Molecular speeds Questions in Hindi

(D) सर्वाधिक संभावित वेग का सूत्र $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $V_{mp} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$।
दी गई गैसों के लिए सापेक्ष मानों की गणना:
$1$. $N_2$ $(300 \ K)$ के लिए: $\sqrt{\frac{300}{28}} \approx 3.27$
$2$. $O_2$ $(400 \ K)$ के लिए: $\sqrt{\frac{400}{32}} \approx 3.53$
$3$. $H_2$ $(300 \ K)$ के लिए: $\sqrt{\frac{300}{2}} \approx 12.25$
इन मानों की तुलना करने पर,$V_{mp}(N_2, 300 \ K) < V_{mp}(O_2, 400 \ K) < V_{mp}(H_2, 300 \ K)$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $I$ $N_2$ $(300 \ K)$ के,बिंदु $II$ $O_2$ $(400 \ K)$ के और बिंदु $III$ $H_2$ $(300 \ K)$ के अनुरूप है।

(C) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} \times \frac{M_{O_2}}{T_{O_2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $T_{H_2} = 50 \ K$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$T_{O_2} = 800 \ K$,और $M_{O_2} = 32 \ g/mol$।
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
गति समान होने के लिए,$\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ होगा।
यहाँ,$M_1$ ($O_3$ का मोलर द्रव्यमान) = $48 \, g/mol$,$M_2$ ($O_2$ का मोलर द्रव्यमान) = $32 \, g/mol$,और $T_2 = 27 + 273 = 300 \, K$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_1}{48} = \frac{300}{32}$।
$T_1 = \frac{300 \times 48}{32} = 450 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $450 - 273 = 177 \, ^oC$।

(B) गैस के लिए,तीन प्रकार की आणविक गति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$1$. वर्ग माध्य मूल गति: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$2$. औसत गति: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$3$. सर्वाधिक प्रायिक गति: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,और $\sqrt{2} \approx 1.414$.
अतः,सही क्रम $v_{rms} > v_{avg} > u_{mp}$ है।

(A) रूट मीन स्क्वायर गति $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$STP$ पर $CO_2$ के लिए,$T = 273.15 \ K$ और $M = 44 \ g/mol$ है।
$N_2$ के लिए,$M = 28 \ g/mol$ है। हमें वह $T$ ज्ञात करना है जिसके लिए $u_{rms}(N_2) = u_{rms}(CO_2)$ हो।
व्यंजकों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{CO_2}}{M_{CO_2}}}$।
यह सरल होकर $\frac{T_{N_2}}{M_{N_2}} = \frac{T_{CO_2}}{M_{CO_2}}$ हो जाता है।
मान रखने पर: $\frac{T_{N_2}}{28} = \frac{273.15}{44}$।
$T_{N_2} = \frac{273.15 \times 28}{44} \approx 173.83 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^\circ C) = 173.83 - 273.15 = -99.32 \ ^\circ C$। निकटतम विकल्प $-99.27 \ ^\circ C$ है।

(D) गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
इससे स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 37 + 273 = 310 \, K$।
अंतिम तापमान $T_2 = 927 + 273 = 1200 \, K$।
चाल का अनुपात: $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{310}} \approx \sqrt{3.87} \approx 1.96 \approx 2$।
अतः,चाल मूल चाल की लगभग दोगुनी हो जाएगी।

(D) गैस की वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
इसका अर्थ है कि जिस गैस का मोलर द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी वर्ग माध्य मूल गति सबसे अधिक होगी।
मोलर द्रव्यमान हैं: $M(SO_2) = 64 \ g/mol$,$M(CO_2) = 44 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,और $M(H_2) = 2 \ g/mol$.
चूंकि $H_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी $u_{rms}$ सबसे अधिक होगी।

(A) मूल औसत वर्ग चाल $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$STP$ पर,$T = 273.15 \ K$ और $R = 8.314 \ J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ है।
$O_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ $32 \ g/mol = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
मान रखने पर: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 273.15}{32 \times 10^{-3}}} \approx 461.4 \ m/s$.
$m/s$ को $cm/s$ में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $461.4 \times 100 = 46140 \ cm/s = 4.61 \times 10^4 \ cm/s$.

