Molecular speeds Questions in Hindi

(A) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $(r)$ मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
मोलर द्रव्यमान की गणना:
$M(NH_3) = 17 \ g/mol$
$M(N_2) = 28 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
चूंकि $NH_3$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी विसरण दर सबसे अधिक होगी।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,अणुभार $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
दिया गया है: $M_1 = 64$,$r_2 = 2r_1$.
सूत्र $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{r_1}{2r_1} = \sqrt{\frac{M_2}{64}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{M_2}{64}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{M_2}{64}$
$M_2 = \frac{64}{4} = 16$.
अतः,अणुभार $16$ है।

(D) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $(r)$ गैस के मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
दो गैसें समान दर पर विसरित होंगी यदि उनका मोलर द्रव्यमान समान हो।
विकल्प $(D)$ के लिए: $M_{NO} = 14 + 16 = 30 \ g/mol$ और $M_{C_2H_6} = (2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g/mol$.
चूंकि $NO$ और $C_2H_6$ दोनों का आणविक भार $30 \ g/mol$ है,इसलिए वे समान दर पर विसरित होंगे।

(C) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती और तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है।
$\frac{r_{N_2}}{r_{SO_2}} = \sqrt{\frac{M_{SO_2}}{M_{N_2}} \times \frac{T_{N_2}}{T_{SO_2}}}$
दिया गया है: $r_{N_2} = 1.625 \times r_{SO_2}$,$T_{SO_2} = 50 + 273 = 323\,K$,$M_{N_2} = 28\,g/mol$,$M_{SO_2} = 64\,g/mol$.
मान रखने पर:
$1.625 = \sqrt{\frac{64}{28} \times \frac{T_{N_2}}{323}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1.625)^2 = \frac{64}{28} \times \frac{T_{N_2}}{323}$
$T_{N_2} = 373\,K$.

(A) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$ गैस के आणविक द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
चूंकि $H_2$ का आणविक द्रव्यमान $2 \ g/mol$ है और $O_2$ का आणविक द्रव्यमान $32 \ g/mol$ है,इसलिए $H_2$ का आणविक द्रव्यमान कम है।
अतः,$H_2$ गैस $O_2$ की तुलना में तेजी से विसरित होगी।

(C) गतिज गैस समीकरण को $PV = \frac{1}{3} m N u_{rms}^2$ के रूप में व्युत्पन्न किया जाता है।
इस व्युत्पत्ति में,दबाव गैस के अणुओं के औसत वर्ग वेग से संबंधित होता है।
परिभाषा के अनुसार,वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$ व्यक्तिगत अणुओं के वेग के वर्गों के माध्य का वर्गमूल है,अर्थात $u_{rms} = \sqrt{\frac{u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2}{n}}$।
इसलिए,यह अणुओं के औसत वर्ग वेग का वर्गमूल है।

(B) जैसे-जैसे गैस का तापमान बढ़ता है,मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र दाईं ओर खिसक जाता है और चपटा हो जाता है।
$1$. सबसे संभावित गति $(v_{mp} = \sqrt{2RT/M})$ बढ़ जाती है।
$2$. वक्र का शिखर दाईं ओर खिसक जाता है और इसकी ऊंचाई कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि सबसे संभावित गति वाले अणुओं का अंश कम हो जाता है।
$3$. वितरण वक्र व्यापक हो जाता है।
$4$. वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल अणुओं की कुल संख्या को दर्शाता है,जो तापमान की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।
इसलिए,यह कथन कि सबसे संभावित गति वाले अणुओं का अंश बढ़ जाता है,सत्य नहीं है।

(A) वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
औसत वेग $(V_{av})$ का सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
अनुपात $\frac{V_{rms}}{V_{av}} = \sqrt{\frac{3RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$ होता है।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर,$\sqrt{\frac{3 \times 3.14}{8}} = \sqrt{1.1775} \approx 1.086$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1.086 : 1$ है।

(D) तीन प्रकार के आणविक वेगों के सूत्र इस प्रकार हैं:
सर्वाधिक संभावित वेग $(V_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत वेग $(V_{avg})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$V_{mp} : V_{avg} : V_{rms}$ का अनुपात लेने पर:
$= \sqrt{\frac{2RT}{M}} : \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} : \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$\sqrt{\frac{RT}{M}}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
अतः,सही विकल्प $(D)$ है.

