Molecular speeds Questions in Hindi

(D) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + C$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = v_{rms}^2$ और $x = T$ है:
ढाल $m = \frac{3R}{M}$ है।
दिया गया ढाल $m = 249 \ m^2 \ s^{-2} \ K^{-1}$ और $R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।
मान रखने पर: $249 = \frac{3 \times 8.3}{M}$।
$M = \frac{3 \times 8.3}{249} = \frac{24.9}{249} = 0.1 \ kg \ mol^{-1}$।
अतः,$M = 1 \times 10^{-1} \ kg \ mol^{-1}$।

(A) मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन आणविक गति वितरण के अनुसार,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वक्र का शिखर उच्च वेग की ओर स्थानांतरित हो जाता है और वक्र अधिक चौड़ा और सपाट हो जाता है।
दिए गए ग्राफ में,$T_2$ के लिए शिखर सबसे अधिक वेग पर है,उसके बाद $T_1$ और फिर $T_3$ है।
इसलिए,तापमान का सही क्रम $T_2 > T_1 > T_3$ है।

(A) दिया गया है: $T = 133.33 \ K$,$M = 0.083 \ kg \ mol^{-1}$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
आदर्श गैस के $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.3 \times 133.33}{0.083}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3323.917}{0.083}}$
$v_{rms} = \sqrt{40047.19} \approx 200.12 \ m \ s^{-1}$.
अतः,$RMS$ वेग लगभग $200 \ m \ s^{-1}$ है।

(D) एक आदर्श गैस के एक मोल के लिए गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$
दिया गया है:
मोलर द्रव्यमान $(M)$ $= 0.1 \ kg \ mol^{-1}$
$v_{rms} = 4 \times 10^2 \ ms^{-1}$
मान रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.1 \ kg \ mol^{-1}) \times (4 \times 10^2 \ ms^{-1})^2$
$K.E. = 0.05 \times (16 \times 10^4)$
$K.E. = 0.8 \times 10^4 = 8 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$

(D) $RMS$ वेग $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3 RT}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(u_{rms})^2 = \frac{3 RT}{M}$
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + C$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = (u_{rms})^2$ और $x = T$ है:
$(u_{rms})^2 = (\frac{3 R}{M}) \cdot T + 0$
यहाँ,ढाल $(m)$ $= \frac{3 R}{M}$ है।

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$1$ मोल आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ है।
$u_{rms}$ समीकरण में $RT = PV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$u_{rms}^2 = \frac{3PV}{M}$
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + C$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = u_{rms}^2$ और $x = PV$:
$y = \left(\frac{3}{M}\right)x + 0$
अतः,ढाल $(m)$ $\frac{3}{M}$ है।

(B) वेग के लिए सूत्र इस प्रकार हैं:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$u_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
अनुपात की गणना:
$1$. $\frac{u_{rms}}{u_{av}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8/\pi}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}} \approx 1.085$
$2$. $\frac{u_{av}}{u_{mp}} = \frac{\sqrt{8/\pi}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.128 \approx 1.12$
$3$. $\frac{u_{rms}}{u_{mp}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.225$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अनुपात $\frac{u_{av}}{u_{mp}} = 1.12$ सही है।

(A) रूट मीन स्क्वायर गति $(u_{rms})$ परम तापमान $(T)$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
समान गैस के लिए,$u_{rms} \propto \sqrt{T}$.
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 30 + 273 = 303 \ K$.
अंतिम तापमान $T_{2} = 930 + 273 = 1203 \ K$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{u_{2}}{u_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}} = \sqrt{\frac{1203}{303}} = \sqrt{3.97} \approx \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$u_{2} = 2u_{1}$.
अतः,गैस की रूट मीन स्क्वायर गति दोगुनी हो जाएगी.

