Mix Examples - Lines and Angles Questions in Gujarati

(C) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તેમને કોટિકોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.
વળી,ગુણોત્તર $\angle A : \angle B = 1 : 5$ છે. ધારો કે $\angle A = x$ અને $\angle B = 5x$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 5x = 90^{\circ}$.
$6x = 90^{\circ}$.
$x = 90^{\circ} / 6 = 15^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 15^{\circ}$ અને $\angle B = 5 \times 15^{\circ} = 75^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle X : \angle Y = 23 : 13$,તેથી ધારો કે $\angle X = 23k$ અને $\angle Y = 13k$.
તેઓ પૂરક હોવાથી,$23k + 13k = 180^{\circ}$.
$36k = 180^{\circ}$.
$k = \frac{180^{\circ}}{36} = 5^{\circ}$.
તેથી,$\angle X = 23 \times 5^{\circ} = 115^{\circ}$ અને $\angle Y = 13 \times 5^{\circ} = 65^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તેમને કોટિકોણ કહેવાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$.
આપેલ પદોને મૂકતા: $(3x + 15^{\circ}) + (x + 7^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $4x + 22^{\circ} = 90^{\circ}$.
બંને બાજુથી $22^{\circ}$ બાદ કરતા: $4x = 68^{\circ}$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = 17^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ ની કિંમત શોધીએ: $\angle P = 3(17^{\circ}) + 15^{\circ} = 51^{\circ} + 15^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\angle Q$ ની કિંમત શોધીએ: $\angle Q = 17^{\circ} + 7^{\circ} = 24^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 66^{\circ}$ અને $\angle Q = 24^{\circ}$ છે.

(B) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ પદાવલિઓ મૂકતા: $(3x - 10^{\circ}) + (2x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુથી $20^{\circ}$ બાદ કરતા: $5x = 160^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 32^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ શોધો: $\angle A = 3(32^{\circ}) - 10^{\circ} = 96^{\circ} - 10^{\circ} = 86^{\circ}$.
$\angle B$ શોધો: $\angle B = 2(32^{\circ}) + 30^{\circ} = 64^{\circ} + 30^{\circ} = 94^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 86^{\circ}$ અને $\angle B = 94^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તે કોટિકોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે: $\angle X + \angle Y = 90^{\circ}$ અને $\angle X = 4 \angle Y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle X$ ની કિંમત મૂકતા:
$4 \angle Y + \angle Y = 90^{\circ}$
$5 \angle Y = 90^{\circ}$
$\angle Y = 90^{\circ} / 5 = 18^{\circ}$.
હવે,$\angle X$ શોધો:
$\angle X = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$.
આમ,$\angle X = 72^{\circ}$ અને $\angle Y = 18^{\circ}$ છે.

(D) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle P = 11 \angle Q$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle P$ ની કિંમત મૂકતા:
$11 \angle Q + \angle Q = 180^{\circ}$
$12 \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = \frac{180^{\circ}}{12} = 15^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ શોધો:
$\angle P = 11 \times 15^{\circ} = 165^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 165^{\circ}$ અને $\angle Q = 15^{\circ}$ છે.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તે કોટિકોણ કહેવાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B - 20^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle A$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\angle B - 20^{\circ}) + \angle B = 90^{\circ}$
$2\angle B - 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2\angle B = 110^{\circ}$
$\angle B = 55^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ શોધો:
$\angle A = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 35^{\circ}$ અને $\angle B = 55^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે: $\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે: $\angle P = \angle Q + 35^{\circ}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$(\angle Q + 35^{\circ}) + \angle Q = 180^{\circ}$
$2\angle Q + 35^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle Q = 180^{\circ} - 35^{\circ}$
$2\angle Q = 145^{\circ}$
$\angle Q = 145^{\circ} / 2 = 72.5^{\circ}$
હવે,સમીકરણ $2$ નો ઉપયોગ કરીને $\angle P$ શોધો:
$\angle P = 72.5^{\circ} + 35^{\circ} = 107.5^{\circ}$
આમ,$\angle P = 107.5^{\circ}$ અને $\angle Q = 72.5^{\circ}$.