(D) दिया गया है: $P = 3 \, atm$,$V = 14.8 \, L$,$m = 15 \, g$,$T = 300 \, K$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ का उपयोग करते हुए,मोलर द्रव्यमान $M$ प्राप्त होता है:
$M = (mRT) / (PV) = (15 \, g \times 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 300 \, K) / (3 \, atm \times 14.8 \, L) \approx 25 \, g/mol$.
$u_{rms} = \sqrt{3RT/M}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$u_{rms} = \sqrt{(3 \times 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1} \times 300 \, K) / (25 \times 10^{-3} \, kg/mol)} \approx 5.47 \times 10^4 \, cm/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $7.7 \times 10^4 \, cm/s$ है।

(C) गैस अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
$rms$ चाल केवल तापमान $(T)$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करती है।
चूंकि तापमान स्थिर $(27 \, ^oC)$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान स्थिर है,इसलिए अणुओं की संख्या बदलने पर भी $rms$ चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) The formula for root mean square velocity is $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
Given: $u_{rms} = 30\,R^{1/2}$,$T = 27 + 273 = 300\,K$.
Substituting the values: $30\,R^{1/2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 300}{M}}$.
Squaring both sides: $(30)^2 \times R = \frac{900 \times R}{M}$.
$900 \times R = \frac{900 \times R}{M}$.
Therefore,$M = 1\,g/mol$.
Since the question asks for $kg/mol$,$M = \frac{1}{1000} = 0.001\,kg/mol$.

(B) वर्ग माध्य मूल चाल $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$
दिया है:
दाब $(P)$ = $100 \, kPa = 10^5 \, Pa$
घनत्व $(d)$ = $0.1 \, g \, dm^{-3} = 0.1 \, kg \, m^{-3}$
मान रखने पर:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 10^5}{0.1}} = \sqrt{3 \times 10^6}$
$u_{rms} = 1000 \times 1.732 = 1732 \, ms^{-1}$

(D) गैस के अणुओं की औसत गति $(v_{avg})$ का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
औसत गति को कम करने के लिए,गैस का तापमान $(T)$ कम होना चाहिए।
आदर्श गैस के रुद्धोष्म विस्तार (adiabatic expansion) में,गैस अपनी आंतरिक ऊर्जा का उपयोग करके परिवेश पर कार्य करती है,जिससे गैस का तापमान कम हो जाता है।
इसलिए,रुद्धोष्म विस्तार अणुओं की औसत गति को कम करने का सही तरीका है।

(D) गैस के अणुओं के $RMS$ वेग की गणना निम्नलिखित सूत्रों द्वारा की जा सकती है:
$1$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$,जहाँ $P$ दाब है और $d$ घनत्व है।
$2$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$,जहाँ $V$ आयतन है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
$3$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ आदर्श गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि ये तीनों व्यंजक एक आदर्श गैस के लिए गणितीय रूप से समान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $(r)$ मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
यदि दो गैसों का मोलर द्रव्यमान समान है,तो वे समान दर पर विसरित होंगी।
$NO$ के लिए: मोलर द्रव्यमान = $14 + 16 = 30 \ g/mol$.
$C_2H_6$ के लिए: मोलर द्रव्यमान = $(2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g/mol$.
चूंकि $NO$ और $C_2H_6$ दोनों का मोलर द्रव्यमान $30 \ g/mol$ है,इसलिए वे समान दर पर विसरित होंगे। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) औसत वेग $(v_{avg})$ का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
दो गैसों के औसत वेग समान होने के लिए,$\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ होता है।
दिया गया है: $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$,$M_1 (NH_3) = 17 \ g/mol$,$M_2 (NO) = 30 \ g/mol$.
मान रखने पर: $\frac{T_1}{17} = \frac{600}{30}$.
$T_1 = 17 \times 20 = 340 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 340 - 273 = 67\,^oC$.

