Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(A) किसी कक्षक में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Angular momentum} = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$.
यदि कोणीय संवेग $0$ है,तो $\sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$,जिसका अर्थ है $l(l+1) = 0$.
इसका तात्पर्य यह है कि दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ होना चाहिए।
$s$-कक्षक $l = 0$ के अनुरूप होता है।
अतः,$3s$ कक्षक सही उत्तर है।

(D) एक कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कोश को दर्शाती है,और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ उपकोश को दर्शाती है।
दिया गया है $n=4$ और $l=1$।
चूंकि $l=1$ उपकोश $p$ के अनुरूप है,इसलिए कक्षक $4p$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$4s \rightarrow n=4, l=0$
$3d \rightarrow n=3, l=2$
$4d \rightarrow n=4, l=2$
$4p \rightarrow n=4, l=1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रतीक $n$ मुख्य क्वांटम संख्या (कोश) को दर्शाता है। प्रतीक $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या (उपकोश) को दर्शाता है,और $m_l$ चुंबकीय क्वांटम संख्या (कक्षक का अभिविन्यास) को दर्शाता है।
दिया गया है $n=3$,$l=1$,और $m_l=-1$।
क्वांटम संख्याओं के एक दिए गए सेट $(n, l, m_l)$ के लिए,केवल एक विशिष्ट कक्षक परिभाषित होता है।
यहाँ,$n=3$ और $l=1$ का अर्थ $3p$ उपकोश है,और $m_l=-1$ तीन $p$-कक्षकों में से एक को निर्दिष्ट करता है।
अतः,क्वांटम संख्याओं के इस विशिष्ट सेट के लिए केवल $1$ कक्षक संभव है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही उत्तर है।

(C) ज़ेनॉन $(Xe)$ जिसका परमाणु क्रमांक $54$ है,का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6$।
कक्षकों की गणना करने पर:
$1s$ ($1$ कक्षक),$2s$ ($1$ कक्षक),$2p$ ($3$ कक्षक),$3s$ ($1$ कक्षक),$3p$ ($3$ कक्षक),$3d$ ($5$ कक्षक),$4s$ ($1$ कक्षक),$4p$ ($3$ कक्षक),$4d$ ($5$ कक्षक),$5s$ ($1$ कक्षक),$5p$ ($3$ कक्षक)।
कुल कक्षकों की संख्या = $1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 = 27$।

(C) $n=4$ के लिए,कुल कक्षक = $n^2 = 16$। प्रत्येक कक्षक में $m_s=+\frac{1}{2}$ वाला एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है। अतः,$16$ इलेक्ट्रॉन संभव हैं। (सही)
b) $n=5$ के लिए,उपकोष $s, p, d, f, g$ $(l=0, 1, 2, 3, 4)$ हैं,इसलिए $5$ उपकोष हैं। (गलत)
c) $n=2$ के लिए,$l$ का मान $0, 1$ हो सकता है। यदि $l=1$ है,तो $m_l$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है। अतः,$n=2, l=1, m_l=0, m_s=-\frac{1}{2}$ मान्य है। (सही)
d) रेडियल नोड्स = $n-l-1$। $3s$ के लिए,$n=3, l=0$। नोड्स = $3-0-1 = 2$। (सही)
इसलिए,कथन $a, c,$ और $d$ सही हैं।

(C) $3d$-ऑर्बिटल के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=3$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=2$ है।
$l=2$ के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है,अर्थात $m \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$।
चक्रण क्वांटम संख्या $s$ का मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकता है।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ $(n=3, l=2, m=-2, s=+\frac{1}{2})$ सभी मानदंडों को पूरा करता है।

(D) $25$ परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^5$ है।
$(n+l) = 3$ के लिए:
- $2p$ कक्षक $(n=2, l=1)$: $(n+l) = 2+1 = 3$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
- $3s$ कक्षक $(n=3, l=0)$: $(n+l) = 3+0 = 3$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $2$.
अतः,$x = 6 + 2 = 8$.
$(n+l) = 4$ के लिए:
- $3p$ कक्षक $(n=3, l=1)$: $(n+l) = 3+1 = 4$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
- $4s$ कक्षक $(n=4, l=0)$: $(n+l) = 4+0 = 4$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $2$.
अतः,$y = 6 + 2 = 8$.
$(x+y)$ का मान = $8 + 8 = 16$.