(A) $\angle APC$ અને $\angle BPD$ અભિકોણો હોવાથી,તેઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$3x - 20^{\circ} = 2x + 30^{\circ}$.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા,આપણને $x - 20^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુ $20^{\circ}$ ઉમેરતા,$x = 50^{\circ}$ મળે છે.
હવે,$x = 50^{\circ}$ ની કિંમત ખૂણાઓના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\angle APC = 3(50^{\circ}) - 20^{\circ} = 150^{\circ} - 20^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle BPD = 2(50^{\circ}) + 30^{\circ} = 100^{\circ} + 30^{\circ} = 130^{\circ}$.
આમ,$x = 50^{\circ}$ અને બંને ખૂણાઓનું માપ $130^{\circ}$ છે.

(A) $\angle ABD$ અને $\angle DBC$ પાસપાસેના ખૂણાઓ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\angle ABC$ જેટલો થાય.
તેથી,$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.5x + 2x = 70$.
$3.5x = 70$.
$x = \frac{70}{3.5} = 20$.
હવે,ખૂણાઓના માપ શોધીએ:
$\angle ABD = 1.5 \times 20^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\angle DBC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
આમ,$x = 20$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ અને $\angle DBC = 40^{\circ}$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ $X$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ \parallel AB$ દોરો.
હવે,$PQ \parallel AB$ અને $AB \parallel CD$ છે.
તેથી,$CD \parallel PQ$ (કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AB \parallel PQ$ છે).
સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ ને છેદતી છેદિકા $MX$ નો વિચાર કરો. છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
$\therefore \angle BMX + \angle MXQ = 180^{\circ}$
આપેલ છે કે $\angle BMX = 125^{\circ}$,તેથી:
$125^{\circ} + \angle MXQ = 180^{\circ}$
$\therefore \angle MXQ = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ $(1)$
હવે,સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $PQ$ ને છેદતી છેદિકા $NX$ નો વિચાર કરો. યુગ્મકોણો સમાન હોય છે.
$\therefore \angle NXQ = \angle XNC = 55^{\circ}$ $(2)$
અંતે,$\angle MXN = \angle MXQ + \angle NXQ$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\angle MXN = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ}$.

$(96^{\circ})$ આપેલ છે: $PQ \parallel RS$ અને $RS \parallel TU$.
એક જ રેખાને સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,$PQ \parallel TU$ થાય.
તેથી,$x = z$ (યુગ્મકોણ).
હવે,$PQ \parallel RS$ માટે,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$x + y = 180^{\circ}$.
સમીકરણમાં $x = z$ મૂકતા,આપણને $z + y = 180^{\circ}$ મળે.
ગુણોત્તર $y: z = 7: 8$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $y = 7k$ અને $z = 8k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $7k + 8k = 180^{\circ} \implies 15k = 180^{\circ} \implies k = 12^{\circ}$.
આમ,$y = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ અને $z = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$.
$x = z$ હોવાથી,$x = 96^{\circ}$ મળે.

(C) $1$. આકૃતિ પરથી,ખૂણો $x$ અને ખૂણો $70^{\circ}$ અભિકોણો છે. તેથી,$x = 70^{\circ}$.
$2$. આકૃતિમાં $y$ અને $110^{\circ}$ અભિકોણો છે,તેથી $y = 110^{\circ}$.
$3$. વૈકલ્પિક રીતે,છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો $y$ અને $x$ છે. અહીં $y = 110^{\circ}$ અને $x = 70^{\circ}$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
$4$. છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $XY$ સમાંતર છે $(PQ \parallel XY)$.

