Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(C) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले कोश में कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,कक्षकों की कुल संख्या $= 4^2 = 16$ है।

(C) -कक्षकों के आकार तरंग फलन के कोणीय भाग द्वारा निर्धारित होते हैं,जो दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ पर निर्भर करते हैं। सभी $d$-कक्षकों के लिए,$l = 2$ होता है। इसलिए,$3d$,$4d$,और $5d$ कक्षकों के आकार समान होते हैं।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि $4d$ और $3d$ कक्षकों के आकार समान होते हैं।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि मुक्त परमाणु में,सभी पाँच $d$-कक्षक समभ्रंश (समान ऊर्जा वाले) होते हैं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $d_{x^{2}-y^{2}}$ और $d_{z^{2}}$ के आकार समान नहीं होते हैं। $d_{x^{2}-y^{2}}$ में $x$ और $y$ अक्षों पर चार पालियाँ होती हैं,जबकि $d_{z^{2}}$ में $z$-अक्ष पर दो पालियाँ और $xy$-तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक वलय होता है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ने पर,कक्षक का आकार बढ़ता है। अतः,$5d$ कक्षक $4d$ कक्षकों से बड़े होते हैं।

(B) अपभ्रष्ट (degenerate) कक्षक वे कक्षक होते हैं जिनकी ऊर्जा समान होती है।
बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए,यदि कक्षकों के $n$ और $l$ मान समान हैं,तो वे अपभ्रष्ट होते हैं।
युग्म $(A)$: $(a)$ $3p$ $(n=3, l=1)$ और $(b)$ $3d$ $(n=3, l=2)$ है,जो अपभ्रष्ट नहीं हैं।
युग्म $(B)$: $(a)$ $3d$ $(n=3, l=2)$ और $(b)$ $3d$ $(n=3, l=2)$ है। दोनों के $n$ और $l$ समान हैं,इसलिए वे अपभ्रष्ट हैं।
युग्म $(C)$: $(a)$ $4d$ $(n=4, l=2)$ और $(b)$ $3d$ $(n=3, l=2)$ है,जो अपभ्रष्ट नहीं हैं।
अतः,केवल युग्म $(B)$ अपभ्रष्ट कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों को दर्शाता है।

(A) $4d$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
रेडियल नोड्स की संख्या की गणना सूत्र: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ द्वारा की जाती है।
मान रखने पर: $\text{Radial nodes} = 4 - 2 - 1 = 1$.
कोणीय नोड्स की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के बराबर होती है।
अतः,$\text{Angular nodes} = l = 2$.
इस प्रकार,रेडियल और कोणीय नोड्स की संख्या क्रमशः $1$ और $2$ है।

(C) क्वांटम संख्याओं के एक मान्य सेट के लिए,निम्नलिखित नियमों का पालन होना चाहिए:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$.
$2$. $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$3$. $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
प्रत्येक सेट का मूल्यांकन:
- सेट $A$: $(3, 3, -3)$. यहाँ $n=3$ और $l=3$ है। चूँकि $l$ का मान $n$ से कम होना चाहिए,इसलिए यह सेट गलत है।
- सेट $B$: $(3, 2, -2)$. यहाँ $n=3$,$l=2$ $(< 3)$,और $m_l=-2$ ($-2$ से $+2$ के बीच) है। यह सेट सही है।
- सेट $C$: $(2, 1, +1)$. यहाँ $n=2$,$l=1$ $(< 2)$,और $m_l=+1$ ($-1$ से $+1$ के बीच) है। यह सेट सही है।
- सेट $D$: $(2, 2, +2)$. यहाँ $n=2$ और $l=2$ है। चूँकि $l$ का मान $n$ से कम होना चाहिए,इसलिए यह सेट गलत है।
अतः,क्वांटम संख्याओं के $2$ सही सेट ($B$ और $C$) हैं।

