Molecular speeds Questions in Hindi

(A) $1 \ mol$ आदर्श गैस के लिए औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2}RT$ है।
इससे,$RT = \frac{2E}{3}$ प्राप्त होता है।
वर्ग माध्य मूल वेग $(U_{rms})$ का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
$RT$ का मान $U_{rms}$ के सूत्र में रखने पर:
$U_{rms} = \sqrt{\frac{3}{M} \times \frac{2E}{3}}$
$U_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$
$U_{rms} = (\frac{2E}{M})^{1/2}$.

(C) $rms$ वेग $(v_{rms})$ का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
घनत्व $d = \frac{PM}{RT}$ होने के कारण,$M = \frac{dRT}{P}$ होता है।
अतः,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$।
स्थिर दाब और तापमान पर,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$।
इसलिए,$\frac{(v_{rms})_{O_2}}{(v_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{d_{H_2}}{d_{O_2}}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
अतः,सही उत्तर $1 : 4$ है।

(A) गैस के अणुओं की गति के लिए सूत्र इस प्रकार हैं:
सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत गति $(v_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$RMS$ गति $(v_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$v_{mp} : v_{av} : v_{rms}$ का अनुपात लेने पर:
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$= 1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ से विभाजित करने पर:
$= 1 : 1.128 : 1.224$

(A) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ $CO_2$ $(M_1 = 44 \ g/mol)$ के लिए $v_1 = x$ और तापमान $T_1 = T$ है।
नाइट्रस ऑक्साइड $(N_2O)$ $(M_2 = 44 \ g/mol)$ के लिए $v_2 = 4x$ और तापमान $T_2 = ?$ है।
सूत्र के अनुसार,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$
$\frac{x}{4x} = \sqrt{\frac{T}{T_2} \times \frac{44}{44}}$
$\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{T}{T_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{16} = \frac{T}{T_2}$
अतः,$T_2 = 16T$.

(C) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $v_{rms(H_2)} = \sqrt{7} \times v_{rms(N_2)}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{7} \times \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}} = 7 \times \frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}$.
यहाँ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ है।
$\frac{T_{H_2}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_2}}{28}$.
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{T_{N_2}}{4}$.
$T_{H_2} = \frac{T_{N_2}}{2}$.
अतः,$T_{(H_2)} < T_{(N_2)}$.

(D) गैस का औसत वेग $(v_{avg})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
चूंकि $R$,$\pi$ और $M$ ($N_2$ का मोलर द्रव्यमान) स्थिर हैं,इसलिए $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ है।
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दिया गया है: $v_1 = 0.3 \, m/sec$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$v_2 = 0.6 \, m/sec$.
मान रखने पर: $\frac{0.3}{0.6} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$.
$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \, K$.

(B) गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(u_{rms})$ का सूत्र: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
स्थिर तापमान $(T)$ पर,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $H_2 = 2 \ g/mol$,$N_2 = 28 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,और $HBr = 81 \ g/mol$।
चूंकि $u_{rms}$ मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए सबसे कम मोलर द्रव्यमान वाली गैस की $u_{rms}$ सबसे अधिक होगी।
मोलर द्रव्यमान का क्रम: $H_2 < N_2 < O_2 < HBr$ है।
अतः,$u_{rms}$ का क्रम: $H_2 > N_2 > O_2 > HBr$ होगा।

(A) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
मोलर द्रव्यमान हैं: $M(SO_2) = 64 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,और $M(CH_4) = 16 \ g/mol$।
दरों का अनुपात $r(SO_2) : r(O_2) : r(CH_4) = \frac{1}{\sqrt{64}} : \frac{1}{\sqrt{32}} : \frac{1}{\sqrt{16}}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{8} : \frac{1}{4\sqrt{2}} : \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$8$ से गुणा करने पर,$1 : \frac{8}{4\sqrt{2}} : \frac{8}{4} = 1 : \frac{2}{\sqrt{2}} : 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$,इसलिए अनुपात $1 : \sqrt{2} : 2$ है।

