Probability Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि $P(A), P(B), P(C)$ और $P(D)$ घोड़ों $A, B, C$ और $D$ के दौड़ जीतने की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है कि $A, B, C$ और $D$ के पक्ष में ऑड्स $1:3, 1:4, 1:5$ और $1:6$ हैं,इसलिए प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(A) = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$
$P(B) = \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$
$P(C) = \frac{1}{1+5} = \frac{1}{6}$
$P(D) = \frac{1}{1+6} = \frac{1}{7}$
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं (केवल एक घोड़ा दौड़ जीत सकता है),इसलिए उनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है:
$P(\text{कोई एक जीतता है}) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए $4, 5, 6$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $420$ है।
$= \frac{105 + 84 + 70 + 60}{420} = \frac{319}{420}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ वे घटनाएँ हैं कि चार्टर्ड अकाउंटेंट क्रमशः फर्म $X$ और $Y$ में चुना जाता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.7$,$P(\bar{B}) = 0.5$ और $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.6$.
हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$.
साथ ही,$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$.
इसलिए,$P(\overline{A \cap B}) = 0.6$.
इसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
कम से कम एक फर्म में चुने जाने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
$P(A \cup B) = 0.7 + 0.5 - 0.4 = 0.8$.
अतः,उसके दो फर्मों में से किसी एक में चुने जाने की प्रायिकता $0.8$ है।

(NONE OF THE ABOVE (CALCULATED: 43:34)) चूंकि घटना $A$ के विरुद्ध ऑड्स $8:3$ हैं,इसलिए घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$ है।
इसी प्रकार,घटना $B$ के विरुद्ध ऑड्स $5:2$ हैं,इसलिए घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ है।
चूंकि घटनाएँ $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{11} + \frac{2}{7} + P(C) = 1$ है।
योग की गणना करने पर: $\frac{21 + 22}{77} + P(C) = 1 \Rightarrow \frac{43}{77} + P(C) = 1$ है।
इस प्रकार,$P(C) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$ है।
$C$ के न होने की प्रायिकता $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{34}{77} = \frac{43}{77}$ है।
$C$ के विरुद्ध ऑड्स $P(\bar{C}) : P(C) = \frac{43}{77} : \frac{34}{77} = 43:34$ हैं।

(B) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C),$ और $P(D)$ क्रमशः छात्रों $A, B, C,$ और $D$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{5}, P(D) = \frac{1}{6}$.
किसी छात्र द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता $1 - P(\text{हल करने की प्रायिकता})$ है।
$P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी छात्र समस्या हल न कर सके $= P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,समस्या के हल होने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई हल न कर सके}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।

(C) माना $E_1$ पहले थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना है।
पहले थैले में कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$.
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
माना $E_2$ दूसरे थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना है।
दूसरे थैले में कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$.
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{3}{8}$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ है।
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(A) माना $E_1$ पहले थैले से काली गेंद निकालने की घटना है।
पहले थैले में कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$.
पहले थैले में काली गेंदों की संख्या $= 2$.
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
माना $E_2$ दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की घटना है।
दूसरे थैले में कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$.
दूसरे थैले में काली गेंदों की संख्या $= 5$.
$P(E_2) = \frac{5}{8}$.
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ है।
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24}$.

(C) मान लीजिए $B_1$ पहला थैला है और $B_2$ दूसरा थैला है।
$B_1$ में,कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$ हैं। सफेद गेंद की प्रायिकता $(W_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,काली गेंद की प्रायिकता $(Bl_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$B_2$ में,कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$ हैं। सफेद गेंद की प्रायिकता $(W_2) = \frac{3}{8}$,काली गेंद की प्रायिकता $(Bl_2) = \frac{5}{8}$ है।
'एक सफेद और एक काली गेंद' होने की घटना दो परस्पर अपवर्जी स्थितियों में होती है: $(W_1 \text{ \text{और }} Bl_2)$ या $(Bl_1 \text{ \text{और }} W_2)$।
प्रायिकता $= P(W_1) \times P(Bl_2) + P(Bl_1) \times P(W_2)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{5}{8}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{8})$
$= \frac{10}{24} + \frac{3}{24} = \frac{13}{24}$।

(A) कलश में कुल गेंदें = $25$ हैं।
$1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं।
विषम गेंदों की संख्या = $13$ है।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{13}{25}$ है।
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं।
दो प्रयासों में दो सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P = p \times p$ है।
$P = \frac{13}{25} \times \frac{13}{25} = \frac{169}{625}$।

(B) कुल गेंदें = $25$.
$1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जो कुल $13$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{13}{25}$.
असफलता की प्रायिकता $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
चूंकि प्रतिस्थापन के साथ $2$ गेंदें निकाली जाती हैं,यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जहाँ $n = 2$.
ठीक एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = 1) = ^nC_1 \cdot p^1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot p \cdot q$ द्वारा दी जाती है।
$P(X = 1) = 2 \times \frac{13}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{312}{625}$.

