Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ચોથું પ્રમાણિત પદ $d$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો ચાર સંખ્યાઓ $a, b, c, d$ પ્રમાણમાં હોય,તો પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર એ છેલ્લી બે સંખ્યાઓના ગુણોત્તર જેટલો હોવો જોઈએ: $a : b :: c : d$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $24 : 120 :: 22 : d$.
આને સમીકરણ તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $\frac{24}{120} = \frac{22}{d}$.
ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{5} = \frac{22}{d}$.
$d$ ની કિંમત શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $d = 22 \times 5 = 110$.
તેથી,ચોથું પ્રમાણિત પદ $110$ છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $B: A = 2: 3$ અને $A: C = 5: 7$ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $B: A: C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $A$ ની કિંમત સમાન કરીએ.
સામાન્ય પદ $A$ છે. પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $A = 3$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $A = 5$ છે. $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $15$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $5$ વડે ગુણતા: $B: A = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10: 15$.
બીજા ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણતા: $A: C = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15: 21$.
આમ,$B: A: C = 10: 15: 21$.
આના પરથી,$A = 15$,$B = 10$,અને $C = 21$ મળે છે.
હવે,$(A + B) : (B + C) = (15 + 10) : (10 + 21) = 25 : 31$ ગણતરી કરતા મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $X$ અને $Y$ ના ગુણનો ગુણોત્તર $3: 11$ આપેલ છે.
ધારો કે $X$ ના ગુણ $3k$ છે અને $Y$ ના ગુણ $11k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$X$ ના ગુણ $9$ છે,તેથી $3k = 9$.
$k$ ની કિંમત શોધતા,આપણને $k = 9 / 3 = 3$ મળે છે.
હવે,$Y$ ના ગુણ શોધવા માટે $k$ ની કિંમત મૂકો:
$Y$ ના ગુણ $= 11k = 11 \times 3 = 33$.
તેથી,$Y$ ના ગુણ $33$ છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $U: V = 6: 7$ અને $V: W = 21: 6$ છે.
$U: V: W$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $V$ ની કિંમત સમાન બનાવવી પડશે.
પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $V$ ની કિંમત $7$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $21$ છે.
તેમને સમાન બનાવવા માટે,પ્રથમ ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણો:
$U: V = (6 \times 3) : (7 \times 3) = 18: 21$.
હવે,આપણી પાસે $U: V = 18: 21$ અને $V: W = 21: 6$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $U: V: W = 18: 21: 6$ મળે છે.
આ ગુણોત્તરને $3$ વડે ભાગીને સરળ બનાવતા,આપણને $6: 7: 2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $a-b : b-c : c-d = 1 : 2 : 3$ છે.
ધારો કે કોઈ અચળાંક $k$ માટે $a-b = k$,$b-c = 2k$,અને $c-d = 3k$ છે.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(a-b) + (b-c) + (c-d) = k + 2k + 3k$
$a - d = 6k$.
હવે,$(a+d) : c$ શોધવા માટે આપણે $a$ અને $d$ ને $c$ અને $k$ ના પદમાં દર્શાવવા પડશે.
$c-d = 3k$ પરથી,આપણને $d = c - 3k$ મળે છે.
$b-c = 2k$ પરથી,આપણને $b = c + 2k$ મળે છે.
$a-b = k$ પરથી,આપણને $a = b + k = (c + 2k) + k = c + 3k$ મળે છે.
હવે $a+d$ ની ગણતરી કરતા:
$a + d = (c + 3k) + (c - 3k) = 2c$.
તેથી,ગુણોત્તર $(a+d) : c = 2c : c = 2 : 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $F$ અને પુત્રની હાલની ઉંમર $S$ છે.
આપેલ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $90$ વર્ષ છે: $F + S = 90$ (સમીકરણ $1$).
$10$ વર્ષ પહેલાં,પિતાની ઉંમર $(F - 10)$ અને પુત્રની ઉંમર $(S - 10)$ હતી.
$10$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $5:2$ હતો,તેથી: $\frac{F - 10}{S - 10} = \frac{5}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(F - 10) = 5(S - 10) \Rightarrow 2F - 20 = 5S - 50 \Rightarrow 2F - 5S = -30$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$S = 90 - F$. આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$2F - 5(90 - F) = -30$
$2F - 450 + 5F = -30$
$7F = 420$
$F = 60$.
તેથી,પિતાની હાલની ઉંમર $60$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે $R$ અને $S$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $11x$ અને $17x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$11$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $11:20$ હતો.
તેથી,$\frac{11x - 11}{17x - 11} = \frac{11}{20}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $20(11x - 11) = 11(17x - 11)$.
$220x - 220 = 187x - 121$.
$220x - 187x = 220 - 121$.
$33x = 99$.
$x = 3$.
તેથી,$R$ ની હાલની ઉંમર $11x = 11 \times 3 = 33$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે સુનિલ,અનિલ અને જમીલના હિસ્સા અનુક્રમે $S, A$ અને $J$ છે.
આપેલ છે કે $S + A + J = 15525$.
હિસ્સામાંથી ₹ $22$,₹ $35$ અને ₹ $48$ ઘટાડ્યા પછી,બાકી રહેલી રકમનો ગુણોત્તર $7: 10: 13$ છે.
ધારો કે બાકી રહેલી રકમ $7x, 10x$ અને $13x$ છે.
તેથી,$S - 22 = 7x \implies S = 7x + 22$.
$A - 35 = 10x \implies A = 10x + 35$.
$J - 48 = 13x \implies J = 13x + 48$.
આનો સરવાળો કરતા: $(7x + 22) + (10x + 35) + (13x + 48) = 15525$.
$30x + 105 = 15525 \implies 30x = 15420 \implies x = 514$.
મૂળ હિસ્સાની ગણતરી:
$S = 7(514) + 22 = 3598 + 22 = 3620$.
$A = 10(514) + 35 = 5140 + 35 = 5175$.
$J = 13(514) + 48 = 6682 + 48 = 6730$.
હવે,તેમના મૂળ હિસ્સામાં ₹ $16$,₹ $77$ અને ₹ $37$ ઉમેરો:
નવો $S = 3620 + 16 = 3636$.
નવો $A = 5175 + 77 = 5252$.
નવો $J = 6730 + 37 = 6767$.
ગુણોત્તર $3636 : 5252 : 6767$ છે.
$101$ વડે ભાગતા: $3636/101 = 36$,$5252/101 = 52$,$6767/101 = 67$.
ગુણોત્તર $36: 52: 67$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{2} A = \frac{1}{3} B = \frac{1}{6} C = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આના પરથી,આપણને $A = 2k$,$B = 3k$,અને $C = 6k$ મળે છે.
કુલ રકમ $A + B + C = 1980$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2k + 3k + 6k = 1980$.
$11k = 1980$.
$k = \frac{1980}{11} = 180$.
$B$ નો ભાગ $3k = 3 \times 180 = ₹ 540$ થાય.

