TS EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $S=\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
समुच्चय $A$ के लिए,$n + \frac{50}{n} > 27$ को हल करते हैं।
$n$ से गुणा करने पर ($n > 0$ होने के कारण),$n^2 - 27n + 50 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n-25)(n-2) > 0$ मिलता है।
यह शर्त $n < 2$ या $n > 25$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n \in S$,इसलिए $n=1$ या $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$।
अतः,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,जिससे $n(A) = 26$।
समुच्चय $B$ के लिए,$S$ में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 15$।
समुच्चय $C$ के लिए,$S$ में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ हैं,इसलिए $n(C) = 7$।
प्रायिकताओं की गणना करने पर: $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$।
अतः,$P(A) > P(B) > P(C)$।

(B) दिया गया है: शुद्ध जल का वाष्प दाब $P^{\circ} = 19.8 \ mm$।
विलेय (ग्लूकोज) के मोल $n_A = 0.1 \ mol$।
विलायक (जल) के मोल $n_B = \frac{178.2 \ g}{18 \ g/mol} = 9.9 \ mol$।
अवाष्पशील विलेय के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार:
$\frac{P^{\circ} - P_s}{P^{\circ}} = \frac{n_A}{n_A + n_B}$
$\frac{19.8 - P_s}{19.8} = \frac{0.1}{0.1 + 9.9} = \frac{0.1}{10} = 0.01$
$19.8 - P_s = 19.8 \times 0.01 = 0.198$
$P_s = 19.8 - 0.198 = 19.602 \ mm$।

(D) कैल्शियम कार्बोनेट का तापीय अपघटन इस प्रकार है: $CaCO_{3(s)} \xrightarrow{\Delta} CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$.
$CaCO_3$ का मोलर द्रव्यमान $= 100 \text{ g/mol}$.
$CaO$ (ठोस अवशेष) का मोलर द्रव्यमान $= 56 \text{ g/mol}$.
संतुलित रासायनिक समीकरण के अनुसार,$100 \text{ g}$ $CaCO_3$ से $56 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त होता है।
अतः,$28 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त करने के लिए आवश्यक $CaCO_3$ की मात्रा:
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g}$.

(A) माना कि दोनों गैसों $A$ और $B$ का भार $w \ g$ है।
दिया गया आणविक भार अनुपात $M_A : M_B = 1 : 4$ है।
माना $M_A = x$ और $M_B = 4x$ है।
$A$ के मोल $(n_A)$ $= \frac{w}{x}$।
$B$ के मोल $(n_B)$ $= \frac{w}{4x}$।
मोल अनुपात $n_A : n_B = \frac{w}{x} : \frac{w}{4x} = 4 : 1$ है।
$B$ का आंशिक दबाव $(p_B)$ $= B$ का मोल अंश $\times P_{total}$।
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \ atm$।

(C) बोहर की अवधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध से,हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{h}{mv}$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{mv} = \lambda$।
इसे बोहर की क्वांटीकरण शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\pi r = n\lambda$।
चौथी कक्षा के लिए,$n = 4$।
अतः,कक्षा की परिधि $2\pi r = 4\lambda$ है।

(C) तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$X (Z=19): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^1$ (या $2, 8, 8, 1$)
$Y (Z=21): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^1, 4s^2$ (या $2, 8, 9, 2$)
$Z (Z=25): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^2$ (या $2, 8, 13, 2$)
$M$-कोश $n=3$ मुख्य क्वांटम स्तर के अनुरूप है।
$X$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6)$ $8$ है।
$Y$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^1)$ $9$ है।
$Z$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^5)$ $13$ है।
अतः,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों का क्रम $Z (13) > Y (9) > X (8)$ है।

(C) $2 H_2 O_{2(l)} \xrightarrow{Pt_{(s)}} 2 H_2 O_{(l)} + O_{2(g)}$
इस अभिक्रिया में,अभिकारक $(H_2O_2)$ द्रव अवस्था में है और उत्प्रेरक $(Pt)$ ठोस अवस्था में है।
चूंकि अभिकारक और उत्प्रेरक अलग-अलग अवस्थाओं में हैं,इसलिए यह विषमांगी उत्प्रेरण का एक उदाहरण है।