(C) हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम के अनुसार,किसी उपकोश के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक नहीं होता जब तक कि उस उपकोश के प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए।
विकल्प $(C)$ में,$p$-उपकोश में एक कक्षक युग्मित है,जबकि दूसरे कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन है और तीसरा खाली है। यह हुंड के नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि पहले कक्षक में युग्मन होने से पहले इलेक्ट्रॉन को तीसरे कक्षक में एकल रूप से भरना चाहिए था।

(B) इलेक्ट्रॉन विनिमय की कुल संख्या का सूत्र $\frac{n(n-1)}{2}$ है,जहाँ $n$ एक ही उपकोष में समान चक्रण (spin) वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$d^5$ विन्यास के लिए,सभी $5$ इलेक्ट्रॉन $5$ अलग-अलग कक्षकों में समान चक्रण रखते हैं।
सूत्र में $n = 5$ रखने पर:
$\text{कुल विनिमय} = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

(B) $Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं $(n, l, m_l, m_s)$ का सेट समान नहीं हो सकता है।
इसका तात्पर्य यह है कि एक कक्षक में विपरीत चक्रण (spin) वाले अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन ही रह सकते हैं।

(C) $n=1$ के लिए,कक्षक $1s$ ($1$ कक्षक) है।
$n=2$ के लिए,कक्षक $2s$ और $2p$ ($1+3=4$ कक्षक) हैं।
$n=3$ के लिए,कक्षक $3s$,$3p$,और $3d$ ($1+3+5=9$ कक्षक) हैं।
$n$ तक $3$ के लिए कक्षकों की कुल संख्या $1 + 4 + 9 = 14$ है।
प्रत्येक कक्षक $m_s = -\frac{1}{2}$ के साथ ठीक एक इलेक्ट्रॉन को समायोजित कर सकता है।
अतः,$m_s = -\frac{1}{2}$ वाले इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $14$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ के लिए,संभावित उपकोष (subshells) $4s$,$4p$,$4d$ और $4f$ हैं।
प्रत्येक उपकोष में $m_l=0$ वाली कम से कम एक कक्षक होती है (जैसे $ns$,$np_z$,$nd_{z^2}$ और $nf_{z^3}$ कक्षक)।
$n=4$ कोश में ऐसी $4$ कक्षकें हैं जिनमें $m_l=0$ होता है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक $m_s=\frac{1}{2}$ स्पिन वाले केवल एक इलेक्ट्रॉन को रख सकती है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $4 \times 1 = 4$ है।

(A) $s$-इलेक्ट्रॉनों और $p$-इलेक्ट्रॉनों का अनुपात प्रत्येक प्रजाति के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$K^{+}$ $(Z=19)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$. कुल $s$-इलेक्ट्रॉन = $2+2+2 = 6$. कुल $p$-इलेक्ट्रॉन = $6+6 = 12$. अनुपात = $6:12 = 1:2$.
$Cr^{3+}$ $(Z=24)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^3$. कुल $s$-इलेक्ट्रॉन = $2+2+2 = 6$. कुल $p$-इलेक्ट्रॉन = $6+6 = 12$. अनुपात = $6:12 = 1:2$.
चूंकि $K^{+}$ और $Cr^{3+}$ दोनों में अनुपात $1:2$ समान है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) $P$ $(Z=15)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$. कुल $s$-इलेक्ट्रॉन = $6$. कुल $p$-इलेक्ट्रॉन = $9$. अनुपात = $6/9 = 2/3$.
$Ca$ $(Z=20)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$. कुल $s$-इलेक्ट्रॉन = $8$. कुल $p$-इलेक्ट्रॉन = $12$. अनुपात = $8/12 = 2/3$.
अतः,सही युग्म $P$ और $Ca$ है।

