Puzzle Test Questions in Gujarati

(A) ધારો કે મિત્રોને તેમના નામના પ્રથમ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $S, R, M, A$ અને $G.$
વિધાન $2$ પરથી,આપણને મળે છે: $G < S < R.$
વિધાન $4$ પરથી,આપણને મળે છે: $S < A < R.$
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે: $G < S < A < R.$
વિધાન $3$ પરથી,મનોજ સૌથી ઊંચો છે,તેથી: $G < S < A < R < M.$
ઊંચાઈની સરખામણી કરતા,$G$ (ગિરીશ) સૌથી ટૂંકો છે.

(D) ધારો કે મિત્રોને તેમના નામના પ્રથમ અક્ષર $S, R, M, A$ અને $G$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિધાન $2$ પરથી,આપણી પાસે છે: $G < S < R.$
વિધાન $4$ પરથી,આપણી પાસે છે: $S < A < R.$
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે: $G < S < A < R.$
વિધાન $3$ પરથી,મનોજ સૌથી ઊંચો છે,તેથી: $G < S < A < R < M.$
તેમને ઊંચાઈના ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $G, S, A, R, M.$
વચ્ચે રહેલી વ્યક્તિ અશોક છે.

(B) ધારો કે મિત્રોને તેમના નામના પ્રથમ અક્ષર $S, R, M, A$ અને $G$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિધાન $2$ પરથી,આપણી પાસે છે: $G < S < R$.
વિધાન $4$ પરથી,આપણી પાસે છે: $S < A < R$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે: $G < S < A < R$.
વિધાન $3$ પરથી,મનોજ સૌથી ઊંચો છે: $G < S < A < R < M$.
આમ,ઊંચાઈનો ક્રમ ટૂંકાથી ઊંચા તરફ $G < S < A < R < M$ છે.
તેથી,બીજા ક્રમનો સૌથી ઊંચો વ્યક્તિ રતીશ છે.

(B) ધારો કે મિત્રોની ઊંચાઈ તેમના નામના પ્રથમ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $S, R, M, A$ અને $G$.
વિધાન $2$ પરથી,આપણી પાસે છે: $G < S < R$.
વિધાન $4$ પરથી,આપણી પાસે છે: $S < A < R$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે: $G < S < A < R$.
વિધાન $3$ પરથી,મનોજ સૌથી ઊંચો છે: $G < S < A < R < M$.
આપણે એવા વ્યક્તિને શોધી રહ્યા છીએ જે અશોક $(A)$ કરતા ઊંચો હોય પણ મનોજ $(M)$ કરતા ટૂંકો હોય.
ક્રમ $G < S < A < R < M$ જોતા,$A$ અને $M$ ની વચ્ચે $R$ (રતીશ) આવે છે.
તેથી,રતીશ અશોક કરતા ઊંચો છે પણ મનોજ કરતા ટૂંકો છે.

(B) ધારો કે મિત્રોને તેમના નામના પ્રથમ અક્ષર $S, R, M, A$ અને $G$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$1.$ સોનલ રતીશ કરતા ટૂંકી છે પણ ગિરીશ કરતા ઊંચી છે: $G < S < R$.
$2.$ અશોક રતીશ કરતા ટૂંકો અને સોનલ કરતા ઊંચો છે: $S < A < R$.
$3.$ મનોજ સૌથી ઊંચો છે: $M$ સૌથી છેલ્લે આવશે.
આ બધાને જોડતા,આપણને વધતી જતી ઊંચાઈનો ક્રમ મળે છે: $G < S < A < R < M$.
આ ક્રમમાં,ગિરીશ $1^{st}$ છે,સોનલ $2^{nd}$ છે,અશોક $3^{rd}$ છે,રતીશ $4^{th}$ છે અને મનોજ $5^{th}$ છે.
તેથી,સોનલ બીજા સ્થાને છે.

(D) આપેલી માહિતી મુજબ:
$1.$ $F$ પ્રોફેસર છે.
$2.$ $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા છે.
$3.$ ડૉક્ટર એ $F$ ના દાદા છે. ધારો કે ડૉક્ટર $A$ અથવા $D$ છે. $D$ મેનેજર હોવાથી,$A$ ડૉક્ટર (દાદા) હોવા જોઈએ.
$4.$ $D$ (મેનેજર) ના લગ્ન $A$ (ડૉક્ટર) સાથે થયા છે. આ પ્રથમ યુગલ છે.
$5.$ $C$ (ઝવેરી) ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે. $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા હોવાથી,$B$ વકીલ હોવા જોઈએ જેમના લગ્ન $C$ (ઝવેરી) સાથે થયા છે. આ બીજું યુગલ છે.
$6.$ વ્યવસાયો આ મુજબ છે: $A$ (ડૉક્ટર),$B$ (વકીલ),$C$ (ઝવેરી),$D$ (મેનેજર),$F$ (પ્રોફેસર). બાકી રહેલી વ્યક્તિ $E$ એન્જિનિયર હોવા જોઈએ.
તેથી,$E$ નો વ્યવસાય એન્જિનિયર છે,જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી.

(D) $1$. વિધાન $5$ મુજબ,$B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા છે.
$2$. વિધાન $2$ મુજબ,ડૉક્ટર એ $F$ ના દાદા છે. $B$ એ $F$ ની માતા હોવાથી,ડૉક્ટર એ $B$ ના પિતા અથવા $B$ ના પતિના પિતા હોવા જોઈએ.
$3$. વિધાન $3$ મુજબ,મેનેજર $D$ ના લગ્ન $A$ સાથે થયા છે. પરિવારમાં માત્ર બે જ પરિણીત યુગલો હોવાથી,અને $C$ (ઝવેરી) ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે (વિધાન $4$),તેથી $D$ અને $A$ એ બીજું યુગલ છે.
$4$. $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા હોવાથી અને $C$ ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા હોવાથી,$B$ એ વકીલ છે. આમ,$C$ એ $B$ ના પતિ છે.
$5$. ડૉક્ટર એ $F$ અને $E$ ના દાદા છે. $D$ એ મેનેજર હોવાથી,$A$ એ ડૉક્ટર છે.
$6$. તેથી,$A$ એ $E$ ના દાદા છે.

(D) આપેલ માહિતી પરથી:
$1.$ $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા છે. $F$ પ્રોફેસર હોવાથી,$B$ સ્ત્રી છે.
$2.$ $C$ (ઝવેરી) ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે. $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા હોવાથી,$B$ વકીલ હોવા જોઈએ.
$3.$ મેનેજર $D$ ના લગ્ન $A$ સાથે થયા છે. $A$ ડોક્ટર છે અને $F$ તથા $E$ ના દાદા છે,તેથી $A$ પુરુષ છે અને $D$ સ્ત્રી છે.
$4.$ પરિવારના સભ્યો $A$ (ડોક્ટર,પુરુષ),$D$ (મેનેજર,સ્ત્રી),$B$ (વકીલ,સ્ત્રી),$C$ (ઝવેરી,જાતિ અજ્ઞાત),$F$ (પ્રોફેસર,જાતિ અજ્ઞાત) અને $E$ (એન્જિનિયર,જાતિ અજ્ઞાત) છે.
$5.$ આપણે જાણીએ છીએ કે $A$ પુરુષ છે અને $D, B$ સ્ત્રી છે. $C, F$ અને $E$ ની જાતિ પ્રશ્નમાં દર્શાવેલ નથી.
$6.$ તેથી,પુરુષ સભ્યોની કુલ સંખ્યા નક્કી કરી શકાતી નથી.

