Textbook - Lines and Angles Questions in Gujarati

(N/A) કારણ કે $PQ$ એક સીધી રેખા છે,તેથી રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
$\angle POR + \angle ROQ = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો પૂર્વધારણા)
આપેલ છે કે $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$.
ધારો કે $\angle POR = 5x$ અને $\angle ROQ = 7x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$5x + 7x = 180^o$
$12x = 180^o$
$x = 15^o$
તેથી,$\angle POR = 5 \times 15^o = 75^o$ અને $\angle ROQ = 7 \times 15^o = 105^o$.
જેમ કે $PQ$ અને $RS$ છેદતી રેખાઓ છે,અભિકોણો સમાન હોય છે:
$\angle POS = \angle ROQ = 105^o$
$\angle SOQ = \angle POR = 75^o$
આમ,ખૂણાઓ $75^o, 105^o, 75^o$ અને $105^o$ છે.

(B) કિરણ $OS$ એ રેખા $POQ$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\angle POS + \angle SOQ = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આપેલ છે કે $\angle POS = x$.
તેથી,$x + \angle SOQ = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $\angle SOQ = 180^o - x$.
હવે,કિરણ $OR$ એ $\angle POS$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle ROS = \frac{1}{2} \times \angle POS = \frac{x}{2}$.
તે જ રીતે,કિરણ $OT$ એ $\angle SOQ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle SOT = \frac{1}{2} \times \angle SOQ = \frac{1}{2} \times (180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2}$.
હવે,$\angle ROT = \angle ROS + \angle SOT$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle ROT = \frac{x}{2} + 90^o - \frac{x}{2} = 90^o$.

(N/A) આ સાબિત કરવા માટે,આપણે $OP$,$OQ$,$OR$ અથવા $OS$ કિરણોમાંથી કોઈપણ એકને પાછળની તરફ એક બિંદુ સુધી લંબાવવાની જરૂર છે. ધારો કે આપણે કિરણ $OQ$ ને પાછળની તરફ બિંદુ $T$ સુધી લંબાવીએ છીએ જેથી $TOQ$ એક સીધી રેખા બને.
હવે,કિરણ $OP$ એ રેખા $TOQ$ પર છે.
તેથી,$\angle TOP + \angle POQ = 180^o$ ........ $(1)$ (રૈખિક જોડના ખૂણાનું પૂર્વધારણા)
તે જ રીતે,કિરણ $OS$ એ રેખા $TOQ$ પર છે.
તેથી,$\angle TOS + \angle SOQ = 180^o$ ........ $(2)$
પરંતુ,$\angle SOQ = \angle SOR + \angle QOR$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 180^o$ ........ $(3)$
હવે,$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle TOP + \angle POQ + \angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 360^o$ ........ $(4)$
કારણ કે $\angle TOP + \angle TOS = \angle POS$,તેથી સમીકરણ $(4)$ આ મુજબ બને છે:
$\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^o$.

(D) કારણ કે $AB$ એક સીધી રેખા છે,તેથી બિંદુ $O$ પર રેખાની એક બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
$\therefore \angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^o$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^o$
આપેલ છે કે $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$,આ કિંમત મૂકતા:
$70^o + \angle COE = 180^o$
$\angle COE = 180^o - 70^o = 110^o$
વિપરીત $\angle COE = 360^o - \angle COE = 360^o - 110^o = 250^o$
કારણ કે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે,તેથી અભિકોણો સમાન હોય છે:
$\angle AOC = \angle BOD$
આપેલ છે કે $\angle BOD = 40^o$,તેથી $\angle AOC = 40^o$.
આપેલ સમીકરણ $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40^o + \angle BOE = 70^o$
$\angle BOE = 70^o - 40^o = 30^o$
આમ,$\angle BOE = 30^o$ અને વિપરીત $\angle COE = 250^o$.

(A) $XOY$ એક સીધી રેખા છે.
તેથી,$\angle b + \angle a + \angle POY = 180^o$ (રેખિક જોડના ખૂણા).
આપેલ છે કે $\angle POY = 90^o$,તેથી $\angle b + \angle a + 90^o = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $\angle b + \angle a = 90^o$.
આપેલ છે $a: b = 2: 3$,ધારો કે $a = 2x$ અને $b = 3x$.
તેથી $2x + 3x = 90^o$,એટલે કે $5x = 90^o$,જે આપણને $x = 18^o$ આપે છે.
આમ,$\angle a = 2 \times 18^o = 36^o$ અને $\angle b = 3 \times 18^o = 54^o$.
રેખાઓ $XY$ અને $MN$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે,તેથી $\angle XON$ અને $\angle NOY$ રૈખિક જોડ બનાવે છે.
અહીં,$\angle NOY = \angle b = 54^o$ (અભિકોણો).
તેથી,$\angle c = \angle XON = 180^o - 54^o = 126^o$.