(D) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कोश को दर्शाती है और धनात्मक पूर्णांक मान $n = 1, 2, 3, \dots$ लेती है।
$(B)$ दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ उपकोश को निर्धारित करती है और मान $l = 0, 1, 2, \dots, (n-1)$ लेती है।
$(C)$ चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ कक्षकों के अभिविन्यास को निर्धारित करती है और $-l$ से $+l$ तक $(2l+1)$ मान लेती है।
$(D)$ चक्रण क्वांटम संख्या $m_s$ इलेक्ट्रॉन चक्रण का वर्णन करती है,जो $\pm 1/2$ हो सकता है।
$(E)$ $l = 5$ के लिए,कक्षकों की संख्या $2l + 1 = 2(5) + 1 = 11$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सभी कथन $(A), (B), (C), (D),$ और $(E)$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(B) $2s$ कक्षक के लिए,रेडियल नोड्स की संख्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$.
$2s$ के लिए,$n = 2$ और $l = 0$,इसलिए $\text{Radial nodes} = 2 - 0 - 1 = 1$.
इसका मतलब है कि एक बिंदु ऐसा है जहाँ प्रायिकता घनत्व $\psi^{2}(r)$ शून्य हो जाता है।
साथ ही,प्रायिकता घनत्व $\psi^{2}(r)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि यह $r$-अक्ष के नीचे नहीं जा सकता है।
दिए गए आलेखों में से,विकल्प $B$ दर्शाता है कि प्रायिकता घनत्व नाभिक पर उच्च मान से शुरू होता है,एक रेडियल नोड पर $r$-अक्ष को स्पर्श करता है,और फिर क्षय होने से पहले फिर से बढ़ता है,जो $2s$ कक्षक का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(D) $(A)$ $Cr$ $(Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है, जो अर्ध-भरे $d$-कक्षकों के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण है। यह कथन सही है।
$(B)$ चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-\ell$ से $+\ell$ तक होता है, जिसमें शून्य भी शामिल है, इसलिए यह ऋणात्मक मान ले सकता है। यह कथन सही है।
$(C)$ ऑफबाऊ सिद्धांत के अनुसार, मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन बढ़ती ऊर्जा के क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं। यह कथन सही है।
$(D)$ एक कक्षक में नोड्स की कुल संख्या $n-1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है। दिया गया कथन $n-2$ गलत है।
अतः, कथन $(A)$, $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l$ के लिए मान्य मान $0, 1, 2, \dots, (n-1)$ हैं।
$n=3$ के लिए,$l$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
इसलिए,$n=3$ के लिए $l=3$ संभव नहीं है क्योंकि $l$ का मान $n$ से कम होना चाहिए।

(A) $(n+\ell)$ नियम के अनुसार,कक्षक की ऊर्जा उसके मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(\ell)$ के योग द्वारा निर्धारित होती है।
$A$ के लिए: $n+\ell = 3+0 = 3$ ($3s$ कक्षक)
$B$ के लिए: $n+\ell = 4+0 = 4$ ($4s$ कक्षक)
$C$ के लिए: $n+\ell = 3+1 = 4$ ($3p$ कक्षक)
$D$ के लिए: $n+\ell = 3+2 = 5$ ($3d$ कक्षक)
ऊर्जा के नियम:
$1$. $(n+\ell)$ का मान जितना अधिक होगा,ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी।
$2$. यदि $(n+\ell)$ के मान समान हैं,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान अधिक होगा,उसकी ऊर्जा अधिक होगी।
मानों की तुलना करने पर:
$D$ $(n+\ell=5)$ की ऊर्जा सबसे अधिक है।
$B$ और $C$ दोनों के लिए $(n+\ell)=4$ है। चूँकि $B$ में $n=4$ है और $C$ में $n=3$ है,इसलिए $B$ की ऊर्जा $C$ से अधिक है।
$A$ $(n+\ell=3)$ की ऊर्जा सबसे कम है।
अतः,ऊर्जा का घटता क्रम $D > B > C > A$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु या आयन के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती है। हालाँकि,लिथियम $(Z=3)$ जैसे बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए,कक्षक की ऊर्जा $n$ और प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ दोनों पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक $(Z)$ बढ़ता है,प्रभावी नाभिकीय आवेश बढ़ता है,जिससे नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के बीच आकर्षण बल बढ़ जाता है।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ समान कक्षक (जैसे,$2s$) की ऊर्जा घटती है।
इसलिए,हाइड्रोजन $(Z=1)$ में $2s$ कक्षक की ऊर्जा लिथियम $(Z=3)$ की तुलना में अधिक होती है।
अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) परमाणु कक्षक एक गणितीय फलन $(\Psi)$ है जो नाभिक के चारों ओर के क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता का वर्णन करता है। यह तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा पूर्णतः अभिलक्षित होता है: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$,और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$। अतः,यह कथन कि परमाणु कक्षक को केवल $n$ और $l$ द्वारा अभिलक्षित किया जाता है,गलत है।