(B) दिया गया है,$E = \left( \frac{-R_{H}}{n^2} \right) = \left( \frac{-R_{H}}{16} \right)$.
हर की तुलना करने पर,हमें $n^2 = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती है।
मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले स्तर की अपभ्रष्टता (degeneracy) $n^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,अपभ्रष्टता $4^2 = 16$ है।
यह $n = 4$ कोश में मौजूद $16$ कक्षकों के अनुरूप है: $4s$ ($1$ कक्षक),$4p$ ($3$ कक्षक),$4d$ ($5$ कक्षक),और $4f$ ($7$ कक्षक),जिनका कुल योग $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ है।

(C) तरंग फलन $\psi$ का स्वयं कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं होता है। यह एक गणितीय फलन है जो परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थिति का वर्णन करता है। $\psi$ का भौतिक महत्व यह है कि इसके परिमाण का वर्ग,$|\psi|^2$,अंतरिक्ष में किसी विशेष बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने के प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है। इसलिए,यह कथन कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बारे में पूरी जानकारी उसके $\psi$ में संग्रहीत होती है,गलत है क्योंकि $\psi$ केवल एक गणितीय आयाम है,जबकि भौतिक प्रायिकता $|\psi|^2$ द्वारा दी जाती है।

(A) $Sr$ $(Z=38)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^{10}, 4p^6, 5s^2$ है।
$l=0$ ($s$-ऑर्बिटल्स) वाले इलेक्ट्रॉन: $1s^2, 2s^2, 3s^2, 4s^2, 5s^2$ हैं। कुल इलेक्ट्रॉन $x = 2+2+2+2+2 = 10$ हैं।
$l=2$ ($d$-ऑर्बिटल्स) वाले इलेक्ट्रॉन: $3d^{10}$ हैं। कुल इलेक्ट्रॉन $y = 10$ हैं।
अतः,$(x-y) = 10 - 10 = 0$।

(C) किसी कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$।
कोणीय नोड्स (Angular nodes) $= l$ होते हैं।
कुल नोड्स की संख्या: $\text{Total nodes} = n - 1$ होती है।

(C) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या '$n$' कोई भी धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ हो सकती है।
$2$. दिगंशीय क्वांटम संख्या '$l$' का मान $0$ से $(n-1)$ तक हो सकता है।
$3$. चुंबकीय क्वांटम संख्या '$m$' का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
$4$. चक्रण क्वांटम संख्या '$s$' का मान $\pm\frac{1}{2}$ हो सकता है।
विकल्प $C$ में,$n=3$ है,इसलिए '$l$' का अधिकतम मान $(n-1) = 2$ होता है।
चूंकि दिया गया मान $l=3$ है,जो $n=3$ के लिए संभव नहीं है,इसलिए यह सेट असंभव है।

(C) परमाणु क्रमांक $Z = 24$ क्रोमियम $(Cr)$ है।
$Cr$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ है।
$(n+\ell) = 3$ के लिए: कक्षक $2p$ $(n=2, \ell=1)$ और $3s$ $(n=3, \ell=0)$ हैं। कुल इलेक्ट्रॉन $= 6 + 2 = 8$.
$(n+\ell) = 4$ के लिए: कक्षक $3p$ $(n=3, \ell=1)$ और $4s$ $(n=4, \ell=0)$ हैं। कुल इलेक्ट्रॉन $= 6 + 1 = 7$.
$(n+\ell) = 5$ के लिए: कक्षक $3d$ $(n=3, \ell=2)$ है। कुल इलेक्ट्रॉन $= 5$.

(D) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $(L)$ ज्ञात करने का सूत्र: $L = \sqrt{l(l+1)} \hbar$ है,जहाँ $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) है और $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ है।
$d$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $2$ होता है।
सूत्र में $l = 2$ रखने पर:
$L = \sqrt{2(2+1)} \hbar$
$L = \sqrt{2(3)} \hbar$
$L = \sqrt{6} \hbar$
अतः,$d$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $\sqrt{6} \hbar$ है।