(A) ધારો કે સમાન કિંમત $x$ છે.
તેથી,$\frac{2}{5} A + 40 = x \implies A = \frac{5}{2}(x - 40)$.
$\frac{2}{7} B + 20 = x \implies B = \frac{7}{2}(x - 20)$.
$\frac{9}{17} C + 10 = x \implies C = \frac{17}{9}(x - 10)$.
કારણ કે $A + B + C = 600$,તેથી:
$\frac{5}{2}(x - 40) + \frac{7}{2}(x - 20) + \frac{17}{9}(x - 10) = 600$.
$\frac{5x}{2} - 100 + \frac{7x}{2} - 70 + \frac{17x}{9} - \frac{170}{9} = 600$.
$6x - 170 + \frac{17x - 170}{9} = 600$.
$6x + \frac{17x}{9} = 770 + \frac{170}{9}$.
$\frac{54x + 17x}{9} = \frac{6930 + 170}{9}$.
$71x = 7100 \implies x = 100$.
આમ,$A$ નો હિસ્સો = $\frac{5}{2}(100 - 40) = \frac{5}{2}(60) = 150$.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
આપેલ છે કે $a + b + c = 600$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{2}{5}a + 40 = \frac{2}{7}b + 20 = \frac{9}{17}c + 10 = k$ (ધારો કે આ $k$ છે).
તેથી,$\frac{2}{5}a = k - 40 \implies a = \frac{5}{2}(k - 40) = 2.5k - 100$.
$\frac{2}{7}b = k - 20 \implies b = \frac{7}{2}(k - 20) = 3.5k - 70$.
$\frac{9}{17}c = k - 10 \implies c = \frac{17}{9}(k - 10) = \frac{17}{9}k - \frac{170}{9}$.
આ કિંમતોને $a + b + c = 600$ માં મૂકતા:
$(2.5k - 100) + (3.5k - 70) + (\frac{17}{9}k - \frac{170}{9}) = 600$.
$6k - 170 + \frac{17}{9}k - \frac{170}{9} = 600$.
$\frac{54k + 17k}{9} = 770 + \frac{170}{9}$.
$\frac{71k}{9} = \frac{6930 + 170}{9} = \frac{7100}{9}$.
$71k = 7100 \implies k = 100$.
હવે,$A$ નો હિસ્સો $a = 2.5(100) - 100 = 250 - 100 = 150$.