(C) औसत आणविक गति $(v_{avg})$ का सूत्र: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
यह दर्शाता है कि $v_{avg} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
प्रत्येक गैस के लिए $\frac{T}{M}$ के अनुपात की तुलना करने पर:
$A: \frac{500}{32} = 15.625$
$B: \frac{400}{44} \approx 9.09$
$C: \frac{200}{4} = 50.0$
$D: \frac{300}{17} \approx 17.65$
चूंकि $He$ के लिए $\frac{T}{M}$ अनुपात सबसे अधिक $(50.0)$ है,इसलिए इसकी औसत गति सबसे अधिक होगी।

(B) rms वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ और $M_1 = 32 \ g/mol$ है। दिया गया है $v_{rms,1} = 800 \ m/s$.
मीथेन $(CH_4)$ के लिए,$T_2 = 600 \ K$ और $M_2 = 16 \ g/mol$ है। मान लीजिए $v_{rms,2} = x$.
अनुपात लेने पर: $\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{T_1}{M_1} \times \frac{M_2}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{800}{x} = \sqrt{\frac{300}{32} \times \frac{16}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$x = 800 \times 2 = 1600 \ m/s$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} RT$ है।
$RMS$ चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 RT}{M}}$ है।
$\frac{3}{2} RT = KE$ प्रतिस्थापित करने पर,$v_{rms} = \sqrt{\frac{2 KE}{M}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया $KE = 4.0 \ kJ \ mol^{-1} = 4000 \ J \ mol^{-1}$ और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 32 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$ है।
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2 \times 4000 \ J \ mol^{-1}}{32 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}}} = \sqrt{\frac{8000}{32 \times 10^{-3}}} = \sqrt{250000} = 500 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ में बदलने पर: $500 \ m \ s^{-1} \times 100 \ cm \ m^{-1} = 5.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$.

(C) रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
दिया गया है:
$M_1 = H_2$ का मोलर द्रव्यमान $= 2 \ g/mol$
$M_2 = O_2$ का मोलर द्रव्यमान $= 32 \ g/mol$
$T_1 = 50 \ K, T_2 = 800 \ K$
$v_{rms,1}$ और $v_{rms,2}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} \times \sqrt{\frac{M_2}{3RT_2}} = \sqrt{\frac{M_2 \times T_1}{M_1 \times T_2}}$
$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{32}{2} \times \frac{50}{800}} = \sqrt{16 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{1} = 1$
अतः,अनुपात $1 : 1$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है.

(B) एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान $kg \ mol^{-1}$ में है और $v_{rms}$ गति $m \ s^{-1}$ में है।
दिया गया है: $KE = 4.0 \ kJ \ mol^{-1} = 4000 \ J \ mol^{-1}$ और $v_{rms} = 5.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1} = 500 \ m \ s^{-1}$.
मानों को समीकरण में रखने पर: $4000 = \frac{1}{2} \times M \times (500)^2$.
$4000 = \frac{1}{2} \times M \times 250000$.
$4000 = M \times 125000$.
$M = \frac{4000}{125000} = 0.032 \ kg \ mol^{-1}$.
ग्राम में बदलने पर: $M = 0.032 \times 1000 \ g \ mol^{-1} = 32 \ g \ mol^{-1}$.

(B) दिया गया है,\\ सबसे संभावित वेग $(v_{mp})$ और वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ के लिए तापमान $(T)$ समान है। \\ सूत्र इस प्रकार हैं: \\ $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ और $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. \\ अनुपात लेने पर: \\ $\frac{v_{rms}}{v_{mp}} = \sqrt{\frac{3RT/M}{2RT/M}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.2247$. \\ चूँकि $v_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ दिया गया है,इसलिए: \\ $v_{rms} = 1.2247 \times 400 \ ms^{-1} \approx 489.88 \ ms^{-1} \approx 490 \ ms^{-1}$. \\ अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है.

(C) सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
समान तापमान पर,$v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,सबसे संभावित गति का क्रम $r_2 < r_1 < r_3$ है।
चूंकि $v_{mp}$ मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए कम गति का अर्थ अधिक मोलर द्रव्यमान है।
अतः,मोलर द्रव्यमान का सही क्रम $M_2 > M_1 > M_3$ है।

(B) दिया गया है,$U_{rms} = 3000 \ ms^{-1}$.
$RMS$ गति का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ प्राप्त होता है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
मान रखने पर: $(3000)^2 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$9 \times 10^6 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$3RT = 9 \times 10^6 \times 28 \times 10^{-3} = 252 \times 10^3 \ J/mol$.
आदर्श गैस के $1$ मोल के लिए गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times (3RT) = \frac{1}{2} \times 252 \times 10^3 \ J/mol = 126 \times 10^3 \ J/mol = 126 \ kJ$.

