Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(B) $1.$ $S_1$ के लिए (गोलीय सममित,$\ell = 0$):
$\text{रेडियल नोड} = n - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow n - 0 - 1 = 1$ $\Rightarrow n = 2.$
अतः,$S_1$ अवस्था $2s$ है।
$S_2$ के लिए,ऊर्जा $E_{S_2} = E_H(\text{मूल अवस्था}) = -13.6 \ eV$.
$E_{S_2} = \frac{-13.6 \times Z^2}{n^2} = -13.6 \ eV$ $\Rightarrow \frac{3^2}{n^2} = 1$ $\Rightarrow n = 3.$
दिया है कि $S_2$ में एक रेडियल नोड है: $n - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow 3 - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow \ell = 1$.
$2.$ $S_1$ की ऊर्जा $(n=2, Z=3)$: $E_{S_1} = \frac{-13.6 \times 3^2}{2^2} = -13.6 \times 2.25 \ eV$.
$E_H(\text{मूल अवस्था}) = -13.6 \ eV$ की इकाइयों में,ऊर्जा $2.25$ है।
$3.$ $S_2$ के लिए,$\ell = 1$ (ऊपर गणना के अनुसार)।

(C) $n$ मुख्य क्वांटम संख्या वाले कोश के लिए,कुल कक्षकों की संख्या $n^2$ होती है।
$n=3$ के लिए,कक्षकों की कुल संख्या $3^2 = 9$ है।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं,एक $m_s = +1/2$ के साथ और एक $m_s = -1/2$ के साथ।
इसलिए,$n=3$ के लिए,$9$ कक्षक हैं,और प्रत्येक में $m_s = -1/2$ वाला ठीक एक इलेक्ट्रॉन आ सकता है।
अतः,$n=3$ और $m_s = -1/2$ वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $9$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए,ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ है। दी गई $E = -3.4 \ eV$ के लिए,$-3.4 = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2}$,जिसे हल करने पर $n^2 = 16$,अर्थात $n = 4$ प्राप्त होता है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 2$ दी गई है,अतः यह $4d$ अवस्था है।
कोणीय नोड्स की संख्या $= \ell = 2$ है।
रेडियल नोड्स की संख्या $= n - \ell - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$ है।
चूंकि $He^+$ एक एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजाति है,इसलिए अनुभव किया गया परमाणु आवेश $Z = 2e$ है,अतः कथन $(4)$ गलत है।
इस प्रकार,कथन $(1)$ और $(3)$ सत्य हैं।

(C) $n=4$ के लिए,संभावित उपकोष $4s, 4p, 4d, 4f$ हैं।
शर्त $|m_{\ell}|=1$ का अर्थ है $m_{\ell} = +1$ या $m_{\ell} = -1$।
- $4p$ उपकोष में $(\ell=1)$: $m_{\ell} = -1, 0, +1$। $|m_{\ell}|=1$ वाले कक्षक $m_{\ell} = -1$ और $m_{\ell} = +1$ ($2$ कक्षक) हैं।
- $4d$ उपकोष में $(\ell=2)$: $m_{\ell} = -2, -1, 0, +1, +2$। $|m_{\ell}|=1$ वाले कक्षक $m_{\ell} = -1$ और $m_{\ell} = +1$ ($2$ कक्षक) हैं।
- $4f$ उपकोष में $(\ell=3)$: $m_{\ell} = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$। $|m_{\ell}|=1$ वाले कक्षक $m_{\ell} = -1$ और $m_{\ell} = +1$ ($2$ कक्षक) हैं।
$|m_{\ell}|=1$ वाले कक्षकों की कुल संख्या $2+2+2 = 6$ है। चूंकि प्रत्येक कक्षक $m_s=-1/2$ वाले एक इलेक्ट्रॉन को धारण कर सकता है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $6$ है।