(A) कथन $A$ सत्य है: पेल्टियर गुणांक $\pi$ को जंक्शन से प्रवाहित होने वाले प्रति इकाई आवेश पर अवशोषित या विकसित ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया गया है। जब इससे धारा प्रवाहित होती है तो यह संख्यात्मक रूप से जंक्शन के विभवांतर के बराबर होता है।
कथन $B$ सत्य है: थॉमसन प्रभाव बताता है कि जब तापमान प्रवणता मौजूद होती है और धारा प्रवाहित होती है,तो एक ही चालक की लंबाई के साथ ऊष्मा अवशोषित या विकसित होती है। पेल्टियर प्रभाव के विपरीत,जो जंक्शन पर होता है,थॉमसन प्रभाव चालक के भीतर ही होता है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, $T$ तापमान वाले पिंड के लिए $T_0$ तापमान वाले परिवेश में ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि पिंड समान हैं, इसलिए $A$ और $e$ समान रहेंगे।
यहाँ $T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$, $T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$, और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ है।
ऊष्मा हानि का अनुपात $\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} = \frac{5.5^4 - 3^4}{3.4^4 - 3^4}$.
घातों की गणना करने पर: $5.5^4 \approx 915.06$, $3.4^4 \approx 133.63$, $3^4 = 81$.
अनुपात $\approx \frac{915.06 - 81}{133.63 - 81} = \frac{834.06}{52.63} \approx 15.85$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $19 : 1$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
नियत आयतन प्रक्रिया के लिए,दाब गुणांक $\beta_P$ को $\beta_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नियत दाब प्रक्रिया के लिए,आयतन गुणांक $\beta_V$ को $\beta_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों गुणांक $\frac{1}{T}$ के बराबर हैं,इसलिए उनका अंतर $\beta_V - \beta_P$ शून्य होगा।

(C) किसी द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$,आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$ के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,यह संबंध है: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
हम जानते हैं कि ठोस पदार्थ के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ का तीन गुना होता है,अर्थात $\gamma_g = 3\alpha_g$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\gamma_r = \gamma_a + 3\alpha_g$.

(C) केशिकीय नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T}{\rho g r}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{mgh}{2}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $m = \pi r^2 h \rho$ है,हमें प्राप्त होता है $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$।
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।
पृष्ठ तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times h = (2 \pi r T) \times h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $Q$ किए गए कार्य और प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।

(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एक मोल गैस के लिए $(n=1)$,$\Delta U = C_V \Delta T$.
हम जानते हैं कि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
अतः,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
स्थिर दाब $p$ पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = R T$,इसलिए $p \Delta V = R \Delta T$.
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
इसलिए,$R \Delta T = p V$.
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(C) एन्थैल्पी $(H)$ का निरपेक्ष मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
केवल एक प्रक्रिया के दौरान एन्थैल्पी में परिवर्तन $(\Delta H)$ को मापा जा सकता है।
इसलिए,यह कथन कि एन्थैल्पी का निरपेक्ष मान निर्धारित किया जा सकता है,गलत है।

(D) $Pa \cdot s$ (श्यानता गुणांक) की विमा $[M \ L^{-1} \ T^{-2}] \cdot [T] = [M \ L^{-1} \ T^{-1}]$ है,जो $(iii)$ से मेल खाती है।
$N \cdot m \cdot K^{-1}$ की विमा $[M \ L \ T^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [M \ L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(iv)$ से मेल खाती है।
$J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(i)$ से मेल खाती है।
$W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ऊष्मीय चालकता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [M \ L \ T^{-3} \ K^{-1}]$ है,जो $(ii)$ से मेल खाती है।
अतः,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली अवशोषण रेखाओं का एक समूह हैं।
ये रेखाएं तब बनती हैं जब सूर्य के गर्म और घने प्रकाशमंडल (photosphere) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश का निरंतर स्पेक्ट्रम सूर्य के ठंडे और कम घने गैसों वाले वर्णमंडल (chromosphere) से होकर गुजरता है।
वर्णमंडल में मौजूद परमाणु और अणु प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं दिखाई देती हैं।
इसलिए,सही उत्तर सूर्य का वर्णमंडल है।