(D) सबसे संभावित गति $(u_{mp})$ का सूत्र है: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
दिया गया है $u_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ और मीथेन का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $16 \ g \ mol^{-1} = 0.016 \ kg \ mol^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_{mp}^2 = \frac{2RT}{M} \Rightarrow \frac{RT}{M} = \frac{u_{mp}^2}{2}$.
मान रखने पर: $\frac{RT}{0.016} = \frac{400^2}{2} = 80000$.
अतः,$RT = 80000 \times 0.016 = 1280 \ J \ mol^{-1}$.
एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$: $KE = \frac{3}{2} RT$.
$KE = \frac{3}{2} \times 1280 = 1920 \ J$.

(D) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $T \ K$ पर $He$ का $RMS$ वेग $127^{\circ} C$ $(400 \ K)$ पर $SO_2$ के $RMS$ वेग के बराबर है:
$\sqrt{\frac{3RT}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3R(400)}{M_{SO_2}}}$
$\frac{T}{M_{He}} = \frac{400}{M_{SO_2}}$
$M_{He} = 4 \ g/mol$ और $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ रखने पर:
$\frac{T}{4} = \frac{400}{64}$
$T = \frac{400 \times 4}{64} = \frac{1600}{64} = 25 \ K$.

(A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार,सबसे संभावित वेग $(v_{mp})$ का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
यह दर्शाता है कि $v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ है।
दिए गए ग्राफ से,सबसे संभावित वेगों का क्रम $v_{mp}(M_2) < v_{mp}(M_1) < v_{mp}(M_3)$ है।
चूंकि वेग मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए मोलर द्रव्यमान का क्रम $M_2 > M_1 > M_3$ होगा।

(C) आदर्श गैस के $RMS$ वेग का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,हम लिख सकते हैं: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दिया गया है $T_1 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ और $v_1 = v$ है।
हमें $T_2$ ज्ञात करना है जहाँ $v_2 = 2v$ हो।
मान रखने पर: $\frac{v}{2v} = \sqrt{\frac{400}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{400}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{400}{T_2}$.
$T_2 = 1600 \ K$.

(C) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: $v_{H_2} = \sqrt{7} \times v_{N_2}$.
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{7} \times \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}} = 7 \times \frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}$.
आणविक द्रव्यमान: $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और $M_{N_2} = 28 \ g/mol$.
मान रखने पर: $\frac{T_{H_2}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_2}}{28}$.
सरल करने पर: $\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{T_{N_2}}{4}$.
अतः,$T_{H_2} = \frac{T_{N_2}}{2}$.

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
यहाँ $u_{rms} = 20 \ ms^{-1}$ और $M = 40 \ g \ mol^{-1} = 0.04 \ kg \ mol^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} \implies 20^2 = \frac{3RT}{0.04}$.
$400 = \frac{3RT}{0.04} \implies 3RT = 400 \times 0.04 = 16$.
$RT = \frac{16}{3} \ J \ mol^{-1}$.
आदर्श गैस के एक मोल के लिए औसत गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$ का सूत्र है: $KE_{avg} = \frac{3}{2}RT$.
$RT$ का मान रखने पर: $KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{3} = 8 \ J \ mol^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है ...$(I)$
सबसे संभावित वेग का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है ...$(II)$
दिया गया है:
$SO_2$ के लिए: $T_1 = 400 \ K$,$M_1 = 64 \ g/mol$
$O_2$ के लिए: $T_2 = ?$,$M_2 = 32 \ g/mol$
दोनों वेगों को बराबर करने पर:
$\sqrt{\frac{3R \times 400}{64}} = \sqrt{\frac{2R \times T_2}{32}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1200}{64} = \frac{2T_2}{32}$
$\frac{1200}{64} = \frac{T_2}{16}$
$T_2 = \frac{1200 \times 16}{64} = 300 \ K$

(A) औसत वेग का सूत्र $\mu_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
चूंकि $\mu_{av} \propto \sqrt{T}$,हमारे पास अनुपात $\frac{\mu_{av_1}}{\mu_{av_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ है।
दिया गया है $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 1200 \ K$,और $\mu_{av_1} = 3 \times 10^2 \ cm / s$।
मान रखने पर: $\frac{3 \times 10^2}{\mu_{av_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\mu_{av_2} = 2 \times 3 \times 10^2 = 6 \times 10^2 \ cm / s$।