(N/A) કારણ કે $ST$ એક સીધી રેખા છે,
$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ$ ........... $(1)$
તે જ રીતે,$\angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$
પરંતુ $\angle PQR = \angle PRQ$ [આપેલ છે]
$\therefore \angle PQS = \angle PRT$

(N/A) એક બિંદુની આસપાસના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય છે.
તેથી,$x+y+z+w=360^\circ$.
આપણને આપેલ છે કે $x+y=w+z$.
$(w+z)$ ની જગ્યાએ $(x+y)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x+y)+(x+y)=360^\circ$
$2(x+y)=360^\circ$
$x+y = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.
કારણ કે પાસપાસેના ખૂણાઓ $x$ અને $y$ નો સરવાળો $180^\circ$ છે,તેથી તેઓ રૈખિક જોડ બનાવે છે.
તેથી,$AOB$ એક સીધી રેખા છે.

(N/A) $POQ$ એક સીધી રેખા છે. [આપેલ છે]
$\therefore \angle POS + \angle ROS + \angle ROQ = 180^o$
પરંતુ $OR \perp PQ$,તેથી $\angle ROQ = 90^o$.
સમીકરણમાં $\angle ROQ = 90^o$ મૂકતા:
$\angle POS + \angle ROS + 90^o = 180^o$
$\Rightarrow \angle POS + \angle ROS = 90^o$ --- $(1)$
હવે,આપણી પાસે $\angle QOS = \angle ROQ + \angle ROS$ છે.
કારણ કે $\angle ROQ = 90^o$,તેથી:
$\angle QOS = 90^o + \angle ROS$
$\Rightarrow 90^o = \angle QOS - \angle ROS$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle POS + \angle ROS = \angle QOS - \angle ROS$
$\Rightarrow \angle ROS + \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\Rightarrow 2 \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\therefore \angle ROS = \frac{1}{2}(\angle QOS - \angle POS)$

(A) $XYP$ એક સીધી રેખા છે.
તેથી,$\angle XYZ + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$.
કારણ કે $64^o + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$ અને $YQ$ એ $\angle ZYP$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle ZYQ = \angle QYP$.
આમ,$64^o + 2 \angle QYP = 180^o$.
$2 \angle QYP = 180^o - 64^o = 116^o$.
$\angle QYP = 58^o$.
વિપરીત $\angle QYP = 360^o - 58^o = 302^o$.
હવે,$\angle XYQ = \angle XYZ + \angle ZYQ = 64^o + 58^o = 122^o$.

(B) આ ઉકેલવા માટે,આપણે બિંદુ $M$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $AB$ દોરીએ છીએ જેથી $AB \parallel PQ$ થાય. કારણ કે $PQ \parallel RS$ અને $AB \parallel PQ$ છે,તેથી $AB \parallel RS$ થાય.
હવે,સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $AB$ ને છેદતી છેદિકા $XM$ નો વિચાર કરો. છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle QXM + \angle XMB = 180^o$.
આપેલ છે કે $\angle QXM = 135^o$,તેથી $135^o + \angle XMB = 180^o$,જે આપણને $\angle XMB = 180^o - 135^o = 45^o$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
આગળ,સમાંતર રેખાઓ $RS$ અને $AB$ ને છેદતી છેદિકા $YM$ નો વિચાર કરો. યુગ્મકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BMY = \angle MYR$.
આપેલ છે કે $\angle MYR = 40^o$,તેથી $\angle BMY = 40^o$ (સમીકરણ $2$).
અંતે,$\angle XMY = \angle XMB + \angle BMY$.
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\angle XMY = 45^o + 40^o = 85^o$ મળે છે.

