Mix Examples - Statistics Questions in Gujarati

(D) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરો:
$1$. વર્ગ $10-25$: $cf = 5$
$2$. વર્ગ $25-40$: $cf = 5 + 21 = 26$
$3$. વર્ગ $40-55$: $cf = 26 + 21 = 47$
$4$. વર્ગ $55-70$: $cf = 47 + 8 = 55$
$5$. વર્ગ $70-85$: $cf = 55 + 25 = 80$
$6$. વર્ગ $85-100$: $cf = 80 + 20 = 100$
કુલ આવૃત્તિ $n = 100$ છે.
$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ ની ગણતરી કરો.
મધ્યસ્થ વર્ગ એવો વર્ગ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $\frac{n}{2} = 50$ કરતા તરત જ મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ જોતા: $5, 26, 47, 55, 80, 100$. $50$ કરતા મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $55$ છે,જે વર્ગ $55-70$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $55-70$ છે.

(A) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ કુલ આવૃત્તિ $n = \sum f_i = 6 + 10 + 5 + 6 + 4 + 2 + 2 = 35$ શોધીએ છીએ.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ $\frac{n}{2}$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે.
અહીં,$\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$.
ચાલો સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ:
વર્ગ $10-20$: $cf = 6$
વર્ગ $20-30$: $cf = 6 + 10 = 16$
વર્ગ $30-40$: $cf = 16 + 5 = 21$
કારણ કે $21$ એ $17.5$ થી મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ છે,તેથી અનુરૂપ વર્ગ $30-40$ એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.

(B) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. વર્ગ $0-10$ માટે,$cf = 4$.
$2$. વર્ગ $10-20$ માટે,$cf = 4 + 5 = 9$.
$3$. વર્ગ $20-30$ માટે,$cf = 9 + 9 = 18$.
$4$. વર્ગ $30-40$ માટે,$cf = 18 + 10 = 28$.
$5$. વર્ગ $40-50$ માટે,$cf = 28 + 14 = 42$.
$6$. વર્ગ $50-60$ માટે,$cf = 42 + 8 = 50$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 50$ છે.
આપણે એવો વર્ગ શોધવો પડશે કે જેની સંચયી આવૃત્તિ $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ જોતા: $4, 9, 18, 28, 42, 50$.
$25$ કરતા મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $30-40$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $30-40$ છે.

(A) 'થી ઓછા' પ્રકારનો ઓજીવ દોરવા માટે,આપણે સંબંધિત વર્ગ અંતરાલોની ઉર્ધ્વ સીમાઓ સામે સંચયી આવૃત્તિઓ આલેખીએ છીએ.
તેથી,વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમાઓ $X$-અક્ષ પર અને અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિઓ $Y$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) શરૂઆતના $10$ અવલોકનોનો સરવાળો $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 10 \times 15.7 = 157$ છે.
જ્યારે એક નવું અવલોકન $19$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે અવલોકનોનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{i}' = 157 + 19 = 176$ થાય છે.
હવે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n' = 10 + 1 = 11$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{\Sigma x_{i}'}{n'} = \frac{176}{11} = 16$ મળે છે.

(A) $5$ અવલોકનોનો સરવાળો $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 5 \times 16 = 80$ છે.
જ્યારે અવલોકન $5$ ને $-5$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે અવલોકનોનો સુધારેલો સરવાળો $\Sigma x_{i}' = 80 - 5 + (-5) = 80 - 10 = 70$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\text{નવો મધ્યક} = \frac{\text{સુધારેલો } \Sigma x_{i}}{n} = \frac{70}{5} = 14$ મળે છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_{15}$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum x_i}{15} = 16$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum x_i = 16 \times 15 = 240$.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં $2$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $\sum (x_i + 2) = \sum x_i + (15 \times 2) = 240 + 30 = 270$ થાય છે.
$2$ ઉમેર્યા પછીનો નવો મધ્યક $\frac{270}{15} = 18$ થાય.
જ્યારે દરેક પરિણામને $3$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે નવો મધ્યક $\frac{18}{3} = 6$ થાય છે.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં આપેલ કિંમતો $Z = 12$ અને $M = 16$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$12 = 3(16) - 2\bar{x}$
$12 = 48 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ માટે સમીકરણ ઉકેલતા:
$2\bar{x} = 48 - 12$
$2\bar{x} = 36$
$\bar{x} = \frac{36}{2}$
$\bar{x} = 18$