(B) कक्षक की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$A$ $\Rightarrow 3d$ $\Rightarrow n + l = 3 + 2 = 5$
$B$ $\Rightarrow 4p$ $\Rightarrow n + l = 4 + 1 = 5$
$C$ $\Rightarrow 4d$ $\Rightarrow n + l = 4 + 2 = 6$
$D$ $\Rightarrow 3p$ $\Rightarrow n + l = 3 + 1 = 4$
$(n + l)$ नियम के अनुसार,जैसे-जैसे $(n + l)$ का मान बढ़ता है,ऊर्जा बढ़ती है।
यदि $(n + l)$ के मान समान हैं,तो जिस कक्षक का $n$ मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
मानों की तुलना करने पर:
$D (n+l = 4) < A (n+l = 5, n=3) < B (n+l = 5, n=4) < C (n+l = 6)$
अतः,बढ़ती ऊर्जा का सही क्रम $D < A < B < C$ है।

(D)
क्वांटम संख्याओं के एक सेट को मान्य होने के लिए निम्नलिखित नियमों का पालन करना चाहिए:
$(i)$ $l$ का मान $0$ से $n-1$ के बीच होना चाहिए।
$(ii)$ $m_{l}$ का मान $-l$ से $+l$ के बीच होना चाहिए।
$(iii)$ $m_{s}$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ होना चाहिए।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया सेट $n=2, l=1, m_{l}=-1, m_{s}=1/2$ सभी शर्तों को पूरा करता है।

(D) किसी भी ऑर्बिटल के लिए,रेडियल नोड्स की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
कोणीय (angular) नोड्स की संख्या एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l$ के बराबर होती है।
$4p$-ऑर्बिटल के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ और एज़िमुथल क्वांटम संख्या $l = 1$ है।
रेडियल नोड्स की संख्या $= 4 - 1 - 1 = 2$ है।
कोणीय नोड्स की संख्या $= l = 1$ है।
अतः,रेडियल और कोणीय नोड्स की संख्या क्रमशः $2$ और $1$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन के लिए अनुमत क्वांटम संख्याएँ निम्नलिखित शर्तों का पालन करती हैं:
$(i)$ $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक होना चाहिए।
$(ii)$ $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होना चाहिए।
$(iii)$ $m_s$ का मान $\pm 1/2$ होना चाहिए।
$n=1$ के लिए,$l$ का केवल एक ही संभव मान $0$ है।
यदि $l=0$ है,तो $m_l$ का मान $0$ होगा।
अतः,$n=1, l=0, m_l=0, m_s=+1/2$ एक मान्य समूह है।

(C) $Cu$ $(Z=29)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
इसमें केवल एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है,जो $4s$ कक्षक में स्थित है।
$4s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ है।
$s$-कक्षक के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=0$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m=0$ है।
चक्रण क्वांटम संख्या $s$ का मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकता है।
अतः,क्वांटम संख्याओं का सही सेट $n=4, l=0, m=0, s=+\frac{1}{2}$ है।

(D) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
इस नियम के अनुसार,जिस कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है।
यदि दो कक्षकों के लिए $(n+l)$ का मान समान हो,तो जिसका मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $(n+l)$ की गणना:
$A$: $n=5, l=0 \implies n+l = 5+0 = 5$
$B$: $n=4, l=2 \implies n+l = 4+2 = 6$
$C$: $n=4, l=1 \implies n+l = 4+1 = 5$
$D$: $n=5, l=1 \implies n+l = 5+1 = 6$
विकल्प $B$ और $D$ की तुलना करने पर,दोनों के लिए $(n+l) = 6$ है। चूंकि विकल्प $D$ में $n$ का मान $(n=5)$ विकल्प $B$ $(n=4)$ की तुलना में अधिक है,इसलिए विकल्प $D$ की ऊर्जा उच्चतम है।