(D) આપેલ છે કે $PQ || RS$ અને $RS || MN$. તેથી,$PQ || MN$.
આકૃતિ પરથી,$x$ અને $y$ એ $PQ$ અને $RS$ રેખાઓ વચ્ચેના છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $x + y = 180^o$.
તે જ રીતે,$y$ અને $z$ એ $RS$ અને $MN$ રેખાઓ વચ્ચેના છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $y + z = 180^o$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = z$ (કારણ કે બંને $y$ ના પૂરક કોણ છે).
આપેલ છે કે $y: z = 7: 11$,ધારો કે $y = 7k$ અને $z = 11k$.
$y + z = 180^o$ હોવાથી,$7k + 11k = 180^o$,જે $18k = 180^o$ આપે છે,તેથી $k = 10^o$.
આમ,$y = 7 \times 10^o = 70^o$ અને $z = 11 \times 10^o = 110^o$.
$x + y = 180^o$ હોવાથી,$x + 70^o = 180^o$.
તેથી,$x = 180^o - 70^o = 110^o$.

(N/A) $1$. આપેલ છે: $PQ \parallel RS$,$YZ \perp RS$ (એટલે કે $\angle YZS = 90^{\circ}$),અને $\angle SZX = 143^{\circ}$.
$2$. $RS$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle RZX + \angle SZX = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$\angle RZX + 143^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle RZX = 37^{\circ}$.
$3$. $PQ \parallel RS$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle PXZ = \angle RZX = 37^{\circ}$.
$4$. $YZ \perp RS$ હોવાથી,$\angle YZS = 90^{\circ}$. વળી,$\angle XZY = \angle YZS - \angle XZS$. અભિકોણ હોવાથી $\angle XZS = \angle RZX = 37^{\circ}$. તેથી,$\angle XZY = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$.
$5$. $\triangle XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. $\angle YXZ + \angle XZY + \angle XYZ = 180^{\circ}$. $PQ \parallel RS$ અને $YZ \perp RS$ હોવાથી,$\angle XYZ = 90^{\circ}$.
$\angle YXZ + 53^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle YXZ = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}$.

(B) $\angle BPC$ શોધવા માટે,બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $EF$ દોરો જેથી $EF \parallel AB$ થાય. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $EF \parallel AB$,તેથી $EF \parallel CD$ થશે.
$1$. સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $EF$ ને ધ્યાનમાં લો. $BP$ એ છેદિકા હોવાથી,એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PBA + \angle BPE = 180^{\circ}$
$140^{\circ} + \angle BPE = 180^{\circ}$
$\angle BPE = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
$2$. સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $EF$ ને ધ્યાનમાં લો. $CP$ એ છેદિકા હોવાથી,એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PCD + \angle CPE = 180^{\circ}$
$130^{\circ} + \angle CPE = 180^{\circ}$
$\angle CPE = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
$3$. હવે,$\angle BPC = \angle BPE + \angle CPE = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$.
$AB \parallel CD$ હોવાથી અને $XY$ છેદિકા હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય. તેથી,$\angle C Y X = \angle AXY = 80^{\circ}$.
$CYD$ એક રેખા હોવાથી,$\angle C Y X + \angle X Y Z = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$80^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 100^{\circ}$ (પરંતુ આકૃતિ મુજબ $x$ એ $\angle X Y Z$ છે).
$AB \parallel CD$ હોવાથી,$\angle AXY + \angle X Y C = 180^{\circ}$ (અંતઃકોણ).
$80^{\circ} + \angle X Y C = 180^{\circ} \implies \angle X Y C = 100^{\circ}$.
$CYD$ રેખા હોવાથી,$\angle X Y C + \angle X Y Z = 180^{\circ} \implies 100^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 80^{\circ}$.
હવે,$\angle XZD = 140^{\circ}$ માટે,$CYD$ રેખા હોવાથી,$\angle X Z Y + \angle X Z D = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y + 140^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y = 40^{\circ}$.
$\triangle XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
$\angle X Y Z + \angle X Z Y + \angle Y X Z = 180^{\circ} \implies 80^{\circ} + 40^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies 120^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies y = 60^{\circ}$.
આમ,$x = 80^{\circ}$ અને $y = 60^{\circ}$.

