सत्यापित कीजिए कि $3, -1, -\frac{1}{3}$ त्रिघात बहुपद $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ के शून्यक हैं,और फिर शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध को सत्यापित कीजिए।

(A) दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ की तुलना मानक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,हमें $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम शून्यकों की जाँच करते हैं:
$p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0$
$p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0$
$p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 11(-\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{1}{9} - \frac{5}{9} + \frac{11}{3} - 3 = -\frac{6}{9} + \frac{33}{9} - \frac{27}{9} = 0$
अतः,$3, -1, -\frac{1}{3}$ शून्यक हैं।
माना $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$ है।
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{d}{a} = -(\frac{-3}{3}) = 1$.
सभी संबंध सत्यापित हो गए हैं।