(C) ધારો કે $A, B$ અને $C$ નો હિસ્સો અનુક્રમે $6x, 8x$ અને $7x$ છે.
કુલ રકમ $= 6x + 8x + 7x = 21x$.
આપેલ છે કે $21x = 8400$,તેથી $x = 400$.
હિસ્સાઓ છે: $A = 6 \times 400 = 2400$,$B = 8 \times 400 = 3200$,$C = 7 \times 400 = 2800$.
ધારો કે $A, B$ અને $C$ ની બચત અનુક્રમે $3y, 2y$ અને $4y$ છે.
આપેલ છે કે $B$ ની બચત $= 2y = 400$,તેથી $y = 200$.
બચત છે: $A = 3 \times 200 = 600$,$B = 2 \times 200 = 400$,$C = 4 \times 200 = 800$.
ખર્ચ = આવક - બચત.
$A$ નો ખર્ચ $= 2400 - 600 = 1800$.
$B$ નો ખર્ચ $= 3200 - 400 = 2800$.
$C$ નો ખર્ચ $= 2800 - 800 = 2000$.
ખર્ચનો ગુણોત્તર $= 1800 : 2800 : 2000 = 18 : 28 : 20 = 9 : 14 : 10$.

(C) ધારો કે $A$ ની આવક $= 2x$ અને $C$ ની આવક $= 3x$ છે.
ધારો કે $B$ ની આવક $= y$ અને $D$ ની આવક $= 2y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A$ ની આવક $B$ કરતા ₹ $140$ વધારે છે: $2x - y = 140$ (સમીકરણ $1$).
$C$ ની આવક $D$ કરતા ₹ $80$ વધારે છે: $3x - 2y = 80$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 2y = 280$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(4x - 2y) - (3x - 2y) = 280 - 80$,તેથી $x = 200$.
$x = 200$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(200) - y = 140 \implies 400 - y = 140 \implies y = 260$.
હવે,આવકની ગણતરી કરીએ:
$A = 2x = 2(200) = ₹ 400$.
$B = y = ₹ 260$.
$C = 3x = 3(200) = ₹ 600$.
$D = 2y = 2(260) = ₹ 520$.
આમ,$A, B, C$ અને $D$ ની આવક અનુક્રમે ₹ $400, ₹ 260, ₹ 600$ અને ₹ $520$ છે.

(C) મૂળ ભાડા અને નવા ભાડાનો ગુણોત્તર $9:11$ છે.
ધારો કે મૂળ ભાડું $9x$ છે અને નવું ભાડું $11x$ છે.
આપેલ છે કે મૂળ ભાડું ₹ $18,000$ છે,તેથી:
$9x = 18,000$
$x = 18,000 / 9 = 2,000$
ભાડામાં થયેલો વધારો એ નવા ભાડા અને મૂળ ભાડા વચ્ચેનો તફાવત છે:
વધારો $= 11x - 9x = 2x$
$x$ ની કિંમત મૂકતા:
વધારો $= 2 \times 2,000 = 4,000$
આમ,ભાડામાં થયેલો વધારો ₹ $4,000$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ હીરાનું વજન $15x$ છે અને કિંમત $P = k(15x)^2 = 225kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
હીરાને $3x, 5x$ અને $7x$ વજનના ત્રણ ટુકડાઓમાં તોડવામાં આવે છે.
તૂટેલા ટુકડાઓની કિંમત નીચે મુજબ થશે:
પ્રથમ ટુકડાની કિંમત $= k(3x)^2 = 9kx^2$
બીજા ટુકડાની કિંમત $= k(5x)^2 = 25kx^2$
ત્રીજા ટુકડાની કિંમત $= k(7x)^2 = 49kx^2$
તૂટેલા ટુકડાઓની કુલ કિંમત $= 9kx^2 + 25kx^2 + 49kx^2 = 83kx^2$.
થયેલું નુકસાન એ મૂળ કિંમત અને તૂટેલા ટુકડાઓની કુલ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે:
નુકસાન $= 225kx^2 - 83kx^2 = 142kx^2$.
આપેલ છે કે નુકસાન ₹ $42600$ છે,તેથી:
$142kx^2 = 42600$
$kx^2 = \frac{42600}{142} = 300$.
તેથી,હીરાની મૂળ કિંમત $225kx^2 = 225 \times 300 = ₹ 67500$ છે.