(D) ધારો કે $\angle XYZ = 2\theta$. કારણ કે $YM$ એ $\angle XYZ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle XYM = \angle MYZ = \theta$ થાય.
કારણ કે $YN$ એ $\angle MYZ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle MYN = \angle NYZ = \frac{\theta}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle XYN = 45^{\circ}$,જેને આપણે $\angle XYM + \angle MYN = 45^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\theta + \frac{\theta}{2} = 45^{\circ}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3\theta}{2} = 45^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
આમ,$\angle XYZ = 2\theta = 2(30^{\circ}) = 60^{\circ}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે કિરણ $BE$ એ $\angle DBC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle EBC = \angle EBD = 19^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle DBC = \angle EBC + \angle EBD = 19^{\circ} + 19^{\circ} = 38^{\circ}$ મળે.
કિરણ $BD$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle ABD = \angle DBC = 38^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$ મળે.
અંતે,$\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = 38^{\circ} + 19^{\circ} = 57^{\circ}$ થાય.

(A) $\angle ABC$ અને $\angle ABD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે $\angle ABC = 17x$ અને $\angle ABD = 13x$.
તેથી,$17x + 13x = 180^{\circ}$.
$30x = 180^{\circ}$,જે આપણને $x = 6^{\circ}$ આપે છે.
હવે,$\angle ABC = 17 \times 6^{\circ} = 102^{\circ}$.
અને $\angle ABD = 13 \times 6^{\circ} = 78^{\circ}$.

(C) $\angle PQR$ અને $\angle PQS$ એ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PQR + \angle PQS = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $11 \angle PQR = 9 \angle PQS$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\angle PQS = \frac{11}{9} \angle PQR$.
આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$\angle PQR + \frac{11}{9} \angle PQR = 180^{\circ}$.
$\frac{9 \angle PQR + 11 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$.
$\frac{20 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$.
$20 \angle PQR = 1620^{\circ}$.
$\angle PQR = \frac{1620^{\circ}}{20} = 81^{\circ}$.
હવે,$\angle PQS$ શોધો:
$\angle PQS = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}$.
આમ,$\angle PQR = 81^{\circ}$ અને $\angle PQS = 99^{\circ}$ છે.

