MathematicsQ51–52 of 87 questions
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MathematicsDifficultMCQAP EAMCET · 2006
$\left\{1, 2, 3, 4, \ldots, 1000\right\}$ में से एक संख्या $n$ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। $n$ के $7$ से विभाजित होने पर $1$ शेषफल देने वाली संख्या होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{71}{500}$
B
$\frac{143}{1000}$
C
$\frac{72}{500}$
D
$\frac{71}{1000}$
Solution
(B) संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है।
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
ये संख्याएँ $n = 7k + 1$ के रूप में हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$1 \le n \le 1000$ के लिए,हमारे पास $1 \le 7k + 1 \le 1000$ है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $0 \le 7k \le 999$।
$7$ से विभाजित करने पर: $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$k$ का मान $0, 1, 2, \ldots, 142$ हो सकता है।
ऐसे मानों की संख्या $142 - 0 + 1 = 143$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 143$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{143}{1000}$ है।
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
ये संख्याएँ $n = 7k + 1$ के रूप में हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$1 \le n \le 1000$ के लिए,हमारे पास $1 \le 7k + 1 \le 1000$ है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $0 \le 7k \le 999$।
$7$ से विभाजित करने पर: $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$k$ का मान $0, 1, 2, \ldots, 142$ हो सकता है।
ऐसे मानों की संख्या $142 - 0 + 1 = 143$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 143$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{143}{1000}$ है।
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MathematicsDifficultMCQAP EAMCET · 2006
दो निष्पक्ष पासे फेंकने के यादृच्छिक प्रयोग में,मान लीजिए $E$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है और $F$ दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। तो:
$I. P(E) = \frac{7}{36}$
$II. P(F) = \frac{1}{3}$
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$I. P(E) = \frac{7}{36}$
$II. P(F) = \frac{1}{3}$
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं
B
न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है
C
$I$ सत्य है,$II$ असत्य है
D
$I$ असत्य है,$II$ सत्य है
Solution
(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
$E$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ हैं।
अतः,$n(E) = 5$,और $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{36}$। इसलिए,कथन $I$ असत्य है।
$F$ दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ हैं।
अतः,$n(F) = 9$,और $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
अतः,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।
$E$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ हैं।
अतः,$n(E) = 5$,और $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{36}$। इसलिए,कथन $I$ असत्य है।
$F$ दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ हैं।
अतः,$n(F) = 9$,और $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
अतः,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।
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