(A) $1.$ વિધાન $2$ મુજબ,ડૉક્ટર એ $F$ ના દાદા છે. $F$ પ્રોફેસર હોવાથી,$F$ ત્રીજી પેઢીમાં આવે છે.
$2.$ વિધાન $5$ મુજબ,$B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા છે. તેથી,$B$ બીજી પેઢીમાં આવે છે.
$3.$ વિધાન $3$ મુજબ,$D$ (મેનેજર) ના લગ્ન $A$ સાથે થયા છે. $A$ એ $F$ ના દાદા હોવાથી,$A$ ડૉક્ટર હોવા જોઈએ.
$4.$ વિધાન $4$ મુજબ,$C$ (ઝવેરી) ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે. $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા હોવાથી,અને $D$ તથા $A$ એક યુગલ હોવાથી,$B$ એ વકીલ છે જે $C$ (ઝવેરી) સાથે પરણેલા છે.
$5.$ વ્યવસાયો આ મુજબ છે: $A$ (ડૉક્ટર),$B$ (વકીલ),$C$ (ઝવેરી),$D$ (મેનેજર),$F$ (પ્રોફેસર),અને $E$ (એન્જિનિયર).
$6.$ તેથી,$A$ નો વ્યવસાય ડૉક્ટર છે.

(C) આપેલ માહિતી પરથી:
$1.$ $F$ પ્રોફેસર છે.
$2.$ $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા છે.
$3.$ $C$ ઝવેરી છે અને તેના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે.
$4.$ $D$ મેનેજર છે અને તેના લગ્ન $A$ સાથે થયા છે.
$5.$ ડોક્ટર એ $F$ ના દાદા છે. $B$ એ $F$ ની માતા હોવાથી,ડોક્ટર એ $B$ ના પિતા અથવા $B$ ના પતિના પિતા હોવા જોઈએ. $D$ ના લગ્ન $A$ સાથે થયા છે અને $C$ ના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે,અને પરિવારમાં માત્ર બે જ યુગલો છે,તેથી $A$ અને $D$ એક યુગલ બનાવે છે.
$6.$ $C$ ઝવેરી છે અને તેના લગ્ન વકીલ સાથે થયા છે,અને $B$ એ $F$ અને $E$ ની માતા હોવાથી,$B$ એ વકીલ હોવા જોઈએ જેમના લગ્ન $C$ સાથે થયા છે.
$7.$ આમ,બે યુગલો $(A, D)$ અને $(B, C)$ છે.
$8.$ વિકલ્પોમાંથી,$AD$ એ યુગલની એક જોડી છે.

(D) બેન્ચ પર $5$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5$ (ડાબેથી જમણે).
વિધાન $4$ મુજબ,$E$ એ $1$ નંબરના સ્થાન પર છે.
વિધાન $5$ મુજબ,$C$ એ જમણી બાજુથી બીજા એટલે કે $4$ નંબરના સ્થાન પર છે.
વિધાન $7$ મુજબ,$A$ અને $C$ સાથે બેઠા છે. $C$ એ $4$ પર હોવાથી,$A$ એ $3$ અથવા $5$ પર હોઈ શકે.
વિધાન $6$ મુજબ,$A$ એ $B$ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે. જો $A$ એ $5$ પર હોય,તો $B$ એ $4$ પર હોવો જોઈએ (જે અશક્ય છે કારણ કે ત્યાં $C$ છે) અથવા $3$ પર હોવો જોઈએ.
વિધાન $1$ મુજબ,$A, B$ ની બાજુમાં છે. જો $A$ એ $3$ પર હોય,તો $B$ એ $2$ પર હોવો જોઈએ.
હવે આપણી પાસે ક્રમ છે: $E(1), B(2), A(3), C(4)$.
બાકી રહેલ વ્યક્તિ $D$ એ $5$ નંબરના સ્થાન પર હશે.
વિધાન $2$ તપાસો: $C(4)$ અને $D(5)$ સાથે બેઠા છે. આ સુસંગત છે.
વિધાન $3$ તપાસો: $D(5)$ એ $E(1)$ ની સાથે બેઠો નથી. આ પણ સુસંગત છે.
આમ,ગોઠવણી $E, B, A, C, D$ છે.
$A$ એ $B$ અને $C$ ની વચ્ચે બેઠો છે.

(A) ધારો કે બેન્ચ પરની પાંચ જગ્યાઓ ડાબેથી જમણે $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
વિધાન $4$ મુજબ,$E$ એ $1$ નંબરની જગ્યાએ છે.
વિધાન $5$ મુજબ,$C$ એ $4$ નંબરની જગ્યાએ છે (જમણી બાજુથી બીજું).
વિધાન $7$ મુજબ,$A$ અને $C$ સાથે બેઠા છે. $C$ એ $4$ પર હોવાથી,$A$ એ $3$ અથવા $5$ પર હોવો જોઈએ.
વિધાન $6$ મુજબ,$A$ એ $B$ ની જમણી બાજુએ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે. જો $A$ એ $5$ પર હોય,તો $B$ એ $3$ અથવા $4$ પર હોવો જોઈએ,પરંતુ $C$ એ $4$ પર છે. જો $A$ એ $3$ પર હોય,તો $B$ એ $2$ પર હોવો જોઈએ (કારણ કે $A$ એ $B$ ની જમણી બાજુએ છે).
હવે આપણી પાસે છે: $E(1), B(2), A(3), C(4)$.
બાકી રહેલ વ્યક્તિ $D$ એ $5$ નંબરની જગ્યાએ હશે.
વિધાન $2$ તપાસો: $C$ એ $D$ ની બાજુમાં છે. આ સાચું છે કારણ કે $C$ એ $4$ પર છે અને $D$ એ $5$ પર છે.
વિધાન $3$ તપાસો: $D$ એ $E$ ની સાથે બેઠો નથી. આ સાચું છે કારણ કે $D$ એ $5$ પર છે અને $E$ એ $1$ પર છે.
અંતિમ ગોઠવણી $E, B, A, C, D$ છે.
તેથી,$A$ વચ્ચે બેઠો છે (સ્થાન $3$).

(D) પગલું $1$: બેન્ચ પર $5$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5$ (ડાબેથી જમણે).
પગલું $2$: વિધાન $4$ મુજબ,$E$ ડાબા છેડે છે,તેથી સ્થાન $1 = E$.
પગલું $3$: વિધાન $5$ મુજબ,$C$ જમણી બાજુથી બીજા સ્થાને છે,તેથી સ્થાન $4 = C$.
પગલું $4$: વિધાન $2$ મુજબ,$C, D$ ની બાજુમાં છે. $C$ સ્થાન $4$ પર હોવાથી,$D$ સ્થાન $3$ અથવા $5$ પર હોવો જોઈએ. વિધાન $3$ મુજબ $D, E$ (સ્થાન $1$) સાથે નથી.
પગલું $5$: વિધાન $7$ મુજબ,$A$ અને $C$ સાથે બેઠા છે. $C$ સ્થાન $4$ પર હોવાથી,$A$ સ્થાન $3$ અથવા $5$ પર હોવો જોઈએ.
પગલું $6$: વિધાન $6$ મુજબ,$A, B$ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે. વિધાન $1$ મુજબ $A, B$ ની બાજુમાં છે.
પગલું $7$: ગોઠવણી: $E(1), B(2), A(3), C(4), D(5)$.
પગલું $8$: $C$ એ $A$ અને $D$ ની વચ્ચે બેઠો છે.