(A) જ્યારે બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે,ત્યારે અભિકોણો સમાન હોય છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $P$ પર છેદતી હોવાથી,$\angle APC$ અને $\angle BPD$ એ અભિકોણો છે.
તેથી,$\angle APC = \angle BPD$.
આપેલા પદોને સરખાવતા: $2x + 30^{\circ} = 4x - 20^{\circ}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $30^{\circ} + 20^{\circ} = 4x - 2x$.
$50^{\circ} = 2x$,જેનાથી $x = 25^{\circ}$ મળે છે.
હવે,ખૂણાઓની કિંમત શોધીએ:
$\angle APC = 2(25) + 30 = 50 + 30 = 80^{\circ}$.
$\angle BPD = 4(25) - 20 = 100 - 20 = 80^{\circ}$.
આમ,$x = 25$,$\angle APC = 80^{\circ}$ અને $\angle BPD = 80^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$ અને $BC \parallel EF$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ABC = \angle DEF$.
રચના: $DE$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને બિંદુ $G$ પર છેદે.
સાબિતી:
$1$. $AB \parallel DE$ હોવાથી અને $BC$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle ABC = \angle DGC$ (અનુકોણ).
$2$. $BC \parallel EF$ હોવાથી અને $DE$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle DGC = \angle DEF$ (અનુકોણ).
$3$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle ABC = \angle DEF$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$ અને $BC \parallel EF$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$.
રચના: $ED$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને બિંદુ $G$ પર મળે.
સાબિતી:
કારણ કે $AB \parallel DE$ અને $ED$ ને $G$ સુધી લંબાવેલ છે,તેથી $AB \parallel DG$ થાય.
$AB \parallel DG$ અને $BG$ એ છેદિકા હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $\angle ABC + \angle BGD = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
હવે,$BC \parallel EF$ ધ્યાનમાં લો. $BC \parallel EF$ અને $EG$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle BGD = \angle DEF$ (અનુકોણો).
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle BGD = \angle DEF$ મૂકતા,આપણને $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\angle A : \angle B : \angle C = 5 : 7 : 8$ છે,તેથી ધારો કે ખૂણાઓ $5x, 7x$ અને $8x$ છે.
ખૂણાઓનો સરવાળો: $5x + 7x + 8x = 180^{\circ}$.
$20x = 180^{\circ}$.
$x = \frac{180^{\circ}}{20} = 9^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાઓના માપ નીચે મુજબ છે:
$\angle A = 5 \times 9^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\angle B = 7 \times 9^{\circ} = 63^{\circ}$.
$\angle C = 8 \times 9^{\circ} = 72^{\circ}$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A \quad \dots(1)$
$\angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો $I$ માં છેદે છે.
$\therefore \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ અને $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
$\Delta IBC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICB)$.
$\angle IBC$ અને $\angle ICB$ ની કિંમતો મુકતા:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \left[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB \right]$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A)$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.
$\therefore \angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(A) ધારો કે $\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ અનુક્રમે $5x$,$2x$ અને $2x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$5x + 2x + 2x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાનું માપ શોધતા:
$\angle P = 5x = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle Q = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle R = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $100^{\circ}, 40^{\circ}, 40^{\circ}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ છે: $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$.
સરવાળાના સમીકરણમાં $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ મૂકતા: $80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle C = 100^{\circ}$ ને $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$ માં મૂકતા: $\angle B + 100^{\circ} = 150^{\circ} \implies \angle B = 50^{\circ}$.
$\angle B = 50^{\circ}$ ને $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ માં મૂકતા: $\angle A + 50^{\circ} = 80^{\circ} \implies \angle A = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = \frac{\angle A + \angle C}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2\angle B = \angle A + \angle C$.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2\angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 3\angle B = 180^{\circ} \implies \angle B = 60^{\circ}$.
હવે,$\angle A + \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
ગુણોત્તર $\angle A : \angle C = 1 : 2$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $\angle A = x$ અને $\angle C = 2x$.
તેથી $x + 2x = 120^{\circ} \implies 3x = 120^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 40^{\circ}$ અને $\angle C = 2(40^{\circ}) = 80^{\circ}$.
તેથી ખૂણાઓ $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 80^{\circ}$ છે.

(A) $S-Q-R-T$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle PQS$ અને $\angle PQR$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle PQR = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle PRT$ અને $\angle PRQ$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle PRQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
$\Delta PQR$ માં,ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
$\angle P + 80^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P + 130^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle P = 50^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 50^{\circ}$ છે.