(A) $(i)$ जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक बढ़ता है,$2s$ कक्षक की ऊर्जा घटती है। अतः $E_{2s}(H) > E_{2s}(Li) > E_{2s}(Na) > E_{2s}(K)$। कथन $i$ गलत है।
$(ii)$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले कोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ होती है। कथन $ii$ सही है।
$(iii)$ अर्ध-भरे उपकोश की स्थिरता अधिक विनिमय ऊर्जा के कारण होती है,कम के कारण नहीं। कथन $iii$ गलत है।
$(iv)$ पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक कक्षक में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं और उनका चक्रण विपरीत होना चाहिए। कथन $iv$ गलत है।

(B)
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें।
$(I)$ पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता। अतः,कथन $(a)$ सही है।
$(II)$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले कोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ होती है,न कि $n^2+2$। अतः,कथन $(b)$ गलत है।
$(III)$ एक कक्षक में इलेक्ट्रॉनों का चक्रण विपरीत होना चाहिए,अर्थात $m_s = +\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$। अतः,कथन $(c)$ सही है।
$(IV)$ आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,परमाणुओं की मूल अवस्था में,कक्षक उनकी बढ़ती ऊर्जा के क्रम में भरे जाते हैं। अतः,कथन $(d)$ सही है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में ऑर्बिटल की ऊर्जा प्रभावी परमाणु आवेश $(Z_{eff})$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक $(Z)$ बढ़ता है,नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के बीच आकर्षण बढ़ता है,जिससे ऑर्बिटल की ऊर्जा कम हो जाती है।
$2s$-ऑर्बिटल के लिए,परमाणु आवेश बढ़ने के साथ ऊर्जा घटती है।
परमाणु क्रमांक हैं: $H (Z=1)$,$Li (Z=3)$,$Na (Z=11)$,और $K (Z=19)$।
चूंकि $Z$ का क्रम $H < Li < Na < K$ है,इसलिए $2s$-ऑर्बिटल की ऊर्जा का क्रम $K < Na < Li < H$ होगा।

(D)
मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले कोश में भरे जा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या} = 2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32$.

(A) किसी कोश में समाहित किए जा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n=3$ वाले कोश के लिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{अधिकतम इलेक्ट्रॉन} = 2(3)^2 = 2 \times 9 = 18$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) कार्बन $(C)$ का परमाणु क्रमांक $6$ है। इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^2$ है।
हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,एक ही उपकोश (subshell) के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक नहीं होता है जब तक कि उस उपकोश के प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए।
कार्बन के $2p$ उपकोश में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं। हुंड के नियम के अनुसार,ये $2$ इलेक्ट्रॉन अलग-अलग $2p$ कक्षकों में समानांतर चक्रण (parallel spins) के साथ भरेंगे ताकि अंतर-इलेक्ट्रॉनिक प्रतिकर्षण न्यूनतम हो सके।
अतः,सही विन्यास विकल्प $(A)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) . किसी उपकोश में समायोजित किए जा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या का सूत्र $2(2l + 1)$ है।
दी गई एज़िमथल क्वांटम संख्या $l = 4$ के लिए,गणना इस प्रकार है:
इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $= 2(2 \times 4 + 1) = 2(8 + 1) = 2 \times 9 = 18$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
संयोजी इलेक्ट्रॉन वे इलेक्ट्रॉन होते हैं जो किसी परमाणु के सबसे बाहरी कोश में उपस्थित होते हैं।
दिए गए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$ में,सबसे बाहरी कोश $n = 3$ है।
$3s$ और $3p$ कक्षकों में मौजूद इलेक्ट्रॉन संयोजी इलेक्ट्रॉन बनाते हैं।
संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 2 + 3 = 5$।