(D) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
જ્યાં $Z$ એ બહુલક છે,$M$ એ મધ્યસ્થ છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
આપેલ છે: $Z = 25$ અને $\bar{x} = 19$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$25 = 3M - 2(19)$
$25 = 3M - 38$
$3M = 25 + 38$
$3M = 63$
$M = \frac{63}{3} = 21$
તેથી,મધ્યસ્થ $21$ છે.

(B) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં $M = 72$ અને $\bar{x} = 70$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(72) - 2(70)$
$Z = 216 - 140$
$Z = 76$
આમ,$Z$ ની કિંમત $76$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આ સમીકરણને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આપેલ છે કે $Z - M = 4$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 = 2(M - \bar{x})$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$M - \bar{x} = \frac{4}{2}$
$M - \bar{x} = 2$

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
આપેલ કિંમતો $Z = 36.8$ અને $M = 33.6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$36.8 = 3(33.6) - 2\bar{x}$
$3 \times 33.6$ ની ગણતરી કરતા:
$36.8 = 100.8 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$2\bar{x} = 100.8 - 36.8$
$2\bar{x} = 64$
$2$ વડે ભાગતા:
$\bar{x} = \frac{64}{2} = 32$
આમ,$\bar{x}$ ની કિંમત $32$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$Z+M=88$ --- (સમીકરણ $1$)
$Z-M=2$ --- (સમીકરણ $2$)
$M$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(Z+M) - (Z-M) = 88 - 2$
$Z + M - Z + M = 86$
$2M = 86$
$M = \frac{86}{2}$
$M = 43$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ સમીકરણો:
$1) Z + M = 34 \implies Z = 34 - M$
$2) M + \bar{x} = 40 \implies \bar{x} = 40 - M$
આ કિંમતોને અનુભવજન્ય સૂત્રમાં મૂકતા:
$34 - M = 3M - 2(40 - M)$
$34 - M = 3M - 80 + 2M$
$34 - M = 5M - 80$
$34 + 80 = 5M + M$
$114 = 6M$
$M = \frac{114}{6} = 19$
તેથી,$M$ ની કિંમત $19$ છે.

(A) આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યસ્થ 'થી ઓછા' પ્રકારના અને 'થી વધુ' પ્રકારના બંને ઓજીવ દોરીને આલેખની મદદથી મેળવી શકાય છે.
આ બે ઓજીવનું છેદબિંદુ મધ્યસ્થનું મૂલ્ય આપે છે.
આ છેદબિંદુનો $x$-યામ એ માહિતીનો મધ્યસ્થ દર્શાવે છે,જ્યારે $y$-યામ એ મધ્યસ્થને અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
અહીં આપેલ છેદબિંદુ $(20, 25)$ છે,તેથી તેનો $x$-યામ $20$ છે.
તેથી,માહિતીનો મધ્યસ્થ $20$ છે.

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $\bar{x} = Z - 3$,તેથી આપણે બહુલકને $Z = \bar{x} + 3$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} + 3 = 3(22) - 2\bar{x}$
$\bar{x} + 3 = 66 - 2\bar{x}$
બંને બાજુ $2\bar{x}$ ઉમેરતા:
$3\bar{x} + 3 = 66$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$3\bar{x} = 63$
$3$ વડે ભાગતા:
$\bar{x} = 21$.
આમ,મધ્યક $21$ છે.

(A) મધ્યક $( \bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $M - \bar{x} = 2$,તેથી આપણે મધ્યકને $\bar{x} = M - 2$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3M - 2(M - 2)$
$20.5 = 3M - 2M + 4$
$20.5 = M + 4$
$M = 20.5 - 4$
$M = 16.5$
આમ,મધ્યસ્થ $M$ ની કિંમત $16.5$ છે.