(C) ज्यामितीय प्रकाशिकी (किरण प्रकाशिकी) की प्रयोज्यता के लिए शर्त यह है कि विवर्तन प्रभाव नगण्य होने चाहिए।
विवर्तन तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब एपर्चर का आकार $(D)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय हो।
वह दूरी जिस पर विवर्तन प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं,उसे फ्रेनेल दूरी कहा जाता है,जो $Z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
ज्यामितीय प्रकाशिकी के मान्य होने के लिए,एपर्चर से पर्दे की दूरी $L$ फ्रेनेल दूरी से बहुत कम होनी चाहिए $(L \ll Z_F)$।
$Z_F$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

(B) तरंग का दिया गया समीकरण $y=0.2 \sin (1.5 x+60 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k=1.5 ~m^{-1}$ और $\omega=60 ~rad/s$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 ~m/s$ द्वारा दिया जाता है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $\mu = 3 \times 10^{-4} ~kg/m$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 ~N$.

(D) सीटी की आवृत्ति $n = 256 ~Hz$ है। वाहन का वेग $v_s = 10 ~ms^{-1}$ है। ध्वनि का वेग $v = 330 ~ms^{-1}$ है।
जब ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होती है,तो पहाड़ी परावर्तित ध्वनि के लिए एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
वाहन में सवार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,प्रेक्षक $v_o = 10 ~ms^{-1}$ के वेग से पहाड़ी की ओर बढ़ रहा है और स्रोत (पहाड़ी) स्थिर है $(v_s = 0)$। हालाँकि,पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि पहले से ही डॉपलर-शिफ्ट हो चुकी होती है क्योंकि स्रोत उसकी ओर बढ़ रहा है।
पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि की आवृत्ति $n_h = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $n' = n_h \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ है।
मान रखने पर:
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 ~Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 272 - 256 = 16 ~Hz$.

(D) गन की शक्ति वह दर है जिस पर गोलियों को गतिज ऊर्जा प्रदान की जाती है।
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या,$n = \frac{240}{60} = 4 ~s^{-1}$.
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 10 ~g = 0.01 ~kg$.
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 600 ~ms^{-1}$.
एक गोली की गतिज ऊर्जा,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 ~J$.
शक्ति,$P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 ~W$.
$kW$ में बदलने पर,$P = \frac{7200}{1000} = 7.2 ~kW$.

(B) Natalite $95\%$ इथेनॉल और $5\%$ ईथर का मिश्रण है। इसका उपयोग आंतरिक दहन इंजनों में ईंधन या पेट्रोल के विकल्प के रूप में किया जाता है।

(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ के साथ,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} u_2$
कथन $A$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ और $u_2 = 0$ है,तो $v_1 = 0$ और $v_2 = u_1$ प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है और दूसरा पहले पिंड के प्रारंभिक वेग से गति करता है।
कथन $B$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ है,तो समीकरण $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ बन जाते हैं। यह पुष्टि करता है कि पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।

(A) विकल्प $A$ सही है क्योंकि $SF_6$ में,सल्फर परमाणु $6$ फ्लोरीन परमाणुओं के साथ $6$ सहसंयोजक बंध बनाता है,जिसके परिणामस्वरूप इसके संयोजी कोश में $12$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,जो अष्टक नियम का उल्लंघन करता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि विलयन में मुक्त आयनों की उपस्थिति के कारण आयनिक अभिक्रियाएं लगभग तात्कालिक होती हैं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $Sn$ परमाणु पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण $SnCl_2$ की ज्यामिति कोणीय (bent) होती है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि फजान के नियम के अनुसार,जैसे-जैसे आवेश घनत्व बढ़ता है,आयनिक यौगिक बनाने की क्षमता कम होती जाती है। अतः,आयनिक गुण का सही क्रम $Na^{+} > Mg^{2+} > Al^{3+}$ है।