(C) $H^-$ जैसी बहु-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2$ है।
मूल अवस्था (Ground state): $1s^2$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था: एक इलेक्ट्रॉन अगली उपलब्ध कक्षक में जाता है,$1s^1 2s^1$।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था: एक इलेक्ट्रॉन $2p$ उपकोश में जाता है,$1s^1 2p^1$।
$2p$ उपकोश तीन अपभ्रष्ट कक्षकों $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ से बना है।
चूंकि $1s$ इलेक्ट्रॉन स्थिर है,इसलिए अपभ्रष्टता उपलब्ध $2p$ कक्षकों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है,जो $3$ है।

(D) समभ्रंश (degenerate) कक्षक वे कक्षक होते हैं जिनकी ऊर्जा समान होती है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में,$2p_x$ और $2p_y$ कक्षक समान ऊर्जा रखते हैं,इसलिए वे समभ्रंश हैं।
स्पेक्ट्रमी रेखा केवल तब देखी जाती है जब इलेक्ट्रॉन विभिन्न ऊर्जा स्तरों वाले कक्षकों के बीच संक्रमण करता है (अर्थात $\Delta E \neq 0$)।
चूंकि $2p_x$ और $2p_y$ की ऊर्जा समान है,इसलिए $2p_x \rightarrow 2p_y$ संक्रमण में ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(\Delta E = 0)$,और इस प्रकार कोई स्पेक्ट्रमी रेखा नहीं देखी जाती है।
अतः,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

(C) कथन $I$ सत्य है: किसी दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,एक कोश में कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ के रूप में गणना की जाती है।
कथन $II$ सत्य है: चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ कक्षकों के स्थानिक अभिविन्यास को निर्धारित करती है और इसका मान शून्य सहित $-l$ से $+l$ तक होता है,जो उपकोश में कक्षकों की संख्या के अनुरूप है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
एक दिए गए $n$ के लिए,सभी कक्षक समभ्रंश (समान ऊर्जा वाले) होते हैं।
दिए गए कक्षकों के $n$ मान इस प्रकार हैं:
$A$. $4s$ $(n=4)$
$B$. $3p_x$ $(n=3)$
$C$. $3d_{x^2-y^2}$ $(n=3)$
$D$. $3d_{z^2}$ $(n=3)$
$E$. $4p_z$ $(n=4)$
चूंकि ऊर्जा $n$ के साथ बढ़ती है,इसलिए $n=3$ वाले कक्षक $(3p_x, 3d_{x^2-y^2}, 3d_{z^2})$ की ऊर्जा सबसे कम है।
अतः,सही विकल्प केवल $B, C$ और $D$ है।

(D) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में कक्षक की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(\ell)$ पर निर्भर करती है।
$A: n=1, \ell=0, m_{\ell}=0 \rightarrow 1s$
$B: n=2, \ell=0, m_{\ell}=0 \rightarrow 2s$
$C: n=2, \ell=1, m_{\ell}=1 \rightarrow 2p$
$D: n=3, \ell=2, m_{\ell}=1 \rightarrow 3d$
$E: n=3, \ell=2, m_{\ell}=0 \rightarrow 3d$
बाह्य विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की अनुपस्थिति में,एक ही उपकोश (समान $n$ और $\ell$) से संबंधित सभी कक्षक डीजनरेट होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊर्जा समान होती है।
चूंकि $D$ और $E$ दोनों $3d$ उपकोश के हैं,इसलिए उनकी ऊर्जा समान है।

(C) हाइड्रोजन जैसे एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
इसलिए,समान $n$ मान वाले कक्षकों की ऊर्जा समान होती है,चाहे दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कुछ भी हो।
अतः,$2s = 2p$,$3s = 3p = 3d$,और $4s = 4p = 4d = 4f$ होता है।
दिए गए कथनों का मूल्यांकन करने पर:
$A$. $1s < 2p < 3d < 4s$ सही है।
$B$. $1s < 2s = 2p < 3s = 3p$ सही है।
$C$. $1s < 2s < 2p < 3s < 3p$ गलत है क्योंकि $2s = 2p$ और $3s = 3p$ होता है।
$D$. $1s < 2s < 4s < 3d$ गलत है क्योंकि $3d < 4s$ होता है।
अतः,$C$ और $D$ गलत कथन हैं।