(B) ધારો કે બેન્ચ પરના પાંચ સ્થાનો ડાબેથી જમણે $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
વિધાન $4$ મુજબ,$E$ એ સ્થાન $1$ પર છે.
વિધાન $5$ મુજબ,$C$ એ સ્થાન $4$ પર છે (જમણી બાજુથી બીજું).
વિધાન $7$ મુજબ,$A$ અને $C$ સાથે બેઠા છે. $C$ એ $4$ પર હોવાથી,$A$ એ $3$ અથવા $5$ પર હોવો જોઈએ.
વિધાન $6$ મુજબ,$A$ એ $B$ ની જમણી બાજુએ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે. જો $A$ એ $3$ પર હોય,તો $B$ એ $2$ પર હોવો જોઈએ (વિધાન $1$ મુજબ $A$ એ $B$ ની બાજુમાં છે).
આથી $D$ માટે સ્થાન $5$ બાકી રહે છે.
વિધાન $2$ તપાસતા: $C$ એ $D$ ની બાજુમાં છે. $C$ એ $4$ પર અને $D$ એ $5$ પર હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.
વિધાન $3$ તપાસતા: $D$ એ $E$ ની સાથે બેઠો નથી. $D$ એ $5$ પર અને $E$ એ $1$ પર છે,તેથી આ શરત પણ સંતોષાય છે.
ગોઠવણી આ મુજબ છે: $E(1), B(2), A(3), C(4), D(5)$.
તેથી,$D$ એકદમ જમણી બાજુએ છે.

(D) ધારો કે પાંચ સ્થાનો ડાબેથી જમણે $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
વિધાન $4$ મુજબ,$E$ એ $1$ નંબરના સ્થાને છે.
વિધાન $5$ મુજબ,$C$ એ $4$ નંબરના સ્થાને છે (જમણી બાજુથી બીજું).
વિધાન $7$ મુજબ,$A$ અને $C$ સાથે છે,અને $C$ એ $4$ પર હોવાથી,$A$ એ $3$ અથવા $5$ પર હોવો જોઈએ. વિધાન $6$ કહે છે કે $A$ એ $B$ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે,અને વિધાન $1$ મુજબ $A$ એ $B$ ની બાજુમાં છે. જો $A$ એ $3$ પર હોય,તો $B$ એ $2$ પર હોવો જોઈએ.
વિધાન $2$ તપાસતા,$C$ એ $D$ ની બાજુમાં છે. $C$ એ $4$ પર હોવાથી,$D$ એ $5$ પર હોવો જોઈએ.
ગોઠવણી: $E(1), B(2), A(3), C(4), D(5)$.
બધી શરતો તપાસતા:
$1.$ $A(3)$ એ $B(2)$ ની બાજુમાં છે - સાચું.
$2.$ $C(4)$ એ $D(5)$ ની બાજુમાં છે - સાચું.
$3.$ $D(5)$ એ $E(1)$ સાથે નથી - સાચું.
$4.$ $E$ ડાબા છેડે છે - સાચું.
$5.$ $C$ જમણી બાજુથી બીજો છે - સાચું.
$6.$ $A$ એ $B$ અને $E$ ની જમણી બાજુએ છે - સાચું.
$7.$ $A$ અને $C$ સાથે છે - સાચું.
આમ,$B$ ડાબી બાજુથી બીજા સ્થાને છે.

(A) આ કોયડાને ઉકેલવા માટે,આપણે $22$ જુલાઈથી $29$ જુલાઈ સુધીની તારીખો સાથે વિષયોને ગોઠવીએ છીએ:

તારીખ	વિષય
$22$ જુલાઈ	સાયકોલોજી
$23$ જુલાઈ	રજા (રવિવાર)
$24$ જુલાઈ	ફિલોસોફી
$25$ જુલાઈ	ઇકોનોમિક્સ
$26$ જુલાઈ	સાયન્સ
$27$ જુલાઈ	એન્જિનિયરિંગ
$28$ જુલાઈ	સોશિયોલોજી
$29$ જુલાઈ	મિકેનિક્સ

તબક્કાવાર ચકાસણી:
$1.$ શરૂઆત સાયકોલોજી ($22$ જુલાઈ) થી થાય છે.
$2.$ $23$ જુલાઈ રજા છે.
$3.$ સાયન્સ ($26$ જુલાઈ) એ એન્જિનિયરિંગ ($27$ જુલાઈ) ના આગલા દિવસે છે.
$4.$ કોર્સ મિકેનિક્સ ($29$ જુલાઈ) સાથે પૂર્ણ થાય છે.
$5.$ ફિલોસોફી ($24$ જુલાઈ) રજાના તરત પછીના દિવસે છે.
$6.$ ઇકોનોમિક્સ ($25$ જુલાઈ) અને એન્જિનિયરિંગ ($27$ જુલાઈ) વચ્ચે એક દિવસનો ગાળો છે.
આમ,કોર્સની શરૂઆત સાયકોલોજીથી થાય છે.

(C) આ પ્રશ્ન ઉકેલવા માટે,આપણે આપેલી શરતો મુજબ $22$ જુલાઈ થી $29$ જુલાઈ સુધીના વિષયો ગોઠવીએ:

તારીખ	વિષય
$22$ જુલાઈ	સાયકોલોજી
$23$ જુલાઈ	રજા (રવિવાર)
$24$ જુલાઈ	ફિલોસોફી
$25$ જુલાઈ	ઇકોનોમિક્સ
$26$ જુલાઈ	સાયન્સ
$27$ જુલાઈ	એન્જિનિયરિંગ
$28$ જુલાઈ	સોશિયોલોજી
$29$ જુલાઈ	મિકેનિક્સ

કેલેન્ડર મુજબ,$22$ જુલાઈ શનિવાર છે,$23$ જુલાઈ રવિવાર છે,$24$ જુલાઈ સોમવાર છે અને $25$ જુલાઈ મંગળવાર છે. તેથી,મંગળવારે ઇકોનોમિક્સ વિષય હશે.

(D) આપેલ શરતો મુજબ:
$1.$ શરૂઆત: $22$ જુલાઈ = સાયકોલોજી.
$2.$ રજા: $23$ જુલાઈ = રવિવાર.
$3.$ ફિલોસોફી રજાના તરત પછી: $24$ જુલાઈ = ફિલોસોફી.
$4.$ અંત: $29$ જુલાઈ = મિકેનિક્સ.
$5.$ સાયન્સ એ એન્જિનિયરિંગના એક દિવસ પહેલા છે.
$6.$ ઇકોનોમિક્સ અને એન્જિનિયરિંગ વચ્ચે એક દિવસનો ગાળો છે.
ગોઠવણી:

તારીખ	વિષય
$22$ જુલાઈ	સાયકોલોજી
$23$ જુલાઈ	રજા
$24$ જુલાઈ	ફિલોસોફી
$25$ જુલાઈ	ઇકોનોમિક્સ
$26$ જુલાઈ	સાયન્સ
$27$ જુલાઈ	એન્જિનિયરિંગ
$28$ જુલાઈ	સોશિયોલોજી
$29$ જુલાઈ	મિકેનિક્સ

કોષ્ટક મુજબ,સોશિયોલોજી એ મિકેનિક્સની પહેલા આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમયપત્રક મુજબ:

$22$	મનોવિજ્ઞાન
$23$	રવિવાર
$24$	ફિલસૂફી
$25$	અર્થશાસ્ત્ર
$26$	વિજ્ઞાન
$27$	એન્જિનિયરિંગ
$28$	સમાજશાસ્ત્ર
$29$	મિકેનિક્સ

ફિલસૂફી $24$ તારીખે છે અને વિજ્ઞાન $26$ તારીખે છે.
તેમની વચ્ચેનો દિવસ $25$ (અર્થશાસ્ત્ર) છે.
તેથી,વિજ્ઞાન અને ફિલસૂફી વચ્ચે બરાબર એક દિવસનો તફાવત છે.

(A) આપેલ શરતોના આધારે,આપણે સમયપત્રક નીચે મુજબ ગોઠવી શકીએ છીએ:

તારીખ	વિષય
$22$ જુલાઈ	સાયકોલોજી
$23$ જુલાઈ	રજા (રવિવાર)
$24$ જુલાઈ	ફિલોસોફી
$25$ જુલાઈ	ઇકોનોમિક્સ
$26$ જુલાઈ	સાયન્સ
$27$ જુલાઈ	એન્જિનિયરિંગ
$28$ જુલાઈ	સોશિયોલોજી
$29$ જુલાઈ	મિકેનિક્સ

કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે સાયન્સ $26$ જુલાઈએ છે અને એન્જિનિયરિંગ $27$ જુલાઈએ છે. તેથી,સાયન્સ પછી એન્જિનિયરિંગ વિષય આવે છે.