(D) . रूट मीन स्क्वायर वेग $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
समान तापमान $(T)$ पर,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का आणविक द्रव्यमान है।
चूंकि $H_2$ का आणविक द्रव्यमान $(M = 2 \ g/mol)$ $SO_2$ $(64 \ g/mol)$,$CO_2$ $(44 \ g/mol)$ और $O_2$ $(32 \ g/mol)$ की तुलना में सबसे कम है,इसलिए इसका $V_{rms}$ अधिकतम होगा।

(D) $RMS$ वेग का सूत्र $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $300 \ K$ पर $SO_2$ का $RMS$ वेग $He$ के वेग का आधा है,इसलिए $\frac{U_{SO_2}}{U_{He}} = \frac{1}{2}$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{M_{He}}{M_{SO_2}} \times \frac{T_{SO_2}}{T_{He}}}$.
मोलर द्रव्यमान ($M_{He} = 4 \ g/mol$,$M_{SO_2} = 64 \ g/mol$) और तापमान $(T_{He} = 300 \ K)$ रखने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{4}{64} \times \frac{T_{SO_2}}{300}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{4}{64} \times \frac{T_{SO_2}}{300}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \times \frac{T_{SO_2}}{300}$.
$T_{SO_2} = \frac{16 \times 300}{4} = 4 \times 300 = 1200 \ K$.

(C) $rms$ वेग का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $rms$ वेगों का अनुपात उनके मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{U_{O_3}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{O_3}}}$
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $32 \ g/mol$ और ओजोन $(O_3)$ का $48 \ g/mol$ है।
$\frac{U_{O_3}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{48}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(B) $RMS$ वेग का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
वेग समान होने के लिए: $\sqrt{\frac{3RT_{SO_2}}{M_{SO_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
यह $\frac{T_{SO_2}}{M_{SO_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$ और $T_{O_2} = 303 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{SO_2}}{64} = \frac{303}{32}$.
$T_{SO_2} = \frac{303 \times 64}{32} = 303 \times 2 = 606 \ K$.

(D) रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान (केल्विन में) है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जिस गैस का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक होगा,उसका रूट मीन स्क्वायर वेग सबसे कम होगा।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $SO_2 = 64 \ g/mol$,$N_2 = 28 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,और $Cl_2 = 71 \ g/mol$।
चूँकि $Cl_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक $(71 \ g/mol)$ है,इसलिए इसका रूट मीन स्क्वायर वेग सबसे कम होगा।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) गैस का रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,इसलिए $RT = \frac{PV M}{m}$ होता है। इसे $rms$ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर $v_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{m}} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,घनत्व $d = \frac{m}{V}$ होने के कारण,$P = \frac{dRT}{M}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{d} = \frac{RT}{M}$। इसे $rms$ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए सभी व्यंजक सही हैं।

(C) वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान (या $m$ आणविक द्रव्यमान) है।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$,जिसे $V_{rms} \propto m^{-1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि तापमान $T$ दोनों गैसों के लिए समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{M_2}{M_1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $M_1 v_1^2 = M_2 v_2^2$ प्राप्त होता है। चूँकि द्रव्यमान $m$,मोलर द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होता है,इसलिए $m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$ सही है।

(D) वर्ग माध्य मूल वेग $(U_{rms})$ का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $U_{rms} \propto \sqrt{T}$,वेग का अनुपात $\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
यहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = 927 + 273 = 1200 \, K$ है।
मान रखने पर: $\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$U_2 = 2 \times U_1$,जिसका अर्थ है कि वेग दुगुना हो जाएगा।

(C) रूट मीन स्क्वायर वेग $(U_{rms})$ का सूत्र $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$50 \ K$ पर $H_2$ के लिए: $U_{H_2} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2}}$।
$800 \ K$ पर $O_2$ के लिए: $U_{O_2} = \sqrt{\frac{3R \times 800}{32}}$।
अनुपात $\frac{U_{H_2}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times 0.04} = \sqrt{1} = 1$ है।

(D) वर्ग माध्य मूल वेग $(U)$ का सूत्र $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,इसलिए $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$,जहाँ $d$ घनत्व है।
अतः,$\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर,$U = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ प्राप्त होता है।
स्थिर दाब $(P)$ पर,$U \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ होता है।