(D) दिगंशीय (सहायक) क्वांटम संख्या $\ell$ कक्षक की आकृति निर्धारित करती है।
$(B)$ दिया गया चित्र $2p_x$ कक्षक का परिसीमा सतह आरेख है।
$(C)$ $2p_x$ कक्षक के तरंग फलन में $+$ और $-$ चिह्न तरंग फलन के चरण (Phase) को दर्शाते हैं,न कि विद्युत आवेश को।
$(D)$ $2p_x$ कक्षक का तरंग फलन $yz$ तल में शून्य होता है,जो इस कक्षक के लिए नोडल तल के रूप में कार्य करता है।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(D) कक्षीय कोणीय संवेग का सूत्र $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ है।
$2s$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 0$ है।
अतः,कोणीय संवेग $= \sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2 \pi} = 0$.
$2p$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 1$ है।
अतः,कोणीय संवेग $= \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2 \pi}$.

(C) $Cr$ $(Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ है।
एज़िमथल क्वांटम संख्या $l=1$ का अर्थ $p$-ऑर्बिटल्स है। $p$-ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉन $2p^6$ और $3p^6$ में हैं,जो $6+6 = 12$ इलेक्ट्रॉन देते हैं।
एज़िमथल क्वांटम संख्या $l=2$ का अर्थ $d$-ऑर्बिटल्स है। $d$-ऑर्बिटल्स में इलेक्ट्रॉन $3d^5$ में हैं,जो $5$ इलेक्ट्रॉन देते हैं।
अतः,$l=1$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $12$ है और $l=2$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5$ है।

(B) अर्ध-भरे हुए उपकोशों की अतिरिक्त स्थिरता निम्नलिखित कारकों के कारण होती है:
$(I)$ इलेक्ट्रॉनों का सममित वितरण: इलेक्ट्रॉन कक्षकों में सममित रूप से वितरित होते हैं,जिससे ऊर्जा कम हो जाती है।
$(II)$ अधिक विनिमय ऊर्जा: समानांतर चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए विनिमय की संभावित संख्या अर्ध-भरे और पूर्ण-भरे विन्यासों में अधिकतम होती है,जिसके परिणामस्वरूप उच्च विनिमय ऊर्जा और अधिक स्थिरता प्राप्त होती है।
$(III)$ कम कूलम्बिक प्रतिकर्षण: सममित व्यवस्था के कारण,अंतर-इलेक्ट्रॉनिक प्रतिकर्षण न्यूनतम हो जाता है।
$(IV)$ एक-दूसरे द्वारा इलेक्ट्रॉनों का कम परिरक्षण: इन विन्यासों में इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी नाभिकीय आवेश अनुकूलित होता है।
अतः,कथन $(A), (B), (D)$ और $(E)$ सही हैं।

(B) परमाणु क्रमांक $9$ वाला तत्व फ्लोरीन $(F)$ है,जिसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^5$ है।
$(A)$ $1s^2 2s^2 2p^5$ में कुल $9$ इलेक्ट्रॉन हैं। अप-स्पिन $(m_s = +\frac{1}{2})$ की संख्या $5$ है और डाउन-स्पिन $(m_s = -\frac{1}{2})$ की संख्या $4$ है। कथन $A$ सही है।
$(B)$ $2p^5$ विन्यास में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $p_x, p_y$ या $p_z$ में से किसी में भी हो सकता है,इसलिए $B$ निश्चित नहीं है।
$(C)$ अंतिम इलेक्ट्रॉन $2p$ उपकोश में जाता है जहाँ $n=2$ और $l=1$ है। कथन $C$ सही है।
$(D)$ कोणीय नोड = $l$। $1s$ $(l=0)$,$2s$ $(l=0)$,$2p$ $(l=1)$ के लिए कुल कोणीय नोड = $3$ है। कथन $D$ गलत है।
अतः,केवल $A$ और $C$ सही हैं।