(A) ધારો કે પ્રક્રિયા માટે અરજી કરનાર કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $5x$ છે.
પસંદ થયેલા અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોનો ગુણોત્તર $4:1$ હોવાથી,પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $4x$ અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $x$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો $90$ ઉમેદવારો ઓછાએ અરજી કરી હોત,તો નવી કુલ સંખ્યા $5x - 90$ થાત.
જો $20$ ઉમેદવારો ઓછા પસંદ થયા હોત,તો પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની નવી સંખ્યા $4x - 20$ થાત.
પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની નવી સંખ્યા $(5x - 90) - (4x - 20) = x - 70$ થાત.
નવો ગુણોત્તર $5:1$ આપેલ હોવાથી,આપણને સમીકરણ મળે છે:
$\frac{4x - 20}{x - 70} = \frac{5}{1}$
$4x - 20 = 5(x - 70)$
$4x - 20 = 5x - 350$
$x = 350 - 20 = 330$
તેથી,પ્રક્રિયા માટે અરજી કરનાર કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $5x = 5 \times 330 = 1650$ છે.

(B) ધારો કે પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $5x$ છે અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $x$ છે.
કુલ અરજી કરનાર ઉમેદવારો = $5x + x = 6x$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો $100$ ઉમેદવારો ઓછાએ અરજી કરી હોત,તો કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $6x - 100$ હોત.
જો $20$ ઉમેદવારો ઓછા પસંદ થયા હોત,તો પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $5x - 20$ હોત.
ત્યારે પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $(6x - 100) - (5x - 20) = x - 80$ હોત.
પસંદ થયેલા અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોનો નવો ગુણોત્તર $6:1$ છે,તેથી:
$\frac{5x - 20}{x - 80} = \frac{6}{1}$
$5x - 20 = 6(x - 80)$
$5x - 20 = 6x - 480$
$6x - 5x = 480 - 20$
$x = 460$
કુલ અરજી કરનાર ઉમેદવારોની સંખ્યા $6x = 6 \times 460 = 2760$ છે.

(C) જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે ઝડપ અને સમય એકબીજાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ ઝડપનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 : v_3 = 1 : 3 : 5$ છે.
સમય $t$ એ $t = \frac{d}{v}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અંતર $d$ સમાન હોવાથી,સમયનો ગુણોત્તર $t_1 : t_2 : t_3 = \frac{1}{v_1} : \frac{1}{v_2} : \frac{1}{v_3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$t_1 : t_2 : t_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ મળે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $1, 3,$ અને $5$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $15$ વડે ગુણો.
ગુણોત્તર $= (1 \times 15) : (\frac{1}{3} \times 15) : (\frac{1}{5} \times 15) = 15 : 5 : 3$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન અંતર માટે,ઝડપ એ સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\text{Speed} \propto \frac{1}{\text{Time}}$.
અમન,કમલ અને માનનની ઝડપનો ગુણોત્તર $4: 5: 6$ આપેલ છે.
તેથી,લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર ઝડપના ગુણોત્તરનો વ્યસ્ત થશે: $\frac{1}{4}: \frac{1}{5}: \frac{1}{6}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,આપણે છેદ $4, 5$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીએ,જે $60$ છે.
દરેક પદને $60$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $(\frac{1}{4} \times 60) : (\frac{1}{5} \times 60) : (\frac{1}{6} \times 60)$.
આનાથી $15: 12: 10$ મળે છે.
આમ,લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $15: 12: 10$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
ત્યારબાદ,આ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરો:
$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
$(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
હવે,આ વર્ગોના વ્યસ્ત શોધો:
$\frac{9}{4}$ નો વ્યસ્ત $= \frac{4}{9}$
$\frac{16}{9}$ નો વ્યસ્ત $= \frac{9}{16}$
છેલ્લે,આ વ્યસ્ત સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો:
ગુણોત્તર $= \frac{4}{9} : \frac{9}{16} = \frac{4 \times 16}{9 \times 9} = \frac{64}{81}$
આમ,ગુણોત્તર $64: 81$ છે.

(A) ધારો કે $A$ પાસેની રકમ $A$ છે અને $B$ પાસેની રકમ $B$ છે.
આપેલ છે કે $A + B = 6300$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{5}{19} A = \frac{2}{5} B$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$25 A = 38 B$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A}{B} = \frac{38}{25}$.
ધારો કે $A = 38x$ અને $B = 25x$.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા: $38x + 25x = 6300$.
$63x = 6300$,તેથી $x = 100$.
તેથી,$B$ ની રકમ $= 25x = 25 \times 100 = 2500$.

(B) ધારો કે જરૂરી અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ નો $\frac{1}{27}$ સાથેનો ગુણોત્તર એ $\frac{3}{7}$ નો $\frac{5}{9}$ સાથેના ગુણોત્તર સમાન છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $x : \frac{1}{27} = \frac{3}{7} : \frac{5}{9}$.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x}{1/27} = \frac{3/7}{5/9}$.
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{3}{7} \times \frac{9}{5} = \frac{27}{35}$.
તેથી,$x \times 27 = \frac{27}{35}$.
$x = \frac{27}{35} \times \frac{1}{27}$.
$x = \frac{1}{35}$.
આમ,જરૂરી અપૂર્ણાંક $\frac{1}{35}$ છે.