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए $T_1 = 50 \ K$ और मोलर द्रव्यमान $M_1 = 2 \ g/mol$:
$u_{H_2} = \sqrt{\frac{3R(50)}{2}}$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए $T_2 = 800 \ K$ और मोलर द्रव्यमान $M_2 = 32 \ g/mol$:
$u_{O_2} = \sqrt{\frac{3R(800)}{32}}$.
अनुपात $\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1/1$ है।

(D) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र अणुओं की संख्या और उनकी गति के बीच संबंध को दर्शाता है।
सबसे संभावित गति $(V_{mp})$ वक्र के शिखर के अनुरूप होती है।
औसत गति $(V_{av})$ सबसे संभावित गति से थोड़ी अधिक होती है।
रूट मीन स्क्वायर गति $(V_{rms})$ तीनों में सबसे अधिक होती है।
संबंध इस प्रकार है: $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} < V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} < V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
ग्राफ को देखने पर,$A$ शिखर पर है,$B$ बीच में है,और $C$ सबसे अधिक गति की स्थिति पर है।
इसलिए,$A = V_{mp}$,$B = V_{av}$,और $C = V_{rms}$.

(N/A) अणुओं की गति और ऊर्जा: अणु गैसीय अवस्था में पदार्थ के घटक कण होते हैं। ये कण एक-दूसरे से बहुत दूर होते हैं और एक बड़े क्षेत्र में फैले होते हैं। ये कण सभी दिशाओं में निरंतर गति करते रहते हैं।
ये गतिशील कण एक-दूसरे के साथ और पात्र की दीवारों के साथ टकराते हैं।
इस दौरान उनकी गति और दिशा बदल जाती है,इसलिए पात्र में सभी कणों की गति समान नहीं होती है,बल्कि उनकी गति अलग-अलग होती है जो लगातार बदलती रहती है। हालाँकि,एक निश्चित तापमान पर अणुओं की गति का वितरण समान रहता है।
औसत आणविक गति $(u_{av})$: मान लीजिए,गैस के $n$ अणु हैं और उनकी व्यक्तिगत गति $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ है।
औसत गति $(u_{av})$ इस प्रकार है:
$u_{av} = \frac{u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}}{n}$

(N/A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र एक निश्चित तापमान पर गैस में अणुओं की गति का वितरण दर्शाता है।
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के मुख्य बिंदु:
$1$. बहुत कम या बहुत अधिक गति वाले अणुओं का अंश बहुत छोटा होता है।
$2$. जैसे-जैसे गति बढ़ती है,उन गतियों वाले अणुओं का अंश तब तक बढ़ता है जब तक कि वह शिखर (peak) तक न पहुँच जाए,जिसके बाद यह घटने लगता है।
$3$. वक्र का शिखर सबसे संभावित गति $(u_{mp})$ को दर्शाता है,जो अधिकतम अणुओं द्वारा धारण की जाने वाली गति है।
$4$. यह वितरण गैस के तापमान और मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
ग्राफ में y-अक्ष पर अणुओं का अंश $\left(\frac{\Delta N}{N}\right)$ और x-अक्ष पर आणविक गति को दर्शाया गया है।