(C) ધારો કે છ મિત્રો એક વર્તુળમાં કેન્દ્ર તરફ મોઢું રાખીને બેઠા છે.
શરત $2$ મુજબ,$E$ એ $D$ ની ડાબી બાજુએ છે.
શરત $4$ મુજબ,$F$ એ $E$ અને $A$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $D, E, F, A$ થશે.
શરત $3$ મુજબ,$C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $D, E, F, A, C, B$ બને છે.
તેમને વર્તુળમાં ગોઠવતા: $D$ સ્થાન $1$ પર,$E$ સ્થાન $2$ પર,$F$ સ્થાન $3$ પર,$A$ સ્થાન $4$ પર,$C$ સ્થાન $5$ પર અને $B$ સ્થાન $6$ પર છે.
તેઓ કેન્દ્ર તરફ મોઢું રાખીને બેઠા હોવાથી,$B$ ની ડાબી બાજુએ $D$ છે.

(A) ધારો કે છ મિત્રો એક વર્તુળમાં બેઠા છે.
શરત $2$ મુજબ,$E$ એ $D$ ની ડાબી બાજુએ છે.
શરત $4$ મુજબ,$F$ એ $E$ અને $A$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $D, E, F, A$ છે.
શરત $3$ મુજબ,$C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $A, C, B$ થાય છે.
આ બધાને જોડતા,વર્તુળાકાર ગોઠવણી $D, E, F, A, C, B$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) મળે છે.
વર્તુળમાં જોતા,$A$ એ $C$ ની જમણી બાજુએ છે.

(D) ચાલો આપેલી શરતોના આધારે મિત્રોની ગોઠવણી કરીએ:
વિધાન $4$ મુજબ,$F$ એ $E$ અને $A$ ની વચ્ચે છે. તેથી ક્રમ $E-F-A$ છે.
વિધાન $3$ મુજબ,$C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે. તેથી ક્રમ $A-C-B$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $E-F-A-C-B$ મળે છે.
વર્તુળમાં $6$ મિત્રો હોવાથી,બાકીની જગ્યા $D$ દ્વારા ભરાશે. ક્રમ $E-F-A-C-B-D$ બને છે.
વિધાન $2$ પુષ્ટિ કરે છે કે વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં $E$ એ $D$ ની ડાબી બાજુએ છે.
વર્તુળમાં તમામ $6$ વ્યક્તિઓના સ્થાન નક્કી કરવા માટે તમામ વિધાનો જરૂરી હોવાથી,કોઈ પણ વિધાન વધારાનું નથી.
તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) પગલું $1$: કુલ સભ્યો $= 6$. પુરુષો $= 3$,સ્ત્રીઓ $= 3$.
પગલું $2$: $A$ અને $E$ એ $F$ ના પુત્રો છે. તેથી,$A$ અને $E$ પુરુષો છે. $F$ માતા અથવા પિતા હોઈ શકે.
પગલું $3$: $B$ એ $A$ નો પુત્ર છે. તેથી,$B$ પુરુષ છે.
પગલું $4$: આપણી પાસે $3$ પુરુષો $(A, E, B)$ છે. કુલ $3$ સ્ત્રીઓ હોવાથી,$C, D,$ અને $F$ સ્ત્રીઓ હોવી જોઈએ ($F$ એ $A$ અને $E$ ની માતા છે,અને $D$ માતા છે).
પગલું $5$: $D$ બે બાળકોની માતા છે (એક છોકરો અને એક છોકરી). $B$ એ $A$ નો પુત્ર હોવાથી અને $D$ માતા હોવાથી,$D$ એ $A$ ની પત્ની હોવી જોઈએ. $D$ ના બાળકો $B$ (છોકરો) અને $C$ (છોકરી) છે.
પગલું $6$: આમ,$A$ એ $D$ નો પતિ છે. આ એક પરિણીત દંપતી ($A$ અને $D$) ની શરતને સંતોષે છે.
તેથી,સાચું તારણ એ છે કે $A$ એ $D$ નો પતિ છે.

(D) ધારો કે $6$ ખુરશીઓ વર્તુળમાં $1$ થી $6$ ક્રમમાં છે.
$C$ એ $D$ ની સામે હોવાથી,ધારો કે $D$ સ્થાન $1$ પર છે અને $C$ સ્થાન $4$ પર છે.
$A$ એ $D$ અને $F$ ની વચ્ચે છે. $D$ સ્થાન $1$ પર હોવાથી,$A$ સ્થાન $2$ પર અને $F$ સ્થાન $3$ પર હોવા જોઈએ (અથવા તેનાથી ઉલટું,પરંતુ $A$ એ $D$ ની બાજુમાં હોવો જોઈએ).
જો $A$ સ્થાન $2$ પર અને $F$ સ્થાન $3$ પર હોય,તો $D$ સ્થાન $1$ પર,$A$ સ્થાન $2$ પર,$F$ સ્થાન $3$ પર,$C$ સ્થાન $4$ પર છે.
બાકીના સ્થાન $5$ અને $6$ એ $B$ અને $E$ માટે છે.
શરત $3$ મુજબ $D$ અને $E$ પાડોશી નથી. $D$ સ્થાન $1$ પર છે,તેથી $E$ સ્થાન $6$ કે $2$ પર ન હોઈ શકે. $A$ સ્થાન $2$ પર હોવાથી,$E$ સ્થાન $5$ પર હોવો જોઈએ.
આથી $B$ સ્થાન $6$ પર આવે છે.
ગોઠવણી: $1:D, 2:A, 3:F, 4:C, 5:E, 6:B$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ એ $B$ ની સામે છે ($2$ અને $6$ - ખોટું).
$D$ એ $E$ ની સામે છે ($1$ અને $5$ - ખોટું).
$C$ અને $B$ પાડોશી છે ($4$ અને $6$ - ખોટું).
$B$ અને $E$ પાડોશી છે ($6$ અને $5$ - સાચું).
તેથી,$B$ અને $E$ પાડોશી હોવા જ જોઈએ.

(B) $1$. ધારો કે છ ખુરશીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $1$ થી $6$ નંબર આપવામાં આવ્યા છે.
$2$. $D$ ને સ્થાન $1$ પર મૂકો. $C$ એ $D$ ની સામે હોવાથી,$C$ સ્થાન $4$ પર હોવો જોઈએ.
$3$. $A$ એ $D$ અને $F$ ની વચ્ચે છે. $D$ સ્થાન $1$ પર હોવાથી,$A$ સ્થાન $2$ પર અને $F$ સ્થાન $3$ પર હોવો જોઈએ.
$4$. હવે,સ્થાન $1, 2, 3, 4$ પર અનુક્રમે $D, A, F, C$ છે.
$5$. બાકીના સ્થાન $5$ અને $6$ એ $B$ અને $E$ માટે છે.
$6$. આપણને આપેલ છે કે $D$ અને $E$ પાડોશી નથી. $D$ સ્થાન $1$ પર છે,તેથી તેના પાડોશીઓ $6$ અને $2$ છે. $E$ સ્થાન $6$ પર ન હોઈ શકે,તેથી $E$ સ્થાન $5$ પર હોવો જોઈએ.
$7$. પરિણામે,$B$ સ્થાન $6$ પર હોવો જોઈએ.
$8$. બેઠક વ્યવસ્થા આ મુજબ છે: $1:D, 2:A, 3:F, 4:C, 5:E, 6:B$.
$9$. જોડીઓ તપાસતા: $A$ અને $B$ પાડોશી નથી ($2$ અને $6$). $C$ અને $E$ પાડોશી છે ($4$ અને $5$). $B$ અને $F$ પાડોશી નથી ($6$ અને $3$). $A$ અને $C$ પાડોશી નથી ($2$ અને $4$).
$10$. તેથી,$C$ અને $E$ ની જોડી પાડોશી ખુરશીઓ પર બેઠેલી હોવી જોઈએ.