(D) ધારો કે સફળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $9x$ છે અને અસફળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2x$ છે.
આપેલ છે કે કુલ પરીક્ષાર્થીઓની સંખ્યા $132$ છે,તેથી:
$9x + 2x = 132$
$11x = 132$
$x = 12$
તેથી,સફળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $9 \times 12 = 108$ છે અને અસફળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2 \times 12 = 24$ છે.
જો $4$ વધુ વિદ્યાર્થીઓ પાસ થયા હોત,તો સફળ વિદ્યાર્થીઓની નવી સંખ્યા $108 + 4 = 112$ હોત.
અસફળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યામાં $4$ નો ઘટાડો થાત,તેથી તે $24 - 4 = 20$ હોત.
સફળ અને અસફળ વિદ્યાર્થીઓનો નવો ગુણોત્તર $112:20$ છે.
બંને પદોને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $28:5$ મળે છે.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $720$.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર $7: 5$ છે.
ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $7x$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $5x$ છે.
ભાગોનો સરવાળો = $7 + 5 = 12$.
$12x = 720 \implies x = 60$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $7 \times 60 = 420$.
છોકરીઓની સંખ્યા = $5 \times 60 = 300$.
ગુણોત્તર $1: 1$ કરવા માટે,છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
જરૂરી છોકરીઓની સંખ્યા = $420$.
વધારાની પ્રવેશ આપવાની છોકરીઓની સંખ્યા = $420 - 300 = 120$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના તફાવત કરતા ત્રણ ગણો છે:
$x + y = 3(x - y)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x + y = 3x - 3y$
પદોને ગોઠવતા:
$y + 3y = 3x - x$
$4y = 2x$
બંને બાજુ $2y$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{y} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{5}{5} = 1$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x + \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $\frac{1}{x} = -\frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $\frac{1}{x}$ ઉમેરતા: $\frac{2}{x} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2 = 0$,જે એક વિરોધાભાસ છે.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ શાંત કિંમત નથી જે આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે. આમ,કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.

(B) અને $B$ વચ્ચે વહેંચાયેલી મીઠાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.
ધારો કે $A$ ને મળેલી મીઠાઈની સંખ્યા $3x$ છે અને $B$ ને મળેલી મીઠાઈની સંખ્યા $4x$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ને $36$ મીઠાઈ મળી છે,તેથી $3x = 36$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 36 / 3 = 12$ મળે છે.
હવે,$B$ ને મળેલી મીઠાઈની સંખ્યા $4x = 4 \times 12 = 48$ છે.
મીઠાઈની કુલ સંખ્યા $A$ અને $B$ ને મળેલી મીઠાઈનો સરવાળો છે,જે $36 + 48 = 84$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P$ અને $Q$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $4 \, \text{વર્ષ}$ પહેલા તેમની ઉંમર $(P-4)$ અને $(Q-4)$ હતી.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{P-4}{Q-4} = \frac{5}{6}$ આપેલ છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $6(P-4) = 5(Q-4)$, જેનું સાદું રૂપ $6P - 24 = 5Q - 20$ અથવા $6P - 5Q = 4 \quad (1)$ થાય છે.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $52$ છે, તેથી $P + Q = 52$, એટલે કે $P = 52 - Q \quad (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $6(52 - Q) - 5Q = 4$.
$312 - 6Q - 5Q = 4$.
$312 - 11Q = 4$.
$11Q = 308$.
$Q = 28$.
હવે, $P$ શોધો: $P = 52 - 28 = 24$.
તેમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $P:Q = 24:28$ છે.
બંનેને $4$ વડે ભાગતા, આપણને $6:7$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $5x$ અને $6x$ વર્ષ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સાત વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $6:7$ થશે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{5x + 7}{6x + 7} = \frac{6}{7}$.
પદોનો ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે: $7(5x + 7) = 6(6x + 7)$.
$35x + 49 = 36x + 42$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $49 - 42 = 36x - 35x$.
$x = 7$.
$A$ ની હાલની ઉંમર $5x = 5 \times 7 = 35$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર ગુણક $x$ છે.
તેથી $A$,$B$ અને $C$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $5x$,$6x$ અને $9x$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ને ₹ $450$ મળ્યા,તેથી $5x = 450$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 450 / 5 = 90$ મળે છે.
વહેંચવામાં આવેલી કુલ રકમ એ હિસ્સાઓનો સરવાળો છે: $5x + 6x + 9x = 20x$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,કુલ રકમ $20 \times 90 = 1800$ થાય છે.
તેથી,વહેંચવામાં આવેલી કુલ રકમ ₹ $1800$ હતી.