(D) गैस के अणु की औसत गति $(v_{avg})$ का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $SO_2$ और $O_2$ दोनों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए औसत गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}})$।
$SO_2$ का मोलर द्रव्यमान $64 \ g/mol$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $32 \ g/mol$ है।
चूंकि $M(SO_2) > M(O_2)$,इसलिए $SO_2$ की औसत गति $O_2$ से कम होगी।

(B) $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,$N_2$ अणुओं के लिए: $v_1 = v = \sqrt{\frac{3RT}{M_{N_2}}}$,जहाँ $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ है।
अंत में,$N$ परमाणुओं के लिए: $v_2 = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_N}}$,जहाँ $M_N = 14 \ g/mol$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{14} \times \frac{28}{3RT}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,$v_2 = 2v$।

(B) रूट मीन स्क्वायर गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
औसत गति $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है।
सर्वाधिक संभावित गति $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,और $\sqrt{2} \approx 1.414$.
अतः,सही क्रम $v_{rms} > \bar{v} > v_p$ है।

(C) सर्वाधिक संभावित वेग $(V_{mp})$ $\sqrt{2RT / M}$ द्वारा दिया जाता है।
औसत वेग $(V_{av})$ $\sqrt{8RT / \pi M}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात $\frac{V_{mp}}{V_{av}} = \frac{\sqrt{2RT / M}}{\sqrt{8RT / \pi M}} = \sqrt{\frac{2RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{2\pi}{8}} = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ है।

(A) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है $V_1 = v$ जब $T_1 = 300 \ K$ और $V_2 = 2v$ जब $T_2 = ?$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{v}{2v} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{300}{T_2} \implies \frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$।
अतः,$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$।

(C) गैस का $rms$ वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$V_{rms}$ गैस के तापमान $(T)$ और मोलर द्रव्यमान $(M)$ दोनों पर निर्भर करता है।

(C) एक मोल एकपरमाणुक गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \dots (1)$ द्वारा दिया जाता है।
एक मोल एकपरमाणुक गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$,$E = \frac{3}{2}RT$ होती है।
इससे,हम $RT$ को $RT = \frac{2E}{3} \dots (2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3}{M} \times \frac{2E}{3}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$.

(A) औसत वेग $(v_{avg})$ का सूत्र $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
सबसे संभावित वेग $(v_{mp})$ का सूत्र $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
इनका अनुपात $\frac{v_{avg}}{v_{mp}} = \frac{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}{\sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.128$ है।
अतः,अनुपात $1.128 : 1$ है।

(D) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है $v_{rms} = 30 R^{1/2}$ और $T = 27 ^\circ C = 300 \, K$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} = (30 R^{1/2})^2 = 900 R$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $900 R = \frac{3RT}{M}$.
$T = 300 \, K$ रखने पर: $900 R = \frac{3R \times 300}{M}$.
$900 R = \frac{900 R}{M}$,जिससे $M = 1 \, g/mol$ प्राप्त होता है।
किलोग्राम में बदलने पर: $M = 1 \, g = 0.001 \, kg$.

(A) वेग के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
सबसे संभावित वेग $(\alpha) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत वेग $(v) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
वर्ग माध्य मूल वेग $(u) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अनुपात $\alpha : v : u$ लेने पर:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ से विभाजित करने पर:
$1 : 1.128 : 1.224$

(A) वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms})$ को सभी अणुओं की गति के वर्गों के औसत के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,यह सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{\sum n_i C_i^2}{\sum n_i}} = \left[ \frac{n_1 C_1^2 + n_2 C_2^2 + n_3 C_3^2 + .....}{n_1 + n_2 + n_3 + .....} \right]^{1/2}$.

(B) औसत गति का सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
$CH_4$ और $O_2$ की औसत गति समान होने के लिए: $\sqrt{\frac{8RT_{CH_4}}{\pi M_{CH_4}}} = \sqrt{\frac{8RT_{O_2}}{\pi M_{O_2}}}$.
यह समीकरण $\frac{T_{CH_4}}{M_{CH_4}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $T_{O_2} = 300 \ K$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $M_{CH_4} = 16 \ g/mol$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_{CH_4}}{16} = \frac{300}{32}$.
$T_{CH_4} = \frac{300 \times 16}{32} = 150 \ K$.