(N/A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण नियम एक निश्चित तापमान पर गैस में आणविक गति के वितरण का वर्णन करता है। स्थिर तापमान पर एक विशेष गति वाले अणुओं का अंश स्थिर रहता है,जिसे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
मैक्सवेल और बोल्ट्ज़मैन ने संकेत दिया कि गैसों में आणविक गति का वितरण तापमान और गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन गति वितरण का ग्राफ: ग्राफ में y-अक्ष पर अणुओं का अंश $\left(\frac{\Delta N}{N}\right)$ और x-अक्ष पर आणविक गति को दर्शाया गया है।
ग्राफ की मुख्य विशेषताएं:
$(i)$ बहुत कम या बहुत अधिक गति वाले अणुओं का अंश बहुत छोटा होता है।
$(ii)$ उच्च गति वाले अणुओं का अंश तब तक बढ़ता है जब तक कि वह शिखर (peak) तक नहीं पहुँच जाता और फिर घटने लगता है।
$(iii)$ अणुओं का अधिकतम अंश वक्र के शिखर के अनुरूप गति रखता है। इस गति को सबसे संभावित गति $\left(u_{mp}\right)$ कहा जाता है।

(N/A) तापमान में वृद्धि के साथ आणविक गति और अणुओं की संख्या के बीच का संबंध निम्न तापमान $T_{1}$ और उच्च तापमान $T_{2}$ वक्रों की तुलना द्वारा दर्शाया गया है।
मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण वक्र के अनुसार,उच्च तापमान $T_{2}$ पर,वक्र निम्न तापमान $T_{1}$ वक्र की तुलना में अधिक सपाट और चौड़ा हो जाता है।
$(i)$ अणुओं की सबसे संभावित गति तापमान के साथ बढ़ती है,और उच्च तापमान $\left(T_{2}\right)$ पर वक्र अधिक चौड़ा हो जाता है।
$(ii)$ एक चौड़ा वक्र यह दर्शाता है कि तापमान बढ़ने के साथ अधिक गति वाले अणुओं की संख्या बढ़ जाती है।
$(iii)$ औसत गति $\left(u_{av}\right)$ और वर्ग माध्य मूल गति $\left(u_{rms}\right)$ का मान $\left(T_{1}\right)$ की तुलना में उच्च तापमान $\left(T_{2}\right)$ पर बढ़ जाता है।
$\rightarrow$ उच्च तापमान पर $u_{av}$,$u_{mp}$ और $u_{rms}$ के मान अधिक होते हैं।
$\rightarrow$ कम तापमान पर $u_{av}$,$u_{mp}$ और $u_{rms}$ के मान कम होते हैं।

(N/A) मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण के अनुसार,एक निश्चित तापमान पर,गैस के अणुओं की गति उनके मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}})$।
इसलिए,स्थिर तापमान पर,भारी अणु हल्के अणुओं की तुलना में धीमी गति से चलते हैं।
उदाहरण के लिए,$N_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $28 \ g/mol$ है और $Cl_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $71 \ g/mol$ है।
चूंकि $N_{2}$ का द्रव्यमान $< Cl_{2}$ का द्रव्यमान है,इसलिए समान तापमान पर $N_{2}$ की सबसे संभावित गति $(u_{mp})$,$Cl_{2}$ की सबसे संभावित गति से अधिक होती है।
$u_{mp}(N_{2}) > u_{mp}(Cl_{2})$ (स्थिर $T$ पर)
$N_{2}$ और $Cl_{2}$ के लिए गति वितरण वक्र चित्र में दिखाया गया है।

$(i)$ सर्वाधिक प्रायिक वेग $(u_{mp})$: यह किसी दिए गए तापमान पर गैस के अधिकतम अणुओं द्वारा प्रदर्शित वेग है। $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = 0.816 \times u_{rms}$.
$(ii)$ औसत वेग $(u_{av})$: यह गैस के सभी अणुओं के वेगों का अंकगणितीय माध्य है। $u_{av} = \frac{u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n}{n} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,जहाँ $u_1, u_2, \dots$ व्यक्तिगत वेग हैं और $n$ अणुओं की कुल संख्या है।
$(iii)$ माध्य वर्ग वेग $(\overline{u}^2)$: यह गैस के सभी अणुओं के वेगों के वर्गों का अंकगणितीय माध्य है। $\overline{u}^2 = \frac{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2}{n} = \frac{3RT}{M}$.
$(iv)$ वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$: यह गैस के सभी अणुओं के वेगों के वर्गों के माध्य का वर्गमूल है। $u_{rms} = \sqrt{\overline{u}^2} = \sqrt{\frac{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots}{n}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.