(N/A) આકૃતિમાં,એક છેદિકા $AD$ બે રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ ને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે. કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે અને કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે; અને $BE \parallel CG$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $PQ \parallel RS$.
આપેલ છે કે કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABQ$ ...... $(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle BCG = \frac{1}{2} \angle BCS$ ...... $(2)$
પરંતુ $BE \parallel CG$ અને $AD$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle ABE = \angle BCG$ (અનુકોણ પૂર્વધારણા) ...... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા,આપણને મળે છે
$\frac{1}{2} \angle ABQ = \frac{1}{2} \angle BCS$
એટલે કે,$\angle ABQ = \angle BCS$
પરંતુ,આ છેદિકા $AD$ દ્વારા $PQ$ અને $RS$ સાથે બનતા અનુકોણ છે; અને તે સમાન છે.
તેથી,$PQ \parallel RS$ (અનુકોણ પૂર્વધારણાનો પ્રતીપ).

(D) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$ અને $CD \parallel EF$,તેથી $AB \parallel EF$ થાય.
કારણ કે $CD \parallel EF$ અને $ED$ એ છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$y + 55^o = 180^o$.
$y = 180^o - 55^o = 125^o$.
કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BE$ એ છેદિકા છે,તેથી અનુકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$x = y = 125^o$.
કારણ કે $EA \perp AB$ અને $AB \parallel EF$,તેથી $EA \perp EF$ થાય. તેથી,$\angle AEF = 90^o$.
આકૃતિ પરથી,$\angle AEF = z + 55^o$.
$z + 55^o = 90^o$.
$z = 90^o - 55^o = 35^o$.
તેથી,$x = 125^o, y = 125^o, z = 35^o$.

(N/A) આકૃતિ પરથી,રેખા $PQ$ એ રેખા $CD$ ને બિંદુ $F$ પર છેદે છે.
તેથી,$y = 130^o$ (અભિકોણો) .......... $(1)$
હવે,રેખા $AB$ નો વિચાર કરો. ખૂણો $x$ અને ખૂણો $50^o$ એ છેદબિંદુ $E$ પર રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$x + 50^o = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણાનો પૂર્વધારણા)
$x = 180^o - 50^o = 130^o$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $x = y = 130^o$.
આ યુગ્મકોણો (અંતઃયુગ્મકોણો) હોવાથી અને તે સમાન હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel CD$.

(B) આપેલ છે: $AB \parallel CD$ અને $CD \parallel EF$.
એક જ રેખાને સમાંતર રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર હોય છે,તેથી $AB \parallel EF$ થાય.
ધારો કે છેદિકા રેખાઓ $AB$,$CD$ અને $EF$ ને અનુક્રમે $P$,$Q$ અને $R$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$AB \parallel EF$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle x = \angle z$ .......... $(1)$
વળી,$AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય.
તેથી,$y + z = 180^o$.
આપેલ છે કે $y: z = 3: 7$,તેથી ધારો કે $y = 3k$ અને $z = 7k$.
માટે,$3k + 7k = 180^o \Rightarrow 10k = 180^o \Rightarrow k = 18^o$.
તેથી,$z = 7 \times 18^o = 126^o$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = z = 126^o$.

(N/A) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$,$EF \perp CD$ અને $\angle GED = 126^o$.
$1$. $AB \parallel CD$ છે અને $GE$ તેની છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle AGE = \angle GED$.
આપેલ છે કે $\angle GED = 126^o$,તેથી $\angle AGE = 126^o$.
$2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle GED = \angle GEF + \angle FED$.
$EF \perp CD$ હોવાથી,$\angle FED = 90^o$.
તેથી,$126^o = \angle GEF + 90^o$.
$\angle GEF = 126^o - 90^o = 36^o$.
$3$. $AB \parallel CD$ છે અને $GE$ તેની છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
તેથી,$\angle FGE + \angle GED = 180^o$.
$\angle FGE + 126^o = 180^o$.
$\angle FGE = 180^o - 126^o = 54^o$.
આમ,$\angle AGE = 126^o$,$\angle GEF = 36^o$ અને $\angle FGE = 54^o$.

(D) આપેલ છે: $PQ \parallel ST$,$\angle PQR = 110^o$ અને $\angle RST = 130^o$.
રચના: બિંદુ $R$ માંથી પસાર થતી $ST$ ને સમાંતર રેખા $EF$ દોરો.
$PQ \parallel ST$ અને $EF \parallel ST$ હોવાથી,$PQ \parallel EF$ થાય.
$PQ \parallel EF$ અને છેદિકા $QR$ માટે,અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય,તેથી $\angle PQR + \angle QRE = 180^o \Rightarrow 110^o + \angle QRE = 180^o \Rightarrow \angle QRE = 70^o$.
તે જ રીતે,$ST \parallel EF$ અને છેદિકા $RS$ માટે,$\angle RST + \angle SRE = 180^o \Rightarrow 130^o + \angle SRE = 180^o \Rightarrow \angle SRE = 50^o$.
આકૃતિ પરથી,$\angle QRS = 180^o - (\angle QRE + \angle SRE) = 180^o - (70^o + 50^o) = 180^o - 120^o = 60^o$.