(D) सही उत्तर $(D)$ है।
मुख्य $(n)$,दिगंशीय $(l)$ और चुंबकीय $(m_l)$ क्वांटम संख्याओं के किसी भी सेट के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$(i)$ $l$ का मान $0$ से $n-1$ के बीच होना चाहिए।
$(ii)$ $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ के बीच होना चाहिए।
विकल्प $(D)$ में,$n=2$ और $l=2$ है। चूंकि $l$ का मान हमेशा $n$ से कम $(l < n)$ होना चाहिए,इसलिए $n=2$ के लिए $l=2$ संभव नहीं है।
अतः,$(n=2, l=2, m_l=-1)$ सेट मान्य नहीं है।

(A) सिलिकॉन $(Si)$ का परमाणु क्रमांक $14$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन $1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p$ के क्रम में भरे जाते हैं।
$14$ इलेक्ट्रॉनों का वितरण इस प्रकार है: $1 s^2, 2 s^2, 2 p^6, 3 s^2, 3 p^2$।
अतः,सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^2 2 s^2 2 p^6 3 s^2 3 p^2$ है।

(D) $55$ प्रोटॉन वाले तत्व का परमाणु क्रमांक $Z = 55$ है,जो सीज़ियम $(Cs)$ है।
$Cs$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] \, 6s^1$ है।
यूनीपॉजिटिव अवस्था $(Cs^+)$ में,$6s^1$ इलेक्ट्रॉन निकल जाता है,जिससे $[Xe]$ विन्यास प्राप्त होता है।
ज़ेनॉन $(Xe)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 3d^{10} \, 4s^2 \, 4p^6 \, 4d^{10} \, 5s^2 \, 5p^6$ है।
$s$-इलेक्ट्रॉन $1s, 2s, 3s, 4s,$ और $5s$ कक्षकों में उपस्थित हैं।
$s$-इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या = $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$.

(D) अक्ष के अनुदिश इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली कक्षकों को अक्षीय कक्षक कहा जाता है।
इनमें तीन $p$-कक्षक $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ और दो $d$-कक्षक $(d_{z^2}, d_{x^2-y^2})$ शामिल हैं।
$d_{xy}, d_{yz}, d_{xz}$ गैर-अक्षीय कक्षक हैं।
अतः,कुल अक्षीय कक्षकों की संख्या $3 + 2 = 5$ है।

(B) किसी कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n=4$ के लिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n=4$ कक्षा के उपकोशों में इलेक्ट्रॉनों का योग:

उपकोश	इलेक्ट्रॉन
$4s$	$2$
$4p$	$6$
$4d$	$10$
$4f$	$14$
कुल	$32$

(D) रेडियल नोड वह बिंदु है जहाँ प्रायिकता घनत्व और तरंग फलन $(\Psi)$ शून्य हो जाते हैं।
$2s$ कक्षक के लिए,तरंग फलन इस प्रकार है:
$\Psi_{2s} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} \left(2 - \frac{r}{a_0}\right) e^{-r/2a_0}$
रेडियल नोड पर,$\Psi_{2s} = 0$ होता है।
चूंकि घातांकीय पद $e^{-r/2a_0}$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए कोष्ठक में दिया गया पद शून्य होना चाहिए:
$2 - \frac{r_0}{a_0} = 0$
$r_0$ के लिए हल करने पर:
$r_0 = 2a_0$

(B) कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$A$. $n = 3, l = 0, m = 0 \implies (n+l) = 3 + 0 = 3$ ($3s$ कक्षक)
$B$. $n = 4, l = 0, m = 0 \implies (n+l) = 4 + 0 = 4$ ($4s$ कक्षक)
$C$. $n = 3, l = 1, m = 0 \implies (n+l) = 3 + 1 = 4$ ($3p$ कक्षक)
$D$. $n = 3, l = 2, m = 1 \implies (n+l) = 3 + 2 = 5$ ($3d$ कक्षक)
$(n+l)$ मानों की तुलना करने पर: $D (5) > B (4) = C (4) > A (3)$।
$B$ और $C$ के लिए,दोनों का $(n+l) = 4$ है। नियम के अनुसार,जिस कक्षक का $n$ मान अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है। अतः,$B (n=4) > C (n=3)$।
ऊर्जा का घटता क्रम $D > B > C > A$ है।