(B) ધારો કે ત્રણ ભાઈઓના હિસ્સા અનુક્રમે $A$,$B$ અને $C$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ રકમ $A + B + C = 1620$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે બીજા ભાઈનો હિસ્સો $B$ એ બાકીના બે ભાઈઓના હિસ્સાના સરવાળાના $\frac{5}{13}$ ગણો છે,એટલે કે $B = \frac{5}{13}(A + C)$.
કુલ સરવાળાના સમીકરણમાંથી $(A + C)$ ની કિંમત મૂકતા: $(A + C) = 1620 - B$.
હવે,આ કિંમતને આપેલી શરતમાં મૂકતા:
$B = \frac{5}{13}(1620 - B)$
$13B = 5(1620 - B)$
$13B = 8100 - 5B$
$13B + 5B = 8100$
$18B = 8100$
$B = \frac{8100}{18} = 450$.
તેથી,બીજા ભાઈનો હિસ્સો ₹ $450$ છે.

(A) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $8x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $12x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 8x + 12x = 20x$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવતા છોકરાઓની સંખ્યા $= 8x$ ના $50 \% = 0.5 \times 8x = 4x$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવતી છોકરીઓની સંખ્યા $= 12x$ ના $25 \% = 0.25 \times 12x = 3x$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવતા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 4x + 3x = 7x$.
શિષ્યવૃત્તિ ન મેળવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= \text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} - \text{શિષ્યવૃત્તિ મેળવતા વિદ્યાર્થીઓ} = 20x - 7x = 13x$.
શિષ્યવૃત્તિ ન મેળવતા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી $= (13x / 20x) \times 100 = 0.65 \times 100 = 65 \%$.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_1:r_2 = 2:3$ અને $h_1:h_2 = 5:3$.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $20:27$ થશે.

(B) ઓફિસ $10 \, AM$ વાગ્યે ખુલે છે અને $5 \, PM$ વાગ્યે બંધ થાય છે।
કુલ સમયગાળો $= 5 \, PM - 10 \, AM = 7 \, \text{કલાક}$.
$1 \, \text{કલાક} = 60 \, \text{મિનિટ}$ હોવાથી, ઓફિસનો કુલ સમય $= 7 \times 60 = 420 \, \text{મિનિટ}$.
લંચનો સમય $30 \, \text{મિનિટ}$ છે।
લંચના સમયનો ઓફિસના કુલ સમય સાથેનો ગુણોત્તર $30 : 420$ છે।
બંને બાજુ $30$ વડે ભાગતા, આપણને $1 : 14$ મળે છે.

(C) ધારો કે એર-કન્ડિશન્ડ સ્લીપર ક્લાસનું ભાડું $4x$ છે અને ઓર્ડિનરી સ્લીપર ક્લાસનું ભાડું $1x$ છે.
ધારો કે એર-કન્ડિશન્ડ સ્લીપર ક્લાસમાં મુસાફરોની સંખ્યા $3y$ છે અને ઓર્ડિનરી સ્લીપર ક્લાસમાં મુસાફરોની સંખ્યા $25y$ છે.
કુલ વસૂલાત બંને વર્ગો માટે (ભાડું $\times$ મુસાફરોની સંખ્યા) ના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
કુલ વસૂલાત $= (4x \times 3y) + (1x \times 25y) = 12xy + 25xy = 37xy$.
આપેલ છે કે કુલ વસૂલાત ₹ $37,000$ છે,તેથી $37xy = 37,000$,જેનો અર્થ છે કે $xy = 1,000$.
એર-કન્ડિશન્ડ સ્લીપરના મુસાફરો દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી રકમ $4x \times 3y = 12xy$ છે.
$xy = 1,000$ મૂકતા,આપણને $12 \times 1,000 = ₹ 12,000$ મળે છે.