(B) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
इलेक्ट्रॉन $X$ के लिए: $n=3, l=2$. अतः,$(n+l) = 3+2 = 5$.
इलेक्ट्रॉन $Y$ के लिए: $n=3, l=0$. अतः,$(n+l) = 3+0 = 3$.
चूंकि $X$ के लिए $(n+l)$ का मान $(5)$,$Y$ के $(n+l)$ मान $(3)$ से अधिक है,इसलिए $X$ की ऊर्जा $Y$ से अधिक है।

(C) हुंड का अधिकतम बहुलता का नियम बताता है कि किसी दिए गए इलेक्ट्रॉन विन्यास के लिए,अधिकतम बहुलता वाला पद सबसे कम ऊर्जा वाला होता है। इसका मतलब है कि युग्मन होने से पहले इलेक्ट्रॉनों को जहाँ तक संभव हो एकल रूप से कक्षकों में भरा जाना चाहिए।
$(A)$ $2s^2 2p^2$: इलेक्ट्रॉन $2p$ कक्षकों में एकल रूप से भरे गए हैं। यह हुंड के नियम का पालन करता है।
$(B)$ $2s^2 2p^3$: $2s$ कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन समानांतर स्पिन के साथ हैं,जो पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का उल्लंघन करता है।
$(C)$ $2s^2 2p^2$: इलेक्ट्रॉन एकल रूप से भरे जाने के बजाय एक ही $2p$ कक्षक में युग्मित हैं। यह हुंड के नियम का उल्लंघन करता है।
$(D)$ $2s^2 2p^3$: यह पाउली के अपवर्जन सिद्धांत और हुंड के नियम दोनों का पालन करने वाला सही ग्राउंड स्टेट विन्यास है।
इसलिए,केवल विकल्प $(C)$ में हुंड के नियम का उल्लंघन होता है।

(D) कथन $(a)$ गलत है: जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n=4)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n=2)$ में जाता है,तो वह ऊर्जा उत्सर्जित करता है,प्राप्त नहीं करता है।
कथन $(b)$ गलत है: कक्षक की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ के साथ बढ़ती है। अतः,$3p$ कक्षक की ऊर्जा $2p$ कक्षक से अधिक होती है।
कथन $(c)$ सही है: किसी भी $s$-कक्षक (या उपकोष) में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
कथन $(d)$ गलत है: कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ द्वारा दी जाती है। $3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2(3)^2 = 2(9) = 18$ इलेक्ट्रॉन है।

(A) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2 \pi}$।
$d-$कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2 \pi}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दी गई शर्त $(n+\ell) \leq 3$ है।
$3p$ के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और द्विगंशी क्वांटम संख्या $\ell = 1$ है।
अतः,$(n+\ell) = 3 + 1 = 4$ है।
चूंकि $4 > 3$,इसलिए $3p$ उपकोश संभव नहीं है।

(A) $1$. कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ के बराबर होती है। $d$-कक्षकों के लिए $l=2$,इसलिए उनमें $2$ कोणीय नोड होते हैं। अतः,$A$ का मिलान $P$ $(4d_{x^2-y^2})$ से होता है।
$2$. $d_{z^2}$ कक्षक में शून्य नोडल तल होते हैं। अतः,$B$ का मिलान $Q$ $(3d_{z^2})$ से होता है।
$3$. रेडियल नोड की गणना $(n - l - 1)$ सूत्र द्वारा की जाती है। $3s$ के लिए $n=3, l=0$,इसलिए रेडियल नोड $= 3-0-1 = 2$। अतः,$C$ का मिलान $S$ $(3s)$ से होता है।
$4$. $f$-कक्षकों के लिए कोणीय नोड $l=3$ होते हैं। अतः,$D$ का मिलान $R$ $(4f)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $A-P, B-Q, C-S, D-R$ है।

(B) $H$-परमाणु में,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है। इसलिए,$3d$ $(n=3)$ की ऊर्जा $4s$ $(n=4)$ से कम होती है।
हालाँकि,कथन सत्य है,लेकिन कारण में दिया गया $(n+\ell)$ नियम केवल बहु-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों पर लागू होता है,$H$-परमाणु पर नहीं।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) कक्षीय कोणीय संवेग का सूत्र $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ है।
$3s$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 0$ है। अतः,कक्षीय कोणीय संवेग $= \sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2 \pi} = 0$.
$3p$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 1$ है। अतः,कक्षीय कोणीय संवेग $= \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\sqrt{2} \pi}$.