(D) कक्षक को $n\ell$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $\ell$ दिगंशीय क्वांटम संख्या है।
$\ell=0$ के लिए,कक्षक $s$ है।
$\ell=1$ के लिए,कक्षक $p$ है।
$\ell=2$ के लिए,कक्षक $d$ है।
मानों का मिलान करने पर:
$a. n=2, \ell=1 \rightarrow 2p$ $(iii)$
$b. n=3, \ell=2 \rightarrow 3d$ $(iv)$
$c. n=3, \ell=0 \rightarrow 3s$ $(ii)$
$d. n=2, \ell=0 \rightarrow 2s$ $(i)$
अतः,सही मिलान $(a)-(iii), (b)-(iv), (c)-(ii), (d)-(i)$ है।

(A) रेडियल नोड्स की संख्या की गणना सूत्र: $\text{Radial nodes} = n - \ell - 1$ द्वारा की जाती है।
$7s$ के लिए: $n=7, \ell=0 \Rightarrow 7 - 0 - 1 = 6$.
$7p$ के लिए: $n=7, \ell=1 \Rightarrow 7 - 1 - 1 = 5$.
$6s$ के लिए: $n=6, \ell=0 \Rightarrow 6 - 0 - 1 = 5$.
$8p$ के लिए: $n=8, \ell=1 \Rightarrow 8 - 1 - 1 = 6$.
$8d$ के लिए: $n=8, \ell=2 \Rightarrow 8 - 2 - 1 = 5$.
$5$ रेडियल नोड्स वाले कक्षक $7p, 6s$ और $8d$ हैं।
अतः,ऐसे कक्षकों की कुल संख्या $3$ है।

(A) आइए प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें:
$A.$ सही। $1s$ कक्षक के लिए,प्रायिकता घनत्व $\psi^2$ नाभिक $(r=0)$ पर अधिकतम होता है।
$B.$ गलत। $2s$ कक्षक के लिए,प्रायिकता घनत्व $\psi^2$ नाभिक पर अधिकतम होता है,रेडियल नोड पर शून्य हो जाता है,और फिर घटने से पहले एक छोटे अधिकतम तक बढ़ता है।
$C.$ गलत। सीमा सतह आरेख इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की $90\%$ प्रायिकता वाले क्षेत्र को घेरते हैं,$100\%$ नहीं।
$D.$ सही। कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है। $p$-कक्षकों $(l=1)$ के लिए,$1$ कोणीय नोड होता है। $d$-कक्षकों $(l=2)$ के लिए,$2$ कोणीय नोड होते हैं।
$E.$ सही। $p$-कक्षकों में नाभिक से गुजरने वाला एक नोडल तल होता है,इसलिए नाभिक पर प्रायिकता घनत्व शून्य होता है।
अतः,कथन $A, D,$ और $E$ सही हैं। सही कथनों की कुल संख्या $3$ है।

(D) कक्षीय कोणीय संवेग की गणना $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
किसी भी $s$ कक्षक के लिए,$3s$ सहित,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ होता है।
सूत्र में $l = 0$ प्रतिस्थापित करने पर: $L = \sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$.
इसकी तुलना $\frac{xh}{2\pi}$ से करने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।

(B) किसी दिए गए दिग्घंशीय क्वांटम संख्या $l$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ के मान $-l$ से $+l$ तक हो सकते हैं,जिसमें शून्य भी शामिल है।
$m$ के अनुमेय मानों की कुल संख्या,जिसे $n_m$ के रूप में दर्शाया गया है,का सूत्र है:
$n_m = 2l + 1$
इस सूत्र को $l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$n_m - 1 = 2l$
$l = \frac{n_m - 1}{2}$
अतः,विकल्प $B$ सही संबंध दर्शाता है।

(D) $n=4$ के लिए,उपकोश $4s, 4p, 4d,$ और $4f$ हैं।
इन उपकोशों में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या क्रमशः $2, 6, 10,$ और $14$ है।
चूंकि सभी उपकोश पूर्णतः भरे हुए हैं,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2 + 6 + 10 + 14 = 32$ है।
किसी भी पूर्णतः भरे हुए उपकोश में,ठीक आधे इलेक्ट्रॉनों का $s=+\frac{1}{2}$ और शेष आधे का $s=-\frac{1}{2}$ होता है।
इसलिए,$s=+\frac{1}{2}$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $\frac{32}{2} = 16$ है।

