Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(B) नाभिक से इलेक्ट्रॉन की दूरी मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती है।
$4s^2 3d^{10}$ विन्यास में,सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन $n=4$ कोश में हैं।
$4s^0 3d^{10}$ विन्यास में,सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन $n=3$ कोश में हैं।
चूंकि $n=3 < n=4$,इसलिए $3d^{10}$ विन्यास में इलेक्ट्रॉन $4s^2 3d^{10}$ विन्यास की तुलना में नाभिक के अधिक निकट हैं।

(B) $3d_{xy}$ और $3d_{x^2-y^2}$ दोनों कक्षकों की आकृति समान होती है,जिसमें $4$ पालियाँ (lobes) होती हैं।
हालाँकि,वे अपने स्थानिक अभिविन्यास में भिन्न होते हैं।
$3d_{xy}$ कक्षक की पालियाँ $x$ और $y$ अक्षों के बीच $xy$-तल में स्थित होती हैं।
$3d_{x^2-y^2}$ कक्षक की पालियाँ $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश स्थित होती हैं।
इस प्रकार,वे एक-दूसरे के सापेक्ष $45^{\circ}$ के कोण पर घूमी हुई होती हैं।

(A) $5f$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 5$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ है।
रेडियल नोड्स की संख्या की गणना सूत्र $n - l - 1 = 5 - 3 - 1 = 1$ द्वारा की जाती है।
कोणीय नोड्स की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के बराबर होती है,जो $3$ है।
अतः,रेडियल नोड्स की संख्या $1$ है और कोणीय नोड्स की संख्या $3$ है।

(C) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के चारों क्वांटम नंबर समान नहीं हो सकते।
हीलियम ($He$,परमाणु क्रमांक $Z = 2$) के लिए,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2$ है।
$1s$ कक्षक में मौजूद दो इलेक्ट्रॉनों के लिए मुख्य क्वांटम संख्या $(n=1)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l=0)$ और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l=0)$ समान होती है।
इसलिए,इस सिद्धांत को संतुष्ट करने के लिए उनका चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ अलग होना चाहिए।
अतः,चक्रण $+1/2$ और $-1/2$ हैं।

(C) समभ्रंश (degenerate) कक्षक वे होते हैं जिनका ऊर्जा स्तर समान होता है (समान मुख्य क्वांटम संख्या $n$ और समान उपकोष $l$)।
$(i)$ $3d_{xy}, 3d_{z^2}, 3d_{xz}$ कक्षकों में $n=3$ और $l=2$ है,इसलिए वे समभ्रंश हैं।
$(ii)$ $4d_{xy}, 4d_{yz}, 4d_{z^2}$ कक्षकों में $n=4$ और $l=2$ है,इसलिए वे समभ्रंश हैं।
अतः,दोनों समूह समभ्रंश हैं।

(A) किसी कक्षक उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2(2l + 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है। इसलिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2(2 \times 2 + 1) = 2(5) = 10$ है।
$f$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ है। इसलिए,इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $2(2 \times 3 + 1) = 2(7) = 14$ है।
अतः,$d$ और $f$ कक्षकों में अधिकतम इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः $10$ और $14$ है।

(C) $3d$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$d$ उपकोष के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
अतः,$(n + l)$ का मान $= 3 + 2 = 5$ होगा।

(N/A) $4f$ कक्षक के लिए:
$n = 4$ (मुख्य क्वांटम संख्या)।
$l = 3$ ($f$-कक्षक के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या)।
$m_{l}$ के $7$ मान हो सकते हैं: $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$।
$m_{s}$ के मान $+\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$ हो सकते हैं।

(C) किसी भी उपकोश के लिए,कक्षकों की संख्या $(2l + 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$f$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ होती है।
अतः,कक्षकों की संख्या $= 2(3) + 1 = 7$।

(B) $f$-उपकोश सबसे पहले $4$ थे ऊर्जा स्तर में दिखाई देता है।
$(n+l)$ नियम के अनुसार,न्यूनतम ऊर्जा वाला $f$-उपकोश $4f$ है।
$4f$ के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
$f$-उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 3$ है।

$(a) H^-$: कुल इलेक्ट्रॉन = $1 + 1 = 2$. इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2$.
$(b) Na^+$: कुल इलेक्ट्रॉन = $11 - 1 = 10$. इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2 2s^2 2p^6$.
$(c) O^{2-}$: कुल इलेक्ट्रॉन = $8 + 2 = 10$. इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2 2s^2 2p^6$.
$(d) F^-$: कुल इलेक्ट्रॉन = $9 + 1 = 10$. इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2 2s^2 2p^6$.

