Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(C) व्यतिकरण पैटर्न में प्रकाश की तीव्रता $I_{res} = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
$\Delta x = \lambda$ पथ अंतर के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
अब,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ पथ अंतर के लिए,कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
नई तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I' = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I = 4I_0$,इसलिए $I_0 = \frac{I}{4}$ होता है।
इस मान को $I'$ के समीकरण में रखने पर,हमें $I' = 2(\frac{I}{4}) = 0.5I$ प्राप्त होता है।

(A) व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ को $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $I_{max} = 4 I_{min}$,इसलिए $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = 4(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2\sqrt{I_1} - 2\sqrt{I_2}$.
यह सरल होकर $3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $9I_2 = I_1$ प्राप्त होता है,अतः अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 9/1$ है।
अतः दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $I_2/I_1 = 1/9$ है।

(C) $\text{n}^{th}$ क्रम के उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = n \frac{D \lambda}{d}$ होती है।
$\text{n}^{th}$ क्रम के निम्निष्ठ की स्थिति $x'_n = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ होती है।
$3^{rd}$ क्रम के उच्चिष्ठ $(n=3)$ और $3^{rd}$ क्रम के निम्निष्ठ $(n=3)$ के बीच की दूरी:
$\Delta x = x_3 - x'_3 = 3 \frac{D \lambda}{d} - (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 0.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{\beta}{2}$.
दिया गया है: $\Delta x = 0.18 \,cm = 1.8 \times 10^{-3} \,m$, $D = 1.2 \,m$, और $d = 0.02 \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$\frac{\beta}{2} = 1.8 \times 10^{-3} \,m \implies \beta = 3.6 \times 10^{-3} \,m$.
चूंकि $\beta = \frac{D \lambda}{d}$, इसलिए $\lambda = \frac{\beta d}{D}$.
$\lambda = \frac{(3.6 \times 10^{-3} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m)}{1.2 \,m} = 6 \times 10^{-7} \,m = 600 \,nm$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta \beta}{\beta} = \frac{\Delta D}{D} - \frac{\Delta d}{d}$.
दिया गया है कि $D$ में $0.5 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 0.5 \%$.
दिया गया है कि $d$ में $0.3 \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = -0.3 \%$.
इन मानों को त्रुटि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \beta}{\beta} \times 100 = 0.5 \% - (-0.3 \%) = 0.5 \% + 0.3 \% = 0.8 \%$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $0.8 \%$ बढ़ जाती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,श्वेत प्रकाश में $4000 \ Å$ से $7000 \ Å$ तक की तरंगदैर्घ्य होती है।
पर्दे पर केंद्रीय स्थिति में,सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए पथ अंतर शून्य होता है।
चूंकि पथ अंतर शून्य है,इसलिए सभी तरंगदैर्घ्य केंद्र पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक सफेद फ्रिंज बनती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,पथ अंतर बढ़ता जाता है,जिससे विभिन्न तरंगदैर्घ्य अलग-अलग स्थानों पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंगीन फ्रिंज दिखाई देती हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पूरी व्यवस्था को $n$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ होगा।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $\frac{\beta}{n}$ है।

(A) $n$-वीं चमकीली फ्रिंज के लिए शर्त $y = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
दोनों तरंगदैर्ध्यों $\lambda_1 = 650 \ nm$ और $\lambda_2 = 550 \ nm$ की चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_1 = y_2$.
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{550}{650} = \frac{11}{13}$.
चूंकि हमें न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 11$ और $n_2 = 13$ लेंगे।
स्थिति के सूत्र में $n_1 = 11$ रखने पर:
$y = 11 \times \frac{650 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 11 \times 325 \times 1.2 \times 10^{-6} = 4290 \times 10^{-6} \ m = 429 \times 10^{-5} \ m$.

