IIT JEE 1971 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પદને ધ્યાનમાં લેતા:
$^{n - 1}{P_r} + r \cdot ^{n - 1}{P_{r - 1}} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - r)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - (r - 1))!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - r)!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( 1 + \frac{r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( \frac{n - r + r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \cdot \frac{n}{n - r} = \frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - r) \cdot (n - r - 1)!} = \frac{n!}{(n - r)!} = ^n{P_r}$.

(A) આપેલ વિસ્તરણ $(1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ છે.
આપણે $S = \sum_{r=0}^{n} (r + 1) C_r$ શોધવાનું છે.
આને $S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n + 2) 2^{n-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$n=1$ માટે,પદાવલિ $C_0 + 2C_1 = 1 + 2(1) = 3$ થાય છે. $n=1$ માટે વિકલ્પો તપાસતા: $(1+2)2^{1-1} = 3(1) = 3$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $\sin \theta = \sin \alpha$ અને $\cos \theta = \cos \alpha$ છે.
$\sin \theta = \sin \alpha$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2m\pi \pm \alpha$ છે,જ્યાં $m \in \mathbb{Z}$.
બંને સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરવા માટે,ખૂણો $\alpha$ સાથે કો-ટર્મિનલ હોવો જોઈએ.
આથી $\theta = 2n\pi + \alpha$ મળે,જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.

(A) $AB$ અને $BC$ ના ઢાળ અનુક્રમે $-4$ અને $\frac{3}{4}$ છે. ધારો કે $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો,$\tan \alpha = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$AB = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. આમ,રેખા $AC$ પણ રેખા $BC$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $A(2, -7)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y + 7 = m(x - 2)$ છે.
$\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m - 3}{4 + 3m} = \pm \frac{19}{8}$.
કિસ્સો $1$: $m = -4$ (આ $AB$ નો ઢાળ છે).
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ લેતા,$y + 7 = -\frac{52}{89}(x - 2)$ $\Rightarrow 89y + 623 = -52x + 104$ $\Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$.

(D) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-4, 3)$ અને $(12, -1)$ મૂકતા:
$(x - (-4))(x - 12) + (y - 3)(y - (-1)) = 0$
$(x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 12x + 4x - 48) + (y^2 + y - 3y - 3) = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 51 = 0$.

(C) $L-Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x - x}}{{3x - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\tan 2x - x)}}{{\frac{d}{{dx}}(3x - \sin x)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sec^2 2x - 1}}{{3 - \cos x}}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{{2\sec^2(0) - 1}}{{3 - \cos(0)}} = \frac{{2(1)^2 - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ છે.
$k$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$.
આ રેખાઓ $2x + y - 5 = 0$ અને $x + y - 7 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું કુટુંબ દર્શાવે છે.
આ બે સમીકરણોને ઉકેલતા:
$2x + y = 5$
$x + y = 7$
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(2x - x) + (y - y) = 5 - 7$,જે $x = -2$ આપે છે.
$x = -2$ ને $x + y = 7$ માં મૂકતા: $-2 + y = 7$,તેથી $y = 9$.
આમ,બધી રેખાઓ $(-2, 9)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$I = \int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} \, dx$
$I = \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x \, dx$,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
$-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\int \frac{-1/2 \, du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = \sqrt{u} = \sqrt{1-x^2}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $I = \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + c$ મળે છે.

(C) સંકલન $I = \int (\log x)^2 \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\log x = t$,જેનો અર્થ છે કે $x = e^t$. તેથી,$dx = e^t \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int t^2 e^t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t^2$ અને $dv = e^t \, dt$:
$du = 2t \, dt$ અને $v = e^t$.
$I = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t \, dt$.
ફરીથી $\int t e^t \, dt$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t \, dt) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t + c$.
હવે $t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$.

(B) ધારો કે $E$ એ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B_1$ એ થેલી $x$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ થેલી $y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
યાદચ્છિક રીતે થેલી પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
થેલી $x$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_1) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ છે.
થેલી $y$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_2) = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E) = P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)$.
$P(E) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9+5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$.