(N/A) सबसे बाहरी विन्यास $3s^1$ के लिए,पूर्ण इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$ है। इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2+2+6+1 = 11$ है। अतः,परमाणु संख्या $Z = 11$ है।
$(b)$ सबसे बाहरी विन्यास $2p^3$ के लिए,पूर्ण इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^3$ है। इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2+2+3 = 7$ है। अतः,परमाणु संख्या $Z = 7$ है।
$(c)$ सबसे बाहरी विन्यास $3p^5$ के लिए,पूर्ण इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ है। इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2+2+6+2+5 = 17$ है। अतः,परमाणु संख्या $Z = 17$ है।

(N/A) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[He] \, 2s^1$ है। परमाणु क्रमांक $Z = 2 + 1 = 3$ है। अतः,तत्व लिथियम $(Li)$ है।
$(b)$ इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] \, 3s^2 \, 3p^3$ है। परमाणु क्रमांक $Z = 10 + 2 + 3 = 15$ है। अतः,तत्व फास्फोरस $(P)$ है।
$(c)$ इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] \, 4s^2 \, 3d^1$ है। परमाणु क्रमांक $Z = 18 + 2 + 1 = 21$ है। अतः,तत्व स्कैंडियम $(Sc)$ है।

(C) किसी भी कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ उसका प्रकार निर्धारित करती है। $g$ कक्षकों के लिए $l = 4$ होता है।
मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $l$ से अधिक होना चाहिए। विशेष रूप से,किसी दिए गए $l$ के लिए,$n$ का न्यूनतम मान $n = l + 1$ होता है।
$l = 4$ रखने पर:
$n = 4 + 1 = 5$.
अतः,$g$ कक्षकों के लिए $n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(A) $3d$ कक्षकों के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$d$ उपकोश के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
अतः,$l = 2$ के लिए,$m_l$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।

(B) $(i)$ एक उदासीन परमाणु में,इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रोटॉन की संख्या के बराबर होती है। इसलिए,प्रोटॉन की संख्या = $29$.
$(ii)$ परमाणु क्रमांक $Z = 29$ है। इलेक्ट्रॉनिक विन्यास ऊर्जा के बढ़ते क्रम में कक्षकों को भरकर लिखा जाता है। $Z = 29$ (कॉपर) के लिए,विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^1$ है क्योंकि पूर्ण रूप से भरा हुआ $3d$ उपकोश अतिरिक्त स्थिरता प्रदान करता है।

(N/A) $n = 3$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के संभावित मान $0$ से $(n - 1)$ तक होते हैं।
अतः,$l = 0, 1, 2$।
प्रत्येक $l$ के मान के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ के मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) होते हैं।
यदि $l = 0$ है,तो $m_l = 0$।
यदि $l = 1$ है,तो $m_l = -1, 0, +1$।
यदि $l = 2$ है,तो $m_l = -2, -1, 0, +1, +2$।
$m_l$ के कुल मान $= 1 + 3 + 5 = 9$।

(A) $3d$ कक्षक के लिए मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$d$ उपकोष के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{l}$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है,जिसमें शून्य भी शामिल है।
इसलिए,$l = 2$ के लिए,$m_{l}$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।

(B) किसी कक्षक के संभव होने के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ को शर्त $l < n$ को पूरा करना चाहिए।
$1p$ के लिए: $n=1, l=1$। चूंकि $l, n$ से छोटा नहीं है,इसलिए $1p$ संभव नहीं है।
$2s$ के लिए: $n=2, l=0$। चूंकि $l < n$,इसलिए $2s$ संभव है।
$2p$ के लिए: $n=2, l=1$। चूंकि $l < n$,इसलिए $2p$ संभव है।
$3f$ के लिए: $n=3, l=3$। चूंकि $l, n$ से छोटा नहीं है,इसलिए $3f$ संभव नहीं है।
अतः,$2s$ और $2p$ संभव कक्षक हैं।

(N/A) कक्षक का संकेतन $nl$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या है ($l=0$ का अर्थ $s$,$l=1$ का अर्थ $p$,$l=2$ का अर्थ $d$,$l=3$ का अर्थ $f$ है)।