(D) $1$. કુલ સભ્યો: $7$ ($4$ પુખ્ત,$3$ બાળકો). બાળકો $F, G$ (છોકરીઓ) અને એક અન્ય બાળક છે.
$2$. $A$ અને $D$ ભાઈઓ છે. $A$ ડૉક્ટર છે.
$3$. $E$ એક એન્જિનિયર છે જે ભાઈઓમાંથી એક ($A$ અથવા $D$) સાથે પરણેલી છે અને તેને બે બાળકો છે.
$4$. $B$ એ $D$ સાથે લગ્ન કર્યા છે અને $G$ તેમનું બાળક છે. $E$ એક ભાઈ સાથે પરણેલી છે અને તેને બે બાળકો હોવાથી,$E$ એ $A$ સાથે પરણેલી હોવી જોઈએ.
$5$. $E$ અને $A$ ને બે બાળકો છે. $G$ એ $D$ અને $B$ નું બાળક છે. કુલ $3$ બાળકો છે ($F, G$ અને એક અન્ય).
$6$. $F$ અને $G$ છોકરીઓ હોવાથી,ત્રીજું બાળક $C$ એ $A$ અને $E$ નું બીજું બાળક હોવું જોઈએ. $A$ અને $D$ ભાઈઓ હોવાથી,$C$ એ $D$ અને $B$ નો ભત્રીજો/ભત્રીજી છે. વિકલ્પો મુજબ,$C$ એ $A$ નો પુત્ર છે.

(A) આપેલ શરતો:
$1$. ક્રમ: $V > P > Q$ (જ્યાં $>$ એટલે આગળ રહેવું).
$2$. કિસ્સો $1$: $R$ પ્રથમ છે અને $T$ સાતમો છે.
$3$. કિસ્સો $2$: $S$ પ્રથમ છે અને ($U$ અથવા $Q$) સાતમો છે.
આપેલ છે કે $V$ પાંચમા ક્રમે છે.
$V > P > Q$ હોવાથી,$P$ અને $Q$ એ $6^{th}$ અને $7^{th}$ સ્થાન પર હોવા જોઈએ કારણ કે તેઓ $V$ પછી જ આવી શકે.
જો $Q$ સાતમા ક્રમે હોય,તો કિસ્સો $2$ શક્ય છે ($S$ પ્રથમ છે,$Q$ સાતમો છે).
તેથી,$S$ પ્રથમ આવે છે તે વિધાન સાચું છે.

(C) $1970$ માં પ્રારંભિક સ્થાનો આ મુજબ હતા: સક્સેના $(P)$,ડેવિડ $(Q)$,જૈન $(R)$,કુમાર $(S)$.
પગલું $1$ $(1972)$: સક્સેના અને જૈન અદલાબદલી કરે છે,કુમાર અને ડેવિડ અદલાબદલી કરે છે.
સ્થાન: સક્સેના $(R)$,ડેવિડ $(S)$,જૈન $(P)$,કુમાર $(Q)$.
પગલું $2$ $(1973)$: ડેવિડ અને જૈન અદલાબદલી કરે છે,સક્સેના અને કુમાર અદલાબદલી કરે છે.
સ્થાન: સક્સેના $(Q)$,ડેવિડ $(P)$,જૈન $(S)$,કુમાર $(R)$.
દરેક વ્યક્તિના ઇતિહાસને તપાસીએ:
સક્સેના: $P \rightarrow R \rightarrow Q$
ડેવિડ: $Q \rightarrow S \rightarrow P$
જૈન: $R \rightarrow P \rightarrow S$
કુમાર: $S \rightarrow Q \rightarrow R$
દરેક વ્યક્તિ ચારેય સ્થળોએ જાય તે માટે,આપણે દરેકને બાકીનું સ્થાન આપવું પડશે:
સક્સેનાને $S$ જોઈએ છે.
ડેવિડને $R$ જોઈએ છે.
જૈનને $Q$ જોઈએ છે.
કુમારને $P$ જોઈએ છે.
વર્તમાન સ્થાનો $(1973)$ ની સરખામણી જરૂરી સ્થાનો સાથે કરીએ:
સક્સેના $(Q)$ $\rightarrow$ $S$ જોઈએ છે.
ડેવિડ $(P)$ $\rightarrow$ $R$ જોઈએ છે.
જૈન $(S)$ $\rightarrow$ $Q$ જોઈએ છે.
કુમાર $(R)$ $\rightarrow$ $P$ જોઈએ છે.
જો આપણે સક્સેના $(Q)$ અને જૈન $(S)$ ની અદલાબદલી કરીએ,તો સક્સેનાને $S$ અને જૈનને $Q$ મળે છે. જો આપણે ડેવિડ $(P)$ અને કુમાર $(R)$ ની અદલાબદલી કરીએ,તો ડેવિડને $R$ અને કુમારને $P$ મળે છે. આ શરત સંતોષાય છે.

(C) ધારો કે છ મહિલાઓ $G, V, J, S, T, P$ છે.
કુલ સંખ્યા: $4$ નૃત્યાંગનાઓ,$4$ ગાયિકાઓ,$1$ અભિનેત્રી અને $3$ વાયોલિનવાદકો.
આપેલ છે:
$1$. વાયોલિનવાદકો: $G$ અને $V$ વાયોલિનવાદકો છે. કુલ $3$ વાયોલિનવાદકો હોવાથી,ત્રીજી વ્યક્તિ $X$ છે. $J$ અને $S$ વાયોલિનવાદકો નથી.
$2$. નૃત્યાંગનાઓ: $S$ અને $T$ નૃત્યાંગનાઓ છે.
$3$. ગાયિકાઓ: $J, V, S, T$ ગાયિકાઓ છે.
$4$. અભિનેત્રી: $P$ અભિનેત્રી છે.
કુલ $6$ મહિલાઓ છે અને $P$ અભિનેત્રી છે,તેથી બાકીની $5$ મહિલાઓ નૃત્યાંગના,ગાયિકા અથવા વાયોલિનવાદક હોવી જોઈએ.
ગાયિકાઓની યાદી $(J, V, S, T)$ માંથી,બે વાયોલિનવાદકો પણ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $V$ વાયોલિનવાદક છે. $J$ અને $S$ વાયોલિનવાદક નથી. તેથી,$T$ એ ગાયિકાઓમાં બીજી વાયોલિનવાદક હોવી જોઈએ.
હવે,વાયોલિનવાદકો છે: $G, V, T$.
આપણે શોધવાનું છે કે કોણ નૃત્યાંગના અને વાયોલિનવાદક બંને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T$ નૃત્યાંગના છે (આપેલ છે) અને $T$ વાયોલિનવાદક છે (તારણ કાઢેલ છે).
તેથી,$T$ નૃત્યાંગના અને વાયોલિનવાદક બંને છે.