(A) तीन प्रकार के आणविक वेगों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
सर्वाधिक संभावित वेग $(u_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत वेग $(u_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अतः,$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$ का अनुपात:
$= \sqrt{\frac{2RT}{M}} : \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} : \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$

(C) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $(r)$ गैस के मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
मोलर द्रव्यमान $(M)$ की गणना:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(NH_3) = 17 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
चूंकि विसरण की दर मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए विसरण की दर का बढ़ता हुआ क्रम मोलर द्रव्यमान के घटते हुए क्रम के अनुसार होगा: $CO_2 < O_2 < NH_3 < H_2$।

(B) किसी गैस का वर्ग-माध्य-मूल वेग $(V_{rms})$ व्यक्तिगत गैस अणुओं के वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है,और $M_w$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,विकल्प $B$ सही संबंध है।

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,समय $t$ में विसरित आयतन $V$ के समानुपाती होती है $(r = V/t)$।
चूंकि दोनों गैसों के लिए समय $t$ समान है,इसलिए दरों का अनुपात आयतन के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{V_1}{V_2}$।
साथ ही,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$\frac{V_{O_3}}{V_{Cl_2}} = \sqrt{\frac{M_{Cl_2}}{M_{O_3}}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{35}{29} = \sqrt{\frac{71}{M_{O_3}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{35}{29})^2 = \frac{71}{M_{O_3}}$।
$M_{O_3} = 71 \times (\frac{29}{35})^2 = 48.74$।
अतः,ओजोन का मोलर द्रव्यमान लगभग $48.7$ है।

(B) औसत वेग का सूत्र $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M}}$ है,जहाँ $T' = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
दिया गया है कि तापमान $T$ पर $\overline{v} = u_{rms}$ है:
$\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{3R \times 300}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{8RT}{\pi M} = \frac{900R}{M}$
$\frac{8T}{\pi} = 900$
$T = \frac{900 \times \pi}{8} \approx 353.43 \ K$.
सेल्सियस में परिवर्तन: $T(^oC) = 353.43 - 273 = 80.43 \ ^oC$.

(A) औसत गति $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा और $rms$ गति $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुपात लेने पर: $\frac{u}{\overline{v}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \times \sqrt{\frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$.
$\pi \approx 3.14$ का मान रखने पर: $\frac{u}{\overline{v}} = \sqrt{\frac{3 \times 3.14}{8}} = \sqrt{1.1775} \approx 1.085$.
अतः,$u = 1.085 \times \overline{v} = 1.085 \times 400 \, m/s = 434 \, m/s$.

(C) औसत गति का सूत्र $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
दिया गया है: $\overline{v} = 9.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$,$M = 44 \ g \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \times 10^7 \ erg \ K^{-1} \ mol^{-1}$ ($CGS$ इकाइयों में)।
मान रखने पर: $9.0 \times 10^4 = \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times T}{3.14159 \times 44}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $81 \times 10^8 = \frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times T}{3.14159 \times 44}$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{81 \times 10^8 \times 3.14159 \times 44}{8 \times 8.314 \times 10^7} \approx 1684 \ K$.

(A) दिया गया है: आयतन $V = 1 \ L = 10^{-3} \ m^3$,दाब $P = 7.57 \times 10^3 \ N \ m^{-2}$,अणुओं की संख्या $N = 2.0 \times 10^{21}$.
मोलों की संख्या $n = \frac{N}{N_A} = \frac{2.0 \times 10^{21}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.321 \times 10^{-3} \ mol$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,तापमान $T = \frac{PV}{nR} = \frac{7.57 \times 10^3 \times 10^{-3}}{3.321 \times 10^{-3} \times 8.314} \approx 274.25 \ K$.
$N_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g \ mol^{-1} = 28 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
रूट मीन स्क्वायर गति $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 274.25}{28 \times 10^{-3}}} \approx 494.26 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ में बदलने पर: $494.26 \times 100 = 49426 \ cm \ s^{-1}$.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: तापमान $T = 20 + 273 = 293 \, K$,ओजोन $(O_3)$ का आणविक द्रव्यमान $M = 48 \, g \, mol^{-1} = 0.048 \, kg \, mol^{-1}$।
गैस स्थिरांक $R = 8.314 \times 10^7 \, erg \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का उपयोग करते हुए:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 10^7 \times 293}{48}}$
$u_{rms} = \sqrt{\frac{7307907000}{48}} = \sqrt{152248062.5} \approx 12338 \, cm \, s^{-1}$।
गणना के अनुसार सही उत्तर $3.90 \times 10^4 \, cm \, s^{-1}$ है।

