Textbook - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(N/A) ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા,આપણે $AD$ ને $x$-અક્ષ અને $AB$ ને $y$-અક્ષ તરીકે ગણીશું.
આકૃતિમાં આપેલ ગ્રીડનું અવલોકન કરતા:
- બિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષ પર $4$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $6$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $P(4, 6)$ છે.
- બિંદુ $Q$ એ $x$-અક્ષ પર $3$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $2$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $Q(3, 2)$ છે.
- બિંદુ $R$ એ $x$-અક્ષ પર $6$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $5$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $R(6, 5)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $P(4, 6)$,$Q(3, 2)$ અને $R(6, 5)$ છે.

(N/A) ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$,$CB$ ને $x$-અક્ષ અને $CD$ ને $y$-અક્ષ તરીકે લેતા:
$1$. શિરોબિંદુઓના યામ ઉગમબિંદુ $C$ થી અક્ષો પરના એકમો ગણીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
$2$. શિરોબિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ના યામ $P(12, 2), Q(13, 6),$ અને $R(10, 3)$ છે.
$3$. $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$4$. કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |12(3) + 13(1) + 10(-4)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |36 + 13 - 40|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |9| = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(1:16) આપેલ છે કે,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$.
ચૂક્યું કે $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$,થેલ્સના પ્રમેયના પ્રતિપ (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય) મુજબ,$DE \parallel BC$ થાય.
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
આમ,$\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
હવે,$A(4, 6)$,$B(1, 5)$ અને $C(7, 2)$ યામોનો ઉપયોગ કરીને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(5 - 2) + 1(2 - 6) + 7(6 - 5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(3) + 1(-4) + 7(1)| = \frac{1}{2} |12 - 4 + 7| = \frac{1}{2} |15| = 7.5$ ચોરસ એકમ.
$\Delta ADE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{16} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{16} \times 7.5 = \frac{7.5}{16} = \frac{15}{32}$ ચોરસ એકમ.
$\Delta ADE$ ના ક્ષેત્રફળ અને $\Delta ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(N/A) ત્રિકોણની મધ્યગા $AD$ એ બાજુ $BC$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$B = (6, 5)$ અને $C = (1, 4)$ છે.
$D$ ના યામ = $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ અથવા $(3.5, 4.5)$ છે.

(N/A) $1$. સૌ પ્રથમ,બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ શોધો. $B(6, 5)$ અને $C(1, 4)$ હોવાથી,$D$ ના યામ $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ થશે.
$2$. હવે,આપણે બિંદુ $P$ ના યામ શોધવાના છે જે રેખાખંડ $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જ્યાં $A(4, 2)$ અને $D(\frac{7}{2}, \frac{9}{2})$ છે.
$3$. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $P = \left(\frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{9}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) = \left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) ત્રિકોણની મધ્યગા $BE$ એ બાજુ $AC$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$E$ એ બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$E$ ના યામ $= \left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right)$.
બિંદુ $Q$ એ બાજુ $BE$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q$ ના યામ $= \left(\frac{2 \times \frac{5}{2} + 1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times 3 + 1 \times 5}{2+1}\right) = \left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
ત્રિકોણની મધ્યગા $CF$ એ બાજુ $AB$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$F$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$F$ ના યામ $= \left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) = \left(5, \frac{7}{2}\right)$.
બિંદુ $R$ એ બાજુ $CF$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R$ ના યામ $= \left(\frac{2 \times 5 + 1 \times 1}{2+1}, \frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}\right) = \left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(4, 2)$,$B(6, 5)$,અને $C(1, 4)$ છે.
સૌ પ્રથમ,મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ શોધો: $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}) = (3.5, 4.5)$.
હવે,બિંદુ $P$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $P = (\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = (\frac{2(3.5) + 1(4)}{2+1}, \frac{2(4.5) + 1(2)}{2+1}) = (\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
ત્યારબાદ,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધો:
$G = (\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
અવલોકન: બિંદુ $P$ એ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ સમાન છે.

(N/A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4, 2), B(6, 5),$ અને $C(1, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 4, y_1 = 2, x_2 = 6, y_2 = 5, x_3 = 1, y_3 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{4 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 5 + 4}{3} \right)$
$= \left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$
આમ,મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$ છે.

(C) $P$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$P$ ના યામ $\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ છે.
તે જ રીતે,$Q, R$ અને $S$ ના યામ અનુક્રમે $(2, 4)$,$\left(5, \frac{3}{2}\right)$ અને $(2, -1)$ છે.
$PQ$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$QR$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-5)^2 + \left(4-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$RS$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$SP$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-(-1))^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-5)^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6$.
વિકર્ણ $QS$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(PQ = QR = RS = SP = \sqrt{\frac{61}{4}})$ અને વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(PR \neq QS)$,ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.