(A) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ वाले कक्षक के लिए:
$1.$ कोणीय नोड (नोडल तल) की संख्या $= l$
$2.$ त्रिज्यीय नोड की संख्या $= n - l - 1$
$3.$ कुल नोड की संख्या $= (n - l - 1) + l = n - 1$
दिया गया है: नोडल तलों की संख्या $= 2$,अतः $l = 2$ ($d$-कक्षक के लिए)।
दिया गया है: कुल नोड $= 4$,अतः $n - 1 = 4$,जिसका अर्थ है $n = 5$।
अतः,वह कक्षक $5d$ है।

(B) सोडियम $(Z=11)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^1$ है।
संयोजी कोश का इलेक्ट्रॉन $3s$ कक्षक में है।
$3s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$s$-कक्षक के लिए,द्विगांशी क्वांटम संख्या $\ell = 0$ है।
चूँकि $\ell = 0$,इसलिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m = 0$ है।
कक्षक में पहले इलेक्ट्रॉन के लिए चक्रण क्वांटम संख्या $s = +\frac{1}{2}$ ली जाती है।

(A) परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$ है।
हमें $m=0$ और $s=+\frac{1}{2}$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करनी है।
- $1s^2$: एक इलेक्ट्रॉन $m=0, s=+\frac{1}{2}$ रखता है।
- $2s^2$: एक इलेक्ट्रॉन $m=0, s=+\frac{1}{2}$ रखता है।
- $2p^6$: $2p_z$ कक्षक $m=0$ रखता है। इसमें $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिनमें से एक का $s=+\frac{1}{2}$ होता है।
- $3s^2$: एक इलेक्ट्रॉन $m=0, s=+\frac{1}{2}$ रखता है।
- $3p^6$: $3p_z$ कक्षक $m=0$ रखता है। इसमें $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिनमें से एक का $s=+\frac{1}{2}$ होता है।
- $4s^2$: एक इलेक्ट्रॉन $m=0, s=+\frac{1}{2}$ रखता है।
$m=0$ और $s=+\frac{1}{2}$ वाले इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $1+1+1+1+1+1 = 6$ है।

(B) $3d_{x^2-y^2}$ कक्षक के लोब $x$ और $y$ अक्षों पर होते हैं। इलेक्ट्रॉन घनत्व इन अक्षों पर केंद्रित होता है,$xy$ तल में नहीं। अतः,कथन सही है।
$(b)$ $3d_{z^2}$ कक्षक के लोब $z$-अक्ष पर होते हैं और $xy$ तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक वलय होता है। अतः,यह कथन कि $xy$ तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य है,गलत है।
$(c)$ रेडियल नोड्स की संख्या $(n - l - 1)$ द्वारा दी जाती है। $2s$ के लिए,$n=2, l=0$,इसलिए नोड्स $= 2 - 0 - 1 = 1$। अतः,कथन सही है।
$(d)$ $2p_z$ कक्षक के लिए,नोडल तल $xy$ तल है (जहाँ $z=0$)। $yz$ तल $2p_z$ के लिए नोडल तल नहीं है। अतः,कथन गलत है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(d)$ गलत हैं।

(C) कक्षक की ऊर्जा $(n + \ell)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
समान $(n + \ell)$ मान वाले कक्षकों के लिए,कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
$(n + \ell)$ मानों की गणना:
$3s: 3 + 0 = 3$
$3p: 3 + 1 = 4$
$4s: 4 + 0 = 4$
$3d: 3 + 2 = 5$
$4p: 4 + 1 = 5$
$5s: 5 + 0 = 5$
$4d: 4 + 2 = 6$
$5p: 5 + 1 = 6$
अतः,सही बढ़ता क्रम $3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s < 4d < 5p$ है।