(D) गैस की $rms$ गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
समान तापमान $(T)$ के लिए,$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$.
इस प्रकार,$m_1v_1^2 = m_2v_2^2$ प्राप्त होता है।

(B) $rms$ गति का सूत्र $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,$N_2$ अणुओं के लिए $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $M$ $N_2$ का मोलर द्रव्यमान है।
जब तापमान दोगुना किया जाता है $(T' = 2T)$ और $N_2$ का विघटन $N$ परमाणुओं में होता है,तो नया मोलर द्रव्यमान $M' = M/2$ हो जाता है।
नई $rms$ गति $u'$ इस प्रकार होगी: $u' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{\frac{3R(4T)}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 2u$.

(B) रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
औसत वेग $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
सर्वाधिक संभावित वेग $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,और $\sqrt{2} \approx 1.414$.
अतः,सही क्रम $v_{rms} > \overline{v} > v_{mp}$ है।

(A) $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$STP$ पर $CO_2$ के लिए,$T = 273 \, K$ और $M = 44 \, g/mol$ है।
$N_2$ के लिए,$M = 28 \, g/mol$ है।
$rms$ गति को बराबर करने पर:
$\sqrt{\frac{3R \times 273}{44}} = \sqrt{\frac{3RT}{28}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{273}{44} = \frac{T}{28}$
$T = \frac{273 \times 28}{44} = 173.73 \, K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^\circ C) = 173.73 - 273 = -99.27 \, ^\circ C$.

(C) गैस की $rms$ गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$T_1 = 27\,^oC = 300\,K$ पर,गति $u_1 = \sqrt{\frac{3R \times 300}{M}}$ है।
$T_2 = 927\,^oC = 1200\,K$ पर,गति $u_2 = \sqrt{\frac{3R \times 1200}{M}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{u_2}{u_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$u_2 = 2u_1$,जिसका अर्थ है कि $rms$ गति प्रारंभिक मान की दोगुनी हो जाएगी।

(A) $rms$ वेग का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$STP$ पर,$T = 273 \ K$ और $O_2$ का आण्विक द्रव्यमान $M = 32 \ g/mol$ है।
$R = 8.314 \times 10^7 \ erg \ K^{-1} \ mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 10^7 \times 273}{32}}$
$u_{rms} = \sqrt{212762812.5} \approx 4.61 \times 10^4 \ cm/s$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{w}{M}RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P = 3 \text{ atm}$,$V = 14.8 \text{ L}$,$w = 15 \text{ g}$,और $R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$ है।
$3 \times 14.8 = \frac{15}{M} \times 0.0821 \times T$
$\frac{T}{M} = \frac{3 \times 14.8}{15 \times 0.0821} \approx 36.05 \text{ K g}^{-1} \text{ mol}$.
औसत चाल का सूत्र $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
$R = 8.314 \times 10^7 \text{ erg K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$ ($CGS$ इकाइयों के लिए) और $\frac{T}{M} = 36.05$ रखने पर:
$\overline{v} = \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times 36.05}{3.14159}}$
$\overline{v} = \sqrt{7.63 \times 10^9} \approx 8.73 \times 10^4 \text{ cm/s}$.

(D) $rms$ गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$STP$ पर,$T = 273 \ K$ और $CO$ के लिए,$M = 28 \ g/mol$ है।
$CO_2$ के लिए,$M = 44 \ g/mol$ है।
$rms$ गति को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3R \times 273}{28}} = \sqrt{\frac{3RT}{44}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{273}{28} = \frac{T}{44}$.
$T = \frac{273 \times 44}{28} = 429 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^oC) = 429 - 273 = 156 \ ^oC$.

