल्प $B$ के लिए: $n+l = 3+1 = 4$
विकल्प $C$ के लिए: $n+l = 3+2 = 5$
विकल्प $D$ के लिए: $n+l = 4+0 = 4$
चूंकि विकल्प $C$ में $(n+l)$ का मान $5$ है,जो सबसे अधिक है,इसलिए यह उच्चतम ऊर्जा को दर्शाता है।