(C) कुल गेंदें $= 25$ हैं।
विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जिनकी कुल संख्या $13$ है।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ $= \frac{13}{25}$ है।
असफलता की प्रायिकता $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$ है।
चूंकि $2$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए $2$ प्रयासों में कोई सफलता न मिलने की प्रायिकता $q \times q = \left(\frac{12}{25}\right)^2 = \frac{144}{625}$ है।
कम से कम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई सफलता नहीं}) = 1 - \frac{144}{625} = \frac{625 - 144}{625} = \frac{481}{625}$ है।

(D) कुल गेंदें = $25$।
$1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जो कुल $13$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{13}{25}$।
सफलता न मिलने की प्रायिकता $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$।
चूंकि $2$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं।
$2$ प्रयासों में कोई सफलता न मिलने की प्रायिकता = $q \times q = \frac{12}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{144}{625}$।

(D) कलश में $1$ से $25$ तक अंकित $25$ गेंदें हैं।
एक विषम संख्या को 'सफलता' माना जाता है। $1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25$ हैं।
कुल $13$ विषम संख्याएँ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{13}{25}$।
असफलता की प्रायिकता $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$।
हम प्रतिस्थापन के साथ $2$ गेंदें निकाल रहे हैं।
चूँकि हम केवल $2$ प्रयास कर रहे हैं,इसलिए $3$ सफलताएँ प्राप्त करना असंभव है।
अतः,$3$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $0$ है।

(C) कुल गेंदें $= 25$। $1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जो कुल $13$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ $= 13/25$।
असफलता की प्रायिकता $(q)$ $= 1 - p = 1 - 13/25 = 12/25$।
चूँकि $2$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,यह द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
ठीक $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = 2) = ^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 2$ और $r = 2$ है।
$P(X = 2) = ^2C_2 \cdot (13/25)^2 \cdot (12/25)^0 = 1 \cdot (169/625) \cdot 1 = 169/625$।

(C) कुल गेंदों की संख्या $25$ है। $1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जो कुल $13$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ $= \frac{13}{25}$.
असफलता की प्रायिकता $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
चूंकि $2$ गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$.
हमें अधिकतम $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
$2$ प्रयासों में अधिकतम $2$ सफलताएँ संभव हैं,इसलिए $P(X \le 2)$ सभी संभावित परिणामों को कवर करता है।
प्रायिकता वितरण में सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ होता है।
अतः,$P(X \le 2) = 1$.

(NONE) कुल गेंदों की संख्या $25$ है। $1$ से $25$ के बीच विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ हैं,जो कुल $13$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $(p)$ $= \frac{13}{25}$.
असफलता की प्रायिकता $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
चूंकि प्रतिस्थापन के साथ $2$ गेंदें निकाली जाती हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$.
हमें कम से कम $2$ सफलताओं की प्रायिकता चाहिए,जो $P(X \ge 2) = P(X = 2)$ है।
$P(X = 2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{13}{25})^2 \times 1 = \frac{169}{625}$.

(C) माना $A$ वह घटना है कि पहला पत्ता ईंट का है।
माना $B$ वह घटना है कि दूसरा पत्ता राजा का है।
चूंकि पहला पत्ता दूसरे पत्ते को निकालने से पहले वापस रख दिया जाता है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
राजा का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$ है।

(A) माना $A$ पति के चुने जाने की घटना है और $B$ पत्नी के चुने जाने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{7}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$.
अतः,न चुने जाने की प्रायिकता:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
उनमें से केवल $1$ के चुने जाने की प्रायिकता वह स्थिति है जिसमें पति चुना जाए और पत्नी न चुनी जाए,या पत्नी चुनी जाए और पति न चुना जाए:
$P(\text{केवल एक}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) + P(B) \cdot P(\bar{A})$
$= \left(\frac{1}{7} \times \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} \times \frac{6}{7}\right)$
$= \frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$

(B) माना $P(H)$ पति के चयन की प्रायिकता है और $P(W)$ पत्नी के चयन की प्रायिकता है।
दिया गया है,$P(H) = \frac{1}{7}$ और $P(W) = \frac{1}{5}$।
चूंकि पति और पत्नी का चयन स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों के चयन की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होगी।
$P(H \cap W) = P(H) \times P(W)$
$P(H \cap W) = \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{35}$।

(C) मान लीजिए कि $A$ वह घटना है कि पति का चयन होता है और $B$ वह घटना है कि पत्नी का चयन होता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{7}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$.
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए उनमें से किसी के भी चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ होगी।
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{35}$.