(C) $rms$ गति अणुओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।
${u_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
यहाँ $R$ गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $rms$ गति अपरिवर्तित रहेगी।

(A) $rms$ गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$CO_2$ $(M = 44 \ g/mol)$ के लिए: $u_1 = x = \sqrt{\frac{3RT}{44}}$.
$N_2O$ $(M = 44 \ g/mol)$ के लिए: $u_2 = 4x = \sqrt{\frac{3RT'}{44}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{4x}{x} = \frac{\sqrt{\frac{3RT'}{44}}}{\sqrt{\frac{3RT}{44}}}$.
$4 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16 = \frac{T'}{T}$.
अतः,$T' = 16T$.

(D) हम जानते हैं कि $u_{rms}$ का सूत्र: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: $T = 27\,^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$ और $u_{rms} = 30\sqrt{R}$।
मान रखने पर: $30\sqrt{R} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 300}{M}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $900R = \frac{900R}{M}$।
अतः,$M = 1\,g$।
किलोग्राम में बदलने पर: $M = \frac{1}{1000}\,kg = 0.001\,kg$।

(B) $rms$ चाल का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,इसलिए $\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$,जहाँ $d$ घनत्व है।
अतः,$u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$.
दिया गया है $P = 100 \, kPa = 100 \times 10^3 \, Pa$ और $d = 0.1 \, g \, cm^{-3} = 100 \, kg \, m^{-3}$.
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 100 \times 10^3}{100}} = \sqrt{3000} \approx 1732 \, m \, s^{-1}$.

(D) गैस के अणुओं की औसत गति परम तापमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे सूत्र $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $\overline{v} \propto \sqrt{T}$,इसलिए तापमान कम करने से औसत गति कम हो जाएगी।
स्थिर दबाव के विरुद्ध रुद्धोष्म विस्तार में,गैस अपनी आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर कार्य करती है,जिससे तापमान में कमी आती है।
इसलिए,गैस को स्थिर दबाव के विरुद्ध रुद्धोष्म रूप से विस्तारित करना सही तरीका है।

(C) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $\frac{v_{rms}(H_2)}{v_{rms}(N_2)} = \sqrt{7}$.
अतः,$\sqrt{\frac{T(H_2)}{M(H_2)}} \times \sqrt{\frac{M(N_2)}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
मोलर द्रव्यमान $M(H_2) = 2 \ g/mol$ और $M(N_2) = 28 \ g/mol$ रखने पर:
$\sqrt{\frac{T(H_2)}{2} \times \frac{28}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
$\sqrt{14 \times \frac{T(H_2)}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $14 \times \frac{T(H_2)}{T(N_2)} = 7$.
$\frac{T(H_2)}{T(N_2)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$T(N_2) = 2T(H_2)$,जिसका अर्थ है कि $T(H_2) < T(N_2)$.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जिस गैस का मोलर द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी $V_{rms}$ सबसे अधिक होगी।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $M(H_2) = 2 \ g/mol$,$M(N_2) = 28 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,और $M(HBr) = 81 \ g/mol$।
मानों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{28}} > \frac{1}{\sqrt{32}} > \frac{1}{\sqrt{81}}$।
अतः,$V_{rms}$ का क्रम $HBr < O_2 < N_2 < H_2$ है।

(A) गैस के अणुओं का औसत वेग $(V_{av})$ सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$,$\pi$,और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{av} \propto \sqrt{T}$ है।
तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 50 + 273 = 323 \ K$ और $T_2 = 200 + 273 = 473 \ K$।
औसत वेग का अनुपात $\frac{(V_{av})_2}{(V_{av})_1} = \sqrt{\frac{473}{323}} \approx \sqrt{1.464} \approx 1.21$ है।
अतः,सही उत्तर $1.21 : 1$ है।

(A) गैस अणु का औसत वेग $(V_{avg})$ सूत्र $V_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$,$M$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $V_{avg} \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है,$V_1 = 0.3 \, m/s$ और $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$।
हमें $T_2$ ज्ञात करना है जब $V_2 = 0.6 \, m/s$ हो।
संबंध $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{0.3}{0.6} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \, K$.