(N/A) आण्विक गति के विभिन्न प्रकारों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
सर्वाधिक प्रायिक गति $(u_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत गति $(u_{av}) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
इन तीन गतियों के बीच संबंध है:
$u_{rms} > u_{av} > u_{mp}$
इन तीन गतियों के बीच का अनुपात है:

$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$	$1 : 1.128 : 1.224$
अनुपात	$0.82 : 0.92 : 1.00$

इसके अतिरिक्त,$u_{rms}$ को दाब $(p)$ और घनत्व $(d)$ के संदर्भ में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3pV}{M}} = \sqrt{\frac{3p}{d}}$
साथ ही,गतियों के बीच संबंध:
$u_{av} = 0.9213 \times u_{rms}$
$u_{mp} = 0.8165 \times u_{rms}$

(N/A) गतिज आणविक सिद्धांत के आधार पर गैस के अणुओं की गति के सूत्र निम्नलिखित हैं:
$(i)$ औसत गति $(u_{av}) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$(ii)$ सर्वाधिक प्रायिक गति $(u_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$(iii)$ वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
यहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।

(A) विभिन्न आणविक वेगों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$u_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = 1.128 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 1.224 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
अतः,इनका अनुपात $u_{mp} : u_{av} : u_{rms} = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3} \approx 1 : 1.128 : 1.224$ है।

(C) गैस के अणुओं का मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वेग वितरण निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(i)$ तापमान $(T)$
$(ii)$ गैस का आणविक द्रव्यमान $(M)$
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वितरण वक्र चपटा हो जाता है और उच्च वेग की ओर स्थानांतरित हो जाता है। जैसे-जैसे आणविक द्रव्यमान बढ़ता है,वितरण निम्न वेग की ओर स्थानांतरित हो जाता है।

(B) जब तापमान बढ़ता है,तो अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। $ \newline $ परिणामस्वरूप,वेग वितरण वक्र अधिक चौड़ा हो जाता है और शिखर (सर्वाधिक संभावित वेग) दाईं ओर खिसक जाता है,जो यह दर्शाता है कि अणुओं का एक बड़ा अंश उच्च वेग प्राप्त कर लेता है।

(A) $H_2$ गैस की गति अधिक होगी क्योंकि कम आणविक द्रव्यमान वाली गैसों की गति अधिक होती है। ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$। चूंकि $H_2$ का मोलर द्रव्यमान $(2 \ g/mol)$,$O_2$ $(32 \ g/mol)$ से कम है,इसलिए $H_2$ की गति अधिक होगी।

(A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण एक विशिष्ट तापमान पर विभिन्न गति से चलने वाले अणुओं की संख्या $\left(\frac{dN}{N}\right)$ का प्रतिनिधित्व करता है।
इसे ग्राफ़ में अणुओं के अंश बनाम आणविक गति के प्लॉट के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए: $M = 2 \, g/mol$,$T = 50 \, K$.
$(v_{rms})_{H_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 50}{2}} = \sqrt{75R}$.
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए: $M = 28 \, g/mol$,$T = 500 \, K$.
$(v_{rms})_{N_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 500}{28}} = \sqrt{\frac{1500R}{28}} = \sqrt{53.57R}$.
अनुपात $\frac{(v_{rms})_{H_2}}{(v_{rms})_{N_2}} = \sqrt{\frac{75R}{53.57R}} = \sqrt{1.4} \approx 1.18$ है।