(B) दिया गया है,स्थिर तापमान पर $O_2$ की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति $500 \ m/s$ है।
रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw}}$ है।
$H_2$ गैस के लिए,$u_{rms(H_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{H_2}}}$ जहाँ $Mw_{H_2} = 2 \ g/mol$ है।
$O_2$ गैस के लिए,$u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{O_2}}}$ जहाँ $Mw_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{u_{rms(H_2)}}{u_{rms(O_2)}} = \sqrt{\frac{Mw_{O_2}}{Mw_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = 4$।
अतः,$u_{rms(H_2)} = 4 \times 500 \ m/s = 2000 \ m/s$।
प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा $KE_{avg} = \frac{3}{2} RT$ है।
$u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{O_2}}}$ से $T$ ज्ञात करने पर,$T \approx 320 \ K$ प्राप्त होता है।
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times 8.33 \times 320 \approx 4000 \ J/mol = 4 \ kJ/mol$।

(C) एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE) = \frac{3}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
इससे,$RT = \frac{2}{3} KE$ प्राप्त होता है।
सर्वाधिक संभावित वेग $(v_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
यहाँ,$M$ ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान है,जो $32 \ g \ mol^{-1} = 0.032 \ kg \ mol^{-1}$ है।
दिया गया है $KE = 3741.3 \ J \ mol^{-1}$।
वेग के सूत्र में $RT = \frac{2}{3} \times 3741.3$ रखने पर:
$v_{mp} = \sqrt{\frac{2 \times (\frac{2}{3} \times 3741.3)}{0.032}}$
$v_{mp} = \sqrt{\frac{4 \times 3741.3}{3 \times 0.032}} = \sqrt{\frac{14965.2}{0.096}} = \sqrt{155887.5} \ m \ s^{-1}$।
अतः,अनुमानित सर्वाधिक संभावित वेग $\sqrt{155887} \ m \ s^{-1}$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(C) सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
दिया गया है:
$N_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M_1)$ = $28 \ g \ mol^{-1}$,तापमान $(T_1)$ = $400 \ K$.
$CO$ का मोलर द्रव्यमान $(M_2)$ = $28 \ g \ mol^{-1}$,तापमान $(T_2)$ = $800 \ K$.
$N_2$ और $CO$ की सबसे संभावित गति का अनुपात:
$\frac{v_{mp(N_2)}}{v_{mp(CO)}} = \frac{\sqrt{\frac{2RT_1}{M_1}}}{\sqrt{\frac{2RT_2}{M_2}}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$
मान रखने पर:
$\frac{v_{mp(N_2)}}{v_{mp(CO)}} = \sqrt{\frac{400}{800} \times \frac{28}{28}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$.

(D) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ मोलर गैस स्थिरांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दिया गया है कि $M_{(N_2)} = 28 \ g \ mol^{-1}$ और $M_{(CO)} = 28 \ g \ mol^{-1}$ है।
चूँकि मोलर द्रव्यमान समान हैं,$RMS$ वेग का अनुपात केवल तापमान के वर्गमूल पर निर्भर करता है:
$\frac{v_{rms}(N_2)}{v_{rms}(CO)} = \sqrt{\frac{T_{(N_2)}}{T_{(CO)}}} = \sqrt{\frac{200}{800}}$.
$\frac{v_{rms}(N_2)}{v_{rms}(CO)} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(D) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार,जैसे-जैसे गैस का तापमान बढ़ता है,सबसे संभावित गति $(u_{mp})$ बढ़ती है,और वितरण वक्र का शिखर दाईं ओर खिसक जाता है और चपटा हो जाता है।
दी गई आकृति में,$T_2$ के लिए शिखर सबसे अधिक गति पर है,उसके बाद $T_3$,और फिर $T_1$ है।
इसलिए,सबसे संभावित गति $u_{mp}(T_2) > u_{mp}(T_3) > u_{mp}(T_1)$ का क्रम अनुसरण करती है।
चूंकि $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$,इसका अर्थ है कि $u_{mp} \propto \sqrt{T}$।
अतः,तापमान का सही क्रम $T_2 > T_3 > T_1$ है।

(C) सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ का सूत्र $v_{mp} = \sqrt{\frac{2 R T}{M}}$ है।
$O_2$ गैस के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 32 \ g \ mol^{-1}$ है।
सूत्र में $M$ का मान रखने पर: $v_{mp} = \sqrt{\frac{2 R T}{32}}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $v_{mp} = \sqrt{\frac{R T}{16}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वेग: $C_1 = 100 \ ms^{-1}, C_2 = 200 \ ms^{-1}, C_3 = 500 \ ms^{-1}$.
रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वेग का सूत्र: $C_{rms} = \sqrt{\frac{C_1^2 + C_2^2 + C_3^2}{n}}$.
मान रखने पर: $C_{rms} = \sqrt{\frac{100^2 + 200^2 + 500^2}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{10000 + 40000 + 250000}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{300000}{3}} = \sqrt{100000}$.
$C_{rms} = 100 \sqrt{10} \ ms^{-1}$.