(B) $15$ અવલોકનોનો પ્રારંભિક સરવાળો $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 15 \times 25 = 375$ છે.
સુધારેલો સરવાળો સાચી કિંમત ઉમેરીને અને ખોટી કિંમત બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે: $\text{સુધારેલ } \Sigma x_{i} = 375 + 50 - 20 = 405$.
સાચો મધ્યક એ સુધારેલા સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે: $\text{સાચો મધ્યક} = \frac{405}{15} = 27$.

(A) મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
પ્રથમ દસ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ થાય છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
તેથી,મધ્યક $\bar{x} = \frac{55}{10} = 5.5$ મળે છે.

(D) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_{i}}{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $n$ એ અવલોકનોની સંખ્યા છે.
તેથી,$\Sigma x_{i} = n\bar{x}$ થાય.
હવે,પદ $\Sigma(x_{i} - \bar{x})$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $\Sigma x_{i} - \Sigma \bar{x}$ તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
કારણ કે $\bar{x}$ એક અચળ છે,તેથી $\Sigma \bar{x} = n\bar{x}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Sigma x_{i} - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ મળે છે.
આમ,અવલોકનોના તેમના મધ્યકથી વિચલનોનો સરવાળો હંમેશા $0$ હોય છે.

(B) ધારેલા મધ્યકની રીત મુજબ મધ્યકનું સૂત્ર: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $n = 100$,$A = 15$ અને $\bar{x} = 15$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$15 = 15 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$.
બંને બાજુથી $15$ બાદ કરતા:
$15 - 15 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$.
$0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$.
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$.

(A) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
આપેલ કિંમતો છે: $\bar{x} = 20$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -50$,$n = 100$,અને $c = 10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$20 = A + \left( \frac{-50}{100} \right) \times 10$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$20 = A + (-0.5) \times 10$
$20 = A - 5$
$A$ માટે ઉકેલતા:
$A = 20 + 5$
$A = 25$
આમ,ધારેલો મધ્યક $A$ ની કિંમત $25$ છે.

(A) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
આપેલ કિંમતો: $\bar{x} = 54.3$,$\Sigma f_{i} u_{i} = 2$,$n = 25$ અને $c = 10$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$54.3 = A + \left( \frac{2}{25} \right) \times 10$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$54.3 = A + \left( \frac{20}{25} \right)$
$54.3 = A + 0.8$
$A$ ની કિંમત શોધતા:
$A = 54.3 - 0.8$
$A = 53.5$

(B) ધારેલા મધ્યકની રીત મુજબ મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે,જ્યાં $\Sigma f_{i} = n$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\bar{x} = 20, A = 20$ અને $n = 100$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $20 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$.
બંને બાજુથી $20$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$.
તેથી,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0 \times 100 = 0$.

(B) આવૃત્તિ વિતરણના મધ્યક $(\bar{x})$ માટેનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ છે.
અહીં $\Sigma f_{i} x_{i} = 245$ અને $n = 100$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{245}{100} = 2.45$.

(A) આવૃત્તિ વિતરણના મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{N}$ છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આવૃત્તિ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\Sigma f_{i} x_{i} = 120$ અને $N = 25$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{120}{25} = 4.8$.
તેથી,મધ્યક $4.8$ છે.

(D) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $n = \Sigma f_{i} = 200$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$ અને $A = 25$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 25 + \frac{0}{200}$
$\bar{x} = 25 + 0$
$\bar{x} = 25$.
તેથી,મધ્યક $25$ છે.

(D) અવલોકનોના તેમના મધ્યકથી વિચલનોનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
કારણ કે $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$,તેથી $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$.
અહીં $n = 10$ હોવાથી,$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x}) = 0$ થાય.