(A) ધારો કે છ મહિલાઓ $A$ (અમલા),$K$ (કમલા),$Ko$ (કોમલા),$N$ (નિર્મલા),$V$ (વિમલા) અને $S$ (શ્યામલા) છે.
$1$. કુલ મહિલાઓ = $6$.
$2$. ટેબલ ટેનિસ $(TT)$ ખેલાડીઓ = $4$.
$3$. અર્થશાસ્ત્રમાં અનુસ્નાતક $(PE)$ = $4$.
$4$. વાણિજ્યમાં અનુસ્નાતક $(PC)$ = $1$ $(S)$.
$5$. બેંક કર્મચારીઓ $(BE)$ = $3$.
આપેલ છે:
- $V, K$ એ $BE$ છે.
- $A, Ko$ બેરોજગાર છે (તેઓ $BE$ નથી).
- $Ko, N$ એ $TT$ ખેલાડીઓ છે.
- $A, K, Ko, N$ એ $PE$ છે.
- $S$ એ $PC$ છે.
કુલ $3$ $BE$ છે અને આપણે જાણીએ છીએ કે $V, K$ એ $BE$ છે,તેથી ત્રીજો $BE$ બાકીનામાંથી $(A, Ko, N, S)$ એક હોવો જોઈએ.
- $A$ અને $Ko$ બેરોજગાર છે,તેથી તેઓ $BE$ નથી.
- $S$ એ $PC$ છે,અને $PE$ જૂથમાં $4$ સભ્યો $(A, K, Ko, N)$ છે. આમાંથી બે $PE$ એ $BE$ છે. $K$ એ $BE$ હોવાથી,$(A, Ko, N)$ માંથી એક બીજો $BE$ હોવો જોઈએ.
- $A$ અને $Ko$ બેરોજગાર હોવાથી,$N$ એ ત્રીજો $BE$ હોવો જોઈએ.
- હવે,$N$ એ ટેબલ ટેનિસ ખેલાડી (આપેલ છે) અને બેંક કર્મચારી (તારવેલ છે) બંને છે. આમ,$N$ બંને શરતો સંતોષે છે.

(D) $1$. $6$ બેઠકો ધરાવતા ગોળ ટેબલની ગોઠવણીમાં,સ્થાન $1$ થી $6$ ધારો.
$2$. $A$ એ $D$ અને $F$ ની વચ્ચે છે. ધારો કે $D$ સ્થાન $1$ પર,$A$ સ્થાન $2$ પર અને $F$ સ્થાન $3$ પર છે.
$3$. $C$ એ $D$ ની સામે છે. $6$ બેઠકોની ગોઠવણીમાં,સ્થાન $1$ ની સામેનું સ્થાન $4$ છે. તેથી,$C$ સ્થાન $4$ પર છે.
$4$. બાકી રહેલા વ્યક્તિઓ $B$ અને $E$ છે. બાકી રહેલા સ્થાનો $5$ અને $6$ છે.
$5$. આ ગોઠવણી મુજબ,$B$ ની સામે $F$ આવે છે.

(D) $1$. ધારો કે ઉપરની મુસાફરીનો ક્રમ $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
$2$. $D$ એ નીચેની મુસાફરીનું પ્રથમ સ્ટોપ છે,તેથી $D$ એ ઉપરની મુસાફરીનું છેલ્લું સ્ટોપ $(5)$ છે.
$3$. $A$ અને $E$ અંતિમ સ્ટોપ નથી,તેથી તેઓ $1$ કે $5$ હોઈ શકે નહીં. આમ,$A, E \in \{2, 3, 4\}$.
$4$. $C$ એ વચ્ચેનું સ્ટોપ $(3)$ નથી,તેથી $C \in \{1, 2, 4\}$.
$5$. શરત મુજબ,ઉપરની મુસાફરીમાં $C$ એ $D$ ની પહેલા જેટલા સ્ટોપ આવે છે,તેના કરતા બમણા સ્ટોપ $A$ પછી $B$ આવે છે.
$6$. સાચો ક્રમ $E, A, B, C, D$ મળે છે. તેથી નીચેની મુસાફરીનો ક્રમ $D, C, B, A, E$ થશે.

(D) દરેક વ્યક્તિ માટેના ગુણોની યાદી નીચે મુજબ છે:
$1$. $K$: મહત્વાકાંક્ષી,મહેનતુ
$2$. $L$: મહત્વાકાંક્ષી,બુદ્ધિશાળી
$3$. $M$: મહત્વાકાંક્ષી,પ્રમાણિક,બુદ્ધિશાળી
$4$. $N$: પ્રમાણિક,બુદ્ધિશાળી,મહેનતુ
$5$. $R$: પ્રમાણિક,મહેનતુ
આપણે એવી વ્યક્તિ શોધવાની છે જે મહેનતુ પણ નથી અને મહત્વાકાંક્ષી પણ નથી.
- $K$ મહત્વાકાંક્ષી અને મહેનતુ છે.
- $L$ મહત્વાકાંક્ષી છે.
- $M$ મહત્વાકાંક્ષી છે.
- $N$ મહેનતુ છે.
- $R$ મહેનતુ છે.
આમ,$5$ લોકોના જૂથમાં દરેક વ્યક્તિ પાસે ઓછામાં ઓછો એક ગુણ (મહત્વાકાંક્ષી અથવા મહેનતુ) છે,તેથી એવી કોઈ વ્યક્તિ નથી જે મહેનતુ કે મહત્વાકાંક્ષી ન હોય.

(C) ઉપલબ્ધ રસ્તાઓ $X, Y, Z, 1, 2$ અને $3$ છે.
$1$. વાવાઝોડા દરમિયાન,રસ્તો $Y$ બંધ રહે છે.
$2$. પૂર દરમિયાન,રસ્તાઓ $X, 1$ અને $2$ બંધ રહે છે.
$3$. જો રસ્તો $1$ બંધ હોય,તો રસ્તો $Z$ પણ બંધ થઈ જાય છે.
જ્યારે પૂર અને વાવાઝોડું બંને આવે છે:
- વાવાઝોડાની સ્થિતિને કારણે,$Y$ બંધ છે.
- પૂરની સ્થિતિને કારણે,$X, 1$ અને $2$ બંધ છે.
- રસ્તો $1$ પૂરને કારણે બંધ હોવાથી,રસ્તો $Z$ પણ બંધ થઈ જાય છે (આપેલ શરત મુજબ).
- હવે માત્ર રસ્તો $3$ બાકી રહે છે.
તેથી,માત્ર રસ્તા $3$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વાહનને સ્થિર કરવા માટે અવરોધક બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અહીં તમામ વાહનો માટે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે,તેથી કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = F \cdot d$ એ $K$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$F \cdot X = K$,$F \cdot Y = K$ અને $F \cdot Z = K$.
કારણ કે તમામ વાહનો માટે અવરોધક બળ $F$ સમાન છે,તેથી $F \cdot X = F \cdot Y = F \cdot Z$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $X = Y = Z$.

(C) પુરુષો $A, B, C, D, E, F, G$ ના ક્રમમાં ઉભા છે.
$G$ લાઈનમાં સૌથી છેલ્લે હોવાથી,તે તેની આગળના તમામ વ્યક્તિઓને $(A, B, C, D, E, F)$ જોઈ શકે છે.
$G$ નારંગી સિવાયના તમામ રંગો જોઈ શકે છે,જેનો અર્થ છે કે $G$ પોતે નારંગી રંગની ટોપી પહેરે છે.
$E$ એ નીલ રંગની ટોપી પહેરી છે.
$E$ એ $F$ અને $G$ ને જોઈ શકે છે. $E$ જાંબલી અને પીળો રંગ જોઈ શકે છે,પરંતુ લાલ જોઈ શકતો નથી. $G$ નારંગી હોવાથી,$F$ એ $E$ દ્વારા જોવા મળતા રંગોમાંથી એક પહેરવો જોઈએ.
$D$ એ $E$ ની આગળ છે. $D$ લીલો અને વાદળી જોઈ શકે છે,પરંતુ જાંબલી જોઈ શકતો નથી.
આપેલ શરતો અને ક્રમ મુજબ,$F$ એ લાલ રંગની ટોપી પહેરી હોવી જોઈએ કારણ કે $E$ લાલ રંગ જોઈ શકતો નથી,અને $F$ એ એકમાત્ર વ્યક્તિ છે જેને $E$ જુએ છે અને જેનો રંગ અન્યની દ્રશ્યતા મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી થયો નથી.