(A) $BeCl_2$ में,केंद्रीय परमाणु $Be$ में $sp$-संकरण होता है,जिसके परिणामस्वरूप $180^{\circ}$ के बंध कोण के साथ रैखिक ज्यामिति प्राप्त होती है।
$H_2O$ में ऑक्सीजन पर दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$SO_2$ में सल्फर पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$CH_4$ की ज्यामिति चतुष्फलकीय (tetrahedral) होती है।
अतः,$BeCl_2$ एक रैखिक अणु है।

(A) अभिक्रिया $X_{(g)} + Y_{(g)} \rightleftharpoons Z_{(g)}$ के लिए साम्यावस्था स्थिरांक का व्यंजक $K_c = \frac{[Z]}{[X][Y]}$ है।
दिया गया है $K_c = 10^4 \ mol^{-1} \ L$.
साम्यावस्था पर,$[X] = \frac{1}{2}[Y] = \frac{1}{2}[Z]$ दिया गया है।
इससे,हम $[X]$ और $[Y]$ को $[Z]$ के पदों में लिख सकते हैं:
$[X] = \frac{1}{2}[Z]$
$[Y] = [Z]$
इन मानों को $K_c$ के व्यंजक में रखने पर:
$10^4 = \frac{[Z]}{(\frac{1}{2}[Z])([Z])} = \frac{[Z]}{\frac{1}{2}[Z]^2} = \frac{2}{[Z]}$
अतः,$[Z] = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1}$.

(C) अभिक्रिया $2A + B \longrightarrow C$ के लिए,अभिक्रिया की दर इस प्रकार है:
दर $= -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
दिया गया है कि $C$ के निर्माण की दर $\frac{d[C]}{dt} = 2.2 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ है।
$A$ और $C$ के पदों की तुलना करने पर:
$-\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times (2.2 \times 10^{-3}) = 4.4 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.

(D) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार हैं:
$_{20}Ca = [Ar] 4s^2$
$_{21}Sc = [Ar] 4s^2 3d^1$
$_{22}Ti = [Ar] 4s^2 3d^2$
जैसे-जैसे हम आवर्त में $Ca$ से $Ti$ की ओर बढ़ते हैं,प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ बढ़ता है क्योंकि $d$-कक्षकों का आकार विसरित (diffused) होता है और वे नाभिकीय आवेश का कम परिरक्षण (shielding) करते हैं।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ परमाणु आकार घटता है।
परमाणु आकार का क्रम $Ca > Sc > Ti$ है।
अतः,सहसंयोजक त्रिज्या के बढ़ने का सही क्रम $(I) < (III) < (II)$ है।

(C) दिया गया है कि $x^6 = 1$,इसलिए $x^6 - 1 = 0$।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,इसलिए यह समीकरण $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ को संतुष्ट करेगा।
अतः,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर से $-\alpha^2$ कॉमन लेने पर,$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$।

(A) नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ वायुमंडल का मुख्य घटक है,जो आयतन के अनुसार लगभग $78 \%$ है।
यह सामान्य परिस्थितियों में एक अक्रिय गैस है और वायु प्रदूषण का कारण नहीं बनती है।
इसके विपरीत,$N_2O$,$NO$,और $CO$ ज्ञात वायु प्रदूषक हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2x = (\sqrt{2} + 1) \left(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 x - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos x - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2} + 1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\cos x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos x = \frac{1}{2}$।
अतः,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।

(A) माना $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$ है।
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
चूंकि $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
पुनः $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots(i)$
चूंकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ के चरम मान $-1$ और $1$ हैं।