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पति का चयन होता है और $B$ वह घटना है कि पत्नी का चयन होता है।
दिया गया है: $P(A) = 1/7$ और $P(B) = 1/5$।
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 1/7 = 6/7$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - 1/5 = 4/5$ है।
कम से कम एक के चयन होने की प्रायिकता $1 - P(\text{किसी का भी चयन न होना})$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{कम से कम एक}) = 1 - P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$।
$P(\text{कम से कम एक}) = 1 - (6/7 \times 4/5) = 1 - 24/35$।
$P(\text{कम से कम एक}) = (35 - 24) / 35 = 11/35$।

(A) माना $A$ वह घटना है कि पति $25$ वर्ष बाद जीवित रहेगा।
माना $B$ वह घटना है कि पत्नी $25$ वर्ष बाद जीवित रहेगी।
यह दिया गया है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों के जीवित रहने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होगी।
$P(A) = 0.3$
$P(B) = 0.4$
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,दोनों के जीवित रहने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है।
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$.

(B) मान लीजिए कि $A$ वह घटना है कि पुरुष $25$ वर्ष बाद जीवित है और $B$ वह घटना है कि उसकी पत्नी $25$ वर्ष बाद जीवित है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.4$।
पत्नी के $25$ वर्ष बाद जीवित न रहने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि केवल पुरुष जीवित रहे,जिसका अर्थ है कि पुरुष जीवित है और पत्नी जीवित नहीं है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पुरुष $25$ वर्ष बाद जीवित है और $B$ वह घटना है कि पत्नी $25$ वर्ष बाद जीवित है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.4$।
पुरुष के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि केवल पत्नी जीवित रहेगी,जिसका अर्थ है कि पत्नी जीवित है $(B)$ और पुरुष जीवित नहीं है $(A')$।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए आवश्यक प्रायिकता $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$ होगी।
आवश्यक प्रायिकता $= 0.7 \times 0.4 = 0.28$।

(D) माना $A$ वह घटना है कि पुरुष जीवित है और $B$ वह घटना है कि पत्नी $25$ वर्ष बाद जीवित है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.4$.
पुरुष के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$ है।
पत्नी के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
उनमें से कम से कम $1$ के जीवित रहने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{उनमें से कोई भी जीवित नहीं है})$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं, $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$.
अतः, अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - 0.42 = 0.58$।

(B) मान लीजिए कि दो व्यक्ति $A$ और $B$ हैं। मान लीजिए $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{80}{100} = 0.8$ और $P(B) = \frac{90}{100} = 0.9$.
$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - 0.9 = 0.1$ है।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं यदि एक व्यक्ति सच बोले और दूसरा झूठ बोले।
यह दो परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है: ($A$ सच बोले और $B$ झूठ बोले) या ($B$ सच बोले और $A$ झूठ बोले)।
आवश्यक प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(B) \times P(\bar{A})$.
$= (0.8 \times 0.1) + (0.9 \times 0.2)$.
$= 0.08 + 0.18 = 0.26$.
$= \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$.

(A) माना $R_A, R_B, R_C$ क्रमशः पात्र $A, B, C$ से लाल गेंद निकालने की घटनाएँ हैं,और $B_A, B_B, B_C$ क्रमशः पात्र $A, B, C$ से काली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं।
प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(R_A) = \frac{4}{7}, P(B_A) = \frac{3}{7}$
$P(R_B) = \frac{5}{9}, P(B_B) = \frac{4}{9}$
$P(R_C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, P(B_C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$2$ लाल और $1$ काली गेंद प्राप्त करने के लिए संभावित स्थितियाँ:
$1$. $(R_A, R_B, B_C) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{20}{126}$
$2$. $(R_A, B_B, R_C) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{16}{126}$
$3$. $(B_A, R_B, R_C) = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{15}{126}$
कुल प्रायिकता $= \frac{20+16+15}{126} = \frac{51}{126} = \frac{17}{42}$.