(A) r.m.s. वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$CO_2$ के लिए: $M_{CO_2} = 12 + (2 \times 16) = 44 \ g \ mol^{-1}$। तापमान $T$ पर $v_{rms} = x$ दिया गया है।
$N_2O$ के लिए: $M_{N_2O} = (2 \times 14) + 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$। मान लीजिए तापमान $T'$ है। $v_{rms} = 4x$ दिया गया है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T/M}$ और $M_{CO_2} = M_{N_2O} = 44$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{x}{4x} = \sqrt{\frac{T}{T'}}$।
$\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{T}{T'}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = \frac{T}{T'}$।
अतः,$T' = 16T$।

(D) गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान $T$ दोनों गैसों के लिए समान है,इसलिए $u \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
अतः,$\frac{u_{1}}{u_{2}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $m_{1} u_{1}^{2} = m_{2} u_{2}^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) रूट मीन स्क्वायर चाल का सूत्र $C_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,$T$ तापमान पर $X_2$ गैस के लिए,$C_1 = x = \sqrt{\frac{3RT}{M_{X_2}}}$.
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T_2 = 2T)$ और $X_2$ का $2X$ में विघटन हो जाता है,तो मोलर द्रव्यमान $M_2 = \frac{M_{X_2}}{2}$ हो जाता है।
नई rms चाल $C_2 = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_{X_2}/2}} = \sqrt{4 \times \frac{3RT}{M_{X_2}}} = 2 \times \sqrt{\frac{3RT}{M_{X_2}}}$ है।
प्रारंभिक चाल के लिए $x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_2 = 2x \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$,$\frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है। चूंकि स्थिति $-2$ में तापमान $T$ आधा हो जाता है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा भी आधी हो जाती है।
औसत गति $(C_{avg})$,$\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $-1$ के लिए: $C_1 \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
स्थिति $-2$ के लिए: $C_2 \propto \sqrt{\frac{T/2}{2M}} = \sqrt{\frac{T}{4M}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{M}}$.
अतः,$C_2 = \frac{1}{2} C_1$.
इसलिए,दूसरी स्थिति में औसत गतिज ऊर्जा और औसत गति दोनों आधे हो जाते हैं।

(D) औसत गति का सूत्र $C_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
दिया गया है कि $(C_{av})_{H_2} = (C_{av})_{O_2}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{8RT_1}{\pi M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{8RT_2}{\pi M_{O_2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T_1}{M_{H_2}} = \frac{T_2}{M_{O_2}}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}$
मोलर द्रव्यमान ($M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और $M_{O_2} = 32 \ g/mol$) रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$
अतः,$T_1: T_2$ का अनुपात $1: 16$ है।

(B) r.m.s. गति का सूत्र $(C_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है और सबसे संभावित गति का सूत्र $(C_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
दिया गया है $(C_{rms})_{H_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 150}{2}}$.
प्रश्न के अनुसार,$(C_{mp})_{He} = \frac{1}{2} (C_{rms})_{H_2}$.
मान रखने पर: $\sqrt{\frac{2RT}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 \times R \times 150}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2RT}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{3 \times R \times 150}{2}$.
$\frac{RT}{2} = \frac{450R}{8}$.
$T = \frac{450}{4} = 112.5 \ K$.

(D) $rms$ वेग $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{M}}$,इसलिए जिस गैस का मोलर द्रव्यमान $(M)$ सबसे कम होगा,उसकी $rms$ गति समान तापमान पर सबसे अधिक होगी।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $SO_{2} = 64 \ g/mol$,$CO_{2} = 44 \ g/mol$,$O_{2} = 32 \ g/mol$,और $H_{2} = 2 \ g/mol$।
चूंकि $H_{2}$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी $rms$ गति सबसे अधिक है।

(B) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $v_1 = 1000 \ m / s$ दिया गया है।
$T_2 = 600 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{1000}{v_2} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{1.414}$.
अतः,$v_2 = 1000 \times 1.414 = 1414 \ m / s$.