(C) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,गैस की विसरण दर $(r)$ उसके मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
दी गई गैसों के मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(CH_4) = 16 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
चूंकि $CO_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक $(44 \ g/mol)$ है,इसलिए इसकी विसरण दर सबसे धीमी होगी।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) गैस की औसत गति $(V_{avg})$ का सूत्र है: $V_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
दिए गए तापमान पर $R$,$T$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए औसत गति मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $V_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
हीलियम $(He)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $M_{He} = 4 \ g/mol$ और $M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
उनकी औसत गति का अनुपात है: $\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
अतः,हीलियम की औसत गति ऑक्सीजन की तुलना में $2 \sqrt{2}$ गुना अधिक है.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_X}}$ है।
सबसे संभावित गति का सूत्र $U_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_Y}}$ है।
दिया गया है कि $(U_{rms})_{X, 600} = (U_{mp})_{Y, 90}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3 \times R \times 600}{40}} = \sqrt{\frac{2 \times R \times 90}{M_Y}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3 \times 600}{40} = \frac{2 \times 90}{M_Y}$.
$\frac{1800}{40} = \frac{180}{M_Y}$.
$45 = \frac{180}{M_Y}$.
$M_Y = \frac{180}{45} = 4 \ g \ mol^{-1}$.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_X}}$ है।
सबसे संभावित गति का सूत्र $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_Y}}$ है।
दिया गया है कि $V_{rms} (X) = V_{mp} (Y)$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3R(400)}{40}} = \sqrt{\frac{2R(60)}{M_Y}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3 \times 400}{40} = \frac{2 \times 60}{M_Y}$.
$30 = \frac{120}{M_Y}$.
$M_Y = \frac{120}{30} = 4$.
अतः,गैस $Y$ का आणविक भार $4$ है। इसलिए,सही उत्तर विकल्प $B$ है।

(A) $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. चूंकि $U_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि $T$ को $4T$ कर दिया जाए,तो $U_{rms}$ का मान $\sqrt{4} = 2$ गुना हो जाता है। अतः,कथन $(1)$ सही है।
$\varepsilon_{av} = \frac{3}{2}kT$. यह व्यंजक केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है,न कि आणविक द्रव्यमान $M$ पर। अतः,कथन $(2)$ सही है।
$U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ से,$U_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$। अतः,कथन $(3)$ सही है।
चूंकि $\varepsilon_{av} = \frac{3}{2}kT$,इसलिए $\varepsilon_{av} \propto T$। यदि तापमान चार गुना बढ़ाया जाता है,तो $\varepsilon_{av}$ चार गुना हो जाता है,न कि दोगुना। अतः,कथन $(4)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(1), (2)$ और $(3)$ सही हैं।

(C) गति के लिए मानक व्यंजक इस प्रकार हैं:
सबसे संभावित गति $(u_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत गति $(u_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \approx 1.128 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}} \approx 1.224 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$ का अनुपात लेने पर:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ से विभाजित करने पर:
$1 : 1.128 : 1.224$

(C) मैक्सवेल के वेग वितरण में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वक्र का शिखर दाईं ओर (उच्च वेग) स्थानांतरित हो जाता है और शिखर की ऊंचाई कम हो जाती है।
दिए गए आलेख से,$T_{1}$ के अनुरूप शिखर $T_{2}$ के अनुरूप शिखर ($V_{2}$ और $f_{2}$) की तुलना में उच्च वेग $(V_{1})$ पर है और इसकी ऊंचाई $(f_{1})$ कम है।
इसलिए,$T_{1} > T_{2}$,$V_{1} > V_{2}$,और $f_{2} > f_{1}$।
अतः,सही कथन $T_{1} > T_{2}$ है।

(A) गैस के $RMS$ वेग का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि दिए गए तापमान पर $R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $RMS$ वेग मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ की तुलना करने पर:
$CH_{4} = 16 \ g/mol$
$CO = 28 \ g/mol$
$Cl_{2} = 71 \ g/mol$
$CO_{2} = 44 \ g/mol$
चूंकि $CH_{4}$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसका $RMS$ वेग सबसे अधिक होगा।

(D) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $v_{rms(H_{2})} = \sqrt{7} v_{rms(N_{2})}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{H_{2}}}{M_{H_{2}}}} = \sqrt{7} \sqrt{\frac{3RT_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_{H_{2}}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_{2}}}{28}$.
सरल करने पर: $\frac{T_{H_{2}}}{2} = \frac{T_{N_{2}}}{4}$.
अतः,$T_{N_{2}} = 2 T_{H_{2}}$.