(D) गैस के अणुओं की औसत गति का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
चूंकि गैस समान है,$M$ स्थिर है। इसलिए,$v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है $v_X = 2v_Y$,इसलिए $\sqrt{T_X} = 2\sqrt{T_Y}$,जिसका अर्थ है $T_X = 4T_Y$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$P = \frac{nRT}{V}$।
फ्लास्क $X$ के लिए: $P_X = \frac{1 \cdot R \cdot T_X}{V_X} = \frac{RT_X}{1}$।
फ्लास्क $Y$ के लिए: $P_Y = \frac{1 \cdot R \cdot T_Y}{V_Y} = \frac{RT_Y}{2}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{P_X}{P_Y} = \frac{RT_X}{1} \cdot \frac{2}{RT_Y} = 2 \cdot \frac{T_X}{T_Y}$।
$T_X = 4T_Y$ रखने पर: $\frac{P_X}{P_Y} = 2 \cdot 4 = 8$।
अतः,$P_X = 8P_Y$।

(A) गैस के अणुओं का सर्वाधिक संभावित वेग $(v_{mp})$ उस वेग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दिए गए तापमान पर अणुओं के अधिकतम अंश द्वारा धारण किया जाता है।
यह सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_w}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M_w$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।

(C) गैस अणुओं का औसत वेग $(v_{avg})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_w}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M_w$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,सही व्यंजक $(\frac{8RT}{\pi M_w})^{1/2}$ है।

(B) $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $RMS$ वेग समान हैं,इसलिए $\sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}}$ होगा।
यह $\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ में सरल हो जाता है।
$O_2$ $(M_1 = 32 \, g/mol)$ के लिए $T_1 = 303 \, K$ दिया गया है और हमें $SO_2$ $(M_2 = 64 \, g/mol)$ के लिए $T_2$ ज्ञात करना है।
$\frac{303}{32} = \frac{T_2}{64}$।
$T_2 = 303 \times \frac{64}{32} = 303 \times 2 = 606 \, K$।

(A) तीन प्रकार की आण्विक गति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$1$. रूट मीन स्क्वायर गति: $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$2$. औसत गति: $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$3$. सबसे संभावित गति: $\alpha = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$U_{rms} = \sqrt{3} \approx 1.732$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx \sqrt{2.546} \approx 1.596$
$\alpha = \sqrt{2} \approx 1.414$
अतः,सही क्रम $U_{rms} > \bar{v} > \alpha$ है।

(D) गैस का $R.M.S.$ वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
स्थिर तापमान $(T)$ पर,$v_{rms}$ मोलर द्रव्यमान $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
इसलिए,जिस गैस का मोलर द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसका $R.M.S.$ वेग अधिकतम होगा।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
$O_2 = 32 \, g/mol$
$CO_2 = 44 \, g/mol$
$SO_2 = 64 \, g/mol$
$CO = 28 \, g/mol$
चूंकि $CO$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम $(28 \, g/mol)$ है,इसलिए इसका $R.M.S.$ वेग अधिकतम होगा।

(C) वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$ का सूत्र: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $u_{rms} \propto \sqrt{T}$।

(C) एक मोल आदर्श गैस के लिए औसत गतिज ऊर्जा $(E) = \frac{3}{2}RT$ होती है।
हम जानते हैं कि $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$,जिसका अर्थ है $RT = \frac{U_{rms}^2 \times M}{3}$।
$RT$ का मान गतिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E = \frac{3}{2} \times \left( \frac{U_{rms}^2 \times M}{3} \right) = \frac{1}{2} M U_{rms}^2$।
$U_{rms}$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $U_{rms}^2 = \frac{2E}{M}$,अतः $U_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$।

(D) गैस की वर्ग माध्य मूल गति $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
यहाँ,$R$ गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान (केल्विन में) है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समान तापमान पर $3$,$R$ और $T$ स्थिर होने के कारण,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि जिस गैस का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक होगा,उसकी गति सबसे कम होगी।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
$M(SO_2) = 64 \, g/mol$
$M(N_2) = 28 \, g/mol$
$M(O_2) = 32 \, g/mol$
$M(Cl_2) = 71 \, g/mol$
मोलर द्रव्यमान की तुलना करने पर,$Cl_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक $(71 \, g/mol)$ है।
अतः,$Cl_2$ की वर्ग माध्य मूल गति सबसे कम होगी।