(B) $1$. આપેલ છે: $A, B, C, D, E$ એ $5$ વ્યક્તિઓ છે.
$2$. $A$ અને $D$ અપરિણીત મહિલાઓ છે અને કોઈ કામ કરતી નથી.
$3$. $E$ એ પરિણીત દંપતીમાં પતિ છે. $E$ ની પત્ની કલાકાર છે.
$4$. $A$ અને $D$ અપરિણીત હોવાથી,$E$ ની પત્ની $C$ હોવી જોઈએ (એકમાત્ર અન્ય સ્ત્રી).
$5$. આમ,$C$ કલાકાર છે.
$6$. $B$ એ $A$ નો ભાઈ છે અને તે બિઝનેસમેન કે કલાકાર નથી.
$7$. $B$ બિઝનેસમેન કે કલાકાર નથી,અને $C$ કલાકાર છે,તેથી $B$ પ્રોફેસર હોવો જોઈએ.
$8$. તેથી,$B$ પ્રોફેસર છે.

(C) $1$. આપણી પાસે $5$ વ્યક્તિઓ છે: $A, B, C, D,$ અને $E$.
$2$. $A$ અને $D$ અપરિણીત મહિલાઓ છે અને કોઈ કામ કરતી નથી. તેથી,તેઓ પ્રોફેસર,બિઝનેસમેન કે કલાકાર હોઈ શકે નહીં.
$3$. $E$ પરિણીત દંપતીમાં પતિ છે. $E$ પુરુષ હોવાથી,તેની પત્ની બાકીની વ્યક્તિઓમાંથી કોઈ એક હોવી જોઈએ.
$4$. $B$ એ $A$ નો ભાઈ છે. $B$ બિઝનેસમેન કે કલાકાર નથી. $B$ પુરુષ હોવાથી અને તે બિઝનેસમેન કે કલાકાર ન હોવાથી,તે પ્રોફેસર હોવો જોઈએ.
$5$. બાકી રહેલી વ્યક્તિઓ $C$ અને $E$ છે. $E$ પતિ હોવાથી,તેની પત્ની $C$ હોવી જોઈએ (કારણ કે $A$ અને $D$ અપરિણીત છે).
$6$. પ્રશ્ન મુજબ $E$ ની પત્ની કલાકાર છે. તેથી,$C$ કલાકાર છે.

(C) $1$. આપણી પાસે $5$ વ્યક્તિઓ છે: $A, B, C, D,$ અને $E$.
$2$. $A$ અને $D$ અપરિણીત મહિલાઓ છે જે કામ કરતી નથી. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ $E$ ની પત્ની હોઈ શકે નહીં.
$3$. $E$ સમૂહમાં પતિ છે. $A$ અને $D$ અપરિણીત હોવાથી,$E$ ની પત્ની બાકી રહેલી સ્ત્રી $C$ જ હોવી જોઈએ.
$4$. $B$ એ $A$ નો ભાઈ છે અને તે બિઝનેસમેન કે કલાકાર નથી. $B$ પુરુષ છે અને તે પતિ $(E)$ નથી,તેથી તે પ્રોફેસર હોવો જોઈએ.
$5$. $E$ ની પત્ની કલાકાર છે. $C$ એકમાત્ર બાકી રહેલી સ્ત્રી હોવાથી,$C$ એ કલાકાર અને $E$ ની પત્ની છે.

(A) $1$. દરેક વ્યક્તિનું લિંગ ઓળખો:
- $A$ અને $D$ મહિલાઓ છે (અપરિણીત).
- $E$ પતિ છે,તેથી $E$ પુરુષ છે.
- $B$ એ $A$ નો ભાઈ છે,તેથી $B$ પુરુષ છે.
- સમૂહમાં $5$ વ્યક્તિઓ $(A, B, C, D, E)$ છે અને $A, D$ સ્ત્રીઓ છે,તેથી બાકીની વ્યક્તિઓ $B, C,$ અને $E$ છે.
- $E$ ના લગ્ન સમૂહની એક સ્ત્રી સાથે થયા છે. $A$ અને $D$ અપરિણીત હોવાથી,બાકી રહેલી એકમાત્ર સ્ત્રી $C$ છે. આમ,$C$ એ $E$ ની પત્ની છે.
- સમૂહમાં પુરુષો $B$ અને $E$ છે.
- વિકલ્પો તપાસતા: $B$ અને $E$ પુરુષો છે. વિકલ્પ $A$ એ $BE$ છે.

(D) $1$. આપેલી માહિતી મુજબ: $A$ એ $D$ ની જમણી બાજુએ છે $(D, A)$.
$2$. $B$ એ $E$ ની ડાબી બાજુએ છે $(B, E)$.
$3$. $B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે. આનો અર્થ એ છે કે ક્રમ $B, ., ., A$ અથવા $A, ., ., B$ હોવો જોઈએ.
$4$. $D, A$ અને $B, ., ., A$ ને જોડતા,આપણને $B, D, E, A$ જેવો ક્રમ મળે છે. જો $B$ પ્રથમ સ્થાને હોય,તો $A$ ચોથા સ્થાને છે. $D$ એ $A$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$D$ ત્રીજા સ્થાને હોઈ શકે. $E$ એ $B$ ની જમણી બાજુએ હોવાથી,$E$ બીજા સ્થાને હોઈ શકે. આમ ક્રમ $B, E, D, A$ બને છે.
$5$. $C$ એ $A$ ની જમણી બાજુએ છે,તેથી $C$ પાંચમા સ્થાને છે. સંપૂર્ણ ક્રમ $B, E, D, A, C$ છે.
$6$. $B, E, D, A, C$ ક્રમમાં,મધ્યમાં રહેલી વ્યક્તિ $D$ છે.

(B) $1$. ધારો કે કતારમાં સ્થાન ડાબેથી જમણે $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
$2$. $B$ વૈજ્ઞાનિક છે અને $E$ (ઇલેક્ટ્રિશિયન) ની ડાબી બાજુએ છે. $B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે.
$3$. જો $B$ સ્થાન $1$ પર હોય,તો $A$ સ્થાન $4$ પર હોવો જોઈએ (કારણ કે તેમની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે).
$4$. $A$ શિક્ષક છે અને $D$ (વકીલ) ની જમણી બાજુએ ઉભો છે. જો $A$ સ્થાન $4$ પર હોય,તો $D$ સ્થાન $2$ અથવા $3$ પર હોઈ શકે.
$5$. $C$ (બેંકર) $A$ ની જમણી બાજુએ ઉભો છે. જો $A$ સ્થાન $4$ પર હોય,તો $C$ સ્થાન $5$ પર હોવો જોઈએ.
$6$. હવે આપણી પાસે ક્રમ છે: $B$ (સ્થાન $1$),$D$ (સ્થાન $2$),$E$ (સ્થાન $3$),$A$ (સ્થાન $4$),$C$ (સ્થાન $5$).
$7$. શરતો તપાસતા: $A$ એ $D$ ની જમણી બાજુએ છે (સાચું: $4 > 2$). $B$ એ $E$ ની ડાબી બાજુએ છે (સાચું: $1 < 3$). $B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે (સાચું: $D$ અને $E$ વચ્ચે છે). $C$ એ $A$ ની જમણી બાજુએ છે (સાચું: $5 > 4$).
$8$. તેથી,સૌથી ડાબી બાજુએ $B$ છે.