क्वांटम संख्याएँ	कक्षक
$(a) n = 1, l = 0$	$1s$
$(b) n = 3, l = 1$	$3p$
$(c) n = 4, l = 2$	$4d$
$(d) n = 4, l = 3$	$4f$

(A, C, E) क्वांटम संख्याओं के निम्नलिखित सेट संभव नहीं हैं:
$(a) n = 0$ संभव नहीं है क्योंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक $(n = 1, 2, 3, \dots)$ होनी चाहिए।
$(c) n = 1, l = 1$ संभव नहीं है क्योंकि किसी दिए गए $n$ के लिए,एज़िमथल क्वांटम संख्या $l$ का मान केवल $0$ से $n-1$ तक हो सकता है। अतः,यदि $n = 1$ है,तो $l$ का मान $0$ होना चाहिए।
$(e) n = 3, l = 3$ संभव नहीं है क्योंकि $l$ का मान हमेशा $n$ से कम $(l < n)$ होना चाहिए। इसलिए,जब $n = 3$ हो,तो $l$ केवल $0, 1, 2$ मान ही ले सकता है।

(A) किसी दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2n^2$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,कुल इलेक्ट्रॉन $= 2(4)^2 = 2 \times 16 = 32$ हैं।
किसी भी कोश में,आधे इलेक्ट्रॉनों का $m_s = +\frac{1}{2}$ और आधे का $m_s = -\frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$m_s = -\frac{1}{2}$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $32 / 2 = 16$ है।
$(b)$ $n = 3$ और $l = 0$ के लिए,कक्षक $3s$ है।
एक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
अतः,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2$ है।

(D) सही मिलान इस प्रकार है:
$(1)$ मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कक्षक का आकार $(D)$ निर्धारित करती है।
$(2)$ दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कक्षक की आकृति $(A)$ निर्धारित करती है।
$(3)$ चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ अंतरिक्ष में कक्षक का अभिविन्यास $(C)$ निर्धारित करती है।
$(4)$ चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ इलेक्ट्रॉन का चक्रण $(B)$ निर्धारित करती है।
अतः,सही क्रम $(1-D, 2-A, 3-C, 4-B)$ है।

(A) $(1)$ मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कक्षक की ऊर्जा और आकार निर्धारित करती है।
$(2)$ दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कक्षक की आकृति निर्धारित करती है।
$(3)$ चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ कक्षक का त्रिविम अभिविन्यास निर्धारित करती है।
$(4)$ चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ इलेक्ट्रॉन का चक्रण निर्धारित करती है।
अतः,सही मिलान $1-B, 2-D, 3-A, 4-C$ है।

(B) परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की पहचान उसकी चार क्वांटम संख्याओं द्वारा की जाती है: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$,चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$,और चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$.

(B) परमाणु के विभिन्न कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के वितरण को उसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास कहा जाता है।

(B) परमाणु संरचना में,शेल को ऑर्बिटल्स के एक ऐसे समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समान मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ साझा करते हैं।
प्रत्येक शेल नाभिक के चारों ओर घूमने वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए एक विशिष्ट ऊर्जा स्तर का प्रतिनिधित्व करता है।
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,शेल नाभिक से दूर होता जाता है और उसकी ऊर्जा अधिक होती है।

(B) परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास विभिन्न परमाणु कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के वितरण का वर्णन करता है। ये कक्षक $s, p, d,$ और $f$ नामक उपकोशों में समूहित होते हैं।

(C) आवर्त सारणी में किसी तत्व का स्थान उसके $Electronic \ configuration$ (इलेक्ट्रॉनिक विन्यास) द्वारा निर्धारित होता है,जो विभिन्न कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के वितरण का वर्णन करता है। $Principal \ quantum \ number$ $(n)$ आवर्त (period) निर्धारित करता है,जबकि वह $subshell$ जिसमें अंतिम इलेक्ट्रॉन प्रवेश करता है,वह ब्लॉक और समूह निर्धारित करता है।

(N/A) $n = 6$ के लिए,उपलब्ध उपकोश $6s, 6p, 5d, 4f$ हैं। $5g$ और $6g$ उपकोश ज्ञात तत्वों की मूल अवस्था में नहीं भरे जाते हैं क्योंकि उनकी ऊर्जा $7s$ कक्षक से काफी अधिक होती है।