(C) गैस अणुओं की औसत गति $(v_{avg})$ का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
चूंकि औसत गति समान है,इसलिए $\sqrt{\frac{8RT_1}{\pi M_1}} = \sqrt{\frac{8RT_2}{\pi M_2}}$ होगा।
यह सरल होकर $\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ हो जाता है।
दिया गया है $T_1 = 300 \ K$,$M_1 (CH_4) = 16 \ g/mol$,और $M_2 (O_2) = 32 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{300}{16} = \frac{T_2}{32}$।
$T_2 = \frac{300 \times 32}{16} = 300 \times 2 = 600 \ K$।

(B) आदर्श गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
दिया गया है: $T_1 = 120 \ K$,$v_1 = v$ और $T_2 = 480 \ K$.
इसलिए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2v$.

(D) गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$ सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M_w}RT$ से,हमें $\frac{RT}{M_w} = \frac{PV}{m} = \frac{P}{d}$ प्राप्त होता है,जहाँ $d$ गैस का घनत्व है $(d = \frac{m}{V})$।
इन मानों को $u_{rms}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$1$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ (विकल्प $A$ सही है)।
$2$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ (विकल्प $B$ सही है)।
$3$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$ (विकल्प $C$ सही है,क्योंकि $PV = nRT$ और $M$ कुल द्रव्यमान है)।
विकल्प $D$ $(\frac{3P}{dM_w})^{1/2}$ है,जो आयामी रूप से गलत है और वेग का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(A) गति के लिए सूत्र इस प्रकार हैं:
सबसे संभावित गति $(\alpha) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
औसत गति $(v) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
रूट मीन स्क्वायर गति $(u) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अनुपात $\alpha : v : u$ लेने पर:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ से विभाजित करने पर:
$1 : 1.128 : 1.224$

(C) $rms$ गति का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$H_2$ के लिए $T_1 = 50 \ K$ और $M_1 = 2 \ g/mol$,तथा $O_2$ के लिए $T_2 = 800 \ K$ और $M_2 = 32 \ g/mol$:
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{M_1} \times \frac{M_2}{T_2}}$
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}}$
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) वर्ग माध्य मूल वेग $(u_{rms})$ का सूत्र है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$50 \ K$ पर $H_2$ के लिए: $u_{rms(H_2)} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2}}$
$800 \ K$ पर $O_2$ के लिए: $u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3R \times 800}{32}}$
अनुपात है: $\frac{u_{rms(H_2)}}{u_{rms(O_2)}} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2} \times \frac{32}{3R \times 800}}$
$= \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times 0.04} = \sqrt{1} = 1$

(D) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति $(u_{rms})$ का सूत्र: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान (केल्विन) है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
$u_{rms}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें उच्च तापमान $(T)$ और कम मोलर द्रव्यमान $(M)$ की आवश्यकता है।
प्रत्येक के लिए $\frac{T}{M}$ की गणना करने पर:
$A$: $O_2$ $(M=32)$,$T=273\,K \implies \frac{T}{M} \approx 8.53$
$B$: $N_2$ $(M=28)$,$T=1273\,K \implies \frac{T}{M} \approx 45.46$
$C$: $CH_4$ $(M=16)$,$T=298\,K \implies \frac{T}{M} \approx 18.63$
$D$: $H_2$ $(M=2)$,$T=223\,K \implies \frac{T}{M} = 111.5$
$\frac{T}{M}$ का मान सबसे अधिक होने के कारण,$-50\,^{\circ}C$ पर $H_2$ की गति सबसे अधिक होगी।

(A) गैस अणुओं का औसत वेग $(v_{avg})$ सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
दिया गया है $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ और $v_1 = 0.3\,m/s$।
दिया गया है $T_2 = 927 + 273 = 1200\,K$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$\frac{v_2}{0.3} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$।
$v_2 = 0.3 \times 2 = 0.6\,m/s$।

(B) रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n}}$.
दी गई गतियाँ $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5 \, cm/s$ और $n = 4$ हैं।
वर्गों का योग ज्ञात करने पर: $\sum v_i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54$.
अब,$v_{rms} = \sqrt{\frac{54}{4}} = \sqrt{\frac{27}{2}} \, cm/s$.