(C) આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ એ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવા માટેની પદ-વિચલનની રીત છે.
આ સૂત્રમાં:
- $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
- $A$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
- $f_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની આવૃત્તિ છે.
- $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$,જ્યાં $x_{i}$ એ વર્ગની મધ્યકિંમત છે.
- $c$ એ વર્ગ લંબાઈ (અથવા વર્ગનું માપ) દર્શાવે છે,જે વર્ગ અંતરાલની ઉર્ધ્વ સીમા અને અધઃ સીમા વચ્ચેનો તફાવત છે.

(D) $n$ અવલોકનોના મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
અહીં આપેલા અવલોકનો $12, 13, x, 17, 18, 20$ છે અને અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
મધ્યક $16$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$16 = \frac{12 + 13 + x + 17 + 18 + 20}{6}$
$16 = \frac{80 + x}{6}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$96 = 80 + x$
$x = 96 - 80$
$x = 16$

(C) આપેલ સંબંધ $3 \bar{x} = 2 M = 60$ છે.
આના પરથી,આપણે મધ્યક $(\bar{x})$ અને મધ્યસ્થ $(M)$ ની કિંમતો શોધી શકીએ છીએ:
$\bar{x} = \frac{60}{3} = 20$
$M = \frac{60}{2} = 30$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3 M - 2 \bar{x}$
સૂત્રમાં $M$ અને $\bar{x}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = 3(30) - 2(20)$
$Z = 90 - 40$
$Z = 50$

(B) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો પ્રચલિત સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{બહુલક }= 3 \times \text{મધ્યસ્થ} - 2 \times \text{મધ્યક}$.
આપેલ છે:
મધ્યક $(\bar{x})$ = $72.5$
મધ્યસ્થ $(M)$ = $73.9$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{બહુલક }= 3(73.9) - 2(72.5)$
$\text{બહુલક }= 221.7 - 145.0$
$\text{બહુલક }= 76.7$
તેથી,માહિતીનો બહુલક $76.7$ છે.

(D) મધ્યક $( \bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2 \bar{x}$.
$Z - M = \ldots \times (M - \bar{x})$ માં ખૂટતી કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ:
$Z = 3M - 2 \bar{x}$
બંને બાજુથી $M$ બાદ કરતા:
$Z - M = 3M - 2 \bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2 \bar{x}$
$2$ સામાન્ય લેતા:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આમ,આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $2$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
સમીકરણની બંને બાજુએથી $M$ બાદ કરતા:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
જમણી બાજુએથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
બંને બાજુને $(M - \bar{x})$ વડે ભાગતા:
$\frac{Z - M}{M - \bar{x}} = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
ખાલી જગ્યામાં આવતી કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$Z - \bar{x} = 3M - 2\bar{x} - \bar{x}$
$Z - \bar{x} = 3M - 3\bar{x}$
$Z - \bar{x} = 3(M - \bar{x})$
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $3$ છે.

(B) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ એ એક આંકડાકીય સાધન છે જેનો ઉપયોગ માહિતીનો મધ્યસ્થ શોધવા માટે થાય છે.
મધ્યસ્થની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી માહિતીની સંચયી આવૃત્તિઓ શોધીએ છીએ.
ત્યારબાદ,આપણે $N/2$ નું મૂલ્ય શોધીને મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કરીએ છીએ,જ્યાં $N$ એ કુલ આવૃત્તિ છે.
ત્યારબાદ મધ્યસ્થની ગણતરી આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$,જ્યાં $cf$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું માપ એ એક સારાંશ આંકડો છે જે માહિતીના સમૂહના કેન્દ્રબિંદુ અથવા લાક્ષણિક મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના ત્રણ સૌથી સામાન્ય માપ મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક છે.
વિસ્તાર એ પ્રસારમાનનું માપ છે, મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું નહીં. તે માહિતીના સમૂહમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે $( \text{વિસ્તાર} = \text{મહત્તમ મૂલ્ય} - \text{ન્યૂનતમ મૂલ્ય} )$।
તેથી, વિસ્તાર એ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું માપ નથી.