(D) किसी दिए गए ऊर्जा स्तर $n$ के लिए,कक्षकों की कुल संख्या $n^2$ द्वारा दी जाती है।
$n=4$ के लिए,कक्षकों की कुल संख्या $= 4^2 = 16$ है।
प्रत्येक कक्षक विपरीत चक्रण वाले अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉनों को समाहित कर सकता है,अर्थात $+\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$।
चूंकि $16$ कक्षक हैं,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $16 \times 2 = 32$ है।
इन $32$ इलेक्ट्रॉनों में से,आधे इलेक्ट्रॉनों का चक्रण मान $+\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$+\frac{1}{2}$ चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= \frac{32}{2} = 16$ है।
इस प्रकार,मान $16$ और $16$ हैं।

(D) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग ज्ञात करने का सूत्र है: $\sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2 \pi}$।
$d$-ऑर्बिटल के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या (azimuthal quantum number) $(l) = 2$ होती है।
सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
कक्षीय कोणीय संवेग $= \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2 \pi}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है। यहाँ,कोणीय नोड $= 1$,इसलिए $l = 1$,जो $p$-उपकोश को दर्शाता है।
रेडियल नोड की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
दिए गए रेडियल नोड $= 4$ और $l = 1$ के साथ,हमारे पास $n - 1 - 1 = 4$ है,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,कक्षक $6p$ (जैसे,$6p_{z}$) है।

(B) कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि कक्षक में एक कोणीय नोड है,इसलिए $l = 1$,जो $p$-कक्षक को दर्शाता है।
त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण वक्र में उच्चिष्ठों (maxima) की संख्या $n - l$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि उच्चिष्ठों की संख्या $3$ है,इसलिए $n - l = 3$ है।
समीकरण में $l = 1$ रखने पर: $n - 1 = 3$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,वह कक्षक $4p$ है।

(B) रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ है।
$3s$ ऑर्बिटल के लिए,$n = 3$ और $l = 0$ है। अतः,$\text{Radial nodes} = 3 - 0 - 1 = 2$।
$2p$ ऑर्बिटल के लिए,$n = 2$ और $l = 1$ है। अतः,$\text{Radial nodes} = 2 - 1 - 1 = 0$।
इसलिए,$3s$ और $2p$ ऑर्बिटल्स में रेडियल नोड्स की संख्या क्रमशः $2$ और $0$ है।

(A) कक्षक की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। इस नियम के अनुसार,जिस कक्षक का $(n+l)$ मान अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है।
यदि $(n+l)$ मान समान हैं,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान अधिक होता है,उसकी ऊर्जा अधिक होती है।
प्रत्येक के लिए $(n+l)$ की गणना:
$A: n=5, l=2 \implies (n+l) = 5+2 = 7$
$B: n=5, l=0 \implies (n+l) = 5+0 = 5$
$C: n=4, l=3 \implies (n+l) = 4+3 = 7$
$D: n=4, l=1 \implies (n+l) = 4+1 = 5$
मानों की तुलना:
$A$ और $C$ के लिए,$(n+l) = 7$ है। चूंकि $A$ का $n$ मान अधिक है $(5 > 4)$,इसलिए $A > C$ होगा।
$B$ और $D$ के लिए,$(n+l) = 5$ है। चूंकि $B$ का $n$ मान अधिक है $(5 > 4)$,इसलिए $B > D$ होगा।
अतः,ऊर्जा का घटता क्रम $A > C > B > D$ है।

(A) उपकोश को दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। $l=2$ के लिए,उपकोश $d$-उपकोश है।
उपकोश में कक्षकों (orbitals) की संख्या $(2l+1)$ द्वारा दी जाती है।
$l=2$ के लिए,कक्षकों की संख्या $= 2(2)+1 = 5$ है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं,इसलिए $d$-उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $5 \times 2 = 10$ है।

(C) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. $n = 1, 2, 3, \dots$
$2$. $l = 0$ से $(n-1)$
$3$. $m_l = -l$ से $+l$
$4$. $m_s = \pm \frac{1}{2}$
प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$(A)$ $n=1, l=0$ के लिए,$m_l$ का एकमात्र संभावित मान $0$ है। अतः,$m_l=+1$ गलत है।
$(B)$ $n=1$ के लिए,$l$ केवल $0$ हो सकता है। अतः,$l=1$ गलत है।
$(C)$ $n=3$ के लिए,$l$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है। यदि $l=1$ है,तो $m_l$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है। चूंकि $m_l=0$ और $m_s=+\frac{1}{2}$ मान्य हैं,इसलिए यह सेट संभव है।
$(D)$ $n=3$ के लिए,$l$ केवल $0, 1, 2$ हो सकता है। अतः,$l=3$ गलत है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) किसी उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या का सूत्र $2(2l + 1)$ होता है।
$n=4$ और $l=3$ के लिए,उपकोश $4f$ है।
सूत्र में $l=3$ रखने पर:
$= 2(2 \times 3 + 1) = 2(6 + 1) = 2 \times 7 = 14$ इलेक्ट्रॉन।