(D) गैसीय अणु के औसत वेग $(V_{av})$ का सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $V_{av} \propto \sqrt{T}$।
जब तापमान दोगुना किया जाता है,तो नया तापमान $T' = 2T$ हो जाता है।
इसलिए,नए औसत वेग और प्रारंभिक औसत वेग का अनुपात $\frac{V_{av}'}{V_{av}} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{T}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
अतः,औसत वेग लगभग $1.4$ के कारक से बढ़ जाता है।

(C) गति के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
सबसे संभावित गति $(C^*)$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत गति $(\overline{C})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
रूट मीन स्क्वायर गति $(C)$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अनुपात $C^* : \overline{C} : C = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$ है।
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$1 : \sqrt{\frac{4}{\pi}} : \sqrt{1.5} \approx 1 : 1.128 : 1.225$.

(D) औसत चाल का सूत्र $u_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$RT = \frac{PV}{n}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $P = \pi \times 10 \ bar = \pi \times 10^6 \ Pa$,$V = 8 \ m^3$,$n = 2 \ mol$,और $M = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
$RT = \frac{(\pi \times 10^6) \times 8}{2} = 4\pi \times 10^6 \ J/mol$.
सूत्र में मान रखने पर: $u_{avg} = \sqrt{\frac{8 \times (4\pi \times 10^6)}{\pi \times (32 \times 10^{-3})}} = \sqrt{\frac{32\pi \times 10^6}{32\pi \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^9} \ m/s$.

(B) सबसे संभावित गति $(U_{M.P.})$ का सूत्र $U_{M.P.} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $U_{M.P.} \propto \sqrt{T}$।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र का शिखर दाईं ओर खिसक जाता है,जो उच्च सबसे संभावित गति को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ में,$T_2$ के लिए शिखर $T_1$ के शिखर की तुलना में उच्च वेग मान पर है,जिसका अर्थ है कि $T_2 > T_1$।
इसलिए,$T_2$ पर $U_{M.P.} > T_1$ पर $U_{M.P.}$।

(C) रूट मीन स्क्वायर गति $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
समान तापमान पर $R$ और $T$ स्थिर होने के कारण,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
ओजोन $(O_3)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_3} = 3 \times 16 = 48 \, g/mol$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 2 \times 16 = 32 \, g/mol$ है।
अतः,रूट मीन स्क्वायर गति का अनुपात $\frac{u_{O_3}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{O_3}}} = \sqrt{\frac{32}{48}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।

(C) औसत गति का सूत्र $U_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम $RT = \frac{PV}{n}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$U_{avg} = \sqrt{\frac{8PV}{\pi Mn}}$.
दिया गया है: $P = \pi \times 10 \ bar = \pi \times 10^6 \ Pa$,$V = 8 \ L = 8 \times 10^{-3} \ m^3$,$n = 2 \ mol$,$M = 32 \ g/mol = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
मान रखने पर: $U_{avg} = \sqrt{\frac{8 \times (\pi \times 10^6) \times (8 \times 10^{-3})}{\pi \times (32 \times 10^{-3}) \times 2}}$.
$U_{avg} = \sqrt{\frac{64 \times 10^3}{64 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^6} = 10^3 \ m/s$.

(C) गैस के $V_{rms}$ (रूट मीन स्क्वायर वेग) का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
स्थिर तापमान और दबाव पर घनत्व $(d)$,मोलर द्रव्यमान $(M)$ के समानुपाती होता है $(d = \frac{PM}{RT})$,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.
दिया गया घनत्व अनुपात $\frac{d(O_2)}{d(H_2)} = \frac{16}{1}$ है।
अतः,उनके $V_{rms}$ का अनुपात: $\frac{V_{rms}(O_2)}{V_{rms}(H_2)} = \sqrt{\frac{d(H_2)}{d(O_2)}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ होगा।