(D) माना $\cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ $(i)$ और $\sin \theta + 4 \cos \theta = x$ $(ii)$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 1^2 + x^2$
$(\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta) = 1 + x^2$
$(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 + x^2$
$1 + 16(1) = 1 + x^2$
$17 = 1 + x^2$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(C) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,इसे अंतःखंड रूप में लिखते हैं:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(0, 3)$ शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का आधार $OA = 4$ इकाई और ऊँचाई $OB = 3$ इकाई है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए समीकरण:
$x-y+1=0 \quad \dots(i)$
$x^2+y^2+y-1=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$y = x+1$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (x+1)^2 + (x+1) - 1 = 0$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 + x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
$(2x+1)(x+1) = 0$
अतः,$x = -\frac{1}{2}$ या $x = -1$.
यदि $x = -\frac{1}{2}$,तो $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. बिंदु $A = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
यदि $x = -1$,तो $y = -1 + 1 = 0$. बिंदु $B = (-1, 0)$.
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + (y - \frac{1}{2})(y - 0) = 0$
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + y(y - \frac{1}{2}) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$(2x+1)(x+1) + y(2y-1) = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 + 2y^2 - y = 0$
$2(x^2+y^2) + 3x - y + 1 = 0$.

(B) कार्यात्मक समावयवता तब होती है जब यौगिकों का आणविक सूत्र समान होता है लेकिन कार्यात्मक समूह अलग-अलग होते हैं।
$C_2H_5CO_2H$ (प्रोपेनोइक एसिड) और $CH_3CO_2CH_3$ (मिथाइल एसीटेट) दोनों का आणविक सूत्र $C_3H_6O_2$ है।
प्रोपेनोइक एसिड में एक कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ होता है,जबकि मिथाइल एसीटेट में एक एस्टर समूह $(-COOCH_3)$ होता है।
इसलिए,वे कार्यात्मक समावयवी हैं।

(C) सिलिका $(SiO_2)$ एक अम्लीय ऑक्साइड है और यह क्षारीय अशुद्धियों को दूर करने के लिए एसिड फ्लक्स के रूप में कार्य करता है।
$SiO_2$ और $Na_2CO_3$ के बीच अभिक्रिया में $CO_2$ गैस निकलती है,$CO$ नहीं।
अभिक्रिया है: $Na_2CO_3 + SiO_2 \rightarrow Na_2SiO_3 + CO_2 \uparrow$.
इसलिए,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि इसमें $CO_2$ के बजाय $CO$ के मुक्त होने का उल्लेख है।

$(A)$ एथेन $(C_2H_6)$ का निर्माण एथेनॉल $(C_2H_5OH)$ की उपस्थिति में $Zn-Cu$ कपल का उपयोग करके आयोडोएथेन $(C_2H_5I)$ के अपचयन द्वारा किया जा सकता है।
रासायनिक अभिक्रिया है: $C_2H_5I + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu, C_2H_5OH} C_2H_6 + HI$.
अतः, विकल्प $A$ एथेन के निर्माण के लिए सही अभिकर्मक और शर्तें प्रदान करता है।

(A) एसिटोफेनोन को बेंजीन से उसकी इलेक्ट्रॉनरागी प्रतिस्थापन (फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन) अभिक्रिया द्वारा इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{Anhyd. AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
इस अभिक्रिया में,बेंजीन वलय का हाइड्रोजन परमाणु एक एसिटाइल समूह $(-COCH_3)$ द्वारा प्रतिस्थापित हो जाता है,जो एक विशिष्ट इलेक्ट्रॉनरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।

(C) $H_2O_2 + Cl_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$
इस अभिक्रिया में,$H_2O_2$ एक अपचायक (reducing agent) के रूप में कार्य करता है और $Cl_2$ को $HCl$ में अपचयित करता है।
$HCl$ (एक प्रबल अम्ल) के बनने से विलयन में $H^+$ आयनों की सांद्रता बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,विलयन का $pH$ $6.0$ से कम हो जाता है और ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ मुक्त होती है।