(C) $1$. $d_{x^2-y^2}$ कक्षक में,इलेक्ट्रॉन $x$ और $y$ अक्ष पर उपस्थित होते हैं,इसलिए $XY$ तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य नहीं है।
$2$. $(n+l)$ नियम के अनुसार,$(n+l)$ का योग जितना अधिक होगा,ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी।
$3p$ के लिए,$(n+l) = 3+1 = 4$.
$2p$ के लिए,$(n+l) = 2+1 = 3$.
अतः,$3p$ की ऊर्जा $2p$ से अधिक है।
$3$. कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के बराबर होती है।
$p$-कक्षकों के लिए $l = 1$,इसलिए $3p_z$ में एक कोणीय नोड होता है।
$4$. रेडियल नोड की संख्या $(n-l-1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$4f$ के लिए,$n = 4$ और $l = 3$,इसलिए रेडियल नोड $= 4-3-1 = 0$.

(B) रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$.
$3p$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और द्विगांशी क्वांटम संख्या $l = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{Radial nodes} = 3 - 1 - 1 = 1$.

(A) $4d$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
कोणीय नोड्स की संख्या $= l = 2$.
त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $= n - l - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$.
अतः,कोणीय और त्रिज्यीय नोड्स की संख्या क्रमशः $2$ और $1$ है।

(A) $Spin$ क्वांटम संख्या $(s)$ स्पेक्ट्रल रेखाओं की सूक्ष्म संरचना की व्याख्या करती है,जैसे कि $H$ और क्षार धातुओं के स्पेक्ट्रा में देखे गए डबलेट्स,और क्षारीय मृदा धातुओं के स्पेक्ट्रा में देखे गए डबलेट्स और ट्रिपलेट्स,जो इलेक्ट्रॉन स्पिन कोणीय संवेग के कारण होते हैं।

(C) $N$ कोश के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
उप-स्तरों की संख्या $n$ के बराबर होती है,इसलिए $4$ उप-स्तर हैं।
कक्षकों की संख्या $n^2 = 4^2 = 16$ है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2n^2 = 2 \times 4^2 = 32$ है।
अतः,मान $4, 16, 32$ हैं।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में,जो एक एकल-इलेक्ट्रॉन प्रणाली है,कक्षकों की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है। इसलिए,$2s$ और $2p$ कक्षकों की ऊर्जा समान होती है।
$He$ जैसे बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में,कक्षकों की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ दोनों पर निर्भर करती है। परिरक्षण प्रभाव (shielding effect) के कारण,$2s$ कक्षक की ऊर्जा $2p$ कक्षक से कम होती है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(C) किसी आवर्त में तत्वों की संख्या उस आवर्त के लिए भरी जाने वाली कक्षकों में भरे जा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर होती है।
$6^{th}$ आवर्त के लिए,$6s$,$4f$,$5d$,और $6p$ कक्षक भरे जाते हैं।
इन कक्षकों में समाहित होने वाले अधिकतम इलेक्ट्रॉनों की संख्या इस प्रकार है:
$6s: 2$ इलेक्ट्रॉन
$4f: 14$ इलेक्ट्रॉन
$5d: 10$ इलेक्ट्रॉन
$6p: 6$ इलेक्ट्रॉन
तत्वों की कुल संख्या = $2 + 14 + 10 + 6 = 32$।
अतः,$6^{th}$ आवर्त में $32$ तत्व होते हैं,जिनका परमाणु क्रमांक $(Z) = 55$ से $(Z) = 86$ तक होता है।