$n=6$ उपकोश	$6s, 6p, 5d, 4f$
कक्षकों की संख्या	$1 (6s) + 3 (6p) + 5 (5d) + 7 (4f) = 16$ कक्षक
कुल तत्व	$16 \times 2 = 32$ तत्व

(A) $Z = 117$ (टेनेसीन) के लिए:
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Rn] 5f^{14} 6d^{10} 7s^2 7p^5$ है।
$Z = 120$ (अनबिनिलियम) के लिए:
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Og] 8s^2$ है,जहाँ $[Og]$ अक्रिय गैस ओग्नेसन है जिसका $Z = 118$ है।

(A) $2s$ इलेक्ट्रॉन $2p$ इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक की ओर अधिक मजबूती से आकर्षित होते हैं। इसका कारण यह है कि $2s$ कक्षक नाभिक के अधिक निकट होता है और $2p$ कक्षक की तुलना में नाभिक के पास इसकी प्रायिकता घनत्व (probability density) अधिक होती है,जबकि $2p$ कक्षक आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों द्वारा अधिक परिरक्षण (shielding) अनुभव करता है।

(N/A) एक परमाणु में,इलेक्ट्रॉन $(n+l)$ नियम के अनुसार बढ़ती ऊर्जा के क्रम में भरे जाते हैं।
$3d$ के लिए: $n=3, l=2$,अतः $(n+l) = 3+2 = 5$।
$4s$ के लिए: $n=4, l=0$,अतः $(n+l) = 4+0 = 4$।
चूंकि $4s$ के लिए $(n+l)$ का मान $3d$ से कम है,इसलिए $4s$ कक्षक की ऊर्जा कम होती है और यह पहले भरता है।
आयनीकरण के दौरान,सबसे उच्च मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ वाले कक्षक से इलेक्ट्रॉन पहले हटाए जाते हैं। चूंकि $4s$ के लिए $n=4$ और $3d$ के लिए $n=3$ है,इसलिए $4s$ के इलेक्ट्रॉन नाभिक से अधिक दूर होते हैं और पहले हटा दिए जाते हैं।

(D) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
ये क्रमशः $4s, 4p, 4d, 4f$ उपकोशों के अनुरूप हैं।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-\ell$ से $+\ell$ तक होता है।
$4s$ $(\ell=0)$ के लिए: $m=0$।
$4p$ $(\ell=1)$ के लिए: $m=-1, 0, +1$।
$4d$ $(\ell=2)$ के लिए: $m=-2, -1, 0, +1, +2$।
$4f$ $(\ell=3)$ के लिए: $m=-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$।
मान $m=-2$,$4d$ और $4f$ उपकोशों में मौजूद है।
अतः,$n=4$ और $m=-2$ से संबंधित उपकोशों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है कि $l$ का मान $0$ से $(n+1)$ तक है।
$n=1$ के लिए,$l=0, 1, 2$ (ऑर्बिटल्स: $1s, 1p, 1d$)।
$n=2$ के लिए,$l=0, 1, 2, 3$ (ऑर्बिटल्स: $2s, 2p, 2d, 2f$)।
ऊर्जा क्रम के लिए $(n+l)$ नियम लागू करने पर: $1s (1+0=1) < 1p (1+1=2) < 2s (2+0=2) < 1d (1+2=3) < 2p (2+1=3) < 3s (3+0=3) < 2d (2+2=4)$।
परमाणु क्रमांक $9$ के लिए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^2 1p^6 2s^1$ है।
चूंकि इसके सबसे बाहरी $s$-ऑर्बिटल में $1$ इलेक्ट्रॉन है,यह एक क्षार धातु की तरह व्यवहार करता है।
अतः,$9$ पहली क्षार धातु है।

(B) प्रायिकता घनत्व को $|\psi|^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि यह तरंग फलन का वर्ग है,इसलिए यह कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
नोड वे क्षेत्र हैं जहाँ प्रायिकता घनत्व शून्य होता है।
$3p$ कक्षक के लिए,रेडियल नोड वहाँ मौजूद होता है जहाँ रेडियल तरंग फलन $R(r)$ शून्य हो जाता है,जो वह बिंदु भी है जहाँ प्रायिकता घनत्व $|R(r)|^2$ शून्य हो जाता है,जैसा कि दिए गए ग्राफ में दिखाया गया है।
इसलिए,सही कथन यह है कि यह $3p$ कक्षक के लिए शून्य हो सकता है।