(A) गैस के अणुओं के $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ है।
यहाँ,दाब $P = 1.2 \times 10^{5} \ Nm^{-2}$ और घनत्व $d = 4 \ kg \ m^{-3}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.2 \times 10^{5}}{4}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3.6 \times 10^{5}}{4}}$
$v_{rms} = \sqrt{0.9 \times 10^{5}} = \sqrt{90000} = 300 \ ms^{-1}$.

(A) ग्राहम के नियम के अनुसार,गैस के विसरण की दर $(r)$ उसके मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
सबसे पहले,दिए गए अणुओं के मोलर द्रव्यमान की गणना करें:
$CO_2: 44 \ g/mol$
$SO_2: 64 \ g/mol$
$SO_3: 80 \ g/mol$
$PCl_3: 137.5 \ g/mol$
चूंकि विसरण की दर मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए सबसे कम मोलर द्रव्यमान वाला अणु सबसे तेजी से विसरित होगा।
मोलर द्रव्यमान का क्रम है: $CO_2 < SO_2 < SO_3 < PCl_3$।
अतः,विसरण की दर का सही क्रम है: $CO_2 > SO_2 > SO_3 > PCl_3$।

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r_1/r_2 = \sqrt{M_2/M_1}$.
यहाँ $r_{He}/r_x = 4$ दिया गया है,जहाँ $M_{He} = 4 \ g/mol$.
मान रखने पर: $4 = \sqrt{M_x/4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16 = M_x/4$.
अतः,$M_x = 16 \times 4 = 64 \ g/mol$.
विकल्पों के मोलर द्रव्यमान की तुलना करने पर:
$M(ClO_2) = 67.5 \ g/mol$
$M(SO_2) = 64 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
$M(NO_2) = 46 \ g/mol$
$64 \ g/mol$ मोलर द्रव्यमान वाली गैस $SO_2$ है।

(B) $rms$ गति $(v_{rms})$ और सबसे संभावित वेग $(v_{mp})$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ और $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{v_{mp}}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
यहाँ $v_{rms} = 3.16 \times 10^2 \ ms^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $v_{mp} = v_{rms} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$v_{mp} = 3.16 \times 10^2 \times \sqrt{0.6667} \approx 3.16 \times 10^2 \times 0.8165$.
$v_{mp} \approx 2.58 \times 10^2 \ ms^{-1}$.

(B) सबसे संभावित गति का सूत्र $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
दिया गया है $u_{mp} = 200 \ ms^{-1}$ और मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
$200 = \sqrt{\frac{2RT}{2 \times 10^{-3}}} \implies 40000 = \frac{2RT}{2 \times 10^{-3}} \implies RT = 40 \ J \ mol^{-1}$.
आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है।
मोल की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{8 \ g}{2 \ g \ mol^{-1}} = 4 \ mol$.
$KE = \frac{3}{2} \times 4 \times 40 = 6 \times 40 = 240 \ J$.

(C) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$SO_2$ के $v_{rms}$ को $O_2$ के $v_{rms}$ के बराबर होने के लिए,$\sqrt{\frac{3RT_{SO_2}}{M_{SO_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों को हटाने पर,$\frac{T_{SO_2}}{M_{SO_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_{O_2} = 27 + 273 = 300 \ K$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{SO_2}}{64} = \frac{300}{32}$।
$T_{SO_2} = \frac{300 \times 64}{32} = 300 \times 2 = 600 \ K$।