(A) આપેલ છે: $AB \parallel CD$,$\angle APQ = 50^o$ અને $\angle PRD = 127^o$.
$1$. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $PQ$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle PQR = \angle APQ$.
આપેલ છે કે $\angle APQ = 50^o$,તેથી $x = 50^o$.
$2$. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $PR$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle APR = \angle PRD$.
આપેલ છે કે $\angle PRD = 127^o$,તેથી $\angle APR = 127^o$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle APR = \angle APQ + \angle QPR$.
કિંમતો મૂકતા,$127^o = 50^o + y$.
$y = 127^o - 50^o = 77^o$.
આમ,$x = 50^o$ અને $y = 77^o$.

(N/A) $(i)$ સમાંતર રેખાઓ પરના લંબ પણ સમાંતર હોય છે.
$(ii)$ પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,આપાતકોણ $=$ પરાવર્તનકોણ.
કિરણ $BL \perp PQ$ અને $CM \perp RS$ દોરો.
$\because PQ \parallel RS$ [આપેલ છે]
$\therefore BL \parallel CM$ [$\because BL \perp PQ$ અને $CM \perp RS$]
અને $BC$ એ છેદિકા છે.
$\therefore \angle LBC = \angle MCB$ [યુગ્મકોણ] ......... $(1)$
કારણ કે,(આપાતકોણ) $=$ (પરાવર્તનકોણ)
$\therefore \angle ABL = \angle LBC$ અને $\angle MCB = \angle MCD$
$\Rightarrow \angle ABL = \angle MCD$
$\therefore (1)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\angle LBC + \angle ABL = \angle MCB + \angle MCD$ [સમાનમાં સમાન ઉમેરતા]
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BCD$
એટલે કે,યુગ્મકોણની જોડ સમાન છે.
$\therefore AB \parallel CD$.

(C) $\Delta TQR$ માં,$QT \perp PR$ હોવાથી,$\angle QTR = 90^o$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta TQR$ ના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે:
$\angle QTR + \angle TQR + \angle TRQ = 180^o$
$90^o + 40^o + x = 180^o$
$130^o + x = 180^o$
$x = 180^o - 130^o = 50^o$
હવે,$\Delta P S R$ નો વિચાર કરો. $\Delta P S R$ નો બહિષ્કોણ $y$ એ તેના બે અંતઃસંમુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે:
$y = \angle SPR + \angle PRS$
$y = 30^o + x$
$y = 30^o + 50^o = 80^o$
આમ,$x = 50^o$ અને $y = 80^o$ છે.

(N/A) કિરણ $BO$ એ $\angle CBE$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBE = \frac{1}{2}(180^o - y) = 90^o - \frac{y}{2}$ ......... $(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $CO$ એ $\angle BCD$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2}(180^o - z) = 90^o - \frac{z}{2}$ ......... $(2)$
$\Delta BOC$ માં,$\angle BOC + \angle BCO + \angle CBO = 180^o$ ......... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle BOC + (90^o - \frac{z}{2}) + (90^o - \frac{y}{2}) = 180^o$
$\angle BOC + 180^o - \frac{1}{2}(y + z) = 180^o$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$ ......... $(4)$
$\Delta ABC$ માં,$x + y + z = 180^o$ (ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ).
તેથી,$y + z = 180^o - x$.
આ કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2} = 90^o - \frac{1}{2} \angle BAC$.

(A) અહીં $TQR$ એક સીધી રેખા છે,
$\therefore \angle TQP + \angle PQR = 180^o$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
$\Rightarrow 110^o + \angle PQR = 180^o$
$\Rightarrow \angle PQR = 180^o - 110^o = 70^o$
હવે,$\Delta PQR$ માટે,બાજુ $QP$ ને $S$ સુધી લંબાવવામાં આવી છે.
તેથી,$\angle SPR$ એ $\Delta PQR$ નો બહિષ્કોણ છે.
બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,બહિષ્કોણનું માપ તેના અંતઃસંમુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\therefore \angle SPR = \angle PQR + \angle PRQ$
$135^o = 70^o + \angle PRQ$
$\Rightarrow \angle PRQ = 135^o - 70^o$
$\Rightarrow \angle PRQ = 65^o$