(D) $(n + \ell)$ नियम के अनुसार,$6^{th}$ आवर्त में कक्षकों के भरने का क्रम $6s, 4f, 5d, 6p$ है।

(B) किसी भी कक्षक के लिए,कोणीय नोड्स की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
$s$-कक्षक के लिए,$l = 0$,इसलिए कोणीय नोड्स की संख्या $0$ है।
रेडियल नोड्स की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$3s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और $l = 0$ है।
अतः,रेडियल नोड्स की संख्या $= 3 - 0 - 1 = 2$ है।
इस प्रकार,$3s$ कक्षक में $0$ कोणीय नोड्स और $2$ रेडियल नोड्स होते हैं।

(C) $4p$ इलेक्ट्रॉन के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=1$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है,जिसका अर्थ है कि $l=1$ के लिए $m$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
$l=1$ के लिए $m=2$ संभव नहीं है क्योंकि $m$ को $|m| \leq l$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
इसलिए,$n=4, l=1, m=2, m_{s}=+\frac{1}{2}$ सेट संभव नहीं है।

(A) $s$-ऑर्बिटल के लिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ हमेशा $0$ होती है।
$Na$ $(Z=11)$ के लिए,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{1}$ है। अंतिम इलेक्ट्रॉन $3s$ ऑर्बिटल में प्रवेश करता है,जिसके लिए $l=0$ है,इसलिए $m=0$ है।
$O$ $(Z=8)$ के लिए,विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{4}$ है। अंतिम इलेक्ट्रॉन $2p$ ऑर्बिटल $(l=1)$ में प्रवेश करता है,जहाँ $m$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
$Cl$ $(Z=17)$ के लिए,विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{5}$ है। अंतिम इलेक्ट्रॉन $3p$ ऑर्बिटल $(l=1)$ में प्रवेश करता है,जहाँ $m$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
$N$ $(Z=7)$ के लिए,विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{3}$ है। अंतिम इलेक्ट्रॉन $2p$ ऑर्बिटल $(l=1)$ में प्रवेश करता है,जहाँ $m$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
अतः,केवल $Na$ में ही अंतिम इलेक्ट्रॉन $s$-ऑर्बिटल में है जहाँ $m$ हमेशा $0$ होता है।

(B) किसी दिए गए कक्षक के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{\ell}$ का मान $-\ell$ से $+\ell$ तक होता है।
यहाँ $m_{\ell} = -3$ दिया गया है,इसलिए द्विगंशी क्वांटम संख्या $\ell$ का मान $3$ होना चाहिए।
चूँकि $n = 4$ और $\ell = 3$ है,यह $4f$ कक्षक है।
त्रिज्यीय नोड्स की संख्या का सूत्र $n - \ell - 1$ है।
मान रखने पर: $4 - 3 - 1 = 0$.

(B) कोणीय नोड्स की संख्या एज़िमथल क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कोई कोणीय नोड नहीं है,$l = 0$,जो '$s$' कक्षक को दर्शाता है।
रेडियल नोड्स की संख्या $n - l - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेडियल नोड्स की संख्या $2$ है,इसलिए $n - 0 - 1 = 2$।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,वह कक्षक $3s$ है।

(A) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n = 5$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{l}$ का मान प्रत्येक $\ell$ के लिए $-\ell$ से $+\ell$ तक होता है।
हमें उन कक्षकों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $m_{l} = +2$ है:
$1$. $\ell = 0$ $(5s)$ के लिए,$m_{l} = 0$.
$2$. $\ell = 1$ $(5p)$ के लिए,$m_{l} = \{-1, 0, +1\}$.
$3$. $\ell = 2$ $(5d)$ के लिए,$m_{l} = \{-2, -1, 0, +1, +2\}$. यहाँ,$m_{l} = +2$ संभव है ($1$ कक्षक)।
$4$. $\ell = 3$ $(5f)$ के लिए,$m_{l} = \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}$. यहाँ,$m_{l} = +2$ संभव है ($1$ कक्षक)।
$5$. $\ell = 4$ $(5g)$ के लिए,$m_{l} = \{-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4\}$. यहाँ,$m_{l} = +2$ संभव है ($1$ कक्षक)।
$m_{l} = +2$ वाले कुल कक्षकों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) $Fe$ $(Z = 26)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
$3d$ उपकोश में $6$ इलेक्ट्रॉन हैं। हुंड के नियम के अनुसार,वितरण इस प्रकार है:

$\uparrow \downarrow$

$\uparrow$

$\uparrow$

$\uparrow$

$\uparrow$

अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n) = 4$ है।
स्पिन-ओनली चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ का सूत्र $\mu = \sqrt{n(n + 2)} \,BM$ है।
$\mu = \sqrt{4(4 + 2)} = \sqrt{24} \,BM$.
$\sqrt{24} \approx 4.899 \,BM$ का उपयोग करने पर।
$\mu = 48.99 \times 10^{-1} \,BM$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $49$ प्राप्त होता है।

(C) किसी कक्षक के लिए त्रिज्यीय नोड्स (radial nodes) की संख्या का सूत्र है: $\text{त्रिज्यीय नोड्स की संख्या} = n - \ell - 1$.
$3s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 0$ है।
इन मानों को रखने पर: $\text{त्रिज्यीय नोड्स की संख्या} = 3 - 0 - 1 = 2$.
$2$ त्रिज्यीय नोड्स वाले कक्षक के लिए त्रिज्यीय वितरण आलेख में $r$-अक्ष को $2$ बिंदुओं पर स्पर्श करना चाहिए ($r=0$ और $r=\infty$ को छोड़कर)।
दिए गए आलेखों को देखने पर:
- आलेख $(A)$ में $0$ त्रिज्यीय नोड हैं ($1s$ के लिए)।
- आलेख $(B)$ में $1$ त्रिज्यीय नोड है ($2s$ के लिए)।
- आलेख $(C)$ में $0$ त्रिज्यीय नोड हैं।
- आलेख $(D)$ में $2$ त्रिज्यीय नोड्स हैं।
अतः,$3s$ कक्षक के लिए सही आलेख $(D)$ है।

(D) रेडियल नोड की संख्या $n-l-1$ सूत्र द्वारा दी जाती है और कोणीय नोड की संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि रेडियल नोड = $2$ और कोणीय नोड = $2$,इसलिए $l = 2$ है।
रेडियल नोड सूत्र में $l = 2$ प्रतिस्थापित करने पर: $n-2-1 = 2$,जिससे $n = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $l = 2$ का मान $d$ कक्षक के लिए होता है,इसलिए कक्षक $5d$ है।

(D) $Ge$ $(Z=32)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10} 4p^2$ है।
हमें उन पूर्णतः भरी हुई कक्षकों की पहचान करनी है जहाँ चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l = 0$ है:
- $1s$ कक्षक $(m_l=0)$: $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $2s$ कक्षक $(m_l=0)$: $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $2p$ उपकोश $(m_l=-1, 0, +1)$: $m_l=0$ वाली $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $3s$ कक्षक $(m_l=0)$: $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $3p$ उपकोश $(m_l=-1, 0, +1)$: $m_l=0$ वाली $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $4s$ कक्षक $(m_l=0)$: $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $3d$ उपकोश $(m_l=-2, -1, 0, +1, +2)$: $m_l=0$ वाली $1$ कक्षक (पूर्णतः भरी हुई)
- $4p$ उपकोश: पूर्णतः भरी हुई नहीं है।
$m_l=0$ वाली पूर्णतः भरी हुई कक्षकों की कुल संख्या $1+1+1+1+1+1+1 = 7$ है।
अतः,$x = 7$।

(B) $Zn$ का परमाणु क्रमांक $30$ है। $Zn$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{2}$ है।
$Zn^{+}$ आयन के लिए,$4s$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन निकल जाता है,इसलिए विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{1}$ हो जाता है।
सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन $4s$ उपकोश में है।
$s$-कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 0$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है,इसलिए $l = 0$ के लिए,$m = 0$ होगा।

(A) $Ga$ की परमाणु संख्या $31$ है। $Ga$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{2} 4p^{1}$ है।
$Ga^{+}$ आयन के लिए,सबसे बाहरी $4p$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन निकल जाता है। अतः,$Ga^{+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{2}$ होता है।
संयोजी इलेक्ट्रॉन $4s$ उपकोश में स्थित हैं।
$s$-कक्षक के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ $0$ होती है।

(D) वेनेडियम $(Z=23)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{6} 3d^{3} 4s^{2}$ है।
यहाँ $2p$ और $3p$ p-ऑर्बिटल्स हैं।
$2p$ ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
$3p$ ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
p-ऑर्बिटल्स में कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6 + 6 = 12$.