(A) ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(2x - 10^{\circ}) + (x + 10^{\circ}) + (2x - 20^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $5x - 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
$5x = 200^{\circ}$.
$x = 40^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાનું માપ શોધીએ:
$\angle A = 2(40^{\circ}) - 10^{\circ} = 80^{\circ} - 10^{\circ} = 70^{\circ}$.
$\angle B = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}$.
$\angle C = 2(40^{\circ}) - 20^{\circ} = 80^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 70^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણ $AC$ દોરો જે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\triangle ABC$ માટે,$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$).
$\triangle ADC$ માટે,$\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + \angle ADC + (\angle BCA + \angle DCA) = 180^{\circ} + 180^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle BAC + \angle DAC = \angle A$ અને $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$.
આમ,બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $\angle ABC = y$ અને $\angle ACB = z$ છે. બહિષ્કોણ $\angle CBD = 180^{\circ} - y$ અને $\angle BCE = 180^{\circ} - z$ છે.
$BO$ અને $CO$ એ અનુક્રમે $\angle CBD$ અને $\angle BCE$ ના દ્વિભાજકો હોવાથી:
$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - y) = 90^{\circ} - \frac{y}{2}$
$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCE = \frac{1}{2} (180^{\circ} - z) = 90^{\circ} - \frac{z}{2}$
$\Delta BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BOC + \angle CBO + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{y}{2}) + (90^{\circ} - \frac{z}{2}) = 180^{\circ}$
$\angle BOC + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(y + z) = 180^{\circ}$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$
$\Delta ABC$ માં,$y + z + \angle A = 180^{\circ}$,તેથી $y + z = 180^{\circ} - \angle A$.
આ કિંમત $\angle BOC$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) ધારો કે $\angle ABC = \angle B$,$\angle ACB = \angle C$,અને $\angle BAC = \angle A$.
$AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle A$ થાય.
$\Delta ABC$ માં,બહિષ્કોણ $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC = \angle B + \angle A$.
$\Delta AEC$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle AEC = \angle B + \angle BAE = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \angle AEC = 2 \angle B + \angle A$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle ABC + \angle ACD = \angle B + (\angle B + \angle A) = 2 \angle B + \angle A$.
આમ,$\angle ABC + \angle ACD = 2 \angle AEC$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle ACD$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,$\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$.
$\Delta EBC$ માં,$\angle ECD$ એ બહિષ્કોણ છે. તેથી,$\angle ECD = \angle EBC + \angle BEC$.
$BE$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$.
$CE$ એ $\angle ACD$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC)$.
આ કિંમતોને $\Delta EBC$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$.
આમ,$\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BAC$.

(B) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + 70^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
અહીં $AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BAD = \angle CAD = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$ થાય.
$\Delta ABD$ માં,$\angle ADB = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BAD) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$.
$\Delta ADC$ માં,$\angle ADC = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CAD) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,ધારો કે $\angle QPR = 2\alpha$ છે. $PA$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle QPA = \angle RPA = \alpha$ થાય.
$\Delta PQR$ માં,$\angle Q + \angle R + \angle QPR = 180^{\circ}$,તેથી $\angle Q + \angle R + 2\alpha = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)$.
$\Delta PMQ$ માં,$\angle PMQ = 90^{\circ}$,તેથી $\angle QPM = 90^{\circ} - \angle Q$.
હવે,$\angle APM = \angle QPA - \angle QPM$.
કિંમતો મૂકતા: $\angle APM = \alpha - (90^{\circ} - \angle Q)$.
$\angle APM = [90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)] - 90^{\circ} + \angle Q$.
$\angle APM = \angle Q - \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R$.
$\angle APM = \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) $(1)$ ખોટું. જો કોઈ છેદિકા બે સમાંતર રેખાઓને છેદે,તો છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે (તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે),સમાન હોતા નથી.
$(2)$ ખોટું. કોઈપણ ત્રિકોણમાં ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે. ત્રણેય ખૂણાઓ લઘુકોણ હોવા શક્ય છે (દા.ત.,સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે),તેથી ત્રિકોણમાં લઘુકોણની મહત્તમ સંખ્યા ત્રણ હોય છે.

(N/A) $(1)$ ખોટું. ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે. જો ત્રિકોણમાં બે કાટખૂણા હોય $(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ})$,તો ત્રીજો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવો જોઈએ,જે ત્રિકોણ માટે અશક્ય છે.
$(2)$ સાચું. $33^{\circ}$ ના ખૂણાનો કોટિકોણ $90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ થાય. $57^{\circ}$ ના ખૂણાનો પૂરકકોણ $180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$ થાય.

(B) ત્રિકોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\angle P = 95^{\circ}$ અને $\angle Q = 95^{\circ}$.
આ બે ખૂણાઓનો સરવાળો $= 95^{\circ} + 95^{\circ} = 190^{\circ}$ થાય.
જેથી $190^{\circ} > 180^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણમાં બે ખૂણાઓનું માપ $95^{\circ}$ હોવું શક્ય નથી,કારણ કે ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ કરતાં વધી જાય છે.
તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(C) પૂરકકોણ એટલે એવા બે ખૂણાઓ જેનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B$ અને તેઓ પૂરકકોણ છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^o$.
$\angle B$ ની જગ્યાએ $\angle A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle A + \angle A = 180^o$.
$2 \angle A = 180^o$.
$\angle A = \frac{180^o}{2} = 90^o$.

(D) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
કોટિકોણના માપનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોવાથી,$x^{\circ}$ નો કોટિકોણ $(90 - x)^{\circ}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ખૂણો તેના કોટિકોણ કરતાં $20^{\circ}$ વધારે છે:
$x = (90 - x) + 20$
$x = 110 - x$
$2x = 110$
$x = 55^{\circ}$
તેથી,તે ખૂણાનું માપ $55^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
પૂરકકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેનો પૂરકકોણ $(180 - x)^{\circ}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ખૂણો તેના પૂરકકોણ કરતાં $40^{\circ}$ ઓછો છે:
$x = (180 - x) - 40$
$x = 140 - x$
$2x = 140$
$x = 70^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાનું માપ $70^{\circ}$ છે.

(B) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^o$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle A : \angle B = 3 : 7$,તેથી ધારો કે $\angle A = 3x$ અને $\angle B = 7x$.
તેઓ પૂરક હોવાથી,$3x + 7x = 180^o$.
$10x = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $x = 18^o$.
તેથી,$\angle B = 7x = 7 \times 18^o = 126^o$.

(C) રૈખિક જોડ એ છેદતી રેખાઓ દ્વારા બનતા પાસપાસેના ખૂણાઓની જોડી છે.
રૈખિક જોડના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
ધારો કે બીજા ખૂણાનું માપ $y^{\circ}$ છે.
રૈખિક જોડની વ્યાખ્યા મુજબ,$x^{\circ} + y^{\circ} = 180^{\circ}$.
તેથી,બીજા ખૂણાનું માપ $y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ}$ થાય.

(D) અભિકોણો હંમેશા એકબીજાને સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે બે ખૂણાઓ $(5x + 30^{\circ})$ અને $(8x - 60^{\circ})$ છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ: $5x + 30 = 8x - 60$.
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા: $30 = 3x - 60$.
બંને બાજુ $60$ ઉમેરતા: $90 = 3x$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = 30$.
આમ,$x$ ની કિંમત $30$ છે.

(A) રૈખિક જોડના ખૂણાઓ એ બે આસન્નકોણ છે જે છેદતી રેખાઓ દ્વારા બને છે. રૈખિક જોડના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ છે કે એક ખૂણાનું માપ $75^{\circ}$ છે.
ધારો કે બીજા ખૂણાનું માપ $x$ છે.
તેથી,$75^{\circ} + x = 180^{\circ}$.
$x = 180^{\circ} - 75^{\circ}$.
$x = 105^{\circ}$.
આમ,બીજા ખૂણાનું માપ $105^{\circ}$ છે.

(B) પગલું $1$: $32^{\circ}$ ના ખૂણાનો કોટિકોણ શોધો.
બે કોટિકોણનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
કોટિકોણ = $90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો પૂરકકોણ શોધો.
બે પૂરકકોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
પૂરકકોણ = $180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પગલું $1$: $132^{\circ}$ ના માપના ખૂણાનો પૂરકકોણ શોધો.
બે ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય તો તે એકબીજાના પૂરકકોણ કહેવાય.
પૂરકકોણ $= 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો કોટિકોણ શોધો.
બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય તો તે એકબીજાના કોટિકોણ કહેવાય.
કોટિકોણ $= 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$.
તેથી,સાચો જવાબ $42^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta XYZ$ ના ખૂણાઓ અનુક્રમે $x$,$4x$ અને $4x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$x + 4x + 4x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
હવે,$\angle Z = 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.