(A) ${}_{24}Cr$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है और ${}_{29}Cu$ का $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
ये विन्यास असामान्य माने जाते हैं क्योंकि ये Aufbau सिद्धांत के अपेक्षित क्रम से भिन्न होते हैं।
इन विन्यासों की स्थिरता का कारण यह है कि अर्ध-पूर्ण $(d^5)$ और पूर्ण-भरे $(d^{10})$ उपकोष सममिति और विनिमय ऊर्जा के कारण अतिरिक्त स्थिरता रखते हैं।
हालांकि वे $d-$ब्लॉक तत्व हैं,लेकिन विशिष्ट इलेक्ट्रॉनिक व्यवस्था का मुख्य कारण उपकोषों की स्थिरता है।

(C) दिए गए विकल्पों में तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$Cu (Z=29): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1 3d^{10}$
$Cr (Z=24): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1 3d^5$
$Zn (Z=30): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10}$
$K (Z=19): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$
दिए गए विकल्पों में से,केवल $Zn$ $(Z=30)$ के सबसे बाहरी कोश में $4s^2$ विन्यास है।

(C) आर्गन ($Ar$,$Z=18$) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$ है।
$p$-ऑर्बिटल के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-1, 0, +1$ होता है।
$2p^6$ उपकोष में $3$ ऑर्बिटल $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ होते हैं। प्रत्येक ऑर्बिटल में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$m = +1$ वाले ऑर्बिटल में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
इसी प्रकार,$3p^6$ उपकोष में $3$ ऑर्बिटल होते हैं। $m = +1$ वाले ऑर्बिटल में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$m = +1$ वाले कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 = 4$ है।

(D) $p$-कक्षक $(p_x, p_y, p_z)$ क्रमशः $x, y,$ और $z$ अक्ष के अनुदिश स्थित होते हैं।
$d$-कक्षकों में,$d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$ अक्ष के अनुदिश स्थित होते हैं।
विशेष रूप से,$d_{x^2-y^2}$ के लोब $x$ और $y$ अक्ष पर होते हैं,और $d_{z^2}$ के लोब $z$ अक्ष पर होते हैं।
इसके विपरीत,$d_{xy}, d_{yz},$ और $d_{zx}$ कक्षकों के लोब अक्षों के बीच स्थित होते हैं।
इसलिए,$p_z$ और $d_{x^2-y^2}$ दोनों अक्ष के अनुदिश स्थित हैं।

(C) $4^{th}$ कोश $(n = 4)$ में $\ell = 0, 1, 2, 3$ के संगत उपकोश होते हैं।
$\ell = 2$ के लिए,उपकोश $4d$ है।
उपकोश में कक्षकों की संख्या $(2\ell + 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\ell = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(2) + 1 = 5$ कक्षक प्राप्त होते हैं।

(D) दिए गए चित्र में,तीसरी कक्षक ($p$-उपकोश का पहला बॉक्स) में दो इलेक्ट्रॉन समान चक्रण (spin) रखते हैं (दोनों ऊपर की ओर हैं)।
पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है।
इसका तात्पर्य यह है कि एक ही कक्षक में,इलेक्ट्रॉनों का चक्रण विपरीत होना चाहिए।
चूंकि एक ही कक्षक में मौजूद दोनों इलेक्ट्रॉनों का चक्रण समान है,इसलिए पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का उल्लंघन होता है।

(D) कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। कक्षक के $(n+l)$ मान का योग जितना अधिक होगा,उसकी ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी।
यदि दो कक्षकों के लिए $(n+l)$ का मान समान है,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान अधिक होगा,उसकी ऊर्जा अधिक होगी।
प्रत्येक के लिए $(n+l)$ की गणना करते हैं:
$(A)$ $2p$: $n=2, l=1 \implies n+l = 3$
$(B)$ $3s$: $n=3, l=0 \implies n+l = 3$
$(C)$ $3d$: $n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$(D)$ $4p$: $n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$3d$ और $4p$ की तुलना करने पर,दोनों के लिए $(n+l) = 5$ है। चूँकि $4p$ का मुख्य क्वांटम संख्या $(n=4)$ $3d$ $(n=3)$ की तुलना में अधिक है,इसलिए $4p$ की ऊर्जा सबसे अधिक है।