(D) પુરુષ અને સ્ત્રી લાયક ઉમેદવારોનો ગુણોત્તર $11:7$ છે.
ધારો કે પુરુષ ઉમેદવારોની સંખ્યા $11x$ અને સ્ત્રી ઉમેદવારોની સંખ્યા $7x$ છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રી લાયક ઉમેદવારોની સંખ્યા $126$ છે,
$7x = 126$
$x = \frac{126}{7} = 18$
હવે,લાયક ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા પુરુષ અને સ્ત્રી ઉમેદવારોનો સરવાળો છે:
કુલ લાયક ઉમેદવારો $= 11x + 7x = 18x$
$x = 18$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ લાયક ઉમેદવારો $= 18 \times 18 = 324.$
નોંધ: જો લાયક ઉમેદવારો કુલ હાજર ઉમેદવારોના $60\%$ હોય,તો $0.6 \times \text{હાજર ઉમેદવારો} = 324$,તેથી હાજર ઉમેદવારો $= 540$ થાય. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $A: B = 2: 3$ અને $B: C = 3: 7$ છે.
અહીં $B$ ની કિંમત બંને ગુણોત્તરમાં સમાન $(3)$ હોવાથી,આપણે સીધું જ $A: B: C = 2: 3: 7$ લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $A = 2k$,$B = 3k$,અને $C = 7k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
હવે,જરૂરી સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
$A + B = 2k + 3k = 5k$
$B + C = 3k + 7k = 10k$
$C + A = 7k + 2k = 9k$
તેથી,ગુણોત્તર $A + B : B + C : C + A = 5k : 10k : 9k = 5: 10: 9$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ ની માસિક આવક અનુક્રમે $8x$ અને $5x$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ નો માસિક ખર્ચ અનુક્રમે $5y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
$A$ માટે: $8x - 5y = 12,000$ --- (સમીકરણ $1$)
$B$ માટે: $5x - 3y = 10,000$ --- (સમીકરણ $2$)
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$24x - 15y = 36,000$ --- (સમીકરણ $3$)
$25x - 15y = 50,000$ --- (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $4$ માંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા:
$(25x - 24x) - (15y - 15y) = 50,000 - 36,000$
$x = 14,000$
$A$ ની માસિક આવક $= 8x = 8 \times 14,000 = 1,12,000$.
$B$ ની માસિક આવક $= 5x = 5 \times 14,000 = 70,000$.
માસિક આવક વચ્ચેનો તફાવત $= 1,12,000 - 70,000 = 42,000$.

(D) શરૂઆતમાં,કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $1554$ છે અને છોકરાઓ તથા છોકરીઓનો ગુણોત્તર $4:3$ છે.
કુલ ભાગ $= 4 + 3 = 7$.
છોકરાઓની સંખ્યા $= (4/7) \times 1554 = 888$.
છોકરીઓની સંખ્યા $= (3/7) \times 1554 = 666$.
$30$ છોકરીઓ જોડાયા પછી,છોકરીઓની નવી સંખ્યા $= 666 + 30 = 696$.
ધારો કે શાળા છોડી ગયેલા છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે.
તો,છોકરાઓની નવી સંખ્યા $= 888 - x$.
પ્રશ્ન મુજબ,છોકરાઓ અને છોકરીઓનો નવો ગુણોત્તર $7:6$ છે,તેથી:
$(888 - x) / 696 = 7 / 6$.
બંને બાજુ $696$ વડે ગુણતા:
$888 - x = (7 / 6) \times 696$.
$888 - x = 7 \times 116$.
$888 - x = 812$.
$x = 888 - 812 = 76$.
તેથી,$76$ છોકરાઓએ શાળા છોડી દીધી.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $2x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે બંને સંખ્યાઓમાં $8$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે ગુણોત્તર $3:4$ થાય છે.
તેથી,$\frac{2x + 8}{3x + 8} = \frac{3}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$4(2x + 8) = 3(3x + 8)$ મળે.
$8x + 32 = 9x + 24$.
$32 - 24 = 9x - 8x$.
$x = 8$.
તેથી બે સંખ્યાઓ $2x = 2(8) = 16$ અને $3x = 3(8) = 24$ છે.
બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $16 + 24 = 40$ થાય છે.

(D) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુણોત્તર $\frac{2+x}{5+x} = \frac{5}{6}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$6(2+x) = 5(5+x)$
$12 + 6x = 25 + 5x$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા:
$12 + x = 25$
બંને બાજુથી $12$ બાદ કરતા:
$x = 25 - 12$
$x = 13$.
તેથી,આપણે દરેક પદમાં $13$ ઉમેરવા જોઈએ.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નો ગુણોત્તર $4:5$ છે.
ધારો કે $A = 4x$ અને $B = 5x$ છે.
તેમના વર્ગોનો તફાવત $81$ આપેલ છે.
$(5x)^2 - (4x)^2 = 81$
$25x^2 - 16x^2 = 81$
$9x^2 = 81$
$x^2 = 9$
$x = 3$
તેથી,$A$ ની કિંમત $4x = 4 \times 3 = 12$ થાય.

(A) ધારો કે પુત્ર,પત્ની અને પુત્રીના હિસ્સા અનુક્રમે $S$,$W$ અને $D$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $S:W = 3:1$ અને $W:D = 3:1$ છે.
આ ગુણોત્તરોને જોડવા માટે,આપણે પત્નીના હિસ્સા $(W)$ ને બંને ગુણોત્તરમાં સમાન બનાવીએ.
$S:W = 3:1 = 9:3$ અને $W:D = 3:1$.
આમ,સંયુક્ત ગુણોત્તર $S:W:D = 9:3:1$ છે.
ધારો કે હિસ્સા અનુક્રમે $9k$,$3k$ અને $k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
મિલકતનું કુલ મૂલ્ય $9k + 3k + k = 13k$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પુત્રીને પુત્ર કરતા ₹ $10,000$ ઓછા મળે છે:
$S - D = 10000$
$9k - k = 10000$
$8k = 10000$
$k = 1250$.
મિલકતનું કુલ મૂલ્ય $13k = 13 \times 1250 = 16250$ છે.
તેથી,મિલકતનું કુલ મૂલ્ય ₹ $16,250$ છે.