उपकोश	$4s, 4p, 4d, 4f$
कुल $e^-$	$2+6+10+14=32$
$s=+\frac{1}{2}$ के साथ कुल $e^-$	$1+3+5+7=16$

अतः,सही उत्तर $16$ है।

(A) उत्कृष्ट गैस विन्यास का अर्थ है पूर्ण भरा हुआ संयोजी कोश,जिसे सामान्यतः $ns^2 np^6$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$1. Sr^{2+} (Z=38)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Kr] 5s^0$ है,जो $Kr$ का उत्कृष्ट गैस विन्यास है।
$2. Cs^{+} (Z=55)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 6s^0$ है,जो $Xe$ का उत्कृष्ट गैस विन्यास है।
$3. La^{2+} (Z=57)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 5d^1$ है,जो उत्कृष्ट गैस विन्यास नहीं है।
$4. Pb^{2+} (Z=82)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 4f^{14} 5d^{10} 6s^2$ है,जो उत्कृष्ट गैस विन्यास नहीं है।
$5. Yb^{2+} (Z=70)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 4f^{14}$ है,जो उत्कृष्ट गैस विन्यास नहीं है।
$6. Fe^{2+} (Z=26)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6$ है,जो उत्कृष्ट गैस विन्यास नहीं है।
अतः,केवल $Sr^{2+}$ और $Cs^{+}$ उत्कृष्ट गैस विन्यास रखते हैं। ऐसे आयनों की कुल संख्या $2$ है।

(A) रुबिडियम $(Rb)$ की परमाणु संख्या $37$ है।
$Rb$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Kr] 5s^1$ है।
संयोजी इलेक्ट्रॉन $5s$ कक्षक में है।
$5s$ कक्षक के लिए:
मुख्य क्वांटम संख्या $(n) = 5$ है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l) = 0$ ($s$-कक्षक के लिए) है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m) = 0$ है।
चक्रण क्वांटम संख्या $(s) = +\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ है।
अतः,सही सेट $(n=5, l=0, m=0, s=+\frac{1}{2})$ है।

(A) कथन-$I$ सत्य है क्योंकि समान ऊर्जा वाले कक्षकों को समभ्रंश कक्षक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु (एक-इलेक्ट्रॉन प्रजाति) में,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या '$n$' पर निर्भर करती है।
चूंकि $3p$ और $3d$ दोनों कक्षकों की मुख्य क्वांटम संख्या $(n=3)$ समान है,इसलिए हाइड्रोजन परमाणु में उनकी ऊर्जा समान होती है।
अतः,हाइड्रोजन परमाणु में $3p$ और $3d$ कक्षक समभ्रंश हैं,जिससे कथन-$II$ असत्य हो जाता है।

(B) पोटेशियम $(Z=19)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^1$ है।
सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन $4s$ कक्षक में प्रवेश करता है।
$4s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ है।
चूंकि यह एक $s$-कक्षक है,इसलिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=0$ है।
अतः,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m=0$ है।
चक्रण क्वांटम संख्या $s$ का मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) $3p$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 1$ है।
त्रिज्यीय नोड की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $n - \ell - 1$ है।
मान रखने पर: $3 - 1 - 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$3p$ कक्षक के लिए त्रिज्यीय नोड की संख्या $1$ है।

(A) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के संभावित मान $0$ से $n-1$ तक होते हैं।
$n=4$ के लिए,$l$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं,जो क्रमशः $4s, 4p, 4d$ और $4f$ उपकोशों के अनुरूप हैं।
किसी दिए गए $l$ के लिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है।
- $4s$ $(l=0)$ के लिए: $m_l = 0$ ($1$ कक्षक)
- $4p$ $(l=1)$ के लिए: $m_l = -1, 0, +1$ ($m_l=0$ वाला $1$ कक्षक)
- $4d$ $(l=2)$ के लिए: $m_l = -2, -1, 0, +1, +2$ ($m_l=0$ वाला $1$ कक्षक)
- $4f$ $(l=3)$ के लिए: $m_l = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ ($m_l=0$ वाला $1$ कक्षक)
इस प्रकार,प्रत्येक उपकोश में $m_l=0$ वाला ठीक एक कक्षक होता है।
$n=4$ और $m_l=0$ वाले कक्षकों की कुल संख्या $1+1+1+1 = 4$ है।