(A) कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या है। जिस कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान सबसे कम होता है,उसकी ऊर्जा सबसे कम होती है। यदि $(n+l)$ के मान समान हों,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
प्रत्येक के लिए $(n+l)$ की गणना:
$2p: n=2, l=1 \implies n+l = 3$
$3s: n=3, l=0 \implies n+l = 3$
$3d: n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$4p: n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$2p$ और $3s$ की तुलना करने पर,दोनों के लिए $(n+l) = 3$ है। चूँकि $2p$ का $n$ मान $(n=2)$,$3s$ $(n=3)$ की तुलना में कम है,इसलिए $2p$ की ऊर्जा सबसे कम है।

(A) कॉपर $(Cu)$ का परमाणु क्रमांक $29$ है।
$Cu$ का ग्राउंड स्टेट इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
$3d$ उपकोश में,सभी $10$ इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं।
$4s$ उपकोश में,$1$ इलेक्ट्रॉन है,जो अयुग्मित है।
अतः,$Cu$ में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $1$ है।

(A) आवर्त-$4$ और समूह-$12$ में स्थित तत्व जिंक $(Zn)$ है।
$Zn$ का परमाणु क्रमांक $30$ है।
मूल अवस्था में $Zn$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \ 3d^{10} \ 4s^2$ है।
इस विन्यास में,सभी $3d$ और $4s$ कक्षक पूरी तरह से भरे हुए हैं,जिसका अर्थ है कि इसमें $0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
उत्तेजित अवस्था में (उदाहरण के लिए,$Zn^{2+}$ आयन),विन्यास $[Ar] \ 3d^{10}$ होता है,जिसमें भी $0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं।
अतः,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $0$ है।

(C) $Ti$ का परमाणु क्रमांक $22$ है। $Ti$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^2 4s^2$ है।
$+2$ ऑक्सीकरण अवस्था में,$Ti^{2+}$ $4s$ कक्षक से दो इलेक्ट्रॉन खो देता है।
इसलिए,$Ti^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^2$ होता है।
अतः,$3d$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन उपस्थित हैं।

(D) $Cr (Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
यह विन्यास इसलिए अपनाया जाता है क्योंकि अर्ध-पूरित $d$-कक्षक $(d^5)$ अतिरिक्त स्थिरता प्रदान करते हैं।
$3d$ उपकोश में $5$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $5$ $d$-कक्षकों में एक-एक करके स्थित होता है।
अतः,$d$-कक्षकों में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5$ है।

(C) क्रोमियम $(Cr)$ की परमाणु संख्या $24$ है।
इसका अपेक्षित इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^4 4s^2$ है।
हालाँकि,अर्ध-भरे $d$-कक्षकों के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण,वास्तविक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
इस विन्यास में,$3d$ उपकोश में $5$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन और $4s$ उपकोश में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
अतः,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $5 + 1 = 6$ है।

(B) किसी कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$।
$2s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{Radial nodes} = 2 - 0 - 1 = 1$।
अतः,$2s$ कक्षक में $1$ रेडियल नोड होता है।

(D) -कक्षक कुल पाँच होते हैं: $d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{xz}$,$d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$।
इनमें से,पहले चार ($d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{xz}$ और $d_{x^2-y^2}$) का आकार डबल-डंबेल होता है।
$d_{z^2}$ कक्षक का आकार अद्वितीय होता है,जिसमें $z$-अक्ष पर एक डंबेल और $xy$-तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक डोनट-आकार का वलय होता है।
इसलिए,$d_{z^2}$ का आकार दूसरों से भिन्न है।