(A) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$.
આપેલ કિંમતો $\bar{x} = 19.7$,$A = 20$ અને $n = 50$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$19.7 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
બંને બાજુથી $20$ બાદ કરતા:
$19.7 - 20 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
$-0.3 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
બંને બાજુ $50$ વડે ગુણતા:
$\Sigma f_{i} d_{i} = -0.3 \times 50$.
$\Sigma f_{i} d_{i} = -15$.

(C) $15$ છોકરીઓનો સરેરાશ સ્કોર $10$ છે. તેથી,છોકરીઓના સ્કોરનો સરવાળો = $15 \times 10 = 150$ થાય.
$20$ છોકરાઓનો સરેરાશ સ્કોર $10$ છે. તેથી,છોકરાઓના સ્કોરનો સરવાળો = $20 \times 10 = 200$ થાય.
બધા $35$ વિદ્યાર્થીઓના સ્કોરનો કુલ સરવાળો = $150 + 200 = 350$ થાય.
આપણી પાસે ફક્ત સરેરાશ મૂલ્યો હોવાથી,આપણે વ્યક્તિગત સ્કોર નક્કી કરી શકતા નથી,જેમ કે સૌથી વધુ અથવા સૌથી ઓછો સ્કોર.
આમ,ફક્ત આખા વર્ગના સ્કોરનો સરવાળો જ ગણી શકાય છે.

(C) $6$ કસોટીઓની શરૂઆતની સરેરાશ $45$ છે.
તેથી,$6$ કસોટીઓના ગુણનો કુલ સરવાળો $45 \times 6 = 270$ થાય.
સૌથી ઓછા $30$ ગુણ દૂર કર્યા પછી,ગુણનો નવો સરવાળો $270 - 30 = 240$ થાય છે.
બાકી રહેલી કસોટીઓની સંખ્યા $6 - 1 = 5$ છે.
નવી સરેરાશ શોધવા માટે નવા સરવાળાને બાકી રહેલી કસોટીઓની સંખ્યા વડે ભાગતા: $\frac{240}{5} = 48$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચું પદ $\frac{(45 \times 6 - 30)}{5}$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,કુલ આવૃત્તિ $\Sigma f_{i} = 10 + 12 + 13 + 16 + 9 = 60$ ની ગણતરી કરો.
આમ,વિકલ્પ $D$ અસત્ય છે કારણ કે $\Sigma f_{i} = 60$ છે,$50$ નથી.
હવે,અન્ય વિકલ્પો ચકાસીએ:
$1$. સંચયી આવૃત્તિઓ: $10, 22, 35, 51, 60$.
$2$. મધ્યસ્થ વર્ગ: $N/2 = 60/2 = 30$. $30$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $35$ છે,જે $20-30$ વર્ગને અનુરૂપ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સત્ય છે.
$3$. બહુલક વર્ગ: સૌથી વધુ આવૃત્તિ $16$ છે,જે $30-40$ વર્ગને અનુરૂપ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સત્ય છે.
$4$. $20-30$ વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $10 + 12 + 13 = 35$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સત્ય છે.

(B) સમૂહનો સરેરાશ સ્કોર કુલ સ્કોરના સરવાળાને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
$30$ છોકરાઓનો કુલ સ્કોર = $30 \times 16 = 480$.
$10$ છોકરીઓનો કુલ સ્કોર = $10 \times 12 = 120$.
આખા વર્ગનો કુલ સ્કોર = $480 + 120 = 600$.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $30 + 10 = 40$.
આખા વર્ગનો સરેરાશ સ્કોર = $\frac{\text{કુલ સ્કોર}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{480 + 120}{40} = \frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$.
આમ,સાચું પદ $\frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$ છે.

(B) મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના ત્રણ માપદંડો (મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક) વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\text{બહુલક }= 3 \times \text{મધ્યસ્થ }- 2 \times \text{મધ્યક}$
સાંકેતિક સ્વરૂપમાં,આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
જ્યાં:
$Z$ = બહુલક
$M$ = મધ્યસ્થ
$\bar{x}$ = મધ્યક
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.