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,पर्दे की दूरी $D = 10 \ m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4 I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पर्दे पर $y$ स्थिति पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है।
एक स्लिट के सामने के बिंदु के लिए,$y = \frac{d}{2}$.
अतः,$\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 10} = \frac{4 \times 10^{-6}}{20} = 2 \times 10^{-7} \ m$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 2 \times 10^{-7} = \frac{2\pi}{3}$.
तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2}) = (4 I_0) \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4 I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = 4 I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4 I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
कथन $I$: कोणीय फ्रिंज चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट पृथक्करण $d$ पर निर्भर करती है। यह पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है। इसलिए,पर्दे को दूर ले जाने से कोणीय पृथक्करण में कोई बदलाव नहीं आता है। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$: चूंकि $\theta = \frac{\lambda}{d}$,कोणीय फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है। यदि स्रोत को उच्च तरंगदैर्ध्य वाले स्रोत से बदल दिया जाए,तो $\theta$ बढ़ जाएगा। अतः,कथन $II$ सत्य है।
निष्कर्ष: कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि फ्रिंज की चौड़ाई समान है,इसलिए $\beta_1 = \beta_2$ है।
अतः,$\frac{D_1 \lambda_1}{d_1} = \frac{D_2 \lambda_2}{d_2}$ होगा।
अनुपात $\frac{D_1}{D_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ प्राप्त होता है।
स्लिट के पृथक्करण का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = 2$ और तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{D_1}{D_2} = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.54$ mm $= 0.54 \times 10^{-3}$ m.
स्क्रीन की दूरी $D = 1.8$ m.
केंद्रीय फ्रिंज से $n$ वें दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = \frac{n\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$6$ वें दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 6$ और $y_6 = 1.2$ cm $= 1.2 \times 10^{-2}$ m.
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.54 \times 10^{-3}}{6 \times 1.8}$.
$\lambda = \frac{0.648 \times 10^{-5}}{10.8} = 0.06 \times 10^{-5}$ m.
$\lambda = 600 \times 10^{-9}$ m $= 600$ nm.

(B) दिया गया है: स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
पर्दे की दूरी $D = 2.0 \text{ m}$.
फ्रिंज का क्रम $n = 3$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-4}}{3 \times 2.0}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \mathring{A} = 5000 \mathring{A}$.
अतः,प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $5000 \mathring{A}$ है।

(B) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ होता है।
यहाँ प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 2.4 \text{ } \mu\text{m}$ और नए माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = 1.2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$\beta' = \frac{2.4}{1.2} = 2 \text{ } \mu\text{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई फ्रिंज चौड़ाई $2 \text{ } \mu\text{m}$ होगी।

(C) मान लीजिए कि $I_s$ एक झिरी के कारण तीव्रता है।
परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos \phi = 2I_s + 2I_s \cos \phi = 2I_s(1 + \cos \phi) = 4I_s \cos^2(\phi/2)$.
यह दिया गया है कि बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता $I_R$ एक झिरी की तीव्रता $(I_s)$ के बराबर है,इसलिए:
$4I_s \cos^2(\phi/2) = I_s$
$\cos^2(\phi/2) = 1/4$
$\cos(\phi/2) = 1/2$
इसका अर्थ है कि $\phi/2 = \pi/3$,अतः कलान्तर $\phi = 2\pi/3$ है।
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\phi$ के बीच संबंध $\Delta x = (\lambda / 2\pi) \phi$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta x = (6000 \mathring{A} / 2\pi) \times (2\pi/3) = 2000 \mathring{A}$.

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलान्तर (phase difference) है।
दिया गया है $I = \frac{3}{4} I_{max}$,अतः $\frac{3}{4} I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
यह सरल होकर $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,जिससे कलान्तर $\phi = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\phi$ के बीच संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ है।
$\phi = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\lambda}{6}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{\lambda}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3}) = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ है।
दिया गया है कि $I_1 = K$,इसलिए $K = \frac{I_{max}}{4}$,जिसका अर्थ है $I_{max} = 4K$।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है।
चूंकि $I_{max} = 4K$,इसलिए पथ अंतर $\lambda$ पर तीव्रता $4K$ होगी।