(A) પ્રમાણ એટલે એવું વિધાન કે જેમાં બે ગુણોત્તર સમાન હોય. પ્રમાણ સાચું છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બંને બાજુઓને તેમના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $12: 9 = (12/3) : (9/3) = 4: 3$ અને $16: 12 = (16/4) : (12/4) = 4: 3$. અહીં $4: 3 = 4: 3$ હોવાથી,આ એક સાચું પ્રમાણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $13: 11$ અને $5: 4$ બંને અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે. $13/11 \neq 5/4$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $30: 45 = (30/15) : (45/15) = 2: 3$,જ્યારે $13: 24$ અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે. $2/3 \neq 13/24$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $3: 5 \neq 2: 5$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $4x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
$3x$ અને $4x$ નો લ.સા.અ. $3 \times 4 \times x = 12x$ થાય છે.
આપેલ છે કે લ.સા.અ. $180$ છે,તેથી:
$12x = 180$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = 180 / 12 = 15$
બીજી સંખ્યા $4x = 4 \times 15 = 60$ થાય છે.

(C) વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= z$.
છોકરાઓની સંખ્યા $= x$.
છોકરીઓની સંખ્યા $= z - x$.
વર્ગમાં છોકરીઓનો ભાગ એ છોકરીઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
છોકરીઓનો ભાગ $= \frac{z - x}{z} = \frac{z}{z} - \frac{x}{z} = 1 - \frac{x}{z}$.

(C) ધારો કે $12$ અને $18$ નું ત્રીજું પ્રમાણિત પદ $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $a$ અને $b$ પ્રમાણમાં હોય,તો $a:b = b:x$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$12:18 = 18:x$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{12}{18} = \frac{18}{x}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$12x = 18 \times 18$
$12x = 324$
$x = \frac{324}{12}$
$x = 27$
આમ,ત્રીજું પ્રમાણિત પદ $27$ છે.

(A) ધારો કે વિજ્ઞાનમાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
રામે વિજ્ઞાન કરતા અંગ્રેજીમાં બમણા ગુણ મેળવ્યા હોવાથી,અંગ્રેજીમાં તેના ગુણ $2x$ થશે.
અંગ્રેજી અને ગણિતમાં તેના ગુણનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. અંગ્રેજીના ગુણ $2x$ હોવાથી,ગણિતના ગુણ $3x$ થશે.
અંગ્રેજી,વિજ્ઞાન અને ગણિતના કુલ ગુણ $180$ છે.
તેથી,$x + 2x + 3x = 180$.
$6x = 180$.
$x = 30$.
આમ,વિજ્ઞાનમાં તેના ગુણ $30$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $2x, 3x$ અને $4x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $1856$ છે.
તેથી,$(2x)^2 + (3x)^2 + (4x)^2 = 1856$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા,$4x^2 + 9x^2 + 16x^2 = 1856$.
પદોનો સરવાળો કરતા,$29x^2 = 1856$.
$29$ વડે ભાગતા,$x^2 = 1856 / 29 = 64$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{64} = 8$.
આમ,સંખ્યાઓ $2(8) = 16$,$3(8) = 24$ અને $4(8) = 32$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $x: y = 3: 2$ અને $y: z = 3: 2$ છે.
આ ગુણોત્તરને જોડવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમત બંને ગુણોત્તરમાં સમાન બનાવીશું.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $3$ વડે અને બીજા ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા:
$x: y = (3 \times 3): (2 \times 3) = 9: 6$
$y: z = (3 \times 2): (2 \times 2) = 6: 4$
તેથી,સંયુક્ત ગુણોત્તર $x: y: z = 9: 6: 4$ થશે.
ધારો કે બનાવેલા રન $9a, 6a$ અને $4a$ છે.
કુલ રન $342$ છે,તેથી:
$9a + 6a + 4a = 342$
$19a = 342$
$a = 342 / 19 = 18$
હવે,દરેક માટે રનની ગણતરી કરીએ:
$A = 9 \times 18 = 162$
$B = 6 \times 18 = 108$
$C = 4 \times 18 = 72$
આમ,$A, B$ અને $C$ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા રન અનુક્રમે $162, 108$ અને $72$ છે.