(D) $n=4$ के लिए,$l$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
$|m_{l}|=1$ शर्त का अर्थ है $m_{l} = +1$ या $m_{l} = -1$।
प्रत्येक $l$ मान के लिए,हम जांचते हैं कि क्या $m_{l} = \pm 1$ संभव है:
- $l=0$ ($s$-कक्षक): $m_{l}=0$ (संभव नहीं)
- $l=1$ ($p$-कक्षक): $m_{l}=-1, 0, +1$ (संभव: $m_{l}=-1, +1$)
- $l=2$ ($d$-कक्षक): $m_{l}=-2, -1, 0, +1, +2$ (संभव: $m_{l}=-1, +1$)
- $l=3$ ($f$-कक्षक): $m_{l}=-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ (संभव: $m_{l}=-1, +1$)
$|m_{l}|=1$ वाले कुल कक्षक $2$ $(p)$ + $2$ $(d)$ + $2$ $(f)$ = $6$ कक्षक हैं।
प्रत्येक कक्षक में $m_{s}=-\frac{1}{2}$ वाला एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है।
अतः,इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $6 \times 1 = 6$ है।

(A) मल्टी-इलेक्ट्रॉन सिस्टम में ऑर्बिटल की ऊर्जा $(n+\ell)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$1$. प्रत्येक सेट के लिए $(n+\ell)$ की गणना करें:
$A: 4+1 = 5$
$B: 4+2 = 6$
$C: 3+1 = 4$
$D: 3+2 = 5$
$E: 4+0 = 4$
$2$. $(n+\ell)$ मानों की तुलना करें: $6 (B) > 5 (A, D) > 4 (C, E)$.
$3$. समान $(n+\ell)$ मान वाले ऑर्बिटल्स के लिए,जिस ऑर्बिटल का $n$ मान अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है।
$A (n=4)$ और $D (n=3)$ की तुलना: $A > D$.
$E (n=4)$ और $C (n=3)$ की तुलना: $E > C$.
$4$. इस प्रकार,ऊर्जा का क्रम: $(B) > (A) > (D) > (E) > (C)$ है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार हैं:
$(A)$ नाइट्रोजन ($N$,$Z=7$): $[He] 2s^2 2p^3$ ($III$ से मेल खाता है)
$(B)$ सल्फर ($S$,$Z=16$): $[Ne] 3s^2 3p^4$ ($II$ से मेल खाता है)
$(C)$ ब्रोमीन ($Br$,$Z=35$): $[Ar] 3d^{10} 4s^2 4p^5$ ($I$ से मेल खाता है)
$(D)$ क्रिप्टन ($Kr$,$Z=36$): $[Ar] 3d^{10} 4s^2 4p^6$ ($IV$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-III, B-II, C-I, D-IV$ है।

(A) - चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ कक्षक के अभिविन्यास के बारे में जानकारी देती है।
- चक्रण क्वांटम संख्या $m_s$ इलेक्ट्रॉन के चक्रण के अभिविन्यास के बारे में जानकारी देती है।
- दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ कक्षक की आकृति के बारे में जानकारी देती है।
- मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कक्षक के आकार के बारे में जानकारी देती है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(B) . कक्षीय कोणीय संवेग दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ द्वारा निर्धारित होता है। अतः,$A-q$.
$B$. पाउली का अपवर्जन सिद्धांत इलेक्ट्रॉनों के लिए है,जिसमें चक्रण क्वांटम संख्या $(s)$ शामिल है। अतः,$B-s$.
$C$. कक्षकों का आकार,माप और अभिविन्यास मुख्य $(n)$,दिगंशीय $(l)$ और चुंबकीय $(m_l)$ क्वांटम संख्याओं द्वारा निर्धारित होते हैं। अतः,$C-p, q, r$.
$D$. नाभिक पर प्रायिकता घनत्व मुख्य $(n)$ और दिगंशीय $(l)$ क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करता है। अतः,$D-p, q$.