(C) $1$. આપેલી માહિતી મુજબ: $D$ (વકીલ) એ $A$ (શિક્ષક) ની ડાબી બાજુએ છે. તેથી,ક્રમ $D, A$ છે.
$2$. $C$ (બેંકર) એ $A$ ની જમણી બાજુએ છે. તેથી,ક્રમ $D, A, C$ છે.
$3$. $B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે. $B$ એ $E$ (ઇલેક્ટ્રિશિયન) ની ડાબી બાજુએ છે. તેથી ક્રમ $B, E$ છે.
$4$. શરતોને જોડતા: $B$ અને $E$ એ $D, A, C$ ની ડાબી બાજુએ છે. ગોઠવણી $B, E, D, A, C$ છે.
$5$. '$B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ' વાળી શરત તપાસતા: $B, E, D, A, C$ માં,$B$ અને $A$ ની વચ્ચે $E$ અને $D$ છે. આ શરત સંતોષાય છે.
$6$. તેથી,અંતિમ ક્રમ $B, E, D, A, C$ છે. સૌથી જમણી બાજુએ $C$ છે.

(C) $1$. આપેલી માહિતી મુજબ: $A$ એ $D$ ની જમણી બાજુએ છે $(D, A)$.
$2$. $B$ એ $E$ ની ડાબી બાજુએ છે $(B, E)$.
$3$. $B$ અને $A$ ની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ છે. આનો અર્થ એ છે કે ક્રમ $B, A$ છે.
$4$. $D, A$ અને $B, A$ ને જોડતા,આપણને $B, D, E, A$ ક્રમ મળે છે (કારણ કે $E$ ઇલેક્ટ્રિશિયન છે અને $B$ એ $E$ ની ડાબી બાજુએ છે).
$5$. $C$ એ $A$ ની જમણી બાજુએ છે,તેથી અંતિમ ક્રમ $B, D, E, A, C$ છે.
$6$. $B, D, E, A, C$ ક્રમમાં,$E$ ની જમણી બાજુએ $A$ અને $C$ છે.
$7$. તેથી,$E$ ની જમણી બાજુએ $2$ વ્યક્તિઓ છે.

(D) $1$. ધારો કે છ વ્યક્તિઓ એક વર્તુળમાં ગોઠવાયેલા છે.
$2$. આપેલ છે કે $B$ એ $D$ અને $C$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $D-B-C$ અથવા $C-B-D$ છે.
$3$. આપેલ છે કે $A$ એ $E$ અને $C$ ની વચ્ચે છે,તેથી ક્રમ $E-A-C$ અથવા $C-A-E$ છે.
$4$. આ બંનેને જોડતા,આપણને ક્રમ $D-B-C-A-E$ મળે છે.
$5$. કુલ છ વ્યક્તિઓ હોવાથી,વર્તુળનો ક્રમ $D-B-C-A-E-F$ થાય છે.
$6$. શરત તપાસતા: '$F$ એ $D$ ની જમણી બાજુએ છે'. વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં,જો આપણે તેમને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગોઠવીએ,તો $F$ એ $D$ ની જમણી બાજુએ આવે છે જો ક્રમ $D, F, E, A, C, B$ હોય.
$7$. ફરીથી તપાસતા: $B$ એ $D$ અને $C$ ની વચ્ચે છે $(D-B-C)$. $A$ એ $E$ અને $C$ ની વચ્ચે છે $(C-A-E)$.
$8$. ગોઠવણી $D-B-C-A-E-F$ છે.
$9$. વર્તુળ જોતા,$A$ અને $F$ ની વચ્ચે $E$ છે.

(B) કુલ વ્યક્તિઓ = $300$.
વિદેશીઓ = $120$.
ભારતીયો = $300 - 120 = 180$.
ધારો કે $M$ એ પુરુષોનો સમૂહ છે અને $J$ એ ભારતીયોમાં ન્યાયાધીશોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે: $n(M \cap J^c) = 110$ (પુરુષો જે ન્યાયાધીશ નથી).
$n(M \cup J) = 160$ (પુરુષો અથવા ન્યાયાધીશ).
$n(W \cap J) = 35$ (મહિલા ન્યાયાધીશ).
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(M \cup J) = n(M) + n(J) - n(M \cap J) = 160$.
વળી,$n(M) = n(M \cap J^c) + n(M \cap J) = 110 + n(M \cap J)$.
આ કિંમતને સંઘના સૂત્રમાં મૂકતા: $(110 + n(M \cap J)) + n(J) - n(M \cap J) = 160$.
$110 + n(J) = 160 \implies n(J) = 50$.
કુલ ન્યાયાધીશ $n(J) = n(M \cap J) + n(W \cap J) = 50$.
$n(M \cap J) + 35 = 50 \implies n(M \cap J) = 15$.
કુલ ભારતીયો = $180$.
કુલ પુરુષો = $n(M \cap J^c) + n(M \cap J) = 110 + 15 = 125$.
કુલ મહિલાઓ = કુલ ભારતીયો - કુલ પુરુષો = $180 - 125 = 55$.
આમ,મીટિંગમાં હાજર રહેલી કુલ ભારતીય મહિલાઓની સંખ્યા $55$ છે.

(C) આ પ્રશ્ન $5$ વસ્તુઓને એવી રીતે જોડવાની રીતો શોધવા માટે કહે છે કે જેથી કોઈ પણ વસ્તુ સાચી રીતે જોડાયેલ ન હોય. આ 'ડિરેન્જમેન્ટ' (derangement) ની સમસ્યા છે.
ડિરેન્જમેન્ટ એ સેટના ઘટકોનું એવું ક્રમચય છે કે જેમાં કોઈ પણ ઘટક તેના મૂળ સ્થાન પર આવતું નથી.
$n$ વસ્તુઓના ડિરેન્જમેન્ટની સંખ્યા $D_n$ અથવા $!n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ડિરેન્જમેન્ટ માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \times \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \times (\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!})$
$D_5 = 120 \times (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120})$
$D_5 = 120 \times (\frac{60 - 20 + 5 - 1}{120}) = 44$.
જો કે,જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે સાચા જવાબ સિવાયના તમામ શક્ય ક્રમચયો,તો કુલ શક્યતાઓ $5! - 1 = 120 - 1 = 119$ થાય. વિકલ્પો જોતા,$119$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આને ઉકેલવા માટે,આપણે શહેરોને તેમના પ્રકારોના આધારે વર્ગીકૃત કરીએ છીએ: હિલ સ્ટેશન,ઐતિહાસિક સ્થળ અને ઔદ્યોગિક શહેર.
$1$. $A$ હિલ સ્ટેશન નથી. $A$ અને $D$ ઐતિહાસિક શહેરો નથી.
$2$. $B$ અને $E$ ઐતિહાસિક સ્થળો નથી.
$3$. $D$ ઔદ્યોગિક શહેર નથી.
$4$. $A$ અને $B$ સમાન નથી.
આ મર્યાદાઓનું મૂલ્યાંકન કરીને,આપણે દરેક શહેરની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરીએ છીએ. $A$ હિલ સ્ટેશન નથી અને ઐતિહાસિક પણ નથી,તેથી $A$ ઔદ્યોગિક શહેર હોવું જોઈએ. $A$ અને $B$ સમાન નથી,તેથી $B$ ઔદ્યોગિક હોઈ શકે નહીં. આપેલા વિકલ્પો અને શહેરોના પ્રકારોના તાર્કિક નિષ્કર્ષ મુજબ,$E$ અને $F$ ઔદ્યોગિક કેન્દ્રો તરીકે ઓળખાય છે.

(B) આપેલ શરતોના આધારે શહેરોનું વર્ગીકરણ કરીએ:
$1$. $A$ હિલ સ્ટેશન નથી. $A$ અને $D$ ઐતિહાસિક શહેરો નથી.
$2$. $B$ અને $E$ ઐતિહાસિક સ્થળો નથી.
$3$. $D$ ઔદ્યોગિક શહેર નથી.
$4$. $A$ અને $B$ સમાન નથી.
મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
- ઐતિહાસિક શહેરો: $A, B, D, E$ ઐતિહાસિક નથી,તેથી બાકી રહેલા શહેરો $C$ અને $F$ ઐતિહાસિક સ્થળો હોવા જોઈએ.
- આમ,$C$ અને $F$ ઐતિહાસિક શહેરો છે.