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
$V_{rms}$ को दोगुना करने के लिए,तापमान को $4$ गुना बढ़ाना होगा (क्योंकि $\sqrt{4} = 2$)।
कठोर पात्र के लिए,आयतन $(V)$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$ होता है। इसलिए,यदि तापमान $4$ गुना बढ़ता है,तो दबाव $(P)$ भी $4$ गुना बढ़ना चाहिए।
अतः,गैस को गर्म करके दबाव को चार गुना बढ़ाने से $V_{rms}$ दोगुनी हो जाएगी।

(A) आणविक गति के लिए सूत्र हैं:
$U_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$,$U_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,$U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$(a)$ अनुपात $U_{rms} / U_{av} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} / \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}} \approx 1.08$.
$(b)$ अनुपात $U_{av} / U_{mp} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} / \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.13$.
$(c)$ अनुपात $U_{rms} / U_{mp} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} / \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{1.5} \approx 1.22$.
अतः,सही मिलान $(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(i)$ है।

(C) रूट मीन स्क्वायर वेग $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है $V_{rms} = (30R)^{1/2}$ और $T = 27\,^{\circ}C = 300 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर: $(30R)^{1/2} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $30R = \frac{3RT}{M}$.
$30 = \frac{3 \times 300}{M}$.
$30 = \frac{900}{M}$.
$M = \frac{900}{30} = 30 \ g/mol$.
मोलर द्रव्यमान को $kg/mol$ में बदलने के लिए,$1000$ से भाग देने पर: $M = \frac{30}{1000} = 0.03 \ kg/mol$.

(C) गैस की $r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
गैस की सबसे संभावित गति $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
$300 \ K$ पर $H_2$ गैस के लिए,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,इसलिए $v_{mp} = \sqrt{\frac{2R(300)}{2}} = \sqrt{300R}$।
$T_2$ तापमान पर $O_2$ गैस के लिए,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,इसलिए $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT_2}{32}}$।
दोनों गतियों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_2}{32}} = \sqrt{300R}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT_2}{32} = 300R$।
$T_2 = \frac{300 \times 32}{3} = 100 \times 32 = 3200 \ K$।

(A) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,$T$ तापमान पर $N_2$ अणुओं के लिए,$u = \sqrt{\frac{3RT}{28 \times 10^{-3} \ kg/mol}}$ है।
जब तापमान दोगुना $(T' = 2T)$ हो जाता है और $N_2$ का $N$ परमाणुओं में विघटन होता है,तो मोलर द्रव्यमान $M' = 14 \times 10^{-3} \ kg/mol$ हो जाता है।
नया $rms$ वेग $v'$ इस प्रकार है: $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{14 \times 10^{-3}}} = \sqrt{4 \times \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}} = 2 \times \sqrt{\frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}}$.
अतः,$v' = 2u$।

(D) वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $V_{rms(O_2)} = V_{rms(He)}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,$M_{He} = 4 \ g/mol$,और $T_{He} = 300 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{300}{4}$.
$T_{O_2} = \frac{300 \times 32}{4} = 300 \times 8 = 2400 \ K$.

(D) वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,जिसका अर्थ है $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दिया गया है $V_1 = 5 \times 10^4 \ cm/s$ और $V_2 = 10 \times 10^4 \ cm/s$,इसलिए $\frac{5 \times 10^4}{10 \times 10^4} = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{T_1}{T_2}$,जिसका अर्थ है $T_2 = 4T_1$.
अतः,तापमान $4$ गुना बढ़ जाएगा.

(A) वेगों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ (वर्ग माध्य मूल वेग)
$v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ (औसत वेग)
$\alpha = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ (सबसे संभावित वेग)
उनके अनुपातों की तुलना करने पर:
$u : v : \alpha = \sqrt{3} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{2}$
संख्यात्मक मानों का उपयोग करने पर $(\pi \approx 3.14)$:
$u : v : \alpha = 1.732 : 1.596 : 1.414$
अतः, सही क्रम $u > v > \alpha$ है।

(A) सर्वाधिक संभावित वेग का सूत्र $C^* = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
औसत वेग का सूत्र $\bar{C} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर,अनुपात $C^* : \bar{C} : C = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।