(C) $3d$ कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान इस प्रकार निकाला जाता है:
$3d$ के लिए,$n=3$ और $l=2$,अतः $(n+l) = 3+2 = 5$.
अब,दिए गए विकल्पों के लिए $(n+l)$ मानों की गणना करते हैं:
$A) 4s$: $n=4, l=0 \implies (n+l) = 4+0 = 4$
$B) 3s$: $n=3, l=0 \implies (n+l) = 3+0 = 3$
$C) 4p$: $n=4, l=1 \implies (n+l) = 4+1 = 5$
$D) 2p$: $n=2, l=1 \implies (n+l) = 2+1 = 3$
इन मानों की तुलना करने पर,$4p$ कक्षक का $(n+l)$ मान $5$ है,जो $3d$ कक्षक के समान है।

(C) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कोश की संख्या को दर्शाती है,और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ उपकोश के प्रकार को दर्शाती है।
$l=0$ के लिए,उपकोश $s$ है।
$l=1$ के लिए,उपकोश $p$ है।
$l=2$ के लिए,उपकोश $d$ है।
$l=3$ के लिए,उपकोश $f$ है।
दिए गए $n=3$ और $l=2$ के लिए,कक्षक $3d$ है।

(D) $N$ कोश मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ के अनुरूप है।
किसी दिए गए $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के मान $0$ से $n-1$ तक होते हैं।
अतः,$n = 4$ के लिए,$l = 0, 1, 2, 3$ ($4s, 4p, 4d, 4f$ उपकोश)।
उपकोश में कक्षकों की संख्या $2l + 1$ द्वारा दी जाती है।
$l = 0$ $(4s)$ के लिए: $2(0) + 1 = 1$ कक्षक।
$l = 1$ $(4p)$ के लिए: $2(1) + 1 = 3$ कक्षक।
$l = 2$ $(4d)$ के लिए: $2(2) + 1 = 5$ कक्षक।
$l = 3$ $(4f)$ के लिए: $2(3) + 1 = 7$ कक्षक।
$N$ कोश में कुल कक्षकों की संख्या $= 1 + 3 + 5 + 7 = 16$ है।
वैकल्पिक रूप से,किसी कोश में कुल कक्षकों की संख्या $n^2 = 4^2 = 16$ द्वारा दी जाती है।

(D) कक्षक का नाम मुख्य क्वांटम संख्या $n$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$l=0$ के लिए,कक्षक $s$ है।
$l=1$ के लिए,कक्षक $p$ है।
$l=2$ के लिए,कक्षक $d$ है।
$l=3$ के लिए,कक्षक $f$ है।
यहाँ $n=4$ और $l=3$ दिया गया है,इसलिए कक्षक $4f$ होगा।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
चूंकि $2s$ और $2p$ दोनों के लिए $n = 2$ है,इसलिए उनकी ऊर्जा समान है।
समान ऊर्जा वाले कक्षकों को समभ्रंश (degenerate) कक्षक कहा जाता है।
अतः,$2s$ और $2p$ समभ्रंश कक्षक हैं।

(B) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,कोई भी एक कक्षक अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉनों को समायोजित कर सकता है जिनके चक्रण विपरीत होते हैं।
चूंकि प्रश्न में $n=5$ और $m=1$ द्वारा परिभाषित एक $p$-कक्षक का उल्लेख है,इसलिए इसमें अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।

(B) $M$-कोश मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप है।
$n = 3$ के लिए,दिगंशीय (azimuthal) क्वांटम संख्या $l$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं,जो $3s, 3p$ और $3d$ उपकोशों के अनुरूप हैं।
उपकोश में कक्षकों की संख्या $2l + 1$ द्वारा दी जाती है।
$l = 0$ $(3s)$ के लिए: $2(0) + 1 = 1$ कक्षक।
$l = 1$ $(3p)$ के लिए: $2(1) + 1 = 3$ कक्षक।
$l = 2$ $(3d)$ के लिए: $2(2) + 1 = 5$ कक्षक।
कुल कक्षकों की संख्या $= 1 + 3 + 5 = 9$।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
इसलिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $= 9 \times 2 = 18$।