(B) आफबाऊ (Aufbau) सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन अपनी ऊर्जा के बढ़ते क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं,जो $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित होता है।
$Ti$ $(Z=22)$ के लिए,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^2$ है।
अतः,कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के भरने का क्रम $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d$ है।

(A) दिया गया इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^1$ है।
इलेक्ट्रॉनों का योग: $2+2+6+2+6+10+1 = 29$ है।
परमाणु क्रमांक $29$ वाला तत्व कॉपर $(Cu)$ है।
यह विन्यास $Cu$ की स्थिर मूल अवस्था को दर्शाता है जिसमें $3d$ उपकोष पूरी तरह से भरा हुआ है।

(A) आधे भरे हुए और पूर्णतः भरे हुए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की अतिरिक्त स्थिरता को समरूपता और विनिमय ऊर्जा के संदर्भ में समझाया जा सकता है।
एक ही उपकोश के सभी कक्षक जो या तो पूर्णतः भरे हुए हैं या आधे भरे हुए हैं,उनमें इलेक्ट्रॉनों का अधिक सममित वितरण होता है।
परिणामस्वरूप,उनका एक-दूसरे का परिरक्षण (shielding) अपेक्षाकृत कम होता है और इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा अधिक मजबूती से आकर्षित होते हैं।
इसके अतिरिक्त,इन विन्यासों में संभावित विनिमयों की संख्या अधिकतम होती है,जिससे विनिमय ऊर्जा अधिक होती है और परमाणु की स्थिरता बढ़ जाती है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सही हैं,और $(R)$ $(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) $+2$ ऑक्सीकरण अवस्था में $Z$ परमाणु संख्या वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $Z-2$ इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणु के बराबर होता है।
दिया गया है $Z-2 = 24$,इसलिए परमाणु संख्या $Z = 26$ है। यह तत्व $Fe$ है।
$Fe$ $(Z=26)$ का मूल अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
$Fe^{2+}$ का विन्यास $[Ar] 3d^6$ है।
$3d^6$ विन्यास में,इलेक्ट्रॉन हुंड के नियम के अनुसार $d$-उपकोश के $5$ कक्षकों में वितरित होते हैं: $d_{xy}^2, d_{yz}^1, d_{zx}^1, d_{x^2-y^2}^1, d_{z^2}^1$.
अतः,इसमें $4$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।

(D) ऊर्जा के बढ़ने का क्रम $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
यदि दो कक्षकों के लिए $(n+l)$ का मान समान है,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$(i)$ $n=4, l=1$ के लिए,$(n+l) = 4+1 = 5$.
(ii) $n=4, l=0$ के लिए,$(n+l) = 4+0 = 4$.
(iii) $n=3, l=2$ के लिए,$(n+l) = 3+2 = 5$.
(iv) $n=3, l=1$ के लिए,$(n+l) = 3+1 = 4$.
मानों की तुलना करने पर: (iv) और (ii) के लिए $(n+l) = 4$ है। चूंकि (iv) के लिए $n$ कम है,इसलिए $(iv) < (ii)$.
$(i)$ और (iii) के लिए $(n+l) = 5$ है। चूंकि (iii) के लिए $n$ कम है,इसलिए $(iii) < (i)$.
अतः,ऊर्जा का बढ़ता क्रम $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ है।

(C) तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$X$ $(Z=19)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6 = 8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Y$ $(Z=21)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^1 4s^2$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6+1 = 9$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Z$ $(Z=25)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6+5 = 13$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करने पर: $Z (13) > Y (9) > X (8)$।
अतः,सही क्रम $Z > Y > X$ है।

(A) दिए गए तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$K (Z=19): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6, 4s^1$। $M$ कोश $(n=3)$ में $2+6 = 8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Mn (Z=25): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^5, 4s^2$। $M$ कोश $(n=3)$ में $2+6+5 = 13$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Ni (Z=28): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^8, 4s^2$। $M$ कोश $(n=3)$ में $2+6+8 = 16$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Sc (Z=21): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^1, 4s^2$। $M$ कोश $(n=3)$ में $2+6+1 = 9$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$M$ कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करने पर: $K (8) < Sc (9) < Mn (13) < Ni (16)$।
अतः,$K$ के $M$ कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या सबसे कम है।