(C) मान लीजिए कि $A, B, C,$ और $D$ वे घटनाएँ हैं जिनमें विमान क्रमशः पहले,दूसरे,तीसरे और चौथे शॉट में हिट होता है।
विमान के हिट होने की प्रायिकताएँ $P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2,$ और $P(D) = 0.1$ हैं।
प्रत्येक शॉट में विमान के चूकने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$
$P(\bar{B}) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(\bar{C}) = 1 - 0.2 = 0.8$
$P(\bar{D}) = 1 - 0.1 = 0.9$
गन विमान को तब हिट करती है यदि कम से कम एक शॉट लक्ष्य को लग जाए। यह उस घटना की पूरक घटना है जिसमें सभी शॉट लक्ष्य से चूक जाते हैं।
आवश्यक प्रायिकता $= 1 - P(\text{सभी शॉट चूक जाते हैं})$
$= 1 - [P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})]$
$= 1 - [0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9]$
$= 1 - 0.3024$
$= 0.6976$

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $A$ प्रश्न हल करता है और $B$ वह घटना है कि $B$ प्रश्न हल करता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{90}{100} = 0.9$ और $P(B) = \frac{70}{100} = 0.7$।
प्रायिकता कि $A$ प्रश्न हल नहीं कर पाता है $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.9 = 0.1$ है।
प्रायिकता कि $B$ प्रश्न हल नहीं कर पाता है $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3$ है।
उनमें से कम से कम $1$ व्यक्ति द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी प्रश्न हल नहीं करता})$ है।
$P(\text{कोई भी हल नहीं करता}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - 0.03 = 0.97 = \frac{97}{100}$ है।

(B) माना $p$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{2}$।
माना $q$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{2}$।
$A$ खेल शुरू करता है। $A$ तब जीतता है यदि $A$ को $1$ ले प्रयास में चित मिले,या $A$ को पट मिले,$B$ को पट मिले और $A$ को $3$ रे प्रयास में चित मिले,और इसी तरह आगे।
$A$ के जीतने की प्रायिकता एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P(A) = p + qqp + qqqqp + \dots$
$P(A) = p(1 + q^2 + q^4 + \dots)$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है।
योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{p}{1 - q^2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ मान रखने पर:
$P(A) = \frac{1/2}{1 - (1/2)^2} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$।

(A) मान लीजिए $p$ एक पासा फेंकने में '$6$' प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $q$ '$6$' न प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
$A$ पहले पासा फेंकता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो जाए और फिर $B$ सफल हो जाए,या $A$ विफल हो जाए,$B$ विफल हो जाए,$A$ विफल हो जाए,$B$ सफल हो जाए,और इसी तरह।
$P(B \text{ जीतता है}) = qp + qqqp + qqqqqp + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$P(B \text{ जीतता है}) = \frac{5/36}{1 - 25/36} = \frac{5/36}{11/36} = \frac{5}{11}$।

(D) $SOCIETY$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $S, O, C, I, E, T, Y$.
इन $7$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 7!$ हैं।
शब्द में स्वर $O, I, E$ हैं (कुल $3$ स्वर)।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $3$ स्वर एक साथ आते हैं,हम $(O, I, E)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ हैं: $(OIE), S, C, T, Y$।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(OIE)$ समूह के भीतर,$3$ स्वरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 5! \times 3!$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{5! \times 6}{7 \times 6 \times 5!} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$।

(A) $DAUGHTER$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर $(D, A, U, G, H, T, E, R)$ हैं।
इन $8$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या $n(S) = 8!$ है।
यदि $D$ अक्षर पहले स्थान पर निश्चित है,तो हमें शेष $7$ अक्षरों को शेष $7$ स्थानों पर व्यवस्थित करना होगा।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 7!$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{7!}{8!} = \frac{7!}{8 \times 7!} = \frac{1}{8}$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या = $3$ (लाल) $+ 5$ (पीली) $+ 7$ (गुलाबी) $= 15$ गेंदें।
अनुकूल परिणामों की संख्या (गुलाबी या लाल) = $7 + 3 = 10$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
$P(E) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या $= 13 + 7 = 20$ है।
$20$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके यानी प्रतिदर्श समष्टि $n(S) = {}^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ है।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,या तो दोनों सफेद होनी चाहिए या दोनों काली होनी चाहिए।
$13$ सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${}^{13}C_{2} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ हैं।
$7$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीके ${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(E) = 78 + 21 = 99$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{99}{190}$ है।

(D) पात्र में कंचों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ में से $2$ कंचे चुनने के कुल तरीके ${}^{14}C_2 = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91$ द्वारा दिए जाते हैं।
'दोनों लाल हों या कम से कम $1$ लाल हो' घटना 'कम से कम $1$ लाल हो' घटना के समतुल्य है।
$0$ लाल कंचे चुनने के तरीके $= {}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
कम से कम $1$ लाल कंचा चुनने के तरीके $= \text{कुल तरीके} - 0 \text{ लाल कंचे चुनने के तरीके} = 91 - 66 = 25$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= 25/91$.