(C) दी गई अभिक्रियाओं में,हम बनने वाले उत्पादों का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ $PbO_2 + H_2O_2 \longrightarrow PbO + H_2O + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(B)$ $2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 5O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(C)$ $PbS + 4H_2O_2 \longrightarrow PbSO_4 + 4H_2O$ (लेड सल्फेट एक ठोस है,और जल द्रव है; कोई गैस नहीं बनती है)।
$(D)$ $Cl_2 + H_2O_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
अतः,विकल्प $C$ में दी गई अभिक्रिया में गैसीय उत्पाद नहीं बनता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
सबसे पहले,हर का विस्तार करने पर:
$(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश की घात $(3)$ और हर की घात $(3)$ समान है,इसलिए अचर पद $A$ ज्ञात करने के लिए हम बहुपद का भाग करेंगे:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{\frac{1}{2}(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) + (\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3)}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}$.
इसका सरलीकरण करने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$.
दिए गए रूप $A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2(1+y) = y^2(1+x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x-y)(x+y+xy) = 0$.
चूंकि $x-y \neq 0$ (क्योंकि यह मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है),इसलिए $x+y+xy = 0$ होना चाहिए।
$y$ के लिए हल करने पर: $y(1+x) = -x$,अतः $y = -\frac{x}{1+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (भागफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.

(B) और $(R)$ दोनों सत्य कथन हैं,लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।
बफर विलयन का $pH$,हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
जब लवण और अम्ल के मोल समान होते हैं,$[\text{salt}] = [\text{acid}]$,तो:
$pH = pK_a + \log(1) = pK_a = 4.8$.
अतः,$(A)$ सत्य है। $25^{\circ} C$ पर पानी का आयनिक गुणनफल $(K_w)$ वास्तव में $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ है,जो $(R)$ को एक सत्य कथन बनाता है,लेकिन यह बफर के $pH$ की गणना की व्याख्या नहीं करता है।

(A) त्रिज्या $r$ वाली वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A$,$A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ और $r = 12 \text{ cm}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ता है।

(C) दिया गया गति का समीकरण: $s = 490t - 4.9t^2$.
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v = \frac{ds}{dt}$ प्राप्त करते हैं।
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है,इसलिए $\frac{ds}{dt} = 0$ रखने पर।
$490 - 9.8t = 0$.
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $s$ ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $t = 50$ का मान रखने पर।
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$.
$s = 24500 - 4.9(2500)$.
$s = 24500 - 12250$.
$s = 12250$.

(A) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
अब,हम $x = 1$ और $x = -1$ के लिए मानों की जाँच करते हैं।
$x = 1$ पर,$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ पर,$f(-1) = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) $I$. दिया गया है $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$.
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2e^{-x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2x$ और $Q = 2e^{-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y e^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x + c$.
अतः,कथन $I$ सही है।
$II$. दिया गया है $y e^{-x^2} - 2x = c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) - 2 = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $e^{-x^2} \frac{dy}{dx} + y e^{-x^2}(-2x) - 2 = 0$.
$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} = 2 + 2xy e^{-x^2}$.
$e^{x^2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = 2e^{x^2} + 2xy$.
यह दिए गए व्यंजक $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $II$ गलत है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^3 y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{y^4 \cos x}{x^3 y^4}$
$\Rightarrow \frac{1}{x y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
$\Rightarrow -\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-3} = \frac{\cos x}{x^3}$
माना $v = y^{-3}$. तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{dv}{dx}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{\cos x}{x^3}$
$3$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$.
हल $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$v \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$v x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$v x^3 = 3 \sin x + c$.
चूंकि $v = y^{-3}$,इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) हम प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(A)$ अदिश त्रिक गुणन को $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $3$ से मेल खाता है।
$(B)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$,जो $5$ से मेल खाता है।
$(C)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ का उपयोग करते हुए,जो $2$ से मेल खाता है।
$(D)$ अदिश गुणन को $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\theta$ सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण है,जो $1$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-5, C-2, D-1$ है।

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$,जिसका अर्थ है $a \cdot a = 1$ और $b \cdot b = 1$।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके $(a+b) \times (a \times b)$ का विस्तार करने पर:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ का उपयोग करने पर:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$।
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$।
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a(1 + a \cdot b) - b(1 + a \cdot b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$।
अतः,सदिश $(a+b) \times (a \times b)$ सदिश $(a - b)$ के समांतर है।