$13 \, m$ व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर एक खंभा इस प्रकार गाड़ना है कि इसके दो विपरीत फाटकों $A$ और $B$ से खंभे की दूरियों का अंतर $7 \, m$ हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि हाँ,तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खंभा गाड़ा जाना चाहिए?

(A) माना $P$ वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर खंभे का वांछित स्थान है।
माना खंभे की फाटक $B$ से दूरी $x \, m$ है,अर्थात $BP = x \, m$।
दोनों फाटकों से खंभे की दूरियों का अंतर $AP - BP = 7 \, m$ है।
इसलिए,$AP = (x + 7) \, m$।
चूंकि $AB$ वृत्ताकार पार्क का व्यास है,$AB = 13 \, m$।
एक वृत्त में,व्यास द्वारा परिसीमा पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle APB = 90^{\circ}$।
$\triangle APB$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AP^2 + BP^2 = AB^2$।
मान रखने पर,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$।
$2x^2 + 14x - 120 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह संभव है,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ की गणना करते हैं।
चूंकि $D > 0$,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए खंभा गाड़ना संभव है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $x = \frac{10}{2} = 5$ या $x = \frac{-24}{2} = -12$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 5$ लेते हैं।
अतः,खंभा फाटक $B$ से $5 \, m$ और फाटक $A$ से $12 \, m$ की दूरी पर गाड़ा जाना चाहिए।