(B) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ में से $3$ कंचे निकालने के कुल तरीके ${}^{14}C_{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$ हैं।
पीले न होने वाले कंचों की संख्या $= 14 - 3 = 11$.
$3$ कंचे इस प्रकार निकालने के तरीके कि उनमें से कोई भी पीला न हो,${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ हैं।
कोई भी कंचा पीला न होने की प्रायिकता $= \frac{165}{364}$.
कम से कम $1$ कंचे के पीले होने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई भी पीला न हो}) = 1 - \frac{165}{364} = \frac{364 - 165}{364} = \frac{199}{364}$.

(C) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ में से $8$ कंचे निकालने के कुल तरीके ${}^{14}C_{8}$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$,इसलिए ${}^{14}C_{8} = {}^{14}C_{6} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
प्रत्येक रंग के कंचों की समान संख्या प्राप्त करने के लिए,हमें $4$ रंगों में से प्रत्येक के $2$ कंचे निकालने होंगे ($2$ हरे,$2$ नीले,$2$ लाल,$2$ पीले)।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= {}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{2} \times {}^{2}C_{2} \times {}^{3}C_{2}$.
$= 6 \times 10 \times 1 \times 3 = 180$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{180}{3003} = \frac{60}{1001}$.

(D) कुल कंचों की संख्या = $4 + 5 + 2 + 3 = 14$ है।
$14$ में से $3$ कंचे निकालने के कुल तरीके = ${}^{14}C_{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $3$ कंचों में से कोई भी हरा न हो।
इसका अर्थ है कि तीनों कंचे हरे रंग के अलावा (नीले,लाल और पीले) कंचों में से चुने जाने चाहिए।
हरे रंग के अलावा अन्य कंचों की संख्या = $5 + 2 + 3 = 10$ है।
हरे रंग के अलावा $3$ कंचे चुनने के तरीके = ${}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{120}{364}$ है।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{30}{91}$ प्राप्त होता है।

(A) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ में से $4$ कंचे निकालने के कुल तरीके ${}^{14}C_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$.
$5$ नीले कंचों में से $2$ नीले कंचे चुनने के तरीके ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$2$ लाल कंचों में से $2$ लाल कंचे चुनने के तरीके ${}^{2}C_{2} = 1$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= {}^{5}C_{2} \times {}^{2}C_{2} = 10 \times 1 = 10$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{1001}$.

(A) कुल बच्चों की संख्या $= 5 + 3 = 8$ है।
$8$ में से $4$ बच्चों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
कुल तरीके $= {}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ हैं।
$5$ में से $4$ लड़कियों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{5}C_{4} = {}^{5}C_{1} = 5$ है।
$4$ लड़कियों को चुनने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 4 = 7$.
$7$ में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
स्थिति $1$: सभी $3$ गेंदें नीली हों। $3$ नीली गेंदों में से $3$ चुनने के तरीके ${}^{3}C_{3} = 1$ हैं।
स्थिति $2$: सभी $3$ गेंदें लाल हों। $4$ लाल गेंदों में से $3$ चुनने के तरीके ${}^{4}C_{3} = 4$ हैं।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जित घटनाएं हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $1 + 4 = 5$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$.

(D) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$.
$n(S) = 12$ में से $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके $= {}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$n(E) =$ अनुकूल परिणाम (या तो सभी हरे या सभी लाल)।
$3$ हरे कंचों में से $3$ चुनने के तरीके $= {}^{3}C_{3} = 1$.
$4$ लाल कंचों में से $3$ चुनने के तरीके $= {}^{4}C_{3} = 4$.
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 1 + 4 = 5$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{220} = \frac{1}{44}$.

(D) कंचों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$ है।
$12$ में से $2$ कंचे निकालने के तरीकों की संख्या $n(S) = {}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ है।
$4$ लाल कंचों में से $2$ लाल कंचे निकालने के तरीकों की संख्या $n(E) = {}^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
$2$ लाल कंचे निकालने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}$ है।
चूंकि $\frac{1}{11}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$ है।
$12$ में से $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
कम से कम $1$ कंचे के नीले होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हैं: $P(\text{कम से कम } 1 \text{ नीला}) = 1 - P(\text{कोई भी नीला नहीं})$.
नीले न होने वाले कंचों की संख्या $= 4 \text{ (लाल)} + 3 \text{ (हरे)} = 7$ है।
$3$ कंचे इस प्रकार चुनने के तरीके कि कोई भी नीला न हो,$n(E') = {}^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
कोई भी नीला कंचा न मिलने की प्रायिकता $P(E') = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$ है।
अतः,कम से कम $1$ नीला कंचा मिलने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$ है।