(B) $\Delta XYZ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
$\angle XYZ + \angle YZX + \angle ZXY = 180^o$
આપેલ છે કે $\angle XYZ = 54^o$ અને $\angle ZXY = 62^o$.
$54^o + \angle YZX + 62^o = 180^o$
$\angle YZX = 180^o - 116^o = 64^o$.
કારણ કે $YO$ અને $ZO$ એ અનુક્રમે $\angle XYZ$ અને $\angle XZY$ ના દ્વિભાજકો છે:
$\angle OZY = \frac{1}{2} \angle XZY = \frac{1}{2} (64^o) = 32^o$.
$\angle OYZ = \frac{1}{2} \angle XYZ = \frac{1}{2} (54^o) = 27^o$.
$\Delta OYZ$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ:
$\angle YOZ + \angle OYZ + \angle OZY = 180^o$
$\angle YOZ + 27^o + 32^o = 180^o$
$\angle YOZ = 180^o - 59^o = 121^o$.
આમ,$\angle OZY = 32^o$ અને $\angle YOZ = 121^o$.

(C) આપેલ છે કે $AB \parallel DE$ અને $AE$ એ છેદિકા છે.
કારણ કે $AB \parallel DE$,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle AED = \angle BAC = 35^o$.
હવે,ત્રિકોણ $\Delta CDE$ નો વિચાર કરો.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
તેથી,$\angle CDE + \angle DEC + \angle DCE = 180^o$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $53^o + 35^o + \angle DCE = 180^o$.
$88^o + \angle DCE = 180^o$.
$\angle DCE = 180^o - 88^o = 92^o$.

(D) $\Delta PRT$ માં,
$\angle P + \angle R + \angle PTR = 180^\circ$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ દ્વારા]
$\Rightarrow 95^\circ + 40^\circ + \angle PTR = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle PTR = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$
જેમ કે રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ બિંદુ $T$ પર છેદે છે,તેથી અભિકોણો સમાન હોય છે.
$\therefore \angle QTS = \angle PTR = 45^\circ$
હવે,$\Delta TQS$ માં,
$\angle TSQ + \angle STQ + \angle SQT = 180^\circ$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ દ્વારા]
$\Rightarrow 75^\circ + 45^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow 120^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle SQT = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
આમ,$\angle SQT = 60^\circ$.

(A) $\Delta QRS$ માં,બાજુ $SR$ ને $T$ સુધી લંબાવેલ છે.
તેથી,બહિષ્કોણ $\angle QRT = \angle RQS + \angle RSQ$ (બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ).
આપેલ છે કે $\angle RQS = 28^o$ અને $\angle QRT = 65^o$.
તેથી,$28^o + \angle RSQ = 65^o$.
$\angle RSQ = 65^o - 28^o = 37^o$.
અહીં $PQ \parallel SR$ અને $QS$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle PQS = \angle RSQ$.
$x = 37^o$.
આપેલ છે કે $PQ \perp PS$,તેથી $\angle SPQ = 90^o$.
$\Delta PQS$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle SPQ + \angle PQS + \angle PSQ = 180^o$.
$90^o + x + y = 180^o$.
$90^o + 37^o + y = 180^o$.
$127^o + y = 180^o$.
$y = 180^o - 127^o = 53^o$.
આમ,$x = 37^o$ અને $y = 53^o$.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,બાજુ $QR$ ને $S$ સુધી લંબાવવામાં આવી છે.
$\therefore$ બહિષ્કોણ $\angle PRS = \text{અંતઃસન્મુખ કોણનો સરવાળો}$
$\Rightarrow \angle PRS = \angle P + \angle Q$
કારણ કે $QT$ અને $RT$ એ અનુક્રમે $\angle PQR$ અને $\angle PRS$ ના દ્વિભાજકો છે,
$\therefore \angle TQR = \frac{1}{2} \angle PQR$ અને $\angle TRS = \frac{1}{2} \angle PRS$.
હવે,$\Delta QRT$ માં,બહિષ્કોણ $\angle TRS = \angle TQR + \angle QTR$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle PRS - \frac{1}{2} \angle PQR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle PRS - \angle PQR)$
કારણ કે $\angle PRS = \angle P + \angle PQR$ (બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ),
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle P + \angle PQR - \angle PQR)$